Ứng dụng tích phân tính diện tích

Công thức

§1. Công thức(3)

1.1

Diện tích hình phẳng giữa 2 đường cong

Cho 2 hàm số $y = f(x), y = g(x)$ liên tục trên $[a;b]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị + 2 đường $x = a, x = b$ là: $$S = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx.$$

Ghi chú. Trong thực hành: tách $|f - g|$ theo dấu — tìm giao điểm $f(x) = g(x)$ để chia đoạn lấy dấu.

1.2

Diện tích giới hạn bởi parabol + tiếp tuyến

Cho parabol $y = x^2$ và tiếp tuyến tại $x = t$ (với $t > 0$). Diện tích miền giữa parabol, tiếp tuyến và trục $Ox$ = $\dfrac{t^3}{12}$. Lưu ý: phải tách 2 đoạn tích phân ở giao điểm tiếp tuyến với $Ox$ (tại $x = t/2$): $S = \int_0^{t/2} x^2 dx + \int_{t/2}^{t} (x^2 - \text{tiếp tuyến}) dx$.

1.3

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong + trục Ox

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $[a;b]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục $Ox$ và 2 đường $x = a$, $x = b$ là: $$S = \int_a^b |f(x)| \, dx.$$ Nếu $f(x) \geq 0$ trên $[a;b]$: $S = \int_a^b f(x)\, dx$. Nếu $f(x) \leq 0$ trên $[a;b]$: $S = -\int_a^b f(x)\, dx$.

§2. Phương pháp(2)

2.1

Điều kiện 2 miền diện tích bằng nhau

Cho 2 đường cong $f, g$ tạo 2 miền $S_1, S_2$ liên tiếp. Điều kiện $S_1 = S_2$: $$\int_{x_0}^{x_2} (f(x) - g(x)) dx = 0,$$ (với cùng dấu đại số) — tích phân định hướng = 0. Vd: parabol $y = x^2 + a$ và đường thẳng $y = kx$, $S_1 = S_2$ $\Leftrightarrow \int_0^{x_2} (kx - x^2 - a) dx = 0 \Leftrightarrow x_2 = \dfrac{3k}{4}, a = \dfrac{3k^2}{16}$.

2.2

Phương pháp tính diện tích hình phẳng

Bước 1. Vẽ phác đồ thị các đường liên quan để hình dung hình. Bước 2. Tìm giao điểm (nếu cần) bằng cách giải $f(x) = g(x)$ (hoặc $f(x) = 0$ với trục Ox). Bước 3. Xét dấu $f(x) - g(x)$ trên từng đoạn để bỏ giá trị tuyệt đối:

Nếu $f \geq g$ trên $[a;c]$: $\int_a^c (f - g)\, dx$.
Nếu $g \geq f$ trên $[c;b]$: $\int_c^b (g - f)\, dx$.

Bước 4. Cộng các tích phân thành phần.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: dùng hình học để tránh tích phân khó

Một số tích phân có thể tính nhanh qua diện tích hình quen thuộc:

$\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} dx = \pi a^2 / 4$ ($1/4$ hình tròn).
$\int_0^h x dx = h^2/2$ (tam giác đáy $h$ cao $h$).
$\int_0^h k dx = kh$ (hình chữ nhật).

Trước khi tính, vẽ phác miền — nếu là hình tròn/quạt/tam giác → công thức hình học nhanh hơn.

§4. Lưu ý(1)

4.1!

Lưu ý: tách tích phân tại giao điểm

Khi 2 đường cong cắt nhau giữa $[a; b]$ tại $c$:

KHÔNG được dùng $\int_a^b (f - g)$ — kết quả có thể = 0 do hai phần trừ nhau.
Phải tách: $S = \int_a^c |f - g| + \int_c^b |f - g|$.
Tương đương: xét dấu $f - g$ trên từng đoạn, đưa về tích phân $f - g$ hoặc $g - f$ tương ứng.

Bài thi hay đánh lừa: nếu đề cho 1 tích phân duy nhất → kiểm tra xem có giao trong đoạn không.

Bài tập

1. Tìm khẳng định SAI về công thức diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x)$ và trục $Ox$ trên $[a; b]$, khi đồ thị $f$ NẰM HOÀN TOÀN DƯỚI trục $Ox$ ($f(x) \le 0$ trên $[a; b]$)Trắc nghiệm`area_below_ox_find_false_formula`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1; 2]$ và có đồ thị nằm phía DƯỚI trục hoành (tức $f(x) \leq 0$ với mọi $x \in [-1; 2]$). Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = -1, x = 2$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào SAI?

A.$S = -\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,dx - \displaystyle\int_{1}^{2} f(x)\,dx$

B.$S = \displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,dx + \displaystyle\int_{1}^{2} f(x)\,dx$

C.$S = \displaystyle\int_{-1}^{2} \left|f(x)\right|\,dx$

D.$S = \left|\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,dx\right| + \left|\displaystyle\int_{1}^{2} f(x)\,dx\right|$

Câu 2.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-3; 0]$ và có đồ thị nằm phía DƯỚI trục hoành (tức $f(x) \leq 0$ với mọi $x \in [-3; 0]$). Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = -3, x = 0$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào SAI?

A.$S = \displaystyle\int_{-3}^{-2} f(x)\,dx + \displaystyle\int_{-2}^{0} f(x)\,dx$

B.$S = \left|\displaystyle\int_{-3}^{-2} f(x)\,dx\right| + \left|\displaystyle\int_{-2}^{0} f(x)\,dx\right|$

C.$S = \displaystyle\int_{-3}^{0} \left|f(x)\right|\,dx$

D.$S = -\displaystyle\int_{-3}^{-2} f(x)\,dx - \displaystyle\int_{-2}^{0} f(x)\,dx$

Câu 3.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[0; 4]$ và có đồ thị nằm phía DƯỚI trục hoành (tức $f(x) \leq 0$ với mọi $x \in [0; 4]$). Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0, x = 4$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào SAI?

