Nguyên hàm

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số $f$ xác định trên khoảng $K$. Hàm số $F$ được gọi là nguyên hàm của $f$ trên $K$ nếu $F'(x) = f(x)$ với mọi $x \in K$. Họ nguyên hàm: nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$ thì mọi nguyên hàm của $f$ có dạng $F(x) + C$, với $C$ là hằng số.

§2. Tính chất(1)

2.1

Tính chất tuyến tính của nguyên hàm

Với $k$ là hằng số khác $0$:

$\int k \cdot f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx$
$\int [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int f(x)\, dx \pm \int g(x)\, dx$

§3. Công thức(1)

3.1

Bảng nguyên hàm cơ bản

Hàm $f(x)$	Nguyên hàm $F(x)$
$0$	$C$
$x^n$ ($n \neq -1$)	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln \lvert x \rvert + C$
$e^x$	$e^x + C$
$a^x$ ($0 < a \neq 1$)	$\dfrac{a^x}{\ln a} + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\dfrac{1}{\cos^2 x}$	$\tan x + C$
$\dfrac{1}{\sin^2 x}$	$-\cot x + C$

Ghi chú. Lưu ý dấu khi tính nguyên hàm $\sin x$ và $\cos x$ — học sinh hay nhớ ngược.

§4. Phương pháp(1)

4.1

Phương pháp đổi biến số (cơ bản)

Để tính $\int f(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x) \, dx$: Bước 1. Đặt $u = \varphi(x) \Rightarrow du = \varphi'(x) dx$. Bước 2. Biến đổi tích phân thành $\int f(u) \, du$. Bước 3. Tính nguyên hàm theo $u$, thay $u = \varphi(x)$ về biến gốc. Ví dụ: $\int 2x \cdot e^{x^2} \, dx$, đặt $u = x^2$, $du = 2x\, dx \Rightarrow$ tích phân $= \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C$.

Bài tập

1. Forward: cho $f(x) = k\cdot a^x$, chọn $F(x) = \dfrac{k\,a^x}{\ln a} + C$Trắc nghiệm`antiderivative_base_a_exponential`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3 \cdot 10^{x}$ là

A.$3 \cdot 10^{x} + C$

B.$\dfrac{3 \cdot 10^{x}}{\ln 10} + C$

C.$\dfrac{3 \cdot 10^{x}}{x + 1} + C$

D.$3 \cdot 10^{x} \cdot \ln 10 + C$

Câu 2.Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 5 \cdot 2^{x}$ là

A.$5 \cdot 2^{x} + C$

B.$\dfrac{5 \cdot 2^{x}}{\ln 2} + C$

C.$\dfrac{5 \cdot 2^{x}}{x + 1} + C$

D.$5 \cdot 2^{x} \cdot \ln 2 + C$

Câu 3.Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2 \cdot 2^{x}$ là

A.$\dfrac{2 \cdot 2^{x}}{x + 1} + C$

B.$\dfrac{2 \cdot 2^{x}}{\ln 2} + C$

C.$2 \cdot 2^{x} \cdot \ln 2 + C$

D.$2 \cdot 2^{x} + C$

2. Tổng $a^x + \sin x$ (hoặc $+\cos x$) ⇒ $\dfrac{a^x}{\ln a} \mp \cos x$ ($\pm \sin x$) + CTrắc nghiệm`antiderivative_base_a_plus_trig`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3^{x} + \sin x$ là

A.$3^{x} - \cos x + C$

B.$3^{x} \ln 3 - \cos x + C$

C.$\dfrac{3^{x}}{\ln 3} + \cos x + C$

D.$\dfrac{3^{x}}{\ln 3} - \cos x + C$

Câu 5.Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 5^{x} + \sin x$ là

A.$5^{x} - \cos x + C$

B.$\dfrac{5^{x}}{\ln 5} - \cos x + C$

C.$5^{x} \ln 5 - \cos x + C$

D.$\dfrac{5^{x}}{\ln 5} + \cos x + C$

Câu 6.Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 10^{x} + \sin x$ là

A.$10^{x} - \cos x + C$

B.$\dfrac{10^{x}}{\ln 10} - \cos x + C$

C.$10^{x} \ln 10 - \cos x + C$

D.$\dfrac{10^{x}}{\ln 10} + \cos x + C$

3. Reverse: cho $F(x) = \dfrac{k\,a^x}{\ln a} + C$, hỏi $f(x) = F'(x) = k\,a^x$Trắc nghiệm`antiderivative_base_a_reverse_f`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Biết $F(x) = \dfrac{2 \cdot 2^{x}}{\ln 2} + C$ là một họ nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Hàm số $f(x)$ là

A.$f(x) = 2 \cdot 2^{x} \cdot \ln 2$

B.$f(x) = 2 \cdot 2^{x}$

C.$f(x) = \dfrac{2 \cdot 2^{x}}{\ln 2}$

D.$f(x) = \dfrac{2 \cdot 2^{x}}{(\ln 2)^2}$

Câu 8.Biết $F(x) = \dfrac{3 \cdot 5^{x}}{\ln 5} + C$ là một họ nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Hàm số $f(x)$ là

A.$f(x) = \dfrac{3 \cdot 5^{x}}{\ln 5}$

B.$f(x) = 3 \cdot 5^{x} \cdot \ln 5$

C.$f(x) = \dfrac{3 \cdot 5^{x}}{(\ln 5)^2}$

D.$f(x) = 3 \cdot 5^{x}$

Câu 9.Biết $F(x) = \dfrac{5 \cdot 2^{x}}{\ln 2} + C$ là một họ nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Hàm số $f(x)$ là

A.$f(x) = 5 \cdot 2^{x}$

B.$f(x) = \dfrac{5 \cdot 2^{x}}{\ln 2}$

C.$f(x) = \dfrac{5 \cdot 2^{x}}{(\ln 2)^2}$

D.$f(x) = 5 \cdot 2^{x} \cdot \ln 2$

4. Nhận biết nguyên hàm của hàm cơ bản: $\sin, \cos, e^x, 1/x, x^n$Trắc nghiệm`antiderivative_basic_table`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^4$ là:

A.$F(x) = \dfrac{x^5}{5}$

B.$F(x) = -\dfrac{x^5}{5} + C$

C.$F(x) = \dfrac{x^5}{5} + C$

D.$F(x) = x^4 + C$

Câu 11.Nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^x$ là:

A.$F(x) = 0 + C$

B.$F(x) = -e^x + C$

C.$F(x) = e^x$

D.$F(x) = e^x + C$

Câu 12.Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{1}{x}$ là:

A.$F(x) = \ln |x| + C$

B.$F(x) = \dfrac{1}{x} + C$

C.$F(x) = -\ln |x| + C$

D.$F(x) = \ln |x|$

5. Họ nguyên hàm của $f(x)=e^{x} + g(x)$ với $g\in\{\sin x,\ \cos x,\ ax\}$Trắc nghiệm`antiderivative_exp_plus_basic`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 13.Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{x} + \cos x$ là

A.$e^{x} + \cos x + C$

B.$e^{x} + \sin x + C$

C.$e^{x} - \cos x + C$

D.$e^{x} - \sin x + C$

Câu 14.Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{x} + \sin x$ là

A.$e^{x} - \cos x + C$

B.$e^{x} - \sin x + C$

C.$e^{x} + \sin x + C$

D.$e^{x} + \cos x + C$

Câu 15.Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{x} + \cos x$ là

A.$e^{x} - \cos x + C$

B.$e^{x} + \sin x + C$

C.$e^{x} - \sin x + C$

D.$e^{x} + \cos x + C$

6. Nguyên hàm $\int e^{ax}\,dx = \dfrac{1}{a} e^{ax} + C$Trắc nghiệm`antiderivative_exponential`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Tính $\displaystyle\int e^{4x}\,dx$.

A.$e^{4x} + C$

B.$\dfrac{1}{4} e^x + C$

C.$4 e^{4x} + C$

D.$\dfrac{1}{4} e^{4x} + C$

Câu 17.Tính $\displaystyle\int e^{3x}\,dx$.

