Công thức
§1. Công thức(2)
Phương trình logarit cơ bản
Bất phương trình logarit cơ bản
- $a > 1$: $\log_a f(x) > \log_a g(x) \Leftrightarrow f(x) > g(x)$.
- $0 < a < 1$: $\log_a f(x) > \log_a g(x) \Leftrightarrow f(x) < g(x)$ (đổi chiều).
§2. Phương pháp(4)
Mô hình bán rã / carbon-14 — dùng tỉ lệ luỹ thừa nửa
Phương pháp mũ hoá
Phương pháp đưa về cùng cơ số
Phương pháp đặt ẩn phụ
§3. Mẹo(1)
Mẹo: xử bất phương trình $a > 1$ vs $0 < a < 1$
- $a > 1$: giữ chiều bất đẳng thức.
- $0 < a < 1$: đổi chiều bất đẳng thức.
§4. Lưu ý(1)
Lưu ý: ĐKXĐ trước khi biến đổi
Bài tập
1. Khảo cổ: định tuổi mẫu vật bằng C-14Trắc nghiệmcarbon_dating_age(3 câu)
Câu 1.Đồng vị phóng xạ Carbon-14 ($^{14}$C) được dùng để định tuổi mẫu vật khảo cổ. Khối lượng $^{14}$C trong mẫu giảm theo công thức $m(t) = m_0 \cdot (1/2)^{t/T}$, với chu kỳ bán rã $T = 5730$ năm. Một mẫu hoá thạch được đo còn lại $25\%$ lượng $^{14}$C ban đầu. Tuổi mẫu hoá thạch xấp xỉ bao nhiêu năm?
Câu 2.Đồng vị phóng xạ Carbon-14 ($^{14}$C) được dùng để định tuổi mẫu vật khảo cổ. Khối lượng $^{14}$C trong mẫu giảm theo công thức $m(t) = m_0 \cdot (1/2)^{t/T}$, với chu kỳ bán rã $T = 5730$ năm. Một mẫu hoá thạch được đo còn lại $12{,}5\%$ lượng $^{14}$C ban đầu. Tuổi mẫu hoá thạch xấp xỉ bao nhiêu năm?
Câu 3.Đồng vị phóng xạ Carbon-14 ($^{14}$C) được dùng để định tuổi mẫu vật khảo cổ. Khối lượng $^{14}$C trong mẫu giảm theo công thức $m(t) = m_0 \cdot (1/2)^{t/T}$, với chu kỳ bán rã $T = 5730$ năm. Một mẫu hoá thạch được đo còn lại $12{,}5\%$ lượng $^{14}$C ban đầu. Tuổi mẫu hoá thạch xấp xỉ bao nhiêu năm?
2. Advanced: định tuổi C-14 cho tỉ lệ còn lại $p\%$ tổng quát (không phải lũy thừa nửa nguyên)Trắc nghiệmcarbon_dating_age_advanced(3 câu)
Câu 4.Phương pháp định tuổi bằng đồng vị phóng xạ Carbon-14 ($^{14}$C) dựa trên chu kỳ bán rã $T = 5730$ năm. Khối lượng $^{14}$C trong mẫu giảm theo công thức $m(t) = m_0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T}$. Một mẫu vật cổ tìm thấy có tỉ lệ $^{14}$C còn lại bằng $70\%$ so với sinh vật còn sống. Hỏi tuổi của mẫu vật xấp xỉ bao nhiêu năm?
Câu 5.Phương pháp định tuổi bằng đồng vị phóng xạ Carbon-14 ($^{14}$C) dựa trên chu kỳ bán rã $T = 5730$ năm. Khối lượng $^{14}$C trong mẫu giảm theo công thức $m(t) = m_0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T}$. Một mẫu vật cổ tìm thấy có tỉ lệ $^{14}$C còn lại bằng $30\%$ so với sinh vật còn sống. Hỏi tuổi của mẫu vật xấp xỉ bao nhiêu năm?
Câu 6.Phương pháp định tuổi bằng đồng vị phóng xạ Carbon-14 ($^{14}$C) dựa trên chu kỳ bán rã $T = 5730$ năm. Khối lượng $^{14}$C trong mẫu giảm theo công thức $m(t) = m_0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T}$. Một mẫu vật cổ tìm thấy có tỉ lệ $^{14}$C còn lại bằng $80\%$ so với sinh vật còn sống. Hỏi tuổi của mẫu vật xấp xỉ bao nhiêu năm?
3. $\log_a(f) = \log_a(g)$: SỐ phần tử của tập nghiệm ($0$ hay $1$)Trắc nghiệmlog_eq_log_count_solutions(6 câu)
Câu 7.Số phần tử của tập nghiệm phương trình $\log_{2}\left(x + 4\right) = \log_{2}\left(3x + 7\right)$ là?
Câu 8.Số phần tử của tập nghiệm phương trình $\log_{3}\left(x\right) = \log_{3}\left(2x - 3\right)$ là?
Câu 9.Số phần tử của tập nghiệm phương trình $\log_{5}\left(x + 4\right) = \log_{5}\left(-x + 5\right)$ là?
Câu 10.Số phần tử của tập nghiệm phương trình $\log_{2}\left(x - 2\right) = \log_{2}\left(2x + 7\right)$ là?