A.$S = \displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx + \displaystyle\int_{2}^{4} f(x)\,dx$

B.$S = -\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx - \displaystyle\int_{2}^{4} f(x)\,dx$

C.$S = \left|\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx\right| + \left|\displaystyle\int_{2}^{4} f(x)\,dx\right|$

D.$S = \displaystyle\int_{0}^{4} \left|f(x)\right|\,dx$

2. Diện tích giữa 2 đồ thị $y = f(x), y = g(x)$ trên $[a; b]$ với $f \geq g$Trắc nghiệm`area_between_curves`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^2$ và đường thẳng $y = 1$.

A.$S = \dfrac{7}{3}$

B.$S = \dfrac{8}{3}$

C.$S = - \dfrac{4}{3}$

D.$S = \dfrac{4}{3}$

Câu 5.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^2$ và đường thẳng $y = -x + 6$.

A.$S = \dfrac{125}{6}$

B.$S = \dfrac{125}{3}$

C.$S = \dfrac{131}{6}$

D.$S = - \dfrac{125}{6}$

Câu 6.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^2$ và đường thẳng $y = 4x - 3$.

A.$S = \dfrac{4}{3}$

B.$S = \dfrac{8}{3}$

C.$S = - \dfrac{4}{3}$

D.$S = \dfrac{7}{3}$

3. Chọn ĐÚNG biểu thức tích phân tính diện tích miền (gạch chéo) giới hạn bởi HAI parabol $y = a_1x^2 + b_1x + c_1$ và $y = a_2x^2 + b_2x + c_2$Trắc nghiệm`area_between_two_parabolas_choose_integrand`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên (giới hạn bởi $y = x^2 + 6x + 4$ và $y = -x^2 - 2x - 2$) bằng

Miền gạch chéo giữa hai parabol y=x^2 + 6x + 4 và y=-x^2 - 2x - 2 trên [-3;-1].

A.$\displaystyle\int_{-3}^{-1}\left(-2x^2 - 8x - 6\right)\,dx.$

B.$\displaystyle\int_{-3}^{-1}\left(-2x^2 + 8x - 6\right)\,dx.$

C.$\displaystyle\int_{-3}^{-1}\left(2x^2 - 8x + 6\right)\,dx.$

D.$\displaystyle\int_{-3}^{-1}\left(2x^2 + 8x + 6\right)\,dx.$

Câu 8.Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên (giới hạn bởi $y = 2x^2 + 5x - 7$ và $y = -x^2 + 2x - 1$) bằng

Miền gạch chéo giữa hai parabol y=2x^2 + 5x - 7 và y=-x^2 + 2x - 1 trên [-2;1].

A.$\displaystyle\int_{-2}^{1}\left(-3x^2 - 3x + 6\right)\,dx.$

B.$\displaystyle\int_{-2}^{1}\left(3x^2 - 3x - 6\right)\,dx.$

C.$\displaystyle\int_{-2}^{1}\left(-3x^2 + 3x + 6\right)\,dx.$

D.$\displaystyle\int_{-2}^{1}\left(3x^2 + 3x - 6\right)\,dx.$

Câu 9.Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên (giới hạn bởi $y = x^2 + 7x - 2$ và $y = -2x^2 - 2x - 2$) bằng

Miền gạch chéo giữa hai parabol y=x^2 + 7x - 2 và y=-2x^2 - 2x - 2 trên [-3;0].

A.$\displaystyle\int_{-3}^{0}\left(-3x^2 - 9x\right)\,dx.$

B.$\displaystyle\int_{-3}^{0}\left(3x^2 + 9x\right)\,dx.$

C.$\displaystyle\int_{-3}^{0}\left(3x^2 - 9x\right)\,dx.$

D.$\displaystyle\int_{-3}^{0}\left(-3x^2 + 9x\right)\,dx.$

4. Chọn ĐÚNG công thức diện tích miền giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = p, x = q$, KHI $f$ ĐỔI DẤU trên $[p; q]$Trắc nghiệm`area_curve_ox_two_lines_choose_abs_formula`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x + 1$, trục hoành và hai đường thẳng $x = -3$, $x = 1$ bằng

A.$S = \displaystyle\int_{-3}^{1} \left|x + 1\right|\,dx$

B.$S = \displaystyle\int_{-3}^{1} \left(x + 1\right)\,dx$

C.$S = \pi\displaystyle\int_{-3}^{1} \left|x + 1\right|\,dx$

D.$S = \pi\displaystyle\int_{-3}^{1} \left(x + 1\right)\,dx$

Câu 11.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^3 - 4x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 4$ bằng

A.$S = \pi\displaystyle\int_{0}^{4} \left|x^3 - 4x\right|\,dx$

B.$S = \displaystyle\int_{0}^{4} \left|x^3 - 4x\right|\,dx$

C.$S = \displaystyle\int_{0}^{4} \left(x^3 - 4x\right)\,dx$

D.$S = \pi\displaystyle\int_{0}^{4} \left(x^3 - 4x\right)\,dx$

Câu 12.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^3 - 4x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 3$ bằng

A.$S = \displaystyle\int_{0}^{3} \left|x^3 - 4x\right|\,dx$

B.$S = \pi\displaystyle\int_{0}^{3} \left(x^3 - 4x\right)\,dx$

C.$S = \displaystyle\int_{0}^{3} \left(x^3 - 4x\right)\,dx$

D.$S = \pi\displaystyle\int_{0}^{3} \left|x^3 - 4x\right|\,dx$

5. Chọn ĐÚNG công thức diện tích miền giữa hai đường $y=f(x), y=g(x)$Trắc nghiệm`area_formula_between_two_curves`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 13.Cho hai hàm số $y = g(x)$ và $y = h(x)$ liên tục trên đoạn $[m;n]$. Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số đó và hai đường thẳng $x = m$, $x = n$ được tính theo công thức nào dưới đây?