A.$3 e^{3x} + C$

B.$\dfrac{1}{3} e^x + C$

C.$e^{3x} + C$

D.$\dfrac{1}{3} e^{3x} + C$

Câu 18.Tính $\displaystyle\int e^{4x}\,dx$.

A.$\dfrac{1}{4} e^{4x} + C$

B.$e^{4x} + C$

C.$\dfrac{1}{4} e^x + C$

D.$4 e^{4x} + C$

7. Nguyên hàm hàm hữu tỉ rút gọn thành luỹ thừa phân số: $\dfrac{x + x\sqrt{x}}{x^2}$Trắc nghiệm`antiderivative_fractional_power`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Tìm họ nguyên hàm của hàm số $y = \dfrac{x + 3x\sqrt{x}}{x^2}$ (với $x > 0$).

A.$\ln|x| + 6\sqrt{x} + C$

B.$\ln|x| + 3\sqrt{x} + C$

C.$-\dfrac{1}{x^2} + 6\sqrt{x} + C$

D.$-\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{\sqrt{x}} + C$

Câu 20.Tìm họ nguyên hàm của hàm số $y = \dfrac{x + 3x\sqrt{x}}{x^2}$ (với $x > 0$).

A.$-\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{\sqrt{x}} + C$

B.$-\dfrac{1}{x^2} + 6\sqrt{x} + C$

C.$\ln|x| + 6\sqrt{x} + C$

D.$\ln|x| + 3\sqrt{x} + C$

Câu 21.Tìm họ nguyên hàm của hàm số $y = \dfrac{x + 3x\sqrt{x}}{x^2}$ (với $x > 0$).

A.$\ln|x| + 6\sqrt{x} + C$

B.$-\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{\sqrt{x}} + C$

C.$\ln|x| + 3\sqrt{x} + C$

D.$-\dfrac{1}{x^2} + 6\sqrt{x} + C$

8. Đọc đồ thị $f(x)=a(x^2-p^2)$ (parabol cắt $Ox$ tại $-p,\,p$) để suy ra sự biến thiên của một nguyên hàm $F$ (vì $F'=f$)Trắc nghiệm`antiderivative_from_graph_of_f`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 22.Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG về sự biến thiên của $F(x)$?

Đồ thị parabol y=f(x) cắt Ox tại hai điểm

A.$F(x)$ đồng biến trên $(-\infty;-1)$ và $(1;+\infty)$, nghịch biến trên $(-1;1)$

B.$F(x)$ đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$

C.$F(x)$ nghịch biến trên $(-\infty;-1)$ và $(1;+\infty)$, đồng biến trên $(-1;1)$

D.$F(x)$ đạt cực trị tại $x=0$, đồng biến trên $(-\infty;0)$ và nghịch biến trên $(0;+\infty)$

Câu 23.Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG về sự biến thiên của $F(x)$?

Đồ thị parabol y=f(x) cắt Ox tại hai điểm

A.$F(x)$ nghịch biến trên $(-\infty;-1)$ và $(1;+\infty)$, đồng biến trên $(-1;1)$

B.$F(x)$ đạt cực trị tại $x=0$, đồng biến trên $(-\infty;0)$ và nghịch biến trên $(0;+\infty)$

C.$F(x)$ đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$

D.$F(x)$ đồng biến trên $(-\infty;-1)$ và $(1;+\infty)$, nghịch biến trên $(-1;1)$

Câu 24.Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG về sự biến thiên của $F(x)$?

Đồ thị parabol y=f(x) cắt Ox tại hai điểm

A.$F(x)$ nghịch biến trên $(-\infty;-1)$ và $(1;+\infty)$, đồng biến trên $(-1;1)$

B.$F(x)$ đồng biến trên $(-\infty;-1)$ và $(1;+\infty)$, nghịch biến trên $(-1;1)$

C.$F(x)$ đạt cực trị tại $x=0$, đồng biến trên $(-\infty;0)$ và nghịch biến trên $(0;+\infty)$

D.$F(x)$ đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$

9. Khẳng định đúng cho $\int\left(\sin\dfrac{x}{2}\mp\cos\dfrac{x}{2}\right)^2 dx$Trắc nghiệm`antiderivative_half_angle_square`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 25.Cho hàm số $f(x) = \left(\sin\dfrac{x}{2}-\cos\dfrac{x}{2}\right)^{2}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.$\int f(x)\,dx = x + \cos x + C$

B.$\int f(x)\,dx = x - \sin x + C$

C.$\int f(x)\,dx = -x - \cos x + C$

D.$\int f(x)\,dx = x - \cos x + C$

Câu 26.Cho hàm số $f(x) = \left(\sin\dfrac{x}{2}+\cos\dfrac{x}{2}\right)^{2}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.$\int f(x)\,dx = x - \cos x + C$

B.$\int f(x)\,dx = x - \sin x + C$

C.$\int f(x)\,dx = -x + \cos x + C$

D.$\int f(x)\,dx = x + \cos x + C$

Câu 27.Cho hàm số $f(x) = \left(\sin\dfrac{x}{2}+\cos\dfrac{x}{2}\right)^{2}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.$\int f(x)\,dx = -x + \cos x + C$

B.$\int f(x)\,dx = x + \cos x + C$

C.$\int f(x)\,dx = x - \sin x + C$

D.$\int f(x)\,dx = x - \cos x + C$

10. Khẳng định nào đúng: $\int (ax+b)\,dx = \dfrac{a}{2}x^2 + bx + C$Trắc nghiệm`antiderivative_linear_assertion`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 28.Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.$\int (2x - 2)\,dx = 2x^2 - 2x + C.$

B.$\int (2x - 2)\,dx = 4x^2 - 2x + C.$

C.$\int (2x - 2)\,dx = x^2 - 2x + C.$

D.$\int (2x - 2)\,dx = x^2 + 2x + C.$

Câu 29.Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.$\int (x - 3)\,dx = \dfrac{1}{2}x^2 - 3x + C.$

B.$\int (x - 3)\,dx = \dfrac{1}{2}x^2 + 3x + C.$

C.$\int (x - 3)\,dx = 2x^2 - 3x + C.$

D.$\int (x - 3)\,dx = x^2 - 3x + C.$

Câu 30.Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.$\int (3x + 5)\,dx = \dfrac{3}{2}x^2 - 5x + C.$

B.$\int (3x + 5)\,dx = \dfrac{3}{2}x^2 + 5x + C.$

C.$\int (3x + 5)\,dx = 3x^2 + 5x + C.$

D.$\int (3x + 5)\,dx = 6x^2 + 5x + C.$

11. Tìm $F(x)$ nguyên hàm của $f(x)=ax+b$ thoả $F(x_0)=y_0$ ⇒ xác định hằng sốTrắc nghiệm`antiderivative_linear_initial_condition`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 6x + 1$ biết $F(3) = 6$.

A.$F(x) = 3x^2 + x - 24$

B.$F(x) = 3x^2 + x + 24$

C.$F(x) = 3x^2 + x$

D.$F(x) = 3x^2 - x$

Câu 32.Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 2x + 2$ biết $F(3) = 3$.

A.$F(x) = x^2 - 2x$

B.$F(x) = x^2 + 2x$

C.$F(x) = x^2 + 2x - 12$

D.$F(x) = x^2 + 2x + 12$

Câu 33.Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 6x - 3$ biết $F(2) = -5$.

A.$F(x) = 3x^2 - 3x$

B.$F(x) = 3x^2 - 3x + 11$

C.$F(x) = 3x^2 + 3x$

D.$F(x) = 3x^2 - 3x - 11$

12. Nguyên hàm dạng $\int (ax + b)^n dx = \dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$Trắc nghiệm`antiderivative_linear_inside`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 34.Tìm $\int (2x - 3)^3\,dx$.

A.$(2x - 3)^{4} + C$

B.$\dfrac{(2x - 3)^{3}}{6} + C$

C.$\dfrac{(2x - 3)^{4}}{4} + C$

D.$\dfrac{(2x - 3)^{4}}{8} + C$

Câu 35.Tìm $\int (3x + 4)^3\,dx$.