Câu 11.Số phần tử của tập nghiệm phương trình $\log_{2}\left(x\right) = \log_{2}\left(-2x + 6\right)$ là?
Câu 12.Số phần tử của tập nghiệm phương trình $\log_{5}\left(x + 4\right) = \log_{5}\left(2x + 4\right)$ là?
4. $\log_a(f) = \log_a(g)$: tìm tập nghiệm $S$ (có thể rỗng do loại ngoại lai)Trắc nghiệmlog_eq_log_same_base_solution_with_domain(6 câu)
Câu 13.Tập nghiệm $S$ của phương trình $\log_{2}\left(x + 4\right) = \log_{2}\left(-x - 1\right)$ là?
Câu 14.Tập nghiệm $S$ của phương trình $\log_{10}\left(x - 1\right) = \log_{10}\left(-x + 4\right)$ là?
Câu 15.Tập nghiệm $S$ của phương trình $\log_{3}\left(x + 4\right) = \log_{3}\left(3x + 2\right)$ là?
Câu 16.Tập nghiệm $S$ của phương trình $\log_{3}\left(x + 3\right) = \log_{3}\left(-2x + 6\right)$ là?
Câu 17.Tập nghiệm $S$ của phương trình $\log_{5}\left(x - 5\right) = \log_{5}\left(2x - 3\right)$ là?
Câu 18.Tập nghiệm $S$ của phương trình $\log_{10}\left(x - 4\right) = \log_{10}\left(2x - 3\right)$ là?
5. Giải $\log_a x = k$ → $x = a^k$Trắc nghiệmlog_equation_basic(3 câu)
Câu 19.Giải phương trình $\log_{3} x = 4$.
Câu 20.Giải phương trình $\log_{5} x = 2$.
Câu 21.Giải phương trình $\log_{5} x = 2$.
6. Giải $\log_a x + \log_a y = k$ → $\log_a(xy) = k$ → $xy = a^k$Trắc nghiệmlog_equation_change_base(3 câu)
Câu 22.Giải phương trình $\log_2 x + \log_2 (x - 6) = 4$.
Câu 23.Giải phương trình $\log_2 x + \log_2 (x - 6) = 4$.
Câu 24.Giải phương trình $\log_2 x + \log_2 (x - 6) = 4$.
7. Giải $\log_a x + \log_a (x - 3) = 1$ — $a = 4$, $x = 4$Trắc nghiệmlog_equation_combine(3 câu)
Câu 25.Giải phương trình $\log_2 x + \log_2 (x - 2) = 3$.
Câu 26.Giải phương trình $\log_2 x + \log_2 (x - 2) = 3$.
Câu 27.Giải phương trình $\log_2 x + \log_2 (x - 2) = 3$.
8. Hỏi NGƯỢC: phương trình $\log_c(m x + n) = k$ nhận $x_0$ làm nghiệm, tìm $k$Trắc nghiệmlog_equation_linear_arg_reverse(3 câu)
Câu 28.Phương trình $\log_{3}(2x - 3) = k$ nhận $x = 6$ làm nghiệm. Giá trị của $k$ bằng
Câu 29.Phương trình $\log_{5}(2x + 1) = k$ nhận $x = 12$ làm nghiệm. Giá trị của $k$ bằng
Câu 30.Phương trình $\log_{3}(4x + 1) = k$ nhận $x = 2$ làm nghiệm. Giá trị của $k$ bằng
9. Giải $\log_c(m x + n) = k$ — đưa về $m x + n = c^k$, tìm $x$Trắc nghiệmlog_equation_linear_arg_solve(3 câu)
Câu 31.Nghiệm của phương trình $\log_{2}(5x + 1) = 4$ là
Câu 32.Nghiệm của phương trình $\log_{5}(2x + 1) = 2$ là
Câu 33.Nghiệm của phương trình $\log_{3}(4x + 1) = 2$ là
10. Giải $\log x = k$ — $x = 10^k$Trắc nghiệmlog_equation_log10(3 câu)
Câu 34.Giải phương trình $\log x = 1$ (logarit thập phân).
Câu 35.Giải phương trình $\log x = 1$ (logarit thập phân).
Câu 36.Giải phương trình $\log x = 1$ (logarit thập phân).
11. Tính TÍCH các nghiệm hoặc SỐ phần tử tập nghiệm sau khi loại theo ĐKXĐTrắc nghiệmlog_equation_product_or_count_roots(3 câu)
Câu 37.Tích các nghiệm của phương trình $\log_{9}\left(x^2\right) - \log_{3} 3 = 0$ bằng?
Câu 38.Số phần tử của tập nghiệm phương trình $\log_{10}\left(x - 2\right) = \log_{10}\left(2x + 4\right)$ là?
Câu 39.Tích các nghiệm của phương trình $\log_{4}\left(x^2\right) - \log_{2} 5 = 1$ bằng?
12. PT log đưa về bậc hai theo $|x|$: tính TÍCH các nghiệm $x$ ($= -r^2$)Trắc nghiệmlog_equation_quadratic_product_of_roots(6 câu)
Câu 40.Tích các nghiệm của phương trình $\log_{9}\left(x^2\right) - \log_{3} 2 = 1$ bằng?
Câu 41.Tích các nghiệm của phương trình $\log_{9}\left(x^2\right) - \log_{3} 3 = 2$ bằng?