A.$S = \int_{m}^{n} \left[g(x) - h(x)\right]\,dx$

B.$S = \int_{m}^{n} \left|g(x) - h(x)\right|\,dx$

C.$S = \pi\int_{m}^{n} \left|g(x) - h(x)\right|\,dx$

D.$S = \left|\int_{m}^{n} \left[g(x) - h(x)\right]\,dx\right|$

Câu 14.Cho hai hàm số $y = u(x)$ và $y = v(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số đó và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ được tính theo công thức nào dưới đây?

A.$S = \left|\int_{a}^{b} \left[u(x) - v(x)\right]\,dx\right|$

B.$S = \pi\int_{a}^{b} \left|u(x) - v(x)\right|\,dx$

C.$S = \int_{a}^{b} \left|u(x) - v(x)\right|\,dx$

D.$S = \int_{a}^{b} \left[u(x) - v(x)\right]\,dx$

Câu 15.Cho hai hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số đó và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ được tính theo công thức nào dưới đây?

A.$S = \int_{a}^{b} \left|f(x) - g(x)\right|\,dx$

B.$S = \left|\int_{a}^{b} \left[f(x) - g(x)\right]\,dx\right|$

C.$S = \pi\int_{a}^{b} \left|f(x) - g(x)\right|\,dx$

D.$S = \int_{a}^{b} \left[f(x) - g(x)\right]\,dx$

6. Chọn ĐÚNG công thức diện tích miền giới hạn bởi $y = ax+b$, $Ox$, $x=p$, $x=q$Trắc nghiệm`area_formula_linear_under_ox`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 16.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 3x+2$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0, x = 2$ được xác định bằng công thức

A.$S = \pi\int_{0}^{2} (3x+2)^2\,dx$

B.$S = \int_{0}^{2} (3x+2)^2\,dx$

C.$S = \pi\int_{0}^{2} (3x+2)\,dx$

D.$S = \int_{0}^{2} (3x+2)\,dx$

Câu 17.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2x+1$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1, x = 2$ được xác định bằng công thức

A.$S = \pi\int_{1}^{2} (2x+1)^2\,dx$

B.$S = \pi\int_{1}^{2} (2x+1)\,dx$

C.$S = \int_{1}^{2} (2x+1)^2\,dx$

D.$S = \int_{1}^{2} (2x+1)\,dx$

Câu 18.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 3x-1$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1, x = 2$ được xác định bằng công thức

A.$S = \pi\int_{1}^{2} (3x-1)^2\,dx$

B.$S = \int_{1}^{2} (3x-1)\,dx$

C.$S = \pi\int_{1}^{2} (3x-1)\,dx$

D.$S = \int_{1}^{2} (3x-1)^2\,dx$

7. Diện tích giới hạn bởi parabol $y = -(x - x_1)(x - x_2)$ (mở xuống) và trục OxTrắc nghiệm`area_parabola_axis`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = -x^2 + 5x - 6$ và trục hoành.

A.$S = \dfrac{1}{6}$

B.$S = \dfrac{1}{3}$

C.$S = \dfrac{7}{6}$

D.$S = - \dfrac{1}{6}$

Câu 20.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = -x^2 - 5x - 6$ và trục hoành.

A.$S = \dfrac{1}{6}$

B.$S = \dfrac{7}{6}$

C.$S = - \dfrac{1}{6}$

D.$S = \dfrac{1}{3}$

Câu 21.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = -x^2 - 3x - 2$ và trục hoành.

A.$S = \dfrac{7}{6}$

B.$S = \dfrac{1}{3}$

C.$S = - \dfrac{1}{6}$

D.$S = \dfrac{1}{6}$

8. Chọn công thức ĐÚNG cho diện tích $S = \int|f|$ khi $f$ đổi dấu — phải tách dấu theo nghiệm đọc từ mô tả/đồ thịTrắc nghiệm`area_sign_split_choose_formula`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[2; 5]$, có đồ thị cắt trục $Ox$ tại $x = 3$. Đồ thị nằm phía trên trục $Ox$ trên $(3; 5)$ và nằm phía dưới trục $Ox$ trên $(2; 3)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 2, x = 5$ được tính bởi công thức nào dưới đây?

A.$S = -\int_{2}^{3} f(x)\,dx - \int_{3}^{5} f(x)\,dx$

B.$S = \left| \int_{2}^{5} f(x)\,dx \right|$

C.$S = -\int_{2}^{3} f(x)\,dx + \int_{3}^{5} f(x)\,dx$

D.$S = \int_{2}^{5} f(x)\,dx$

Câu 23.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-2; 2]$, có đồ thị cắt trục $Ox$ tại $x = -1$; $x = 0$. Đồ thị nằm phía trên trục $Ox$ trên $(-1; 0)$, $(0; 2)$ và nằm phía dưới trục $Ox$ trên $(-2; -1)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = -2, x = 2$ được tính bởi công thức nào dưới đây?

A.$S = -\int_{-2}^{-1} f(x)\,dx + \int_{-1}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{2} f(x)\,dx$

B.$S = \int_{-2}^{-1} f(x)\,dx + \int_{-1}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{2} f(x)\,dx$

C.$S = \int_{-2}^{2} f(x)\,dx$

D.$S = \left| \int_{-2}^{2} f(x)\,dx \right|$

Câu 24.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-3; 0]$, có đồ thị cắt trục $Ox$ tại $x = -2$. Đồ thị nằm phía trên trục $Ox$ trên $(-3; -2)$ và nằm phía dưới trục $Ox$ trên $(-2; 0)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = -3, x = 0$ được tính bởi công thức nào dưới đây?