A.$\dfrac{(3x + 4)^{3}}{9} + C$

B.$\dfrac{(3x + 4)^{4}}{4} + C$

C.$(3x + 4)^{4} + C$

D.$\dfrac{(3x + 4)^{4}}{12} + C$

Câu 36.Tìm $\int (5x + 6)^3\,dx$.

A.$(5x + 6)^{4} + C$

B.$\dfrac{(5x + 6)^{4}}{20} + C$

C.$\dfrac{(5x + 6)^{3}}{15} + C$

D.$\dfrac{(5x + 6)^{4}}{4} + C$

13. Họ tất cả các nguyên hàm của $f(x) = ax + b$ ⇒ $\dfrac{a}{2}x^2 + bx + C$Trắc nghiệm`antiderivative_linear_poly_family`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 37.Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4x + 6$ là

A.$2x^2 - 6x + C$

B.$2x^2 + 6x + C$

C.$2x^2 + C$

D.$4x^2 + 6x + C$

Câu 38.Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2x - 3$ là

A.$x^2 + 3x + C$

B.$x^2 + C$

C.$2x^2 - 3x + C$

D.$x^2 - 3x + C$

Câu 39.Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = 10x + 4$ là

A.$5x^2 + C$

B.$5x^2 - 4x + C$

C.$5x^2 + 4x + C$

D.$10x^2 + 4x + C$

14. Nguyên hàm của một HẰNG SỐ được kí hiệu bằng chữ ($e$, $\pi$, $a$...)Trắc nghiệm`antiderivative_named_constant`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 40.Cho $a$ là một hằng số (tham số). Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.$\int a\,dx = \dfrac{a^2}{2} + C$

B.$\int a\,dx = a^x + C$

C.$\int a\,dx = a + C$

D.$\int a\,dx = ax + C$

Câu 41.Cho $e$ là một hằng số (Euler). Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.$\int e\,dx = e + C$

B.$\int e\,dx = \dfrac{e^2}{2} + C$

C.$\int e\,dx = ex + C$

D.$\int e\,dx = e^x + C$

Câu 42.Cho $e$ là một hằng số (Euler). Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.$\int e\,dx = e^x + C$

B.$\int e\,dx = e + C$

C.$\int e\,dx = ex + C$

D.$\int e\,dx = \dfrac{e^2}{2} + C$

15. Nguyên hàm $\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$Trắc nghiệm`antiderivative_one_over_x`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 43.Tính $\displaystyle\int \dfrac{3}{x}\,dx$.

A.$3\ln|x| + C$

B.$\ln x + C$

C.$\dfrac{1}{x^2} + C$

D.$-\dfrac{1}{x^2} + C$

Câu 44.Tính $\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx$.

A.$\ln|x| + C$

B.$-\dfrac{1}{x^2} + C$

C.$\ln x + C$

D.$\dfrac{1}{x^2} + C$

Câu 45.Tính $\displaystyle\int \dfrac{2}{x}\,dx$.

A.$-\dfrac{1}{x^2} + C$

B.$2\ln|x| + C$

C.$\dfrac{1}{x^2} + C$

D.$\ln x + C$

16. Họ nguyên hàm của tổng/hiệu sin & cosTrắc nghiệm`antiderivative_pair_basic_trig`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 46.Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \cos x - \sin x$ là

A.$\sin x + \cos x + C$

B.$\sin x - \cos x + C$

C.$-\sin x - \cos x + C$

D.$-\sin x + \cos x + C$

Câu 47.Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \cos x + \sin x$ là

A.$\sin x - \cos x + C$

B.$\sin x + \cos x + C$

C.$-\sin x - \cos x + C$

D.$-\sin x + \cos x + C$

Câu 48.Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin x + \cos x$ là

A.$\cos x + \sin x + C$

B.$-\cos x + \sin x + C$

C.$\cos x - \sin x + C$

D.$-\cos x - \sin x + C$

17. Tính cộng dồn $F(x_b)$ khi $f$ cho theo từng khúc, $f$ và $F$ liên tục tại điểm nốiTrắc nghiệm`antiderivative_piecewise_additivity`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 49.Cho hàm số $f(x)=\begin{cases} 2 & \text{khi } x\le 2 \\ 2x - 2 & \text{khi } x> 2 \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thoả mãn $F(0)=-2$. Tính $F(4)$.

A.$F(4) = 10$

B.$F(4) = 2$

C.$F(4) = 6$

D.$F(4) = 11$

Câu 50.Cho hàm số $f(x)=\begin{cases} 4 & \text{khi } x\le 2 \\ 2x & \text{khi } x> 2 \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thoả mãn $F(0)=-5$. Tính $F(4)$.

A.$F(4) = 11$

B.$F(4) = 15$

C.$F(4) = 7$

D.$F(4) = 16$

Câu 51.Cho hàm số $f(x)=\begin{cases} 1 & \text{khi } x\le 2 \\ 2x - 3 & \text{khi } x> 2 \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thoả mãn $F(0)=1$. Tính $F(4)$.

A.$F(4) = 1$

B.$F(4) = 9$

C.$F(4) = 5$

D.$F(4) = 10$

18. Họ nguyên hàm của $f(x)=c\,x^{k} + e^{x} + d$ ⇒ $\dfrac{c}{k+1}x^{k+1}+e^{x}+dx+C$Trắc nghiệm`antiderivative_poly_exp_const_sum`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 52.Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4x^{3} + e^{x} - 5$ là

A.$x^{4} + e^{x} - 5x + C$

B.$\dfrac{1}{4}x^{4} + e^{x} - 5x + C$

C.$x^{4} + e^{x} + C$

D.$4x^{4} + e^{x} - 5x + C$

Câu 53.Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = 8x^{3} + e^{x} - 3$ là

A.$2x^{4} + e^{x} - 3x + C$

B.$\dfrac{1}{4}x^{4} + e^{x} - 3x + C$

C.$2x^{4} + e^{x} + C$

D.$8x^{4} + e^{x} - 3x + C$

Câu 54.Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4x^{3} + e^{x} + 5$ là

A.$4x^{4} + e^{x} + 5x + C$

B.$x^{4} + e^{x} + 5x + C$

C.$\dfrac{1}{4}x^{4} + e^{x} + 5x + C$

D.$x^{4} + e^{x} + C$

19. $F=(ax^2+bx+c)e^{x}$ nguyên hàm của $(px^2+qx+r)e^{x}$; tính $\alpha a+\beta b+\gamma c$Trắc nghiệm`antiderivative_poly_exp_linear_combo`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 55.Biết $F(x) = \left(ax^2 + bx + c\right)e^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left(2x^2 + 8x + 3\right)e^{x}$ (với $a$, $b$, $c$ là các số thực). Giá trị của $a + 3b - c$ bằng

A.$-15$

B.$15$

C.$23$

D.$9$

Câu 56.Biết $F(x) = \left(ax^2 + bx + c\right)e^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left(3x^2 + 5x - 2\right)e^{x}$ (với $a$, $b$, $c$ là các số thực). Giá trị của $-a + 2b + 2c$ bằng

A.$3$

B.$5$

C.$7$

D.$-7$

Câu 57.Biết $F(x) = \left(ax^2 + bx + c\right)e^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left(x^2 + x - 2\right)e^{x}$ (với $a$, $b$, $c$ là các số thực). Giá trị của $-2a - b - 3c$ bằng

A.$3$

B.$0$

C.$-2$

D.$2$

20. Khớp hệ số $F = (ax^2+bx+c)e^{x}$ với $f=(px^2+qx+r)e^{x}$, tính $\alpha a+\beta b+\gamma c$Trắc nghiệm`antiderivative_poly_exp_linear_expr`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 58.Biết $F(x) = (ax^2 + bx + c)e^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left(4x^2 + 4x - 5\right)e^{x}$. Tính $T = 3a + 3b - 3c$.

A.$-3$

B.$-27$

C.$3$

D.$39$

Câu 59.Biết $F(x) = (ax^2 + bx + c)e^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left(4x^2 + 7x + 1\right)e^{x}$. Tính $T = -3a - 3b - 3c$.

