Công thức
§1. Công thức(2)
Thể tích khối tròn xoay (hình vành khăn)
Thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox
§2. Phương pháp(1)
Phương pháp tính thể tích khối tròn xoay
- Quay quanh Ox, 1 đường: $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$.
- Quay quanh Ox, 2 đường: $V = \pi \int_a^b ([f(x)]^2 - [g(x)]^2) dx$.
Bài tập
1. Chóp cụt: CHỌN công thức ĐÚNG, phân biệt với công thức trung bình cộng và công thức thiếu $\sqrt{B_1 B_2}$ (nhận biết, không tính số)Trắc nghiệmvolume_frustum_choose_formula(3 câu)
Câu 1.Gọi $B_1, B_2$ là diện tích hai đáy và $h$ là chiều cao của một khối chóp cụt. Thể tích khối chóp cụt được tính bởi công thức nào dưới đây?
Câu 2.Gọi $B_1, B_2$ là diện tích hai đáy và $h$ là chiều cao của một khối chóp cụt. Thể tích khối chóp cụt được tính bởi công thức nào dưới đây?
Câu 3.Gọi $B_1, B_2$ là diện tích hai đáy và $h$ là chiều cao của một khối chóp cụt. Thể tích khối chóp cụt được tính bởi công thức nào dưới đây?
2. Chóp cụt đều, diện tích hai đáy $B_1 > B_2$, chiều cao $h$: $V = \dfrac{h}{3}\left(B_1 + B_2 + \sqrt{B_1 B_2}\right)$ (tính số)Trắc nghiệmvolume_frustum_regular_compute(3 câu)
Câu 4.Một khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy lần lượt là $B_1 = 64$ và $B_2 = 9$, chiều cao $h = 9$. Thể tích khối chóp cụt bằng?
Câu 5.Một khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy lần lượt là $B_1 = 36$ và $B_2 = 16$, chiều cao $h = 9$. Thể tích khối chóp cụt bằng?
Câu 6.Một khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy lần lượt là $B_1 = 36$ và $B_2 = 16$, chiều cao $h = 3$. Thể tích khối chóp cụt bằng?
3. Chóp $S.ABCD$ đáy hình vuông cạnh $a$, $SA \perp$ đáy, $SA = h$: $V = \dfrac{1}{3} a^2 h$ (forward — tính số)Trắc nghiệmvolume_pyramid_square_base_perp(3 câu)
Câu 7.Khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2$, $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA = 5$. Thể tích khối chóp bằng?
Câu 8.Khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2$, $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA = 5$. Thể tích khối chóp bằng?
Câu 9.Khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $6$, $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA = 6$. Thể tích khối chóp bằng?
4. Reverse: cho thể tích $V$ và cạnh đáy $a$ của chóp $S.ABCD$ đáy vuông $SA \perp$ đáy, tìm chiều cao $SA$Trắc nghiệmvolume_pyramid_square_base_reverse(3 câu)
Câu 10.Khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $3$, $SA$ vuông góc với mặt đáy. Biết thể tích khối chóp bằng $9$. Tính độ dài đường cao $SA$.
Câu 11.Khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $5$, $SA$ vuông góc với mặt đáy. Biết thể tích khối chóp bằng $\dfrac{100}{3}$. Tính độ dài đường cao $SA$.
Câu 12.Khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2$, $SA$ vuông góc với mặt đáy. Biết thể tích khối chóp bằng $\dfrac{20}{3}$. Tính độ dài đường cao $SA$.
5. Thể tích vật tròn xoay khi quay quanh Oy hình giới hạn bởi $x = \sqrt{y}$, $y = 0$, $y = h$Trắc nghiệmvolume_revolution_around_oy(3 câu)
Câu 13.Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường $x = \sqrt{y}$, trục $Oy$ và hai đường $y = 0, y = 5$ quanh trục $Oy$.
Câu 14.Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường $x = \sqrt{y}$, trục $Oy$ và hai đường $y = 0, y = 4$ quanh trục $Oy$.
Câu 15.Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường $x = \sqrt{y}$, trục $Oy$ và hai đường $y = 0, y = 4$ quanh trục $Oy$.
6. So sánh thể tích 2 khối tròn xoay sinh bởi 2 hình phẳng quay quanh OxTrắc nghiệmvolume_revolution_compare_two_regions(3 câu)
Câu 16.Cho hai hình phẳng cùng nằm trên đoạn $[0; 3]$: - Hình $(A)$ giới hạn bởi $y = x^2$, trục $Ox$, $x = 0$ và $x = 3$; - Hình $(B)$ giới hạn bởi $y = x$, trục $Ox$, $x = 0$ và $x = 3$. Lần lượt quay $(A)$ và $(B)$ quanh trục $Ox$ thu được hai khối tròn xoay có thể tích $V_A$, $V_B$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
Câu 17.Cho hai hình phẳng cùng nằm trên đoạn $[0; 2]$: - Hình $(A)$ giới hạn bởi $y = x^2$, trục $Ox$, $x = 0$ và $x = 2$; - Hình $(B)$ giới hạn bởi $y = x$, trục $Ox$, $x = 0$ và $x = 2$. Lần lượt quay $(A)$ và $(B)$ quanh trục $Ox$ thu được hai khối tròn xoay có thể tích $V_A$, $V_B$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
Câu 18.Cho hai hình phẳng cùng nằm trên đoạn $[0; 2]$: - Hình $(A)$ giới hạn bởi $y = x$, trục $Ox$, $x = 0$ và $x = 2$; - Hình $(B)$ giới hạn bởi $y = \sqrt{x}$, trục $Ox$, $x = 0$ và $x = 2$. Lần lượt quay $(A)$ và $(B)$ quanh trục $Ox$ thu được hai khối tròn xoay có thể tích $V_A$, $V_B$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
7. Thể tích khi quay $y = ax - x^2$ (parabol cắt $Ox$ tại $0$ và $a$) quanh $Ox$Trắc nghiệmvolume_revolution_concave_parabola(3 câu)
Câu 19.Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị $y = - x^{2} + 2 x$ và trục hoành. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi cho $(H)$ quay quanh trục hoành bằng
Câu 20.Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị $y = - x^{2} + 4 x$ và trục hoành. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi cho $(H)$ quay quanh trục hoành bằng
Câu 21.Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị $y = - x^{2} + 4 x$ và trục hoành. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi cho $(H)$ quay quanh trục hoành bằng
8. Thể tích khi quay $y = \sqrt{e^x - c\,x}$ trên $[a, b]$ quanh $Ox$Trắc nghiệmvolume_revolution_exp_minus_linear(3 câu)
Câu 22.Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y = \sqrt{e^x - 2x}$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$ xung quanh trục $Ox$ là:
Câu 23.Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y = \sqrt{e^x - 2x}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 3$ xung quanh trục $Ox$ là:
Câu 24.Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y = \sqrt{e^x - 2x}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 2$ xung quanh trục $Ox$ là:
9. Thể tích khi quay $y = \sqrt{e^x + c}$ trên $[0, b]$ quanh $Ox$Trắc nghiệmvolume_revolution_exp_under_sqrt(3 câu)
Câu 25.Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{e^x + 1}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 2$ quanh trục hoành bằng
Câu 26.Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{e^x + 1}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 1$ quanh trục hoành bằng
Câu 27.Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{e^x + 1}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 2$ quanh trục hoành bằng
10. Họ tham số: tìm $m>0$ để thể tích khối tròn xoay bằng giá trị cho trướcTrắc nghiệmvolume_revolution_family_find_m(3 câu)
Câu 28.Cho hàm số $y=mx$ với $m>0$. Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục $Ox$, $x=0$ và $x=3$ khi quay quanh trục $Ox$. Tìm $m$ để $V=81 \pi$.