A.$S = -\int_{-3}^{-2} f(x)\,dx - \int_{-2}^{0} f(x)\,dx$

B.$S = \int_{-3}^{0} f(x)\,dx$

C.$S = \int_{-3}^{-2} f(x)\,dx - \int_{-2}^{0} f(x)\,dx$

D.$S = \left| \int_{-3}^{0} f(x)\,dx \right|$

9. Đối ngẫu của find_false: tìm khẳng định ĐÚNG về biểu thức $S$ khi đồ thị có phần dưới $Ox$Trắc nghiệm`area_sign_split_choose_true`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[1; 4]$, có đồ thị cắt trục $Ox$ tại $x = 3$. Đồ thị nằm phía trên trục $Ox$ trên $(3; 4)$ và nằm phía dưới trục $Ox$ trên $(1; 3)$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1, x = 4$. Khẳng định nào dưới đây ĐÚNG?

A.$S = \int_{1}^{3} f(x)\,dx + \int_{3}^{4} f(x)\,dx$.

B.$S = \left| \int_{1}^{4} f(x)\,dx \right|$.

C.$S = \int_{1}^{4} f(x)\,dx$.

D.$S = -\int_{1}^{3} f(x)\,dx + \int_{3}^{4} f(x)\,dx$.

Câu 26.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-2; 1]$, có đồ thị cắt trục $Ox$ tại $x = 0$. Đồ thị nằm phía dưới trục $Ox$ trên $(-2; 0)$, $(0; 1)$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = -2, x = 1$. Khẳng định nào dưới đây ĐÚNG?

A.$S = \int_{-2}^{0} f(x)\,dx - \int_{0}^{1} f(x)\,dx$.

B.$S = -\int_{-2}^{0} f(x)\,dx - \int_{0}^{1} f(x)\,dx$.

C.$S = \int_{-2}^{1} f(x)\,dx$.

D.$S = \left| \int_{-2}^{1} f(x)\,dx \right|$.

Câu 27.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[2; 5]$, có đồ thị cắt trục $Ox$ tại $x = 3$; $x = 4$. Đồ thị nằm phía trên trục $Ox$ trên $(3; 4)$, $(4; 5)$ và nằm phía dưới trục $Ox$ trên $(2; 3)$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 2, x = 5$. Khẳng định nào dưới đây ĐÚNG?

A.$S = \int_{2}^{5} f(x)\,dx$.

B.$S = -\int_{2}^{3} f(x)\,dx - \int_{3}^{4} f(x)\,dx + \int_{4}^{5} f(x)\,dx$.

C.$S = \left| \int_{2}^{5} f(x)\,dx \right|$.

D.$S = -\int_{2}^{3} f(x)\,dx + \int_{3}^{4} f(x)\,dx + \int_{4}^{5} f(x)\,dx$.

10. Tìm khẳng định SAI trong 4 phát biểu về diện tích khi $f$ đổi dấuTrắc nghiệm`area_sign_split_find_false`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1; 2]$, có đồ thị cắt trục $Ox$ tại $x = 1$. Đồ thị nằm phía trên trục $Ox$ trên $(1; 2)$ và nằm phía dưới trục $Ox$ trên $(-1; 1)$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = -1, x = 2$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào SAI?

A.$S = -\int_{-1}^{1} f(x)\,dx + \int_{1}^{2} f(x)\,dx$.

B.$S = \int_{-1}^{2} |f(x)|\,dx$.

C.$S = \left| \int_{-1}^{1} f(x)\,dx \right| + \left| \int_{1}^{2} f(x)\,dx \right|$.

D.$S = \left| \int_{-1}^{2} f(x)\,dx \right|$.

Câu 29.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[0; 2]$, có đồ thị cắt trục $Ox$ tại $x = 1$. Đồ thị nằm phía dưới trục $Ox$ trên $(0; 1)$, $(1; 2)$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0, x = 2$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào SAI?

A.$S = -\int_{0}^{1} f(x)\,dx - \int_{1}^{2} f(x)\,dx$.

B.$S = \int_{0}^{2} |f(x)|\,dx$.

C.$S = \int_{0}^{2} f(x)\,dx$.

D.$S = \left| \int_{0}^{1} f(x)\,dx \right| + \left| \int_{1}^{2} f(x)\,dx \right|$.

Câu 30.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-3; 0]$, có đồ thị cắt trục $Ox$ tại $x = -1$. Đồ thị nằm phía trên trục $Ox$ trên $(-3; -1)$ và nằm phía dưới trục $Ox$ trên $(-1; 0)$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = -3, x = 0$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào SAI?

A.$S = \int_{-3}^{0} |f(x)|\,dx$.

B.$S = \int_{-3}^{-1} f(x)\,dx - \int_{-1}^{0} f(x)\,dx$.

C.$S = \left| \int_{-3}^{-1} f(x)\,dx \right| + \left| \int_{-1}^{0} f(x)\,dx \right|$.

D.$S = \int_{-3}^{0} f(x)\,dx$.

11. Vận dụng cao THPT. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^2$, đường thẳng tiếp xúc $y = 2tx - t^2$ tại $x = t$ (hoặc đường thẳng cho trước) và trục $Ox$ — phải tách thành 2 tích phân trên 2 đoạnTrắc nghiệm`area_three_lines_parabola`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 31.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^2$, đường thẳng $y = 8x - 16$ và trục hoành $Ox$.

A.$S = \dfrac{32}{3}$

B.$S = \dfrac{8}{3}$

C.$S = \dfrac{16}{3}$

D.$S = \dfrac{64}{3}$

Câu 32.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^2$, đường thẳng $y = 4x - 4$ và trục hoành $Ox$.

A.$S = \dfrac{2}{3}$

B.$S = \dfrac{1}{3}$

C.$S = \dfrac{8}{3}$

D.$S = \dfrac{4}{3}$

Câu 33.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^2$, đường thẳng $y = 8x - 16$ và trục hoành $Ox$.

A.$S = \dfrac{64}{3}$

B.$S = \dfrac{8}{3}$

C.$S = \dfrac{16}{3}$

D.$S = \dfrac{32}{3}$

12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = ax^2$ và Ox trên $[0, k]$Trắc nghiệm`area_under_curve_quadratic`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 34.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = 5x^2$, trục $Ox$, và hai đường $x = 0, x = 5$.