A.$-15$

B.$-36$

C.$15$

D.$5$

Câu 60.Biết $F(x) = (ax^2 + bx + c)e^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left(4x^2 + 9x - 2\right)e^{x}$. Tính $T = 2a + 2b - 3c$.

A.$-19$

B.$19$

C.$32$

D.$-16$

21. Reverse: cho $F=(ax^2+bx+c)e^{x}$, chọn $f = F' = (ax^2+(2a+b)x+(b+c))e^{x}$Trắc nghiệm`antiderivative_poly_exp_reverse_derivative`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 61.Cho hàm số $F(x) = \left(x^2 + 4x + 6\right)e^{x}$. Hàm số $f(x) = F'(x)$ là

A.$f(x) = \left(x^2 + 4x + 6\right)e^{x}$

B.$f(x) = \left(x^2 + 2x + 10\right)e^{x}$

C.$f(x) = \left(x^2 + 6x + 10\right)e^{x}$

D.$f(x) = \left(2x + 4\right)e^{x}$

Câu 62.Cho hàm số $F(x) = \left(x^2 + 2x - 5\right)e^{2x}$. Hàm số $f(x) = F'(x)$ là

A.$f(x) = \left(2x^2 + 2x - 8\right)e^{2x}$

B.$f(x) = \left(x^2 + 4x - 3\right)e^{2x}$

C.$f(x) = \left(2x^2 + 4x - 10\right)e^{2x}$

D.$f(x) = \left(2x^2 + 6x - 8\right)e^{2x}$

Câu 63.Cho hàm số $F(x) = \left(3x^2 - x - 2\right)e^{x}$. Hàm số $f(x) = F'(x)$ là

A.$f(x) = \left(3x^2 - 7x - 3\right)e^{x}$

B.$f(x) = \left(6x - 1\right)e^{x}$

C.$f(x) = \left(3x^2 + 5x - 3\right)e^{x}$

D.$f(x) = \left(3x^2 - x - 2\right)e^{x}$

22. Forward rút gọn: hỏi 1 hệ số ($a$) hoặc $a+b+c$ của $F=(ax^2+bx+c)e^{x}$Trắc nghiệm`antiderivative_poly_exp_single_coeff`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 64.Biết $F(x) = (ax^2 + bx + c)e^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left(4x^2 + 4x - 2\right)e^{x}$. Giá trị của $b$ bằng

A.$4$

B.$-4$

C.$2$

D.$-3$

Câu 65.Biết $F(x) = (ax^2 + bx + c)e^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left(2x^2 + 4x + 3\right)e^{x}$. Giá trị của $c$ bằng

A.$0$

B.$2$

C.$3$

D.$4$

Câu 66.Biết $F(x) = (ax^2 + bx + c)e^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left(2x^2 + 10x + 1\right)e^{x}$. Giá trị của $a$ bằng

A.$2$

B.$-5$

C.$6$

D.$3$

23. Họ nguyên hàm của $f(x) = ax + e^x$ (đa thức bậc nhất cộng hàm mũ $e^x$)Trắc nghiệm`antiderivative_poly_plus_exp`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 67.Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3 x + e^{x}$ là

A.$3 x^{2} + e^{x} + C$

B.$\dfrac{3 x^{2}}{2} + e^x \ln x + C$

C.$\dfrac{3 x^{2}}{2} + e^{x} + C$

D.$e^{x} + 3 + C$

Câu 68.Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = 8 x + e^{x}$ là

A.$8 x^{2} + e^{x} + C$

B.$e^{x} + 8 + C$

C.$4 x^{2} + e^x \ln x + C$

D.$4 x^{2} + e^{x} + C$

Câu 69.Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2 x + e^{x}$ là

A.$x^{2} + e^x \ln x + C$

B.$x^{2} + e^{x} + C$

C.$2 x^{2} + e^{x} + C$

D.$e^{x} + 2 + C$

24. Họ nguyên hàm của $f(x)=p\,x^{k} + q\,\{\sin/\cos\}x$ (đa thức + lượng giác)Trắc nghiệm`antiderivative_poly_plus_trig`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 70.Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^{2} + 3\sin x$ là

A.$3x^{3} - 3\cos x + C$

B.$x^{3} + 3\cos x + C$

C.$x^{3} - 3\cos x + C$

D.$3x^{3} + 3\cos x + C$

Câu 71.Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4x^{3} + \cos x$ là

A.$x^{4} - \sin x + C$

B.$x^{4} + \sin x + C$

C.$4x^{4} - \sin x + C$

D.$4x^{4} + \sin x + C$

Câu 72.Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^{2} + \cos x$ là

A.$x^{3} + \sin x + C$

B.$3x^{3} + \sin x + C$

C.$3x^{3} - \sin x + C$

D.$x^{3} - \sin x + C$

25. Họ nguyên hàm của $f(x)=x^{n}$ ⇒ $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (n lớn)Trắc nghiệm`antiderivative_power_high_exponent`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 73.Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^{2027}$ trên $\mathbb{R}$ là

A.$\dfrac{x^{2028}}{2028} + C$

B.$2027x^{2028} + C$

C.$2028x^{2028} + C$

D.$\dfrac{x^{2028}}{2027} + C$

Câu 74.Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^{2025}$ trên $\mathbb{R}$ là

A.$2025x^{2026} + C$

B.$2026x^{2026} + C$

C.$\dfrac{x^{2026}}{2025} + C$

D.$\dfrac{x^{2026}}{2026} + C$

Câu 75.Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^{100}$ trên $\mathbb{R}$ là

A.$101x^{101} + C$

B.$\dfrac{x^{101}}{100} + C$

C.$100x^{101} + C$

D.$\dfrac{x^{101}}{101} + C$

26. Tích $a^x\cdot b^x = (ab)^x$ rồi $\int (ab)^x dx = \dfrac{(ab)^x}{\ln(ab)} + C$Trắc nghiệm`antiderivative_product_exp_bases`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 76.Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3^{x} \cdot 5^{x}$ là

A.$15^{x} \cdot \ln 15 + C$

B.$\dfrac{3^{x} \cdot 5^{x}}{\ln 3 \cdot \ln 5} + C$

C.$\dfrac{15^{x}}{\ln 15} + C$

D.$15^{x} + C$

Câu 77.Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x} \cdot 3^{x}$ là

A.$6^{x} + C$

B.$\dfrac{6^{x}}{\ln 6} + C$

C.$\dfrac{2^{x} \cdot 3^{x}}{\ln 2 \cdot \ln 3} + C$

D.$6^{x} \cdot \ln 6 + C$

Câu 78.Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3^{x} \cdot 5^{x}$ là

A.$\dfrac{15^{x}}{\ln 15} + C$

B.$15^{x} + C$

C.$15^{x} \cdot \ln 15 + C$

D.$\dfrac{3^{x} \cdot 5^{x}}{\ln 3 \cdot \ln 5} + C$

27. Tìm họ nguyên hàm của $f(x) = ax^2 + bx + c$Trắc nghiệm`antiderivative_quadratic`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 79.Tìm họ nguyên hàm của $f(x) = 5 x^{2} - 6 x + 6$.

A.$F(x) = \dfrac{5 x^{3}}{3} - 3 x^{2} + 6 x + 1 + C$

B.$F(x) = 10 x - 6 + C$

C.$F(x) = \dfrac{5 x^{3}}{3} - 3 x^{2} + 6 x + C$

D.$F(x) = 5 x^{2} - 6 x + 6 + C$

Câu 80.Tìm họ nguyên hàm của $f(x) = - 5 x^{2} - 7 x - 7$.

A.$F(x) = - \dfrac{5 x^{3}}{3} - \dfrac{7 x^{2}}{2} - 7 x + C$

B.$F(x) = - 5 x^{2} - 7 x - 7 + C$

C.$F(x) = - \dfrac{5 x^{3}}{3} - \dfrac{7 x^{2}}{2} - 7 x + 1 + C$

D.$F(x) = - 10 x - 7 + C$

Câu 81.Tìm họ nguyên hàm của $f(x) = - 3 x^{2} + 6 x + 7$.