Câu 42.Tích các nghiệm của phương trình $\log_{4}\left(x^2\right) - \log_{2} 3 = 0$ bằng?
Câu 43.Tích các nghiệm của phương trình $\log_{9}\left(x^2\right) - \log_{3} 5 = 0$ bằng?
Câu 44.Tích các nghiệm của phương trình $\log_{4}\left(x^2\right) - \log_{2} 3 = 0$ bằng?
Câu 45.Tích các nghiệm của phương trình $\log_{4}\left(x^2\right) - \log_{2} 2 = 0$ bằng?
13. PT log đưa về bậc hai theo $|x|$: tính TỔNG các nghiệm $x$ (hai nghiệm đối nhau)Trắc nghiệmlog_equation_quadratic_sum_of_roots(6 câu)
Câu 46.Tổng các nghiệm của phương trình $\log_{4}\left(x^2\right) - \log_{2} 3 = 1$ bằng?
Câu 47.Tổng các nghiệm của phương trình $\log_{9}\left(x^2\right) - \log_{3} 4 = 0$ bằng?
Câu 48.Tổng các nghiệm của phương trình $\log_{9}\left(x^2\right) - \log_{3} 4 = 2$ bằng?
Câu 49.Tổng các nghiệm của phương trình $\log_{4}\left(x^2\right) - \log_{2} 3 = 2$ bằng?
Câu 50.Tổng các nghiệm của phương trình $\log_{9}\left(x^2\right) - \log_{3} 4 = 2$ bằng?
Câu 51.Tổng các nghiệm của phương trình $\log_{4}\left(x^2\right) - \log_{2} 5 = 1$ bằng?
14. Tìm TẬP NGHIỆM $S$ của $\log_a(f)=\log_a(g)$ sau khi giao ĐKXĐTrắc nghiệmlog_equation_solution_set_with_domain(3 câu)
Câu 52.Tập nghiệm $S$ của phương trình $\log_{5}\left(x + 3\right) = \log_{5}\left(3x - 2\right)$ là?
Câu 53.Tập nghiệm $S$ của phương trình $\log_{3}\left(x - 5\right) = \log_{3}\left(-2x + 1\right)$ là?
Câu 54.Tập nghiệm $S$ của phương trình $\log_{10}\left(x + 5\right) = \log_{10}\left(2x + 1\right)$ là?
15. Tính TỔNG các nghiệm của phương trình log (đã loại nghiệm ngoại lai)Trắc nghiệmlog_equation_sum_of_roots(3 câu)
Câu 55.Tổng các nghiệm của phương trình $\log_{4}\left(x^2\right) - \log_{2} 3 = 1$ bằng?
Câu 56.Tổng các nghiệm của phương trình $\log_{9}\left(x^2\right) - \log_{3} 5 = 2$ bằng?
Câu 57.Tổng các nghiệm của phương trình $\log_{2}\left(x + 5\right) = \log_{2}\left(3x + 8\right)$ bằng?
16. ĐẾM số nghiệm NGUYÊN của bất phương trình log cơ bản (tập hữu hạn)Trắc nghiệmlog_ineq_count_integer_roots(3 câu)
Câu 58.Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{1/2}\left(x\right) \ge -1$ là?
Câu 59.Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{1/3}\left(x\right) > -2$ là?
Câu 60.Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{1/3}\left(x - 5\right) > -1$ là?
17. Cho tập nghiệm $(a;b)$, tính biểu thức tuyến tính hai đầu mút (cycle)Trắc nghiệmlog_ineq_endpoints_linear_combo(3 câu)
Câu 61.Bất phương trình $\log_{1/3}\left(x - 1\right) > 0$ có tập nghiệm là khoảng $(a;b)$. Tính giá trị của biểu thức $a - 2b$.
Câu 62.Bất phương trình $\log_{1/3}\left(x - 5\right) > -2$ có tập nghiệm là khoảng $(a;b)$. Tính giá trị của biểu thức $2a - b$.
Câu 63.Bất phương trình $\log_{1/3}\left(x\right) > 1$ có tập nghiệm là khoảng $(a;b)$. Tính giá trị của biểu thức $a + b$.
18. Hỏi NGƯỢC: cho tập nghiệm, xác định vế phải $k$ của bất phương trìnhTrắc nghiệmlog_ineq_oneside_param_reverse_base(3 câu)
Câu 64.Biết bất phương trình $\log_{1/4}\left(4x\right) < k$ có tập nghiệm là $(\dfrac{1}{64};\ +\infty)$. Giá trị của $k$ là?
Câu 65.Biết bất phương trình $\log_{1/2}\left(x\right) \le k$ có tập nghiệm là $[2;\ +\infty)$. Giá trị của $k$ là?
Câu 66.Biết bất phương trình $\log_{1/2}\left(x\right) < k$ có tập nghiệm là $(0,25;\ +\infty)$. Giá trị của $k$ là?
19. Cho bất phương trình $\log_a(g(x)) \gtrless k$, tìm TẬP NGHIỆMTrắc nghiệmlog_ineq_oneside_param_solution(3 câu)
Câu 67.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{1/4}\left(x\right) \le 3$ là?
Câu 68.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3}\left(x\right) > 0$ là?
Câu 69.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{1/3}\left(x\right) < -1$ là?