A.$S = 125$

B.$S = \dfrac{125}{2}$

C.$S = 625$

D.$S = \dfrac{625}{3}$

Câu 35.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x^2$, trục $Ox$, và hai đường $x = 0, x = 3$.

A.$S = \dfrac{9}{2}$

B.$S = 9$

C.$S = 27$

D.$S = 10$

Câu 36.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = 4x^2$, trục $Ox$, và hai đường $x = 0, x = 4$.

A.$S = 32$

B.$S = \dfrac{256}{3}$

C.$S = 64$

D.$S = 256$

13. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = ax$ trên $[0; a]$ (với $a > 0$)Trắc nghiệm`area_with_abs_value_two_curves`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 37.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = x^2$ và $y = 2x$.

A.$S = \dfrac{8}{3}$

B.$S = \dfrac{2}{3}$

C.$S = \dfrac{4}{3}$

D.$S = 4$

Câu 38.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = x^2$ và $y = 2x$.

A.$S = \dfrac{2}{3}$

B.$S = \dfrac{8}{3}$

C.$S = \dfrac{4}{3}$

D.$S = 4$

Câu 39.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = x^2$ và $y = 4x$.

A.$S = 32$

B.$S = \dfrac{32}{3}$

C.$S = \dfrac{8}{3}$

D.$S = \dfrac{64}{3}$

14. VDC: Đường thẳng $y = kx$ và parabol $y = x^2 + a$ (tham số $a > 0$)Trắc nghiệm`equal_area_parabola_line_param`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 40.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, gọi $(P)$ là parabol $y = x^2 + a$ (với $a$ là tham số thực dương) và $(d)$ là đường thẳng $y = \dfrac{4}{3}\,x$. Biết $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1 < x_2$ với $0 < x_1 < x_2$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P), (d)$ và trục $Oy$ trên đoạn $[0; x_1]$; gọi $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P), (d)$ trên đoạn $[x_1; x_2]$. Tìm $a$ để $S_1 = S_2$.

A.$a = \dfrac{2}{3}$

B.$a = \dfrac{2}{9}$

C.$a = \dfrac{1}{3}$

D.$a = \dfrac{4}{9}$

Câu 41.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, gọi $(P)$ là parabol $y = x^2 + a$ (với $a$ là tham số thực dương) và $(d)$ là đường thẳng $y = \dfrac{8}{3}\,x$. Biết $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1 < x_2$ với $0 < x_1 < x_2$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P), (d)$ và trục $Oy$ trên đoạn $[0; x_1]$; gọi $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P), (d)$ trên đoạn $[x_1; x_2]$. Tìm $a$ để $S_1 = S_2$.

A.$a = \dfrac{8}{9}$

B.$a = \dfrac{4}{3}$

C.$a = \dfrac{16}{9}$

D.$a = \dfrac{8}{3}$

Câu 42.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, gọi $(P)$ là parabol $y = x^2 + a$ (với $a$ là tham số thực dương) và $(d)$ là đường thẳng $y = \dfrac{4}{3}\,x$. Biết $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1 < x_2$ với $0 < x_1 < x_2$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P), (d)$ và trục $Oy$ trên đoạn $[0; x_1]$; gọi $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P), (d)$ trên đoạn $[x_1; x_2]$. Tìm $a$ để $S_1 = S_2$.

A.$a = \dfrac{2}{9}$

B.$a = \dfrac{1}{3}$

C.$a = \dfrac{2}{3}$

D.$a = \dfrac{4}{9}$

15. Ước lượng quãng đường $S\approx\int v\,dt$ từ bảng vận tốc $v(t)$ bằng quy tắc hình thangTrắc nghiệm`estimate_area_from_velocity_table_trapezoid`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 43.Một ô tô chuyển động có vận tốc $v(t)$ (m/s) được ghi lại tại một số thời điểm như bảng sau: | $t$ (s) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $v$ (m/s) | 0 | 5 | 10 | 12 | 15 | 19 | Dùng quy tắc hình thang, hãy ước lượng quãng đường ô tô đi được trong $5$ giây đầu.

A.$S \approx 42 \text{ m}$

B.$S \approx 61 \text{ m}$

C.$S \approx 103 \text{ m}$

D.$S \approx 26 \text{ m}$

E.$S \approx \dfrac{103}{2} \text{ m}$

Câu 44.Một ô tô chuyển động có vận tốc $v(t)$ (m/s) được ghi lại tại một số thời điểm như bảng sau: | $t$ (s) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $v$ (m/s) | 0 | 4 | 7 | 11 | 14 | 16 | Dùng quy tắc hình thang, hãy ước lượng quãng đường ô tô đi được trong $10$ giây đầu.

A.$S \approx 88 \text{ m}$

B.$S \approx 44 \text{ m}$

C.$S \approx 72 \text{ m}$

D.$S \approx 104 \text{ m}$

E.$S \approx 176 \text{ m}$

Câu 45.Một ô tô chuyển động có vận tốc $v(t)$ (m/s) được ghi lại tại một số thời điểm như bảng sau: | $t$ (s) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $v$ (m/s) | 4 | 9 | 12 | 17 | 22 | Dùng quy tắc hình thang, hãy ước lượng quãng đường ô tô đi được trong $4$ giây đầu.

A.$S \approx 42 \text{ m}$

B.$S \approx 60 \text{ m}$

C.$S \approx 102 \text{ m}$

D.$S \approx \dfrac{51}{2} \text{ m}$

E.$S \approx 51 \text{ m}$

16. Đa biểu diễn (đồ thị $f'$ ↔ giá trị $f$). Cho đồ thị $y = f'(x)$ cắt $Ox$ tại $a < m < b$ với miền $(A)$ diện tích $S_A$ trên $(a; m)$ và miền $(B)$ diện tích $S_B$ trên $(m; b)$; biết $f(a) = v_0$Trắc nghiệm`fundamental_thm_g_from_area_under_fprime`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 46.Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Biết $f(-2) = -2$, diện tích miền $(A)$ phía trên trục $Ox$ bằng $7$, diện tích miền $(B)$ phía dưới trục $Ox$ bằng $2$. Tính $f(4)$.