Câu 29.Cho hàm số $y=mx$ với $m>0$. Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục $Ox$, $x=0$ và $x=3$ khi quay quanh trục $Ox$. Tìm $m$ để $V=36 \pi$.
Câu 30.Cho hàm số $y=mx$ với $m>0$. Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục $Ox$, $x=0$ và $x=3$ khi quay quanh trục $Ox$. Tìm $m$ để $V=81 \pi$.
11. Đảo ngược: biết thể tích khối tròn xoay quanh $Ox$, tìm cận/tham số ẩn của đườngTrắc nghiệmvolume_revolution_find_param_from_volume(3 câu)
Câu 31.Hình phẳng giới hạn bởi $y = \sqrt{x}$, trục $Ox$, $x = 0$ và $x = b$ ($b > 0$) quay quanh trục $Ox$ tạo khối tròn xoay có thể tích $V = \dfrac{25 \pi}{2}$. Tìm $b$.
Câu 32.Hình phẳng giới hạn bởi $y = kx$ ($k > 0$), trục $Ox$ và $x = 2$ quay quanh trục $Ox$ tạo khối tròn xoay có thể tích $V = 24 \pi$. Tìm $k$.
Câu 33.Hình phẳng giới hạn bởi $y = kx$ ($k > 0$), trục $Ox$ và $x = 3$ quay quanh trục $Ox$ tạo khối tròn xoay có thể tích $V = 144 \pi$. Tìm $k$.
12. Thể tích khối tròn xoay khi quay $y = x^n$ trên $[0, b]$ quanh $Ox$Trắc nghiệmvolume_revolution_power_n(3 câu)
Câu 34.Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^3$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 2$. Quay $D$ quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích bằng
Câu 35.Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^3$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 1$. Quay $D$ quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích bằng
Câu 36.Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^2$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 1$. Quay $D$ quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích bằng
13. Chọn ĐÚNG công thức thể tích $V = \pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$ (không tính số)Trắc nghiệmvolume_revolution_setup_choose_formula(3 câu)
Câu 37.Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = 2x^3 + 2$, trục $Ox$, $x = 0$ và $x = 2$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức nào dưới đây?
Câu 38.Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = x^3 + 3$, trục $Ox$, $x = 0$ và $x = 3$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức nào dưới đây?
Câu 39.Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = 2x + 2$, trục $Ox$, $x = 0$ và $x = 4$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức nào dưới đây?
14. Chọn ĐÚNG công thức thể tích $V = \pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$ với $f(x) = x^3 + p\,x + q$ (đa thức bậc 3 CÓ số hạng bậc nhất), KHÔNG tính sốTrắc nghiệmvolume_revolution_setup_cubic_linear(3 câu)
Câu 40.Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường thẳng $y = x^3 + 2x + 3$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$. Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay $(H)$ xung quanh trục $Ox$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Câu 41.Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường thẳng $y = x^3 + 3x + 2$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 3$. Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay $(H)$ xung quanh trục $Ox$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Câu 42.Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường thẳng $y = x^3 + x + 3$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 3$. Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay $(H)$ xung quanh trục $Ox$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
15. Parabol $y = a x - x^2$ quay quanh $Ox$: xác định ĐÚNG cận tích phân (hai nghiệm) trong công thức $V = \pi\int[f]^2\,dx$Trắc nghiệmvolume_revolution_setup_find_limits(3 câu)
Câu 43.Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi parabol $y = 4x - x^2$ và trục $Ox$. Thể tích khối tròn xoay sinh bởi $(H)$ khi quay quanh $Ox$ được tính bởi công thức nào dưới đây?
Câu 44.Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi parabol $y = 5x - x^2$ và trục $Ox$. Thể tích khối tròn xoay sinh bởi $(H)$ khi quay quanh $Ox$ được tính bởi công thức nào dưới đây?
Câu 45.Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi parabol $y = 3x - x^2$ và trục $Ox$. Thể tích khối tròn xoay sinh bởi $(H)$ khi quay quanh $Ox$ được tính bởi công thức nào dưới đây?
16. $f = k\sin\dfrac{x}{2}$ quay quanh $Ox$ trên $\left[0; \dfrac{m}{n}\pi\right]$: chọn công thức SAU KHI hạ bậc $\sin^2\dfrac{x}{2} = \dfrac{1 - \cos x}{2}$ VÀ rút gọn hệ số $\dfrac{k^2}{2}$ ra ngoài dấu tích phânTrắc nghiệmvolume_revolution_setup_trig_half_lowering(3 câu)
Câu 46.Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 4\sin\dfrac{x}{2}$, trục $Ox$, $x = 0$ và $x = \pi$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức nào dưới đây?
Câu 47.Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 4\sin\dfrac{x}{2}$, trục $Ox$, $x = 0$ và $x = \dfrac{3\pi}{2}$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức nào dưới đây?
Câu 48.Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2\sin\dfrac{x}{2}$, trục $Ox$, $x = 0$ và $x = \pi$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức nào dưới đây?