A.$F(x) = 6 - 6 x + C$

B.$F(x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 7 x + 1 + C$

C.$F(x) = - 3 x^{2} + 6 x + 7 + C$

D.$F(x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 7 x + C$

28. Nguyên hàm cần đổi biến $u=x^2+bx+c$ kèm điều kiện đầu rồi tính $F$ tại một điểmTrắc nghiệm`antiderivative_substitution_initial_condition`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 82.Cho hàm số $f(x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 21 x - 18$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thoả mãn $F(0) = -1$. Tính $F(-2)$.

A.$F(-2) = -1$

B.$F(-2) = 237$

C.$F(-2) = 109$

D.$F(-2) = 128$

Câu 83.Cho hàm số $f(x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 4$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thoả mãn $F(1) = 2$. Tính $F(-2)$.

A.$F(-2) = 3$

B.$F(-2) = 20$

C.$F(-2) = 18$

D.$F(-2) = 2$

Câu 84.Cho hàm số $f(x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thoả mãn $F(-1) = 8$. Tính $F(1)$.

A.$F(1) = 8$

B.$F(1) = 4$

C.$F(1) = 14$

D.$F(1) = 2$

29. Nguyên hàm $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$, $\int \cos x\,dx = \sin x + C$Trắc nghiệm`antiderivative_trig`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 85.Tính $\displaystyle\int \cos(2x)\,dx$.

A.$-\cos x + C$

B.$-\dfrac{1}{2}\cos(2x) + C$

C.$\dfrac{1}{2}\sin(2x) + C$

D.$\sin x + C$

Câu 86.Tính $\displaystyle\int \cos x\,dx$.

A.$\dfrac{1}{2}\sin(2x) + C$

B.$\sin x + C$

C.$-\dfrac{1}{2}\cos(2x) + C$

D.$-\cos x + C$

Câu 87.Tính $\displaystyle\int \cos(2x)\,dx$.

A.$-\dfrac{1}{2}\cos(2x) + C$

B.$\sin x + C$

C.$\dfrac{1}{2}\sin(2x) + C$

D.$-\cos x + C$

30. $F$ là nguyên hàm của $f\in\{\sin x,\cos x\}$ thoả $F(x_0)=y_0$ ⇒ tìm $F(x)$Trắc nghiệm`antiderivative_trig_initial_condition`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 88.Biết rằng $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \cos x$ trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn $F(0) = 4$. Phát biểu nào dưới đây đúng?

A.$F(x) = \sin x + 4$

B.$F(x) = -\sin x + 4$

C.$F(x) = \sin x + 3$

D.$F(x) = \sin x$

Câu 89.Biết rằng $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin x$ trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn $F(0) = 5$. Phát biểu nào dưới đây đúng?

A.$F(x) = -\cos x$

B.$F(x) = -\cos x + 6$

C.$F(x) = -\cos x + 5$

D.$F(x) = \cos x + 6$

Câu 90.Biết rằng $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \cos x$ trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn $F(0) = 9$. Phát biểu nào dưới đây đúng?

A.$F(x) = \sin x + 9$

B.$F(x) = \sin x$

C.$F(x) = -\sin x + 9$

D.$F(x) = \sin x + 8$

31. Tìm nguyên hàm của $f(x) = k\sin x$ ⇒ $F(x) = -k\cos x + C$ (k = 1..5)Trắc nghiệm`antiderivative_two_times_sin_x`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 91.Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4\sin x$.

A.$-4\cos x$

B.$4\cos x + C$

C.$4\sin x + C$

D.$-4\cos x + C$

Câu 92.Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3\sin x$.

A.$3\cos x + C$

B.$-3\cos x$

C.$-3\cos x + C$

D.$3\sin x + C$

Câu 93.Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2\sin x$.

A.$2\sin x + C$

B.$2\cos x + C$

C.$-2\cos x$

D.$-2\cos x + C$

32. Tìm $F(x)$ là nguyên hàm của $f$ thoả $F(x_0) = y_0$ — xác định $C$Trắc nghiệm`antiderivative_with_initial_condition`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 94.Tìm hàm số $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x) = - 3 x^{2} - 5$ thoả mãn $F(3) = 2$.

A.$F(x) = - x^{3} - 5 x + 44$

B.$F(x) = - x^{3} - 5 x + 45$

C.$F(x) = - x^{3} - 5 x + 43$

D.$F(x) = x^{3} + 5 x - 44$

Câu 95.Tìm hàm số $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x) = 3 x^{2} - 2$ thoả mãn $F(2) = 6$.

A.$F(x) = x^{3} - 2 x + 2$

B.$F(x) = - x^{3} + 2 x - 2$

C.$F(x) = x^{3} - 2 x + 3$

D.$F(x) = x^{3} - 2 x + 1$

Câu 96.Tìm hàm số $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x) = 3 x^{2} + 3$ thoả mãn $F(1) = -8$.

A.$F(x) = x^{3} + 3 x - 12$

B.$F(x) = - x^{3} - 3 x + 12$

C.$F(x) = x^{3} + 3 x - 11$

D.$F(x) = x^{3} + 3 x - 13$

33. Cho hàm $f(x)$ là hàm cơ bản cụ thể (vd $\sin x$, $1/x$, $e^{kx}$); xét đúng/sai các nguyên hàm tương ứngĐúng / Sai`anti_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 97.Cho hàm số $f(x) = e^x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ với $n \neq -1$.

b)Hai nguyên hàm khác nhau bởi một hằng số.

c)Một nguyên hàm của $f(x) = e^x$ là $e^x + C$.

d)$\int (f \cdot g)\,dx = \int f\,dx \cdot \int g\,dx$.

Câu 98.Cho hàm số $f(x) = e^x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Mọi hàm liên tục đều có nguyên hàm.

b)$\int 0\,dx = C$.

c)Một nguyên hàm của $f(x) = e^x$ là $e^x + C$.

d)Một nguyên hàm của $f(x) = e^x$ là $x e^{x-1} + C$.

Câu 99.Cho hàm số $f(x) = e^x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\int 0\,dx = C$.

b)$\int (f \cdot g)\,dx = \int f\,dx \cdot \int g\,dx$.

c)Một nguyên hàm của $f(x) = e^x$ là $x e^{x-1} + C$.

d)Hai nguyên hàm khác nhau bởi một hằng số.

34. TF tổng hợp: $f(x)=ax^2+bx+c$, nguyên hàm $F$ thỏa $\lambda_1 F(x_1)+\lambda_2 F(x_2)=S$Đúng / Sai`antideriv_quad_volume_area_bisect_tf`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 100.Cho hàm số $f(x)=x^{2} - 4 x + 3$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và thỏa mãn $F(0) + F(2)=5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=1$, $x=3$ quay xung quanh trục hoành bằng $\dfrac{2}{9}\pi$.

b)$F'(2024)=f(2024)$.

c)$F(4)=500$.

d)Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=1$, $x=3$. Đường thẳng $x=k$, $k\in(1; 3)$ chia hình phẳng $D$ thành hai phần có diện tích bằng nhau. Khi đó $k>2$.

Câu 101.Cho hàm số $f(x)=x^{2} - 5 x + 6$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và thỏa mãn $F(0) + 2F(1)=4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=2$, $x=4$ quay xung quanh trục hoành bằng $\dfrac{3}{5}\pi$.

b)$F'(2025)=f(2025)$.

c)$F(6)=1000$.

d)Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=2$, $x=3$. Đường thẳng $x=k$, $k\in(2; 3)$ chia hình phẳng $D$ thành hai phần có diện tích bằng nhau. Khi đó $k>\dfrac{5}{2}$.

Câu 102.Cho hàm số $f(x)=x^{2} - 3 x + 2$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và thỏa mãn $F(-1) + 3F(2)=8$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=1$, $x=3$ quay xung quanh trục hoành bằng $\dfrac{7}{15}\pi$.

b)$F'(2026)=f(2026)$.

c)$F(5)=2026$.

d)Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=1$, $x=2$. Đường thẳng $x=k$, $k\in(1; 2)$ chia hình phẳng $D$ thành hai phần có diện tích bằng nhau. Khi đó $k>\dfrac{4}{3}$.