Đồ thị f'(x) cắt Ox tại -2, 1, 4; miền (A) phía trên Ox trên (-2;1), miền (B) phía dưới Ox trên (1;4).

A.$f(4) = 3$

B.$f(4) = -7$

C.$f(4) = 7$

D.$f(4) = -11$

Câu 47.Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Biết $f(-2) = 2$, diện tích miền $(A)$ phía trên trục $Ox$ bằng $4$, diện tích miền $(B)$ phía dưới trục $Ox$ bằng $9$. Tính $f(4)$.

Đồ thị f'(x) cắt Ox tại -2, 1, 4; miền (A) phía trên Ox trên (-2;1), miền (B) phía dưới Ox trên (1;4).

A.$f(4) = -3$

B.$f(4) = 7$

C.$f(4) = 15$

D.$f(4) = -11$

Câu 48.Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Biết $f(-3) = -1$, diện tích miền $(A)$ phía dưới trục $Ox$ bằng $8$, diện tích miền $(B)$ phía trên trục $Ox$ bằng $6$. Tính $f(3)$.

Đồ thị f'(x) cắt Ox tại -3, 1, 3; miền (A) phía dưới Ox trên (-3;1), miền (B) phía trên Ox trên (1;3).

A.$f(3) = 13$

B.$f(3) = -3$

C.$f(3) = 1$

D.$f(3) = -15$

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 49.Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Biết $f(-2) = \dfrac{7}{3}$, diện tích miền $(A)$ phía dưới trục $Ox$ bằng $\dfrac{15}{2}$, diện tích miền $(B)$ phía trên trục $Ox$ bằng $\dfrac{11}{2}$. Tính $f(4)$.

Đồ thị f'(x) cắt Ox tại -2, 1, 4; miền (A) phía dưới Ox trên (-2;1), miền (B) phía trên Ox trên (1;4).

A.$f(4) = \dfrac{46}{3}$

B.$f(4) = \dfrac{1}{3}$

C.$f(4) = -\dfrac{32}{3}$

D.$f(4) = \dfrac{13}{3}$

Câu 50.Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Biết $f(-3) = -\dfrac{7}{3}$, diện tích miền $(A)$ phía dưới trục $Ox$ bằng $\dfrac{16}{3}$, diện tích miền $(B)$ phía trên trục $Ox$ bằng $\dfrac{21}{2}$. Tính $f(4)$.

Đồ thị f'(x) cắt Ox tại -3, 1, 4; miền (A) phía dưới Ox trên (-3;1), miền (B) phía trên Ox trên (1;4).

A.$f(4) = -\dfrac{15}{2}$

B.$f(4) = \dfrac{17}{6}$

C.$f(4) = \dfrac{27}{2}$

D.$f(4) = -\dfrac{109}{6}$

Câu 51.Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Biết $f(-2) = \dfrac{11}{3}$, diện tích miền $(A)$ phía dưới trục $Ox$ bằng $\dfrac{15}{2}$, diện tích miền $(B)$ phía trên trục $Ox$ bằng $\dfrac{9}{2}$. Tính $f(4)$.

Đồ thị f'(x) cắt Ox tại -2, 2, 4; miền (A) phía dưới Ox trên (-2;2), miền (B) phía trên Ox trên (2;4).

A.$f(4) = -\dfrac{25}{3}$

B.$f(4) = \dfrac{47}{3}$

C.$f(4) = \dfrac{2}{3}$

D.$f(4) = \dfrac{20}{3}$

17. Forward: cho $S_1$ (miền trên $Ox$), $S_2$ (miền dưới $Ox$), tính $\int_a^b f = S_1 - S_2$Trắc nghiệm`integral_signed_area_forward`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 52.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[0; 4]$. Đồ thị hàm số cùng với trục hoành tạo thành hai miền: miền có diện tích $S_1 = 2$ nằm phía trên trục $Ox$ và miền có diện tích $S_2 = 3$ nằm phía dưới trục $Ox$. Tính $\displaystyle\int_{0}^{4} f(x)\,dx$.

A.$\int_{0}^{4} f(x)\,dx = -1$

B.$\int_{0}^{4} f(x)\,dx = 1$

C.$\int_{0}^{4} f(x)\,dx = 5$

D.$\int_{0}^{4} f(x)\,dx = -5$

Câu 53.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[1; 5]$. Đồ thị hàm số cùng với trục hoành tạo thành hai miền: miền có diện tích $S_1 = 9$ nằm phía trên trục $Ox$ và miền có diện tích $S_2 = 1$ nằm phía dưới trục $Ox$. Tính $\displaystyle\int_{1}^{5} f(x)\,dx$.

A.$\int_{1}^{5} f(x)\,dx = -8$

B.$\int_{1}^{5} f(x)\,dx = 8$

C.$\int_{1}^{5} f(x)\,dx = 10$

D.$\int_{1}^{5} f(x)\,dx = -10$

Câu 54.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-3; 3]$. Đồ thị hàm số cùng với trục hoành tạo thành hai miền: miền có diện tích $S_1 = 3$ nằm phía trên trục $Ox$ và miền có diện tích $S_2 = 6$ nằm phía dưới trục $Ox$. Tính $\displaystyle\int_{-3}^{3} f(x)\,dx$.

A.$\int_{-3}^{3} f(x)\,dx = 9$

B.$\int_{-3}^{3} f(x)\,dx = -9$

C.$\int_{-3}^{3} f(x)\,dx = -3$

D.$\int_{-3}^{3} f(x)\,dx = 3$

18. Reverse: cho $\int_a^b f$ và $S_1$ (miền trên), tìm $S_2 = S_1 - \int_a^b f$Trắc nghiệm`integral_signed_area_reverse`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 55.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $[1; 4]$, biết $\displaystyle\int_{1}^{4} f(x)\,dx = 3$. Đồ thị hàm số cùng trục hoành tạo thành hai miền: miền diện tích $S_1 = 4$ nằm trên trục $Ox$ và miền diện tích $S_2$ nằm dưới trục $Ox$. Tính $S_2$.