17. $f = k\sin\frac{x}{2}$ quay quanh $Ox$: chọn công thức SAU KHI hạ bậc $\sin^2\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$Trắc nghiệmvolume_revolution_setup_trig_lowering(3 câu)
Câu 49.Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = 3\sin\dfrac{x}{2}$, trục $Ox$, $x = 0$ và $x = 3\pi$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức nào dưới đây (sau khi hạ bậc)?
Câu 50.Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = 3\sin\dfrac{x}{2}$, trục $Ox$, $x = 0$ và $x = 3\pi$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức nào dưới đây (sau khi hạ bậc)?
Câu 51.Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = 3\sin\dfrac{x}{2}$, trục $Ox$, $x = 0$ và $x = 2\pi$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức nào dưới đây (sau khi hạ bậc)?
18. Vận dụng cao THPT. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $D = \{(x, y): a \leq x \leq b,\ g(x) \leq y \leq f(x)\}$ quanh trục $Ox$Trắc nghiệmvolume_revolution_two_curves(3 câu)
Câu 52.Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x + 2$, $y = 1$, $x = 0$ và $x = 5$ quanh trục $Ox$.
Câu 53.Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x + 4$, $y = 2$, $x = 0$ và $x = 2$ quanh trục $Ox$.
Câu 54.Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x + 1$, $y = 1$, $x = 1$ và $x = 5$ quanh trục $Ox$.
19. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay $y = kx$ trên $[0, b]$ quanh OxTrắc nghiệmvolume_solid_revolution_linear(3 câu)
Câu 55.Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi $y = 2x$, trục $Ox$ và $x = 5$ quay quanh $Ox$.
Câu 56.Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi $y = 2x$, trục $Ox$ và $x = 2$ quay quanh $Ox$.
Câu 57.Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi $y = 4x$, trục $Ox$ và $x = 4$ quay quanh $Ox$.
20. Thể tích khi quay $y = x^2$ trên $[0, b]$ quanh $Ox$: $\pi b^5 / 5$Trắc nghiệmvolume_solid_revolution_quadratic(3 câu)
Câu 58.Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$, trục $Ox$ và $x = 3$ quay quanh trục $Ox$.
Câu 59.Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$, trục $Ox$ và $x = 3$ quay quanh trục $Ox$.
Câu 60.Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$, trục $Ox$ và $x = 3$ quay quanh trục $Ox$.
21. Thể tích khi quay $y = \sqrt{x}$ trên $[0, b]$ quanh $Ox$ — kết quả $\pi b^2 / 2$Trắc nghiệmvolume_solid_revolution_sqrt(3 câu)
Câu 61.Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi $y = \sqrt{x}$, trục $Ox$, $x = 0$ và $x = 3$ quay quanh trục $Ox$.
Câu 62.Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi $y = \sqrt{x}$, trục $Ox$, $x = 0$ và $x = 4$ quay quanh trục $Ox$.
Câu 63.Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi $y = \sqrt{x}$, trục $Ox$, $x = 0$ và $x = 3$ quay quanh trục $Ox$.
22. Tình huống quay $y = R$ hoặc $y = kx$ cho các khối quen thuộc (hình trụ / hình nón) — xét đúng/sai về thể tíchĐúng / Saivolume_application_examples(3 câu)
Câu 64.Quay hình chữ nhật giới hạn bởi $y = 1$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 4$ quanh trục $Ox$ ta được hình trụ. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 65.Quay hình chữ nhật giới hạn bởi $y = 2$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$ quanh trục $Ox$ ta được hình trụ. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 66.Quay hình chữ nhật giới hạn bởi $y = 3$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 4$ quanh trục $Ox$ ta được hình trụ. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
23. Cho hình phẳng giới hạn $y = f(x)$, $y = 0$, $x = a$, $x = b$ cụ thể quay quanh $Ox$ — xét đúng/sai về công thức và giá trị thể tíchĐúng / Saivolume_application_facts(3 câu)
Câu 67.Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = \sqrt{x}$, trục $Ox$, $x = 1$, $x = 4$. Quay hình này quanh trục $Ox$ ta được vật thể tròn xoay có thể tích $V$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 68.Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x$, trục $Ox$, $x = 0$, $x = 1$. Quay hình này quanh trục $Ox$ ta được vật thể tròn xoay có thể tích $V$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 69.Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x$, trục $Ox$, $x = 0$, $x = 1$. Quay hình này quanh trục $Ox$ ta được vật thể tròn xoay có thể tích $V$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
24. Mái chòi "chóp lục giác cong" — cạnh bên nằm trên parabol, thiết diện vuông góc trục là lục giác đều — bài VDC trường THPT Thành Đa TP.HCM 2026 (TF4)Đúng / Saivolume_curved_hexagonal_roof_facts(3 câu)
Câu 70.Có một cái chòi hình "chóp cong", trong đó mái chòi $(H)$ có dạng hình "chóp lục giác cong đều" như hình vẽ. Đáy của $(H)$ là một hình lục giác đều tâm $O$, đường chéo qua tâm $O$ có độ dài là $10$ m, chiều cao $SO = 10$ m ($SO$ vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của $(H)$ là các sợi dây thép nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với $SO$. Giả sử hình tạo bởi các đoạn giao tuyến của $(H)$ với mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với $SO$ là một lục giác đều. Biết rằng khi mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua trung điểm của $SO$ thì lục giác đều có cạnh $l = 2$ m. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 71.Có một cái chòi hình "chóp cong", trong đó mái chòi $(H)$ có dạng hình "chóp lục giác cong đều" như hình vẽ. Đáy của $(H)$ là một hình lục giác đều tâm $O$, đường chéo qua tâm $O$ có độ dài là $16$ m, chiều cao $SO = 8$ m ($SO$ vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của $(H)$ là các sợi dây thép nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với $SO$. Giả sử hình tạo bởi các đoạn giao tuyến của $(H)$ với mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với $SO$ là một lục giác đều. Biết rằng khi mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua trung điểm của $SO$ thì lục giác đều có cạnh $l = 2$ m. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 72.Có một cái chòi hình "chóp cong", trong đó mái chòi $(H)$ có dạng hình "chóp lục giác cong đều" như hình vẽ. Đáy của $(H)$ là một hình lục giác đều tâm $O$, đường chéo qua tâm $O$ có độ dài là $14$ m, chiều cao $SO = 8$ m ($SO$ vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của $(H)$ là các sợi dây thép nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với $SO$. Giả sử hình tạo bởi các đoạn giao tuyến của $(H)$ với mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với $SO$ là một lục giác đều. Biết rằng khi mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua trung điểm của $SO$ thì lục giác đều có cạnh $l = 2$ m. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
25. Vật trang trí tròn xoay = (elipxoit do quay elip) TRỪ (mặt cầu do quay đường tròn nội tiếp) — bài VDC sở GD&ĐT Sơn La 2026 lần 3 (TF1)Đúng / Saivolume_decor_ellipsoid_minus_sphere_facts(3 câu)
Câu 73.Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(R)$ (phần tô đậm trong hình vẽ) quanh trục $MN$. Biết rằng $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = 8\,\text{cm}$, $AD = 12\,\text{cm}$ và $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $CD$. Hai đường cong là đường Elip có hình chữ nhật cơ sở là $ABCD$ và đường tròn tiếp xúc với hai cạnh $AD$ và $BC$. Gắn hệ tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên mỗi trục là $1$ cm), gốc $O$ là tâm hình chữ nhật, $MN$ trùng trục $Ox$ như hình vẽ. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 74.Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(R)$ (phần tô đậm trong hình vẽ) quanh trục $MN$. Biết rằng $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = 6\,\text{cm}$, $AD = 14\,\text{cm}$ và $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $CD$. Hai đường cong là đường Elip có hình chữ nhật cơ sở là $ABCD$ và đường tròn tiếp xúc với hai cạnh $AD$ và $BC$. Gắn hệ tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên mỗi trục là $1$ cm), gốc $O$ là tâm hình chữ nhật, $MN$ trùng trục $Ox$ như hình vẽ. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 75.Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(R)$ (phần tô đậm trong hình vẽ) quanh trục $MN$. Biết rằng $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = 6\,\text{cm}$, $AD = 10\,\text{cm}$ và $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $CD$. Hai đường cong là đường Elip có hình chữ nhật cơ sở là $ABCD$ và đường tròn tiếp xúc với hai cạnh $AD$ và $BC$. Gắn hệ tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên mỗi trục là $1$ cm), gốc $O$ là tâm hình chữ nhật, $MN$ trùng trục $Ox$ như hình vẽ. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
26. Bẫy khái niệm về thể tích tròn xoay (đĩa/vành khăn, pi, bình phương, trục)Đúng / Saivolume_revolution_concept_traps(3 câu)
Câu 76.Cho các khối tròn xoay tạo bởi phép quay hình phẳng quanh trục toạ độ. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 77.Cho các khối tròn xoay tạo bởi phép quay hình phẳng quanh trục toạ độ. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 78.Cho các khối tròn xoay tạo bởi phép quay hình phẳng quanh trục toạ độ. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
27. Thể tích hình trụ — đáp số $k = R^2 h$ trong $k\pi$Trả lời ngắncylinder_volume_via_integral(3 câu)
Câu 79.Quay $y = 2$ trên $[0; 3]$ quanh $Ox$, ta được hình trụ. Tính thể tích (dạng $k\pi$, ghi $k$).
Câu 80.Quay $y = 2$ trên $[0; 4]$ quanh $Ox$, ta được hình trụ. Tính thể tích (dạng $k\pi$, ghi $k$).
Câu 81.Quay $y = 1$ trên $[0; 3]$ quanh $Ox$, ta được hình trụ. Tính thể tích (dạng $k\pi$, ghi $k$).
28. VDC: Thể tích cốc/bình thuỷ tinh dạng khối tròn xoayTrả lời ngắnglass_cup_volume_revolution(3 câu)
Câu 82.Một chiếc cốc thuỷ tinh có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 2$ (đơn vị: cm) quanh trục $Ox$. Hãy tính thể tích chiếc cốc (đơn vị: cm³, sử dụng $\pi \approx 3{,}14$, làm tròn đến hàng phần mười).
Câu 83.Một chiếc cốc thuỷ tinh có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = \sqrt{x}$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 4$ (đơn vị: cm) quanh trục $Ox$. Hãy tính thể tích chiếc cốc (đơn vị: cm³, sử dụng $\pi \approx 3{,}14$, làm tròn đến hàng phần mười).
Câu 84.Một chiếc cốc thuỷ tinh có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = \sqrt{x}$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 2$ (đơn vị: cm) quanh trục $Ox$. Hãy tính thể tích chiếc cốc (đơn vị: cm³, sử dụng $\pi \approx 3{,}14$, làm tròn đến hàng phần mười).
29. VDC (SA): Bình thuỷ tinh ngâm sâm — quay hình phẳng $(H)$ quanh trục $AB$Trả lời ngắnglass_jar_circle_parabola_profile_liters(3 câu)