35. Cho hàm $f(x) = 3x^2 - 2x + b$ cụ thể — xét đúng/sai về nguyên hàm $F(x)$, giá trị $F(0), F(1)$ với điều kiện $F(x_0) = y_0$Đúng / Sai`antiderivative_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 103.Cho hàm số $f(x) = 3x^2 - 2x - 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Một nguyên hàm của $f$ là $F(x) = x^3 - x^2 - x + C$.

b)$\int (3x^2 - 2x - 1)\,dx = x^3 - x^2 - x + C$.

c)Một nguyên hàm của $f$ là $F(x) = x^2 - x^2 - x + C$.

d)Nếu $F(0) = 1$ thì $C = 1$, do đó $F(x) = x^3 - x^2 - x + 1$.

Câu 104.Cho hàm số $f(x) = 3x^2 - 2x + 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khi đó $F(1) = 3$.

b)Nếu $F(0) = 1$ thì $C = 1$, do đó $F(x) = x^3 - x^2 + 2x + 1$.

c)Hai nguyên hàm bất kỳ của $f$ chỉ khác nhau bởi một hằng số.

d)Một nguyên hàm của $f$ là $F(x) = x^2 - x^2 + 2x + C$.

Câu 105.Cho hàm số $f(x) = 3x^2 - 2x - 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Nếu $F(0) = 1$ thì $C = 1$, do đó $F(x) = x^3 - x^2 - 2x + 1$.

b)Khi đó $F(1) = -1$.

c)Nguyên hàm của hàm $0$ là $0$.

d)Một nguyên hàm của $f$ là $F(x) = x^2 - x^2 - 2x + C$.

36. Bẫy miền xác định của $\int \dfrac{k}{x}\,dx$ trên $D=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$Đúng / Sai`antiderivative_ln_abs_domain_trap`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 106.Cho hàm số $f(x)=\dfrac{2}{x}$ xác định trên $D=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Vì $(2\ln x)'=\dfrac{2}{x}$ nên $2\ln x$ là một nguyên hàm của $f$ trên $D$.

b)Mọi nguyên hàm của $f$ trên $D$ đều có dạng $2\ln|x|+C$ với cùng MỘT hằng số $C$.

c)Nguyên hàm của $f$ là $\dfrac{1}{x^2}+C$.

d)Hàm $H(x)=2\ln|x|+3$ (với mọi $x\in D$) cũng là một nguyên hàm của $f$.

Câu 107.Cho hàm số $f(x)=\dfrac{2}{x}$ xác định trên $D=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Mọi nguyên hàm của $f$ trên $D$ đều có dạng $2\ln|x|+C$ với cùng MỘT hằng số $C$.

b)Vì $(2\ln x)'=\dfrac{2}{x}$ nên $2\ln x$ là một nguyên hàm của $f$ trên $D$.

c)Nguyên hàm của $f$ là $\dfrac{1}{x^2}+C$.

d)Hàm $H(x)=2\ln|x|+3$ (với mọi $x\in D$) cũng là một nguyên hàm của $f$.

Câu 108.Cho hàm số $f(x)=\dfrac{1}{x}$ xác định trên $D=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Trên RIÊNG khoảng $(0;+\infty)$, hai nguyên hàm bất kỳ của $f$ sai khác nhau một hằng số.

b)Hàm $F(x)=\ln|x|$ là một nguyên hàm của $f$ trên mỗi khoảng của $D$.

c)Vì $(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ nên $\ln x$ là một nguyên hàm của $f$ trên $D$.

d)Hàm $H(x)=\ln|x|+3$ (với mọi $x\in D$) cũng là một nguyên hàm của $f$.

37. Đảo ngược tham số: tìm $m$ để $F$ là một nguyên hàm của $f$Trả lời ngắn`antiderivative_find_param_m`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 109.Biết hàm số $F(x)=(2x + 4)e^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=(2x + m)e^{x}$. Tìm $m$.

Câu 110.Biết hàm số $F(x)=x^{3} + m x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=3x^{2} - 9$. Tìm $m$.

Câu 111.Biết hàm số $F(x)=x^{3} + m x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=3x^{2} - 4$. Tìm $m$.

38. Cho $f(x) = ax^n + b$ và $F(0) = 0$Trả lời ngắn`antiderivative_polynomial_value`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 112.Cho $f(x) = 5x - 4$ và $F(x)$ là nguyên hàm với $F(0) = 0$. Tính $F(-3)$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 113.Cho $f(x) = 3x^3 - 2$ và $F(x)$ là nguyên hàm với $F(0) = 0$. Tính $F(-3)$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 114.Cho $f(x) = -2x^3 - 1$ và $F(x)$ là nguyên hàm với $F(0) = 0$. Tính $F(-3)$. (Làm tròn đến hàng đơn vị)

39. Cho $f(x) = a \sin x + b \cos x$ và $F(0) = 0$Trả lời ngắn`antiderivative_trig_value`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 115.Cho $f(x) = 5\sin x - 5\cos x$ và $F(x)$ là nguyên hàm với $F(0) = 0$. Tính $F(\pi/2)$.

Câu 116.Cho $f(x) = -2\sin x + 3\cos x$ và $F(x)$ là nguyên hàm với $F(0) = 0$. Tính $F(\pi/2)$.

Câu 117.Cho $f(x) = -4\sin x - 3\cos x$ và $F(x)$ là nguyên hàm với $F(0) = 0$. Tính $F(\pi/2)$.

40. Ứng dụng chuyển động: từ vận tốc $v(t) = at + b$ tìm vị trí / quãng đườngTrả lời ngắn`antiderivative_velocity_displacement`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 118.Một vật chuyển động thẳng có vận tốc $v(t) = 2t + 3$ (m/s), với $t$ tính bằng giây. Tại thời điểm $t = 2$ s vật ở vị trí $s = 5$ m. Tính vị trí của vật tại $t = 7$ s (m).

Câu 119.Một vật chuyển động thẳng có vận tốc $v(t) = 4t + 2$ (m/s), với $t$ tính bằng giây. Tại thời điểm $t = 2$ s vật ở vị trí $s = 3$ m. Tính vị trí của vật tại $t = 8$ s (m).

Câu 120.Một vật chuyển động thẳng có vận tốc $v(t) = 4t + 9$ (m/s), với $t$ tính bằng giây. Tại thời điểm $t = 0$ s vật ở vị trí $s = 3$ m. Tính quãng đường vật đi được tại $t = 3$ s (m).

41. Tìm hằng số $C$ để $F(x_0) = y_0$Trả lời ngắn`find_C_for_initial`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 121.Hàm số $F(x) = \int (x^2 + 3)\,dx$ thoả mãn $F(-2) = 1$. Tìm hằng số tích phân $C$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 122.Hàm số $F(x) = \int (x^2 + 1)\,dx$ thoả mãn $F(3) = 7$. Tìm hằng số tích phân $C$.

Câu 123.Hàm số $F(x) = \int (x^2 - 2)\,dx$ thoả mãn $F(3) = 5$. Tìm hằng số tích phân $C$.