20. Khẳng định nào ĐÚNG: 4 tập nghiệm khả dĩ, chọn tập đúng (bẫy đảo chiều)Trắc nghiệmlog_ineq_oneside_param_true_statement(3 câu)
Câu 70.Cho bất phương trình $\log_{1/2}\left(x\right) \ge 3$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
Câu 71.Cho bất phương trình $\log_{1/4}\left(3x\right) \ge 3$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
Câu 72.Cho bất phương trình $\log_{1/4}\left(2x\right) < 2$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
21. Tính TỔNG các nghiệm NGUYÊN của bất phương trình log cơ bản hữu hạnTrắc nghiệmlog_ineq_sum_integer_roots(3 câu)
Câu 73.Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{1/3}\left(x - 1\right) > -2$ bằng?
Câu 74.Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{1/4}\left(x - 1\right) > -1$ bằng?
Câu 75.Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{1/4}\left(x - 2\right) > -1$ bằng?
22. Hỏi SỐ NGHIỆM NGUYÊN của $\log_a(f) \gtrless \log_a(g)$ (tập hữu hạn)Trắc nghiệmlog_ineq_two_args_same_base_count_int(3 câu)
Câu 76.Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{3}\left(x + 1\right) > \log_{3}\left(-3x + 12\right)$ là?
Câu 77.Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{2}\left(x + 1\right) < \log_{2}\left(-3x + 7\right)$ là?
Câu 78.Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{3}\left(x + 1\right) \ge \log_{3}\left(-2x + 8\right)$ là?
23. Tìm TẬP NGHIỆM của $\log_a(f) \gtrless \log_a(g)$ sau khi giao ĐKXĐTrắc nghiệmlog_ineq_two_args_same_base_solution(3 câu)
Câu 79.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{1/3}\left(x + 2\right) \ge \log_{1/3}\left(2x + 3\right)$ là?
Câu 80.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{2}\left(x - 1\right) \le \log_{2}\left(-3x + 11\right)$ là?
Câu 81.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{1/2}\left(x + 2\right) > \log_{1/2}\left(-3x + 4\right)$ là?
24. Khẳng định nào ĐÚNG về tập nghiệm của $\log_a(f) \gtrless \log_a(g)$Trắc nghiệmlog_ineq_two_args_same_base_true_stmt(3 câu)
Câu 82.Cho bất phương trình $\log_{2}\left(x + 2\right) \le \log_{2}\left(-2x + 7\right)$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
Câu 83.Cho bất phương trình $\log_{3}\left(x + 1\right) < \log_{3}\left(-2x + 4\right)$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
Câu 84.Cho bất phương trình $\log_{2}\left(x + 2\right) \ge \log_{2}\left(-3x + 8\right)$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
25. Số nghiệm NGUYÊN của $\log_a(m_f x + n_f) \gtrless \log_a(m_g x + n_g)$Trắc nghiệmlog_ineq_two_linear_args_general_count_int(3 câu)
Câu 85.Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{1/3}\left(x - 1\right) \ge \log_{1/3}\left(-x + 6\right)$ là
Câu 86.Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{3}\left(x + 1\right) < \log_{3}\left(-x + 6\right)$ là
Câu 87.Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{1/2}\left(3x + 2\right) \ge \log_{1/2}\left(-2x + 4\right)$ là
26. Tập nghiệm của $\log_a(m_f x + n_f) \gtrless \log_a(m_g x + n_g)$Trắc nghiệmlog_ineq_two_linear_args_general_solution_set(3 câu)
Câu 88.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{2}\left(3x + 1\right) \ge \log_{2}\left(-2x + 4\right)$ là
Câu 89.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{2}\left(3x + 1\right) \le \log_{2}\left(-x + 7\right)$ là
Câu 90.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{2}\left(2x - 1\right) < \log_{2}\left(-3x + 2\right)$ là
27. Giải $\log_a x > k$ → $x > a^k$ (nếu $a > 1$)Trắc nghiệmlog_inequality_basic(3 câu)
Câu 91.Giải bất phương trình $\log_{3} x > 3$.
Câu 92.Giải bất phương trình $\log_{3} x > 1$.
Câu 93.Giải bất phương trình $\log_{10} x > 2$.
28. Hỏi ngược: cho tập nghiệm, xác định vế phải $k$ của bất phương trìnhTrắc nghiệmlog_inequality_const_rhs_reverse_base(6 câu)
Câu 94.Biết bất phương trình $\log_{3}\left(x\right) \ge k$ có tập nghiệm là $[3;\ +\infty)$. Giá trị của $k$ là?
Câu 95.Biết bất phương trình $\log_{1/3}\left(x - 2\right) \le k$ có tập nghiệm là $[\dfrac{19}{9};\ +\infty)$. Giá trị của $k$ là?
Câu 96.Biết bất phương trình $\log_{3}\left(x - 4\right) < k$ có tập nghiệm là $(4;\ 31)$. Giá trị của $k$ là?
Câu 97.Biết bất phương trình $\log_{1/3}\left(x - 1\right) < k$ có tập nghiệm là $(\dfrac{4}{3};\ +\infty)$. Giá trị của $k$ là?
Câu 98.Biết bất phương trình $\log_{3}\left(4x\right) \ge k$ có tập nghiệm là $[6,75;\ +\infty)$. Giá trị của $k$ là?
Câu 99.Biết bất phương trình $\log_{1/2}\left(x\right) > k$ có tập nghiệm là $(0;\ 0,25)$. Giá trị của $k$ là?