Câu 85.Một xưởng thủy tinh mỹ nghệ cần sản xuất những chiếc bình thủy tinh cỡ lớn để ngâm một loại sâm. Chiếc bình được tạo hình bằng cách quay hình phẳng $(H)$ (phần gạch chéo trong hình vẽ) quanh trục $AB$. Hình $(H)$ nằm trong hình chữ nhật $ABCD$, giới hạn bởi các đoạn thẳng $AM$, $BP$ (với $M$, $P$ lần lượt thuộc các cạnh $AD$, $BC$, $MP \parallel AB$), cung tròn $MN$ (có tâm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AE$ nằm trên trục $AB$) và cung parabol $NP$. Biết: $AB = 4\,dm$, $AM = 1\,dm$, $BP = 1\,dm$, $BE = 1\,dm$. Tiếp tuyến của cung tròn và cung parabol tại điểm tiếp giáp $N$ là trùng nhau. Giả sử bề dày của thành thủy tinh không đáng kể. Hỏi chiếc bình ngâm sâm này có sức chứa tối đa khoảng bao nhiêu lít nước? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Câu 86.Một xưởng thủy tinh mỹ nghệ cần sản xuất những chiếc bình thủy tinh cỡ lớn để ngâm một loại sâm. Chiếc bình được tạo hình bằng cách quay hình phẳng $(H)$ (phần gạch chéo trong hình vẽ) quanh trục $AB$. Hình $(H)$ nằm trong hình chữ nhật $ABCD$, giới hạn bởi các đoạn thẳng $AM$, $BP$ (với $M$, $P$ lần lượt thuộc các cạnh $AD$, $BC$, $MP \parallel AB$), cung tròn $MN$ (có tâm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AE$ nằm trên trục $AB$) và cung parabol $NP$. Biết: $AB = 6\,dm$, $AM = 2\,dm$, $BP = 2\,dm$, $BE = 1\,dm$. Tiếp tuyến của cung tròn và cung parabol tại điểm tiếp giáp $N$ là trùng nhau. Giả sử bề dày của thành thủy tinh không đáng kể. Hỏi chiếc bình ngâm sâm này có sức chứa tối đa khoảng bao nhiêu lít nước? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Câu 87.Một xưởng thủy tinh mỹ nghệ cần sản xuất những chiếc bình thủy tinh cỡ lớn để ngâm một loại sâm. Chiếc bình được tạo hình bằng cách quay hình phẳng $(H)$ (phần gạch chéo trong hình vẽ) quanh trục $AB$. Hình $(H)$ nằm trong hình chữ nhật $ABCD$, giới hạn bởi các đoạn thẳng $AM$, $BP$ (với $M$, $P$ lần lượt thuộc các cạnh $AD$, $BC$, $MP \parallel AB$), cung tròn $MN$ (có tâm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AE$ nằm trên trục $AB$) và cung parabol $NP$. Biết: $AB = 5\,dm$, $AM = \dfrac{3}{2}\,dm$, $BP = \dfrac{3}{2}\,dm$, $BE = 1\,dm$. Tiếp tuyến của cung tròn và cung parabol tại điểm tiếp giáp $N$ là trùng nhau. Giả sử bề dày của thành thủy tinh không đáng kể. Hỏi chiếc bình ngâm sâm này có sức chứa tối đa khoảng bao nhiêu lít nước? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
30. VD (SA): Cối đá / bát / phao có lòng là paraboloid tròn xoayTrả lời ngắnparaboloid_bowl_volume_pi_coefficient(3 câu)
Câu 88.Một chiếc cối đá có lòng cối là một paraboloid tròn xoay (có mặt cắt qua trục là một parabol như hình bên), với miệng cối là đường tròn có đường kính $24$ cm và chiều sâu lòng cối là $18$ cm. Biết rằng thể tích của lòng cối bằng $a\pi$ (cm³), giá trị $a$ bằng bao nhiêu?
Câu 89.Một chiếc cối đá có lòng cối là một paraboloid tròn xoay (có mặt cắt qua trục là một parabol như hình bên), với miệng cối là đường tròn có đường kính $20$ cm và chiều sâu lòng cối là $10$ cm. Biết rằng thể tích của lòng cối bằng $a\pi$ (cm³), giá trị $a$ bằng bao nhiêu?
Câu 90.Một chiếc cối đá có lòng cối là một paraboloid tròn xoay (có mặt cắt qua trục là một parabol như hình bên), với miệng cối là đường tròn có đường kính $30$ cm và chiều sâu lòng cối là $20$ cm. Biết rằng thể tích của lòng cối bằng $a\pi$ (cm³), giá trị $a$ bằng bao nhiêu?
31. VDC (SA): Vỏ kẹo paraboloid sinh bởi parabol $y = x^2$ (quay quanh $Oy$); bên trong có viên cầu bán kính $R$ tiếp xúc mặt bên + mặt đáy; phần còn lại đổ nước trái câyTrả lời ngắnparaboloid_y_x2_minus_sphere_water(3 câu)
Câu 91.Một công ty sản xuất kẹo thạch muốn thiết kế một loại vỏ nhựa có dạng hình tròn xoay, tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $y = h$ ($h > 0$) quanh trục tung $Oy$ (đơn vị: mm). Bên trong vỏ có một viên kẹo thạch hình cầu bán kính $R$, tiếp xúc với mặt xung quanh của vỏ đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của vỏ. Gọi $M$ là điểm tiếp xúc giữa viên kẹo và mặt bên của vỏ, $M \in (Oxy)$, khoảng cách từ $M$ đến trục hoành bằng $6$ mm. Phần không gian còn lại trong vỏ được đổ đầy nước trái cây. Tính thể tích $V$ của phần nước trái cây này (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của $\text{mm}^3$).
Câu 92.Một công ty sản xuất kẹo thạch muốn thiết kế một loại vỏ nhựa có dạng hình tròn xoay, tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $y = h$ ($h > 0$) quanh trục tung $Oy$ (đơn vị: mm). Bên trong vỏ có một viên kẹo thạch hình cầu bán kính $R$, tiếp xúc với mặt xung quanh của vỏ đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của vỏ. Gọi $M$ là điểm tiếp xúc giữa viên kẹo và mặt bên của vỏ, $M \in (Oxy)$, khoảng cách từ $M$ đến trục hoành bằng $12$ mm. Phần không gian còn lại trong vỏ được đổ đầy nước trái cây. Tính thể tích $V$ của phần nước trái cây này (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của $\text{mm}^3$).
Câu 93.Một công ty sản xuất kẹo thạch muốn thiết kế một loại vỏ nhựa có dạng hình tròn xoay, tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $y = h$ ($h > 0$) quanh trục tung $Oy$ (đơn vị: mm). Bên trong vỏ có một viên kẹo thạch hình cầu bán kính $R$, tiếp xúc với mặt xung quanh của vỏ đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của vỏ. Gọi $M$ là điểm tiếp xúc giữa viên kẹo và mặt bên của vỏ, $M \in (Oxy)$, khoảng cách từ $M$ đến trục hoành bằng $2$ mm. Phần không gian còn lại trong vỏ được đổ đầy nước trái cây. Tính thể tích $V$ của phần nước trái cây này (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của $\text{mm}^3$).