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Tính chất(1)

§3. Công thức(1)

§4. Phương pháp(1)

Bài tập

1. Forward: cho $f(x) = k\cdot a^x$, chọn $F(x) = \dfrac{k\,a^x}{\ln a} + C$Trắc nghiệmantiderivative_base_a_exponential(3 câu)

2. Tổng $a^x + \sin x$ (hoặc $+\cos x$) ⇒ $\dfrac{a^x}{\ln a} \mp \cos x$ ($\pm \sin x$) + CTrắc nghiệmantiderivative_base_a_plus_trig(3 câu)

3. Reverse: cho $F(x) = \dfrac{k\,a^x}{\ln a} + C$, hỏi $f(x) = F'(x) = k\,a^x$Trắc nghiệmantiderivative_base_a_reverse_f(3 câu)

4. Nhận biết nguyên hàm của hàm cơ bản: $\sin, \cos, e^x, 1/x, x^n$Trắc nghiệmantiderivative_basic_table(3 câu)

5. Họ nguyên hàm của $f(x)=e^{x} + g(x)$ với $g\in\{\sin x,\ \cos x,\ ax\}$Trắc nghiệmantiderivative_exp_plus_basic(3 câu)

6. Nguyên hàm $\int e^{ax}\,dx = \dfrac{1}{a} e^{ax} + C$Trắc nghiệmantiderivative_exponential(3 câu)

7. Nguyên hàm hàm hữu tỉ rút gọn thành luỹ thừa phân số: $\dfrac{x + x\sqrt{x}}{x^2}$Trắc nghiệmantiderivative_fractional_power(3 câu)

8. Đọc đồ thị $f(x)=a(x^2-p^2)$ (parabol cắt $Ox$ tại $-p,\,p$) để suy ra sự biến thiên của một nguyên hàm $F$ (vì $F'=f$)Trắc nghiệmantiderivative_from_graph_of_f(3 câu)

9. Khẳng định đúng cho $\int\left(\sin\dfrac{x}{2}\mp\cos\dfrac{x}{2}\right)^2 dx$Trắc nghiệmantiderivative_half_angle_square(3 câu)

10. Khẳng định nào đúng: $\int (ax+b)\,dx = \dfrac{a}{2}x^2 + bx + C$Trắc nghiệmantiderivative_linear_assertion(3 câu)

11. Tìm $F(x)$ nguyên hàm của $f(x)=ax+b$ thoả $F(x_0)=y_0$ ⇒ xác định hằng sốTrắc nghiệmantiderivative_linear_initial_condition(3 câu)

12. Nguyên hàm dạng $\int (ax + b)^n dx = \dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$Trắc nghiệmantiderivative_linear_inside(3 câu)

13. Họ tất cả các nguyên hàm của $f(x) = ax + b$ ⇒ $\dfrac{a}{2}x^2 + bx + C$Trắc nghiệmantiderivative_linear_poly_family(3 câu)

14. Nguyên hàm của một HẰNG SỐ được kí hiệu bằng chữ ($e$, $\pi$, $a$...)Trắc nghiệmantiderivative_named_constant(3 câu)

15. Nguyên hàm $\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$Trắc nghiệmantiderivative_one_over_x(3 câu)

16. Họ nguyên hàm của tổng/hiệu sin & cosTrắc nghiệmantiderivative_pair_basic_trig(3 câu)

17. Tính cộng dồn $F(x_b)$ khi $f$ cho theo từng khúc, $f$ và $F$ liên tục tại điểm nốiTrắc nghiệmantiderivative_piecewise_additivity(3 câu)

18. Họ nguyên hàm của $f(x)=c\,x^{k} + e^{x} + d$ ⇒ $\dfrac{c}{k+1}x^{k+1}+e^{x}+dx+C$Trắc nghiệmantiderivative_poly_exp_const_sum(3 câu)

19. $F=(ax^2+bx+c)e^{x}$ nguyên hàm của $(px^2+qx+r)e^{x}$; tính $\alpha a+\beta b+\gamma c$Trắc nghiệmantiderivative_poly_exp_linear_combo(3 câu)

20. Khớp hệ số $F = (ax^2+bx+c)e^{x}$ với $f=(px^2+qx+r)e^{x}$, tính $\alpha a+\beta b+\gamma c$Trắc nghiệmantiderivative_poly_exp_linear_expr(3 câu)

21. Reverse: cho $F=(ax^2+bx+c)e^{x}$, chọn $f = F' = (ax^2+(2a+b)x+(b+c))e^{x}$Trắc nghiệmantiderivative_poly_exp_reverse_derivative(3 câu)

22. Forward rút gọn: hỏi 1 hệ số ($a$) hoặc $a+b+c$ của $F=(ax^2+bx+c)e^{x}$Trắc nghiệmantiderivative_poly_exp_single_coeff(3 câu)

23. Họ nguyên hàm của $f(x) = ax + e^x$ (đa thức bậc nhất cộng hàm mũ $e^x$)Trắc nghiệmantiderivative_poly_plus_exp(3 câu)

24. Họ nguyên hàm của $f(x)=p\,x^{k} + q\,\{\sin/\cos\}x$ (đa thức + lượng giác)Trắc nghiệmantiderivative_poly_plus_trig(3 câu)

25. Họ nguyên hàm của $f(x)=x^{n}$ ⇒ $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (n lớn)Trắc nghiệmantiderivative_power_high_exponent(3 câu)

26. Tích $a^x\cdot b^x = (ab)^x$ rồi $\int (ab)^x dx = \dfrac{(ab)^x}{\ln(ab)} + C$Trắc nghiệmantiderivative_product_exp_bases(3 câu)

27. Tìm họ nguyên hàm của $f(x) = ax^2 + bx + c$Trắc nghiệmantiderivative_quadratic(3 câu)

28. Nguyên hàm cần đổi biến $u=x^2+bx+c$ kèm điều kiện đầu rồi tính $F$ tại một điểmTrắc nghiệmantiderivative_substitution_initial_condition(3 câu)

29. Nguyên hàm $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$, $\int \cos x\,dx = \sin x + C$Trắc nghiệmantiderivative_trig(3 câu)

30. $F$ là nguyên hàm của $f\in\{\sin x,\cos x\}$ thoả $F(x_0)=y_0$ ⇒ tìm $F(x)$Trắc nghiệmantiderivative_trig_initial_condition(3 câu)

31. Tìm nguyên hàm của $f(x) = k\sin x$ ⇒ $F(x) = -k\cos x + C$ (k = 1..5)Trắc nghiệmantiderivative_two_times_sin_x(3 câu)

32. Tìm $F(x)$ là nguyên hàm của $f$ thoả $F(x_0) = y_0$ — xác định $C$Trắc nghiệmantiderivative_with_initial_condition(3 câu)

33. Cho hàm $f(x)$ là hàm cơ bản cụ thể (vd $\sin x$, $1/x$, $e^{kx}$); xét đúng/sai các nguyên hàm tương ứngĐúng / Saianti_facts2(3 câu)

34. TF tổng hợp: $f(x)=ax^2+bx+c$, nguyên hàm $F$ thỏa $\lambda_1 F(x_1)+\lambda_2 F(x_2)=S$Đúng / Saiantideriv_quad_volume_area_bisect_tf(3 câu)

35. Cho hàm $f(x) = 3x^2 - 2x + b$ cụ thể — xét đúng/sai về nguyên hàm $F(x)$, giá trị $F(0), F(1)$ với điều kiện $F(x_0) = y_0$Đúng / Saiantiderivative_facts(3 câu)

36. Bẫy miền xác định của $\int \dfrac{k}{x}\,dx$ trên $D=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$Đúng / Saiantiderivative_ln_abs_domain_trap(3 câu)

37. Đảo ngược tham số: tìm $m$ để $F$ là một nguyên hàm của $f$Trả lời ngắnantiderivative_find_param_m(3 câu)

38. Cho $f(x) = ax^n + b$ và $F(0) = 0$Trả lời ngắnantiderivative_polynomial_value(3 câu)

39. Cho $f(x) = a \sin x + b \cos x$ và $F(0) = 0$Trả lời ngắnantiderivative_trig_value(3 câu)

40. Ứng dụng chuyển động: từ vận tốc $v(t) = at + b$ tìm vị trí / quãng đườngTrả lời ngắnantiderivative_velocity_displacement(3 câu)

41. Tìm hằng số $C$ để $F(x_0) = y_0$Trả lời ngắnfind_C_for_initial(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Forward: cho $f(x) = k\cdot a^x$, chọn $F(x) = \dfrac{k\,a^x}{\ln a} + C$Trắc nghiệm`antiderivative_base_a_exponential`(3 câu)

2. Tổng $a^x + \sin x$ (hoặc $+\cos x$) ⇒ $\dfrac{a^x}{\ln a} \mp \cos x$ ($\pm \sin x$) + CTrắc nghiệm`antiderivative_base_a_plus_trig`(3 câu)