A.$S_2 = 1$

B.$S_2 = 3$

C.$S_2 = -1$

D.$S_2 = 7$

Câu 56.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $[-3; 3]$, biết $\displaystyle\int_{-3}^{3} f(x)\,dx = -4$. Đồ thị hàm số cùng trục hoành tạo thành hai miền: miền diện tích $S_1 = 2$ nằm trên trục $Ox$ và miền diện tích $S_2$ nằm dưới trục $Ox$. Tính $S_2$.

A.$S_2 = 4$

B.$S_2 = -2$

C.$S_2 = -6$

D.$S_2 = 6$

Câu 57.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $[0; 3]$, biết $\displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,dx = -5$. Đồ thị hàm số cùng trục hoành tạo thành hai miền: miền diện tích $S_1 = 3$ nằm trên trục $Ox$ và miền diện tích $S_2$ nằm dưới trục $Ox$. Tính $S_2$.

A.$S_2 = 5$

B.$S_2 = -8$

C.$S_2 = -2$

D.$S_2 = 8$

19. Ba miền: $S_1$ (trên), $S_2$ (dưới), $S_3$ (trên) → $\int_a^b f = S_1 - S_2 + S_3$Trắc nghiệm`integral_signed_area_three_regions`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 58.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $[0; 3]$. Đồ thị hàm số cùng trục hoành tạo thành ba miền liên tiếp: miền diện tích $S_1 = 5$ (trên $Ox$), miền diện tích $S_2 = 6$ (dưới $Ox$) và miền diện tích $S_3 = 7$ (trên $Ox$). Tính $\displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,dx$.

A.$\int_{0}^{3} f(x)\,dx = 6$

B.$\int_{0}^{3} f(x)\,dx = 18$

C.$\int_{0}^{3} f(x)\,dx = -8$

D.$\int_{0}^{3} f(x)\,dx = -6$

Câu 59.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $[0; 4]$. Đồ thị hàm số cùng trục hoành tạo thành ba miền liên tiếp: miền diện tích $S_1 = 3$ (trên $Ox$), miền diện tích $S_2 = 6$ (dưới $Ox$) và miền diện tích $S_3 = 5$ (trên $Ox$). Tính $\displaystyle\int_{0}^{4} f(x)\,dx$.

A.$\int_{0}^{4} f(x)\,dx = -2$

B.$\int_{0}^{4} f(x)\,dx = -8$

C.$\int_{0}^{4} f(x)\,dx = 14$

D.$\int_{0}^{4} f(x)\,dx = 2$

Câu 60.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $[-3; 1]$. Đồ thị hàm số cùng trục hoành tạo thành ba miền liên tiếp: miền diện tích $S_1 = 8$ (trên $Ox$), miền diện tích $S_2 = 7$ (dưới $Ox$) và miền diện tích $S_3 = 6$ (trên $Ox$). Tính $\displaystyle\int_{-3}^{1} f(x)\,dx$.

A.$\int_{-3}^{1} f(x)\,dx = -5$

B.$\int_{-3}^{1} f(x)\,dx = 7$

C.$\int_{-3}^{1} f(x)\,dx = -7$

D.$\int_{-3}^{1} f(x)\,dx = 21$

20. Quan sát hình vẽ vùng giới hạn bởi đường cong y=ax², trục Ox và x=kTrắc nghiệm`read_area_under_curve_from_figure`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 61.Quan sát hình tô đậm trong hình minh họa. Tính diện tích $S$ của miền giới hạn bởi đường cong $y = 2x^2$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = 0, x = 3$.

Vùng diện tích dưới y=2x² trên [0;3]

A.$S = 18$

B.$S = 9$

C.$S = 19$

D.$S = 54$

Câu 62.Quan sát hình tô đậm trong hình minh họa. Tính diện tích $S$ của miền giới hạn bởi đường cong $y = 3x^2$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = 0, x = 3$.

Vùng diện tích dưới y=3x² trên [0;3]

A.$S = 28$

B.$S = 81$

C.$S = \dfrac{27}{2}$

D.$S = 27$

Câu 63.Quan sát hình tô đậm trong hình minh họa. Tính diện tích $S$ của miền giới hạn bởi đường cong $y = x^2$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = 0, x = 2$.

Vùng diện tích dưới y=1x² trên [0;2]

A.$S = 4$

B.$S = 2$

C.$S = \dfrac{8}{3}$

D.$S = 8$

21. Cho hàm $y = f(x)$ cụ thể (đa thức bậc 2 hoặc 3) trên đoạn cụ thể — xét đúng/sai về diện tích hình thang cong giữa đồ thị và trục $Ox$Đúng / Sai`area_app_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 64.Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x$, trục $Ox$, $x = 0$, $x = 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Có thể tính diện tích phần đồ thị nằm dưới $Ox$ bằng tích phân âm.

b)Diện tích hình phẳng $S = \int_{0}^{4} x\,dx$.

c)$S = \int_{0}^{4} x\,dx \cdot 2$ (nhân thêm $2$).

d)$S = 8$.

Câu 65.Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x$, trục $Ox$, $x = 0$, $x = 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Diện tích hình phẳng $S = \int_{0}^{4} x\,dx$.

b)Có thể tính diện tích phần đồ thị nằm dưới $Ox$ bằng tích phân âm.

c)$S = \int_{0}^{4} x\,dx \cdot 2$ (nhân thêm $2$).

d)Hàm $f(x) = x \geq 0$ trên đoạn $[0; 4]$.