29. Hỏi xuôi: tập nghiệm của $\log_a(g(x)) \gtrless k$ (giao ĐKXĐ)Trắc nghiệmlog_inequality_const_rhs_solution_set(6 câu)
Câu 100.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3}\left(4x\right) > -2$ là?
Câu 101.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{1/3}\left(x - 2\right) \ge 1$ là?
Câu 102.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{1/2}\left(x - 4\right) < 3$ là?
Câu 103.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{1/2}\left(x - 3\right) < -1$ là?
Câu 104.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{1/3}\left(x - 1\right) < 2$ là?
Câu 105.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{1/4}\left(4x\right) < -2$ là?
30. Khẳng định nào ĐÚNG về tập nghiệm của $\log_a(g(x)) \gtrless k$Trắc nghiệmlog_inequality_const_rhs_true_statement(6 câu)
Câu 106.Cho bất phương trình $\log_{3}\left(2x\right) \ge -1$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
Câu 107.Cho bất phương trình $\log_{1/3}\left(x\right) < -2$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
Câu 108.Cho bất phương trình $\log_{1/2}\left(3x\right) > 3$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
Câu 109.Cho bất phương trình $\log_{1/4}\left(x - 2\right) \le 3$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
Câu 110.Cho bất phương trình $\log_{1/2}\left(x\right) \ge 0$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
Câu 111.Cho bất phương trình $\log_{10}\left(x\right) \ge 3$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
31. ĐẾM số nghiệm NGUYÊN của bất phương trình log cơ bản (tập hữu hạn)Trắc nghiệmlog_inequality_count_integer_solutions(6 câu)
Câu 112.Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{1/3}\left(x\right) \ge -1$ là?
Câu 113.Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{1/3}\left(x - 4\right) > -1$ là?
Câu 114.Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{1/3}\left(x\right) \ge 0$ là?
Câu 115.Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{1/3}\left(x\right) > -1$ là?
Câu 116.Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{1/4}\left(x - 3\right) \ge 0$ là?
Câu 117.Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{1/2}\left(x - 1\right) > -2$ là?
32. Tập nghiệm là khoảng $(a;b)$, tính biểu thức tuyến tính của hai đầu mútTrắc nghiệmlog_inequality_endpoint_linear_combo(6 câu)
Câu 118.Bất phương trình $\log_{1/3}\left(x - 2\right) > -1$ có tập nghiệm là khoảng $(a;b)$. Tính giá trị của biểu thức $b - a$.
Câu 119.Bất phương trình $\log_{1/2}\left(x\right) > 1$ có tập nghiệm là khoảng $(a;b)$. Tính giá trị của biểu thức $a + b$.
Câu 120.Bất phương trình $\log_{1/4}\left(x - 4\right) > -2$ có tập nghiệm là khoảng $(a;b)$. Tính giá trị của biểu thức $a + b$.
Câu 121.Bất phương trình $\log_{1/2}\left(x\right) > 1$ có tập nghiệm là khoảng $(a;b)$. Tính giá trị của biểu thức $a - 2b$.
Câu 122.Bất phương trình $\log_{1/4}\left(x\right) > -2$ có tập nghiệm là khoảng $(a;b)$. Tính giá trị của biểu thức $a - 2b$.
Câu 123.Bất phương trình $\log_{1/4}\left(x\right) > -2$ có tập nghiệm là khoảng $(a;b)$. Tính giá trị của biểu thức $a - 2b$.
33. Tính TỔNG các nghiệm NGUYÊN của bất phương trình log cơ bản hữu hạnTrắc nghiệmlog_inequality_sum_integer_solutions(6 câu)
Câu 124.Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{1/3}\left(x - 3\right) > -1$ bằng?
Câu 125.Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{1/3}\left(x - 5\right) \ge 0$ bằng?
Câu 126.Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{1/4}\left(x\right) \ge 0$ bằng?
Câu 127.Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{1/4}\left(x - 5\right) > -1$ bằng?
Câu 128.Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{1/2}\left(x - 3\right) > -2$ bằng?
Câu 129.Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{1/4}\left(x\right) \ge -1$ bằng?
34. $\log_2(x^2 - 2x + m) > 1$ với mọi $x$ — tìm $m$Trắc nghiệmlog_inequality_with_param_m(3 câu)
Câu 130.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình $\log_2(x^2 - 2x + m) > 1$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Câu 131.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình $\log_2(x^2 - 2x + m) > 1$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Câu 132.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình $\log_2(x^2 - 2x + m) > 1$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.
35. $\log_2 x + \log_2 y$ với $x + y = S$ ($x, y > 0$) — đạt min/max khi $x = y = S/2$Trắc nghiệmlog_min_with_constraint_simple(3 câu)
Câu 133.Cho $x, y > 0$ thoả $x + y = 4$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \log_2 x + \log_2 y$.
Câu 134.Cho $x, y > 0$ thoả $x + y = 32$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \log_2 x + \log_2 y$.
Câu 135.Cho $x, y > 0$ thoả $x + y = 16$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \log_2 x + \log_2 y$.
36. Hệ $\log_2 x + \log_2 y = a$ và $\log_2 x - \log_2 y = b$ → tìm $x \cdot y$ hoặc $x/y$Trắc nghiệmlog_system_two_unknowns(3 câu)
Câu 136.Cho hệ phương trình $\begin{cases}\log_2 x + \log_2 y = 4 \\ \log_2 x - \log_2 y = 1\end{cases}$. Tính $xy$.