32. VDC (SA): Bánh Taco — bánh Tortilla tròn đường kính $D$ (bán kính $r = D/2$) được gập đôi quanh trục một hình trụ bán kính $R$ (với $r > R$)Trả lời ngắnsa_taco_volume_cylinder_fold(3 câu)
Câu 94.Bánh Taco là một món ăn đặc trưng của Mexico, được tạo thành từ một chiếc bánh Tortilla (bánh ngô) cuộn quanh thức ăn. Để làm một chiếc bánh Taco ta lấy bánh Tortilla tròn có đường kính $16$ cm đặt vào mặt trong của hình trụ có bán kính $R = 4$ cm, dọc theo đường kính của Tortilla và gập bánh lại quanh hình trụ (sau đó đổ đầy thịt, phô mai, rau củ đến tận mép bánh). Gọi $x$ là khoảng cách từ tâm bánh Tortilla đến một điểm $P$ trên đường kính. Tính thể tích của bánh Taco theo đơn vị $\text{cm}^3$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Câu 95.Bánh Taco là một món ăn đặc trưng của Mexico, được tạo thành từ một chiếc bánh Tortilla (bánh ngô) cuộn quanh thức ăn. Để làm một chiếc bánh Taco ta lấy bánh Tortilla tròn có đường kính $24$ cm đặt vào mặt trong của hình trụ có bán kính $R = 6$ cm, dọc theo đường kính của Tortilla và gập bánh lại quanh hình trụ (sau đó đổ đầy thịt, phô mai, rau củ đến tận mép bánh). Gọi $x$ là khoảng cách từ tâm bánh Tortilla đến một điểm $P$ trên đường kính. Tính thể tích của bánh Taco theo đơn vị $\text{cm}^3$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Câu 96.Bánh Taco là một món ăn đặc trưng của Mexico, được tạo thành từ một chiếc bánh Tortilla (bánh ngô) cuộn quanh thức ăn. Để làm một chiếc bánh Taco ta lấy bánh Tortilla tròn có đường kính $18$ cm đặt vào mặt trong của hình trụ có bán kính $R = 3$ cm, dọc theo đường kính của Tortilla và gập bánh lại quanh hình trụ (sau đó đổ đầy thịt, phô mai, rau củ đến tận mép bánh). Gọi $x$ là khoảng cách từ tâm bánh Tortilla đến một điểm $P$ trên đường kính. Tính thể tích của bánh Taco theo đơn vị $\text{cm}^3$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
33. Bình hoa tròn xoay (bán kính thiết diện $\sqrt{P(x)}$); đổ nước cao $H/m$, hỏi TỈ LỆ PHẦN TRĂM thể tích nước so với thể tích bìnhTrả lời ngắnvase_water_fill_ratio_pct(3 câu)
Câu 97.Một bình hoa có dạng khối tròn xoay với chiều cao là $2$ dm. Khi cắt bình hoa theo một mặt phẳng vuông góc với trục của nó thì luôn được thiết diện là một hình tròn có bán kính $y = \sqrt{x^{2} + 1}$ với $x$ là khoảng cách từ mặt cắt tới mặt đáy của bình hoa ($0 \le x \le 2$, $x$ tính theo dm). Đổ vào bình một lượng nước để mức nước trong bình cao bằng $\dfrac{1}{2}$ chiều cao của bình. Hỏi lượng nước này chiếm tỉ lệ bao nhiêu phần trăm so với thể tích bình hoa? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Trả lời theo đơn vị %. (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 98.Một bình hoa có dạng khối tròn xoay với chiều cao là $3$ dm. Khi cắt bình hoa theo một mặt phẳng vuông góc với trục của nó thì luôn được thiết diện là một hình tròn có bán kính $y = \sqrt{x^{2} + 3}$ với $x$ là khoảng cách từ mặt cắt tới mặt đáy của bình hoa ($0 \le x \le 3$, $x$ tính theo dm). Đổ vào bình một lượng nước để mức nước trong bình cao bằng $\dfrac{1}{3}$ chiều cao của bình. Hỏi lượng nước này chiếm tỉ lệ bao nhiêu phần trăm so với thể tích bình hoa? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Trả lời theo đơn vị %. (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 99.Một bình hoa có dạng khối tròn xoay với chiều cao là $3$ dm. Khi cắt bình hoa theo một mặt phẳng vuông góc với trục của nó thì luôn được thiết diện là một hình tròn có bán kính $y = \sqrt{x^{2} - 2 x + 2}$ với $x$ là khoảng cách từ mặt cắt tới mặt đáy của bình hoa ($0 \le x \le 3$, $x$ tính theo dm). Đổ vào bình một lượng nước để mức nước trong bình cao bằng $\dfrac{1}{2}$ chiều cao của bình. Hỏi lượng nước này chiếm tỉ lệ bao nhiêu phần trăm so với thể tích bình hoa? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Trả lời theo đơn vị %. (Làm tròn đến hàng phần mười)
34. Bình hoa tròn xoay (bán kính thiết diện $\sqrt{P(x)}$); đổ nước cao $H/m$, hỏi TỈ LỆ PHẦN TRĂM thể tích nước — LÀM TRÒN ĐẾN HÀNG ĐƠN VỊ (số nguyên %)Trả lời ngắnvase_water_fill_ratio_pct_round_unit(3 câu)
Câu 100.Một bình hoa có dạng khối tròn xoay với chiều cao là $3\,dm$. Khi cắt bình hoa theo một mặt phẳng vuông góc với trục của nó thì ta luôn được thiết diện là một hình tròn có bán kính $y = \sqrt{x^{2} - 2 x + 2}$ với $x$ là khoảng cách từ mặt cắt tới mặt đáy của bình hoa ($x \in [0; 3]$, $x$ tính theo đơn vị $dm$). Đổ vào bình một lượng nước để mức nước trong bình cao bằng $\dfrac{1}{2}$ chiều cao của bình. Hỏi lượng nước này chiếm tỉ lệ bao nhiêu phần trăm so với thể tích bình hoa (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Câu 101.Một bình hoa có dạng khối tròn xoay với chiều cao là $4\,dm$. Khi cắt bình hoa theo một mặt phẳng vuông góc với trục của nó thì ta luôn được thiết diện là một hình tròn có bán kính $y = \sqrt{x^{2} - 4 x + 5}$ với $x$ là khoảng cách từ mặt cắt tới mặt đáy của bình hoa ($x \in [0; 4]$, $x$ tính theo đơn vị $dm$). Đổ vào bình một lượng nước để mức nước trong bình cao bằng $\dfrac{1}{2}$ chiều cao của bình. Hỏi lượng nước này chiếm tỉ lệ bao nhiêu phần trăm so với thể tích bình hoa (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Câu 102.Một bình hoa có dạng khối tròn xoay với chiều cao là $3\,dm$. Khi cắt bình hoa theo một mặt phẳng vuông góc với trục của nó thì ta luôn được thiết diện là một hình tròn có bán kính $y = \sqrt{x^{2} - 2 x + 2}$ với $x$ là khoảng cách từ mặt cắt tới mặt đáy của bình hoa ($x \in [0; 3]$, $x$ tính theo đơn vị $dm$). Đổ vào bình một lượng nước để mức nước trong bình cao bằng $\dfrac{1}{3}$ chiều cao của bình. Hỏi lượng nước này chiếm tỉ lệ bao nhiêu phần trăm so với thể tích bình hoa (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