3. Reverse: cho $F(x) = \dfrac{k\,a^x}{\ln a} + C$, hỏi $f(x) = F'(x) = k\,a^x$Trắc nghiệm`antiderivative_base_a_reverse_f`(3 câu)

4. Nhận biết nguyên hàm của hàm cơ bản: $\sin, \cos, e^x, 1/x, x^n$Trắc nghiệm`antiderivative_basic_table`(3 câu)

5. Họ nguyên hàm của $f(x)=e^{x} + g(x)$ với $g\in\{\sin x,\ \cos x,\ ax\}$Trắc nghiệm`antiderivative_exp_plus_basic`(3 câu)

6. Nguyên hàm $\int e^{ax}\,dx = \dfrac{1}{a} e^{ax} + C$Trắc nghiệm`antiderivative_exponential`(3 câu)

7. Nguyên hàm hàm hữu tỉ rút gọn thành luỹ thừa phân số: $\dfrac{x + x\sqrt{x}}{x^2}$Trắc nghiệm`antiderivative_fractional_power`(3 câu)

8. Đọc đồ thị $f(x)=a(x^2-p^2)$ (parabol cắt $Ox$ tại $-p,\,p$) để suy ra sự biến thiên của một nguyên hàm $F$ (vì $F'=f$)Trắc nghiệm`antiderivative_from_graph_of_f`(3 câu)

9. Khẳng định đúng cho $\int\left(\sin\dfrac{x}{2}\mp\cos\dfrac{x}{2}\right)^2 dx$Trắc nghiệm`antiderivative_half_angle_square`(3 câu)

10. Khẳng định nào đúng: $\int (ax+b)\,dx = \dfrac{a}{2}x^2 + bx + C$Trắc nghiệm`antiderivative_linear_assertion`(3 câu)

11. Tìm $F(x)$ nguyên hàm của $f(x)=ax+b$ thoả $F(x_0)=y_0$ ⇒ xác định hằng sốTrắc nghiệm`antiderivative_linear_initial_condition`(3 câu)

12. Nguyên hàm dạng $\int (ax + b)^n dx = \dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$Trắc nghiệm`antiderivative_linear_inside`(3 câu)

13. Họ tất cả các nguyên hàm của $f(x) = ax + b$ ⇒ $\dfrac{a}{2}x^2 + bx + C$Trắc nghiệm`antiderivative_linear_poly_family`(3 câu)

14. Nguyên hàm của một HẰNG SỐ được kí hiệu bằng chữ ($e$, $\pi$, $a$...)Trắc nghiệm`antiderivative_named_constant`(3 câu)

15. Nguyên hàm $\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$Trắc nghiệm`antiderivative_one_over_x`(3 câu)

16. Họ nguyên hàm của tổng/hiệu sin & cosTrắc nghiệm`antiderivative_pair_basic_trig`(3 câu)

17. Tính cộng dồn $F(x_b)$ khi $f$ cho theo từng khúc, $f$ và $F$ liên tục tại điểm nốiTrắc nghiệm`antiderivative_piecewise_additivity`(3 câu)

18. Họ nguyên hàm của $f(x)=c\,x^{k} + e^{x} + d$ ⇒ $\dfrac{c}{k+1}x^{k+1}+e^{x}+dx+C$Trắc nghiệm`antiderivative_poly_exp_const_sum`(3 câu)

19. $F=(ax^2+bx+c)e^{x}$ nguyên hàm của $(px^2+qx+r)e^{x}$; tính $\alpha a+\beta b+\gamma c$Trắc nghiệm`antiderivative_poly_exp_linear_combo`(3 câu)

20. Khớp hệ số $F = (ax^2+bx+c)e^{x}$ với $f=(px^2+qx+r)e^{x}$, tính $\alpha a+\beta b+\gamma c$Trắc nghiệm`antiderivative_poly_exp_linear_expr`(3 câu)

21. Reverse: cho $F=(ax^2+bx+c)e^{x}$, chọn $f = F' = (ax^2+(2a+b)x+(b+c))e^{x}$Trắc nghiệm`antiderivative_poly_exp_reverse_derivative`(3 câu)

22. Forward rút gọn: hỏi 1 hệ số ($a$) hoặc $a+b+c$ của $F=(ax^2+bx+c)e^{x}$Trắc nghiệm`antiderivative_poly_exp_single_coeff`(3 câu)

23. Họ nguyên hàm của $f(x) = ax + e^x$ (đa thức bậc nhất cộng hàm mũ $e^x$)Trắc nghiệm`antiderivative_poly_plus_exp`(3 câu)

24. Họ nguyên hàm của $f(x)=p\,x^{k} + q\,\{\sin/\cos\}x$ (đa thức + lượng giác)Trắc nghiệm`antiderivative_poly_plus_trig`(3 câu)

25. Họ nguyên hàm của $f(x)=x^{n}$ ⇒ $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (n lớn)Trắc nghiệm`antiderivative_power_high_exponent`(3 câu)

26. Tích $a^x\cdot b^x = (ab)^x$ rồi $\int (ab)^x dx = \dfrac{(ab)^x}{\ln(ab)} + C$Trắc nghiệm`antiderivative_product_exp_bases`(3 câu)

27. Tìm họ nguyên hàm của $f(x) = ax^2 + bx + c$Trắc nghiệm`antiderivative_quadratic`(3 câu)

28. Nguyên hàm cần đổi biến $u=x^2+bx+c$ kèm điều kiện đầu rồi tính $F$ tại một điểmTrắc nghiệm`antiderivative_substitution_initial_condition`(3 câu)

29. Nguyên hàm $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$, $\int \cos x\,dx = \sin x + C$Trắc nghiệm`antiderivative_trig`(3 câu)

30. $F$ là nguyên hàm của $f\in\{\sin x,\cos x\}$ thoả $F(x_0)=y_0$ ⇒ tìm $F(x)$Trắc nghiệm`antiderivative_trig_initial_condition`(3 câu)

31. Tìm nguyên hàm của $f(x) = k\sin x$ ⇒ $F(x) = -k\cos x + C$ (k = 1..5)Trắc nghiệm`antiderivative_two_times_sin_x`(3 câu)

32. Tìm $F(x)$ là nguyên hàm của $f$ thoả $F(x_0) = y_0$ — xác định $C$Trắc nghiệm`antiderivative_with_initial_condition`(3 câu)

33. Cho hàm $f(x)$ là hàm cơ bản cụ thể (vd $\sin x$, $1/x$, $e^{kx}$); xét đúng/sai các nguyên hàm tương ứngĐúng / Sai`anti_facts2`(3 câu)

34. TF tổng hợp: $f(x)=ax^2+bx+c$, nguyên hàm $F$ thỏa $\lambda_1 F(x_1)+\lambda_2 F(x_2)=S$Đúng / Sai`antideriv_quad_volume_area_bisect_tf`(3 câu)

35. Cho hàm $f(x) = 3x^2 - 2x + b$ cụ thể — xét đúng/sai về nguyên hàm $F(x)$, giá trị $F(0), F(1)$ với điều kiện $F(x_0) = y_0$Đúng / Sai`antiderivative_facts`(3 câu)

36. Bẫy miền xác định của $\int \dfrac{k}{x}\,dx$ trên $D=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$Đúng / Sai`antiderivative_ln_abs_domain_trap`(3 câu)

37. Đảo ngược tham số: tìm $m$ để $F$ là một nguyên hàm của $f$Trả lời ngắn`antiderivative_find_param_m`(3 câu)

38. Cho $f(x) = ax^n + b$ và $F(0) = 0$Trả lời ngắn`antiderivative_polynomial_value`(3 câu)

39. Cho $f(x) = a \sin x + b \cos x$ và $F(0) = 0$Trả lời ngắn`antiderivative_trig_value`(3 câu)

40. Ứng dụng chuyển động: từ vận tốc $v(t) = at + b$ tìm vị trí / quãng đườngTrả lời ngắn`antiderivative_velocity_displacement`(3 câu)

41. Tìm hằng số $C$ để $F(x_0) = y_0$Trả lời ngắn`find_C_for_initial`(3 câu)