Câu 137.Cho hệ phương trình $\begin{cases}\log_2 x + \log_2 y = 3 \\ \log_2 x - \log_2 y = 2\end{cases}$. Tính $xy$.
Câu 138.Cho hệ phương trình $\begin{cases}\log_2 x + \log_2 y = 4 \\ \log_2 x - \log_2 y = 3\end{cases}$. Tính $xy$.
37. Trọng tâm cơ số $0 < a < 1$ (ĐẢO chiều): tập nghiệm của $\log_a f \gtrless \log_a g$Trắc nghiệmlog_vs_log_base_lt1_reverse_direction(6 câu)
Câu 139.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{1/3}\left(x - 2\right) \le \log_{1/3}\left(-2x + 5\right)$ (chú ý cơ số nhỏ hơn $1$) là?
Câu 140.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{1/2}\left(x - 2\right) > \log_{1/2}\left(2x + 5\right)$ (chú ý cơ số nhỏ hơn $1$) là?
Câu 141.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{1/2}\left(x + 2\right) > \log_{1/2}\left(-2x + 2\right)$ (chú ý cơ số nhỏ hơn $1$) là?
Câu 142.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{1/3}\left(x + 1\right) \ge \log_{1/3}\left(2x + 5\right)$ (chú ý cơ số nhỏ hơn $1$) là?
Câu 143.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{1/3}\left(x - 1\right) \ge \log_{1/3}\left(-2x + 6\right)$ (chú ý cơ số nhỏ hơn $1$) là?
Câu 144.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{1/2}\left(x - 1\right) \ge \log_{1/2}\left(-2x + 7\right)$ (chú ý cơ số nhỏ hơn $1$) là?
38. Đếm số nghiệm NGUYÊN của $\log_a(f) \gtrless \log_a(g)$ (tập hữu hạn)Trắc nghiệmlog_vs_log_count_integer_solutions(6 câu)
Câu 145.Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{3}\left(x - 3\right) \ge \log_{3}\left(-2x + 11\right)$ là?
Câu 146.Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{1/3}\left(x + 3\right) \ge \log_{1/3}\left(-3x + 4\right)$ là?
Câu 147.Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{1/2}\left(x - 1\right) > \log_{1/2}\left(-3x + 9\right)$ là?
Câu 148.Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{2}\left(x + 3\right) \le \log_{2}\left(-3x + 3\right)$ là?
Câu 149.Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{1/3}\left(x - 3\right) \ge \log_{1/3}\left(-2x + 9\right)$ là?
Câu 150.Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{3}\left(x + 3\right) \le \log_{3}\left(-2x + 6\right)$ là?
39. Tìm TẬP NGHIỆM của $\log_a(f) \gtrless \log_a(g)$ sau khi giao ĐKXĐTrắc nghiệmlog_vs_log_same_base_two_linear_args(6 câu)
Câu 151.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{1/3}\left(x + 1\right) < \log_{1/3}\left(-3x + 9\right)$ là?
Câu 152.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{2}\left(x + 3\right) \le \log_{2}\left(-3x + 5\right)$ là?
Câu 153.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3}\left(x + 1\right) > \log_{3}\left(-2x + 2\right)$ là?
Câu 154.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{1/3}\left(x\right) \le \log_{1/3}\left(-2x + 8\right)$ là?
Câu 155.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{1/2}\left(x - 2\right) < \log_{1/2}\left(-2x + 9\right)$ là?
Câu 156.Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{1/3}\left(x + 2\right) < \log_{1/3}\left(-2x + 9\right)$ là?
40. Cho bất phương trình $\log_a x > k$ với $a > 1$ hoặc $0 < a < 1$ — xét tập nghiệm, hướng bất đẳng thức, ĐKXĐĐúng / Sailog_equation_examples(3 câu)
Câu 157.Cho bất phương trình $\log_{2} x > 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 158.Cho bất phương trình $\log_{3} x > 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 159.Cho bất phương trình $\log_{3} x > 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
41. Cho phương trình $\log_a x = k$ với $a, k$ cụ thể — kiểm tra nghiệm, ĐKXĐ và biến đổi tương đươngĐúng / Sailog_equation_facts(3 câu)
Câu 160.Cho phương trình $\log_{5} x = 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 161.Cho phương trình $\log_{3} x = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 162.Cho phương trình $\log_{3} x = 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
42. Hỏi ngược: với $x$ cho trước, lợi nhuận (làm tròn, triệu đồng) đạt bao nhiêuTrả lời ngắnlog_cost_max_profit_given_units(6 câu)