35. (VDC, tái hiện 1 đề) Thể tích khi quay "tứ giác cong" $MNPQ$ (4 cung tròn) quanh một đường chéoTrả lời ngắnvolume_astroid_revolution(1 câu)
Câu 103.Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$. Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB, BC, CD, DA$. Các cung $\overparen{QM}, \overparen{MN}, \overparen{NP}, \overparen{PQ}$ lần lượt là các cung tròn của các đường tròn tâm $A, B, C, D$ với bán kính bằng nhau. Biết diện tích "tứ giác cong" $MNPQ$ (miền bị gạch chéo) bằng $16(4 - \pi)$ dm². Hỏi khi cho "tứ giác cong" $MNPQ$ quay quanh trục $NQ$ ta thu được vật thể có thể tích bằng bao nhiêu đêximét khối? (Làm tròn đến hàng phần mười)
36. VDC (SA): Cùng bình thiết diện $S(x)=\pi[y(x)]^2$ — biến thể hỏi THỂ TÍCH nướcTrả lời ngắnvolume_cross_section_water_liters(3 câu)
Câu 104.Một chiếc bình đựng nước đặt nằm ngang, thiết diện cắt vuông góc với trục bình tại vị trí có hoành độ $x$ là một hình tròn bán kính $y(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 3}$ (cm), với $0 \le x \le 6$. Người ta đổ nước vào bình sao cho mực nước cao bằng $\dfrac{1}{3}$ chiều cao của bình (tính theo phương $Ox$). Tính thể tích phần nước trong bình (đơn vị: cm³). (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 105.Một chiếc bình đựng nước đặt nằm ngang, thiết diện cắt vuông góc với trục bình tại vị trí có hoành độ $x$ là một hình tròn bán kính $y(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 3}$ (cm), với $0 \le x \le 3$. Người ta đổ nước vào bình sao cho mực nước cao bằng $\dfrac{1}{3}$ chiều cao của bình (tính theo phương $Ox$). Tính thể tích phần nước trong bình (đơn vị: cm³). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 106.Một chiếc bình đựng nước đặt nằm ngang, thiết diện cắt vuông góc với trục bình tại vị trí có hoành độ $x$ là một hình tròn bán kính $y(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ (cm), với $0 \le x \le 6$. Người ta đổ nước vào bình sao cho mực nước cao bằng $\dfrac{1}{3}$ chiều cao của bình (tính theo phương $Ox$). Tính thể tích phần nước trong bình (đơn vị: cm³). (Làm tròn đến hàng phần mười)
37. VDC (SA): Bình có thiết diện ngang $S(x) = \pi\,[y(x)]^2$, hỏi TỈ LỆ % nướcTrả lời ngắnvolume_cross_section_water_percent(3 câu)
Câu 107.Một chiếc bình đựng nước đặt nằm ngang, thiết diện cắt vuông góc với trục bình tại vị trí có hoành độ $x$ là một hình tròn bán kính $y(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 3}$ (cm), với $0 \le x \le 3$. Người ta đổ nước vào bình sao cho mực nước cao bằng $\dfrac{1}{3}$ chiều cao của bình (tính theo phương $Ox$). Hỏi thể tích nước chiếm bao nhiêu phần trăm thể tích của bình? (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 108.Một chiếc bình đựng nước đặt nằm ngang, thiết diện cắt vuông góc với trục bình tại vị trí có hoành độ $x$ là một hình tròn bán kính $y(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ (cm), với $0 \le x \le 6$. Người ta đổ nước vào bình sao cho mực nước cao bằng $\dfrac{1}{3}$ chiều cao của bình (tính theo phương $Ox$). Hỏi thể tích nước chiếm bao nhiêu phần trăm thể tích của bình? (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 109.Một chiếc bình đựng nước đặt nằm ngang, thiết diện cắt vuông góc với trục bình tại vị trí có hoành độ $x$ là một hình tròn bán kính $y(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 3}$ (cm), với $0 \le x \le 6$. Người ta đổ nước vào bình sao cho mực nước cao bằng $\dfrac{1}{3}$ chiều cao của bình (tính theo phương $Ox$). Hỏi thể tích nước chiếm bao nhiêu phần trăm thể tích của bình? (Làm tròn đến hàng phần trăm)
38. VDC (SA): Thể tích phần nước = thể tích vỏ paraboloid TRỪ viên cầu nội tiếpTrả lời ngắnvolume_paraboloid_minus_sphere(3 câu)
Câu 110.Một chiếc bình thuỷ tinh có lòng là khối tròn xoay sinh bởi parabol $y = \dfrac{x^2}{2}$ (đơn vị: cm) khi quay quanh trục $Oy$. Người ta thả vào đáy bình một viên bi hình cầu tiếp xúc đáy bình và tiếp xúc thành bình tại điểm $M$ cách trục $Ox$ một khoảng $1$ cm, rồi đổ nước vào bình đến độ cao $h = 6$ cm (so với đáy). Tính thể tích phần nước trong bình (đơn vị: cm³). (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 111.Một chiếc bình thuỷ tinh có lòng là khối tròn xoay sinh bởi parabol $y = \dfrac{x^2}{2}$ (đơn vị: cm) khi quay quanh trục $Oy$. Người ta thả vào đáy bình một viên bi hình cầu tiếp xúc đáy bình và tiếp xúc thành bình tại điểm $M$ cách trục $Ox$ một khoảng $2$ cm, rồi đổ nước vào bình đến độ cao $h = 9$ cm (so với đáy). Tính thể tích phần nước trong bình (đơn vị: cm³). (Làm tròn đến hàng đơn vị)
Câu 112.Một chiếc bình thuỷ tinh có lòng là khối tròn xoay sinh bởi parabol $y = \dfrac{x^2}{2}$ (đơn vị: cm) khi quay quanh trục $Oy$. Người ta thả vào đáy bình một viên bi hình cầu tiếp xúc đáy bình và tiếp xúc thành bình tại điểm $M$ cách trục $Ox$ một khoảng $2$ cm, rồi đổ nước vào bình đến độ cao $h = 8$ cm (so với đáy). Tính thể tích phần nước trong bình (đơn vị: cm³). (Làm tròn đến hàng phần mười)
39. Khối lăng trụ: thiết diện là miền dưới hai parabol nối TRƠN (cùng tiếp tuyến tại điểm nối); thể tích $=$ diện tích thiết diện $\times$ bề rộngTrả lời ngắnvolume_prism_two_smooth_parabolas(3 câu)
Câu 113.Một mặt cắt đứng của một đồi trượt cỏ gồm hai cung parabol nối trơn: cung $(P_1)$ có đỉnh tại điểm đầu $A(0;3)$ (cao $3$ m) đi xuống và nối với cung $(P_2)$ tại điểm $N$ cách $A$ một khoảng $4$ m theo phương ngang; $(P_2)$ có đỉnh tại điểm cuối $B$ ở độ cao $0$ và cách $A$ một khoảng $10$ m theo phương ngang. Để mặt trượt mượt, tiếp tuyến của hai parabol tại $N$ trùng nhau. Đồi trượt rộng $5$ m. Tính số mét khối đất đắp thành đồi trượt (thể tích khối).