Câu 163.Mỗi khách hàng đem lại $50$ triệu đồng doanh thu; chi phí phục vụ $x$ khách hàng là $C(x) = 100\ln x + 100$ (triệu đồng). Trong năm công ty phục vụ đúng $24$ khách hàng. Hỏi lợi nhuận đạt bao nhiêu triệu đồng? (Làm tròn đến hàng đơn vị)
Câu 164.Mỗi doanh nghiệp đem lại $50$ triệu đồng doanh thu; chi phí phục vụ $x$ doanh nghiệp là $C(x) = 200\ln x + 100$ (triệu đồng). Trong năm công ty phục vụ đúng $33$ doanh nghiệp. Hỏi lợi nhuận đạt bao nhiêu triệu đồng? (Làm tròn đến hàng đơn vị)
Câu 165.Mỗi khách hàng đem lại $50$ triệu đồng doanh thu; chi phí phục vụ $x$ khách hàng là $C(x) = 50\ln x + 200$ (triệu đồng). Trong năm công ty phục vụ đúng $39$ khách hàng. Hỏi lợi nhuận đạt bao nhiêu triệu đồng? (Làm tròn đến hàng đơn vị)
Câu 166.Mỗi khách hàng đem lại $30$ triệu đồng doanh thu; chi phí phục vụ $x$ khách hàng là $C(x) = 50\ln x + 100$ (triệu đồng). Trong năm công ty phục vụ đúng $39$ khách hàng. Hỏi lợi nhuận đạt bao nhiêu triệu đồng? (Làm tròn đến hàng đơn vị)
Câu 167.Mỗi doanh nghiệp đem lại $50$ triệu đồng doanh thu; chi phí phục vụ $x$ doanh nghiệp là $C(x) = 50\ln x + 100$ (triệu đồng). Trong năm công ty phục vụ đúng $52$ doanh nghiệp. Hỏi lợi nhuận đạt bao nhiêu triệu đồng? (Làm tròn đến hàng đơn vị)
Câu 168.Mỗi người dùng đem lại $50$ triệu đồng doanh thu; chi phí phục vụ $x$ người dùng là $C(x) = 200\ln x + 100$ (triệu đồng). Trong năm công ty phục vụ đúng $61$ người dùng. Hỏi lợi nhuận đạt bao nhiêu triệu đồng? (Làm tròn đến hàng đơn vị)
43. Cùng mô hình, ngưỡng là chỉ tiêu lợi nhuận ròng; cover-story khácTrả lời ngắnlog_cost_min_units_for_metric(6 câu)
Câu 169.Một nền tảng đặt chỉ tiêu lợi nhuận năm tối thiểu $900$ triệu đồng. Mỗi doanh nghiệp mang lại $50$ triệu đồng doanh thu, còn tổng chi phí vận hành cho $x$ doanh nghiệp là $C(x) = 50\ln x + 200$ (triệu đồng). Cần tối thiểu bao nhiêu doanh nghiệp để đạt chỉ tiêu?
Câu 170.Một nền tảng đặt chỉ tiêu lợi nhuận năm tối thiểu $3500$ triệu đồng. Mỗi khách hàng mang lại $100$ triệu đồng doanh thu, còn tổng chi phí vận hành cho $x$ khách hàng là $C(x) = 200\ln x + 200$ (triệu đồng). Cần tối thiểu bao nhiêu khách hàng để đạt chỉ tiêu?
Câu 171.Một nền tảng đặt chỉ tiêu lợi nhuận năm tối thiểu $5550$ triệu đồng. Mỗi doanh nghiệp mang lại $100$ triệu đồng doanh thu, còn tổng chi phí vận hành cho $x$ doanh nghiệp là $C(x) = 200\ln x + 100$ (triệu đồng). Cần tối thiểu bao nhiêu doanh nghiệp để đạt chỉ tiêu?
Câu 172.Một nền tảng đặt chỉ tiêu lợi nhuận năm tối thiểu $19500$ triệu đồng. Mỗi doanh nghiệp mang lại $100$ triệu đồng doanh thu, còn tổng chi phí vận hành cho $x$ doanh nghiệp là $C(x) = 50\ln x + 200$ (triệu đồng). Cần tối thiểu bao nhiêu doanh nghiệp để đạt chỉ tiêu?
Câu 173.Một nền tảng đặt chỉ tiêu lợi nhuận năm tối thiểu $3300$ triệu đồng. Mỗi người dùng mang lại $30$ triệu đồng doanh thu, còn tổng chi phí vận hành cho $x$ người dùng là $C(x) = 50\ln x + 200$ (triệu đồng). Cần tối thiểu bao nhiêu người dùng để đạt chỉ tiêu?
Câu 174.Một nền tảng đặt chỉ tiêu lợi nhuận năm tối thiểu $17500$ triệu đồng. Mỗi khách hàng mang lại $100$ triệu đồng doanh thu, còn tổng chi phí vận hành cho $x$ khách hàng là $C(x) = 50\ln x + 200$ (triệu đồng). Cần tối thiểu bao nhiêu khách hàng để đạt chỉ tiêu?
44. Số lượng tối thiểu để lợi nhuận $\ge$ ngưỡng (ceil của nghiệm thực)Trả lời ngắnlog_cost_min_units_for_profit(6 câu)
Câu 175.Một công ty thu phí dịch vụ $50$ triệu đồng trên mỗi người dùng. Tổng chi phí khi phục vụ $x$ người dùng (đơn vị: triệu đồng) là $C(x) = 100\ln x + 100$. Hỏi cần phục vụ ít nhất bao nhiêu người dùng để lợi nhuận trong một năm đạt từ $2,0$ tỷ đồng trở lên?
Câu 176.Một công ty thu phí dịch vụ $30$ triệu đồng trên mỗi đơn hàng. Tổng chi phí khi phục vụ $x$ đơn hàng (đơn vị: triệu đồng) là $C(x) = 50\ln x + 200$. Hỏi cần phục vụ ít nhất bao nhiêu đơn hàng để lợi nhuận trong một năm đạt từ $2,0$ tỷ đồng trở lên?
Câu 177.Một công ty thu phí dịch vụ $100$ triệu đồng trên mỗi khách hàng. Tổng chi phí khi phục vụ $x$ khách hàng (đơn vị: triệu đồng) là $C(x) = 100\ln x + 200$. Hỏi cần phục vụ ít nhất bao nhiêu khách hàng để lợi nhuận trong một năm đạt từ $1,4$ tỷ đồng trở lên?
Câu 178.Một công ty thu phí dịch vụ $100$ triệu đồng trên mỗi đơn hàng. Tổng chi phí khi phục vụ $x$ đơn hàng (đơn vị: triệu đồng) là $C(x) = 50\ln x + 200$. Hỏi cần phục vụ ít nhất bao nhiêu đơn hàng để lợi nhuận trong một năm đạt từ $23,2$ tỷ đồng trở lên?
Câu 179.Một công ty thu phí dịch vụ $30$ triệu đồng trên mỗi khách hàng. Tổng chi phí khi phục vụ $x$ khách hàng (đơn vị: triệu đồng) là $C(x) = 100\ln x + 100$. Hỏi cần phục vụ ít nhất bao nhiêu khách hàng để lợi nhuận trong một năm đạt từ $2,0$ tỷ đồng trở lên?
Câu 180.Một công ty thu phí dịch vụ $100$ triệu đồng trên mỗi người dùng. Tổng chi phí khi phục vụ $x$ người dùng (đơn vị: triệu đồng) là $C(x) = 50\ln x + 200$. Hỏi cần phục vụ ít nhất bao nhiêu người dùng để lợi nhuận trong một năm đạt từ $18,5$ tỷ đồng trở lên?
45. ĐKXĐ của $\log_a (x - k)$ — $x > k$, ghi $k$Trả lời ngắnlog_domain_check(3 câu)
Câu 181.Hàm số $\log_{3}(x - 5)$ xác định khi $x > c$. Ghi giá trị $c$.
Câu 182.Hàm số $\log_{5}(x - 7)$ xác định khi $x > c$. Ghi giá trị $c$.
Câu 183.Hàm số $\log_{10}(x - 1)$ xác định khi $x > c$. Ghi giá trị $c$.
46. Giải $\log_a x = k$ → $x = a^k$Trả lời ngắnlog_equation_solve_value(3 câu)
Câu 184.Tìm $x$ biết $\log_{2} x = 3$.
Câu 185.Tìm $x$ biết $\log_{10} x = 4$. (Kết quả chia cho 10, làm tròn đến hàng đơn vị)
Câu 186.Tìm $x$ biết $\log_{3} x = 3$.
47. Nền tảng công nghệ: thu phí cố định $p$ triệu/khách, chi phí vận hành $C(x) = k\ln x + c_0$ (triệu)Trả lời ngắnlog_platform_min_clients_for_profit_sa(3 câu)
Câu 187.Một công ty công nghệ cung cấp nền tảng phần mềm dịch vụ cho các doanh nghiệp. Mỗi doanh nghiệp đăng ký sử dụng phải trả mức phí cố định là $50$ triệu đồng/năm. Tổng chi phí vận hành hệ thống máy chủ và bảo trì trong một năm (đơn vị: triệu đồng) phụ thuộc vào số lượng doanh nghiệp $x$ ($x \in \mathbb{N}^*$) đang sử dụng và được mô hình hóa bởi hàm số $C(x) = 100\ln x + 200$. Để công ty đạt mức lợi nhuận tối thiểu $4$ tỷ đồng trong một năm, công ty cần có ít nhất bao nhiêu doanh nghiệp sử dụng phần mềm đó?
Câu 188.Một công ty công nghệ cung cấp nền tảng phần mềm dịch vụ cho các doanh nghiệp. Mỗi doanh nghiệp đăng ký sử dụng phải trả mức phí cố định là $50$ triệu đồng/năm. Tổng chi phí vận hành hệ thống máy chủ và bảo trì trong một năm (đơn vị: triệu đồng) phụ thuộc vào số lượng doanh nghiệp $x$ ($x \in \mathbb{N}^*$) đang sử dụng và được mô hình hóa bởi hàm số $C(x) = 150\ln x + 300$. Để công ty đạt mức lợi nhuận tối thiểu $6$ tỷ đồng trong một năm, công ty cần có ít nhất bao nhiêu doanh nghiệp sử dụng phần mềm đó?
Câu 189.Một công ty công nghệ cung cấp nền tảng phần mềm dịch vụ cho các doanh nghiệp. Mỗi doanh nghiệp đăng ký sử dụng phải trả mức phí cố định là $50$ triệu đồng/năm. Tổng chi phí vận hành hệ thống máy chủ và bảo trì trong một năm (đơn vị: triệu đồng) phụ thuộc vào số lượng doanh nghiệp $x$ ($x \in \mathbb{N}^*$) đang sử dụng và được mô hình hóa bởi hàm số $C(x) = 100\ln x + 200$. Để công ty đạt mức lợi nhuận tối thiểu $5$ tỷ đồng trong một năm, công ty cần có ít nhất bao nhiêu doanh nghiệp sử dụng phần mềm đó?