Câu 114.Một mặt cắt đứng của một đồi trượt cỏ gồm hai cung parabol nối trơn: cung $(P_1)$ có đỉnh tại điểm đầu $A(0;4)$ (cao $4$ m) đi xuống và nối với cung $(P_2)$ tại điểm $N$ cách $A$ một khoảng $6$ m theo phương ngang; $(P_2)$ có đỉnh tại điểm cuối $B$ ở độ cao $0$ và cách $A$ một khoảng $12$ m theo phương ngang. Để mặt trượt mượt, tiếp tuyến của hai parabol tại $N$ trùng nhau. Đồi trượt rộng $5$ m. Tính số mét khối đất đắp thành đồi trượt (thể tích khối).
Câu 115.Một mặt cắt đứng của một đồi trượt cỏ gồm hai cung parabol nối trơn: cung $(P_1)$ có đỉnh tại điểm đầu $A(0;2)$ (cao $2$ m) đi xuống và nối với cung $(P_2)$ tại điểm $N$ cách $A$ một khoảng $3$ m theo phương ngang; $(P_2)$ có đỉnh tại điểm cuối $B$ ở độ cao $0$ và cách $A$ một khoảng $8$ m theo phương ngang. Để mặt trượt mượt, tiếp tuyến của hai parabol tại $N$ trùng nhau. Đồi trượt rộng $6$ m. Tính số mét khối đất đắp thành đồi trượt (thể tích khối).
40. Thể tích vật tròn xoay từ $y = \sqrt{x}$ trên $[0, b]$ — đáp số $k$ trong $k\pi$Trả lời ngắnvolume_revolution_value(3 câu)
Câu 116.Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi $y = \sqrt{x}$, trục $Ox$, và $x = 4$ quay quanh $Ox$ (dạng $k\pi$, ghi $k$).
Câu 117.Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi $y = \sqrt{x}$, trục $Ox$, và $x = 3$ quay quanh $Ox$ (dạng $k\pi$, ghi $k$). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 118.Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi $y = \sqrt{x}$, trục $Ox$, và $x = 2$ quay quanh $Ox$ (dạng $k\pi$, ghi $k$).
41. (SA, đa biểu diễn — thiết diện KHÔNG tròn xoay) Vật thể đặc nằm trên đoạn $[0; b]$ của trục $Ox$; mỗi mặt cắt VUÔNG GÓC với $Ox$ tại hoành độ $x$ là một HÌNH VUÔNG (hoặc tam giác đều) cạnh $a = f(x)$Trả lời ngắnvolume_solid_known_cross_section_square(3 câu)
Câu 119.Một vật thể đặc nằm trên đoạn $[0; 2]$ của trục $Ox$. Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($0 \le x \le 2$) thì được thiết diện là một tam giác đều có cạnh bằng $f(x) = x$. Tính thể tích $V$ của vật thể (đơn vị: cm³). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 120.Một vật thể đặc nằm trên đoạn $[0; 3]$ của trục $Ox$. Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($0 \le x \le 3$) thì được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $f(x) = \sqrt{x}$. Tính thể tích $V$ của vật thể (đơn vị: cm³). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 121.Một vật thể đặc nằm trên đoạn $[0; 3]$ của trục $Ox$. Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($0 \le x \le 3$) thì được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $f(x) = x$. Tính thể tích $V$ của vật thể (đơn vị: cm³).
42. VDC: Thùng ủ rượu / phao bơi hình parabol có 2 đáy bằng nhauTrả lời ngắnwine_barrel_parabolic_volume(3 câu)
Câu 122.Một thùng ủ rượu vang bằng gỗ sồi có dạng là một khối tròn xoay. Nếu cắt thùng bởi một mặt phẳng chứa trục đối xứng của thùng thì đường viền ngoài của thiết diện là một phần của đường parabol. Biết thùng có chiều dài $12$ dm, đường kính hai mặt đáy bằng nhau và bằng $8$ dm, phần phình to nhất ở giữa thùng có đường kính bằng $10$ dm. Hãy tính dung tích của thùng ủ rượu này (đơn vị: lít, làm tròn đến hàng đơn vị; biết $1$ lít $= 1$ dm³ và bỏ qua độ dày của vỏ gỗ).
Câu 123.Một thùng ủ rượu vang bằng gỗ sồi có dạng là một khối tròn xoay. Nếu cắt thùng bởi một mặt phẳng chứa trục đối xứng của thùng thì đường viền ngoài của thiết diện là một phần của đường parabol. Biết thùng có chiều dài $8$ dm, đường kính hai mặt đáy bằng nhau và bằng $4$ dm, phần phình to nhất ở giữa thùng có đường kính bằng $6$ dm. Hãy tính dung tích của thùng ủ rượu này (đơn vị: lít, làm tròn đến hàng đơn vị; biết $1$ lít $= 1$ dm³ và bỏ qua độ dày của vỏ gỗ).
Câu 124.Một thùng ủ rượu vang bằng gỗ sồi có dạng là một khối tròn xoay. Nếu cắt thùng bởi một mặt phẳng chứa trục đối xứng của thùng thì đường viền ngoài của thiết diện là một phần của đường parabol. Biết thùng có chiều dài $10$ dm, đường kính hai mặt đáy bằng nhau và bằng $6$ dm, phần phình to nhất ở giữa thùng có đường kính bằng $8$ dm. Hãy tính dung tích của thùng ủ rượu này (đơn vị: lít, làm tròn đến hàng đơn vị; biết $1$ lít $= 1$ dm³ và bỏ qua độ dày của vỏ gỗ).