Câu 66.Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x^2$, trục $Ox$, $x = 0$, $x = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Có thể tính diện tích phần đồ thị nằm dưới $Ox$ bằng tích phân âm.

b)Diện tích hình phẳng luôn không âm.

c)$S = \dfrac{8}{3}$.

d)$\int_{0}^{2} x^2\,dx = -\int_{2}^{0} x^2\,dx$.

22. Cho hai đường $y = x^2$ và $y = 2x$ (hoặc tương tự) — xét đúng/sai về giao điểm, công thức diện tích và kết quảĐúng / Sai`area_application_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 67.Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị $y = x^2$ và $y = 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Diện tích hình phẳng $S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx$.

b)Trên đoạn $[-2; 2]$, $(4) \geq (x^2)$.

c)$S = \dfrac{32}{3}$.

d)Tích phân $\int_a^b f(x)\,dx$ luôn cho ra diện tích.

Câu 68.Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị $y = x^2$ và $y = 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tích phân $\int_a^b f(x)\,dx$ luôn cho ra diện tích.

b)Diện tích hình phẳng $S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx$.

c)Hai đồ thị $y = x^2$ và $y = 4$ cắt nhau tại các điểm có hoành độ $x = -2$ và $x = 2$.

d)$S = -\dfrac{32}{3}$.

Câu 69.Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị $y = x^2$ và $y = 2x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Diện tích hình phẳng luôn không âm.

b)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong là $\int |f - g|\,dx$.

c)$S = -\dfrac{4}{3}$.

d)Hai đồ thị $y = x^2$ và $y = 2x$ cắt nhau tại các điểm có hoành độ $x = 0$ và $x = 2$.

23. Hai đường cong CẮT NHAU trong đoạn → phải tách miền theo điểm cắtĐúng / Sai`area_between_curves_crossing_split_facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 70.Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị $y = x^3$ và $y = 4x$ trên đoạn $[-2; 2]$. Biết hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ $x = 0$ thuộc khoảng $(-2; 2)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai đồ thị $y = x^3$ và $y = 4x$ cắt nhau tại điểm có hoành độ $x = 0$ nằm trong khoảng $(-2; 2)$.

b)Diện tích hình phẳng bằng $\left|\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^3 - (4x))\,dx\right| = 0$.

c)Trên khoảng $(-2; 0)$ thì $x^3 \ge 4x$, còn trên khoảng $(0; 2)$ thì $4x \ge x^3$.

d)Diện tích $S = \displaystyle\int_{-2}^{0} (x^3 - (4x))\,dx + \int_{0}^{2} (4x - (x^3))\,dx = 8$.

Câu 71.Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị $y = x^3$ và $y = x$ trên đoạn $[-1; 1]$. Biết hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ $x = 0$ thuộc khoảng $(-1; 1)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Diện tích hình phẳng bằng $\left|\displaystyle\int_{-1}^{1} (x^3 - (x))\,dx\right| = 0$.

b)Vì $\displaystyle\int_{-1}^{1} (x^3 - (x))\,dx = 0$ nên diện tích hai phần (ứng với hai nửa đoạn) bằng nhau.

c)Hai đồ thị $y = x^3$ và $y = x$ cắt nhau tại điểm có hoành độ $x = 0$ nằm trong khoảng $(-1; 1)$.

d)$\displaystyle\int_{-1}^{1} (x^3 - (x))\,dx$ chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường.

Câu 72.Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị $y = x$ và $y = x^2$ trên đoạn $[0; 2]$. Biết hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ $x = 1$ thuộc khoảng $(0; 2)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Trên khoảng $(0; 1)$ thì $x \ge x^2$, còn trên khoảng $(1; 2)$ thì $x^2 \ge x$.

b)$\displaystyle\int_{0}^{2} (x - (x^2))\,dx$ chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường.

c)Diện tích $S = \displaystyle\int_{0}^{1} (x - (x^2))\,dx + \int_{1}^{2} (x^2 - (x))\,dx = 1$.

d)Diện tích hình phẳng bằng $\left|\displaystyle\int_{0}^{2} (x - (x^2))\,dx\right| = \dfrac{2}{3}$.

24. TF: đường cong Lorenz $L(x) = (\alpha x^2 + \beta x + \gamma)^2$Đúng / Sai`lorenz_curve_income_inequality`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 73.Đường cong Lorenz được các nhà kinh tế học biểu thị sự phân phối thu nhập thực tế, trong khi đó mô hình $y = x$ sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau, trong đó $x$ là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và $y$ là phần trăm tổng thu nhập. Diện tích giữa hai mô hình này biểu thị "sự bất bình đẳng về thu nhập" của một quốc gia. Năm $2010$, đường cong Lorenz của Vương quốc Anh có thể được mô hình hóa bởi hàm số: $y = (0{,}00050 x^2 + 0{,}025 x + 1{,}5)^2, \quad 0 \leq x \leq 100$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a)Tính theo thứ tự từ các gia đình nghèo nhất đến giàu nhất, tổng thu nhập thực tế của $60\%$ các gia đình đầu tiên chiếm chưa đến $25\%$ so với tổng thu nhập của toàn bộ các gia đình.

b)Nếu sắp xếp các gia đình theo thứ tự từ nghèo nhất đến giàu nhất, rồi chia thành $10$ nhóm bằng nhau từ $1$ đến $10$, tổng thu nhập của các gia đình trong nhóm $3$ chiếm khoảng $7{,}29\%$ tổng thu nhập của toàn bộ các gia đình.

c)Sự bất bình đẳng về thu nhập của Vương quốc Anh năm $2010$ được xác định bởi công thức $\displaystyle\int_0^{100} \left[x - (0{,}00050 x^2 + 0{,}025 x + 1{,}5)^2\right]\,dx$.

d)Sự bất bình đẳng về thu nhập của Vương quốc Anh năm $2010$ đã vượt quá $2500$.

Câu 74.Đường cong Lorenz được các nhà kinh tế học biểu thị sự phân phối thu nhập thực tế, trong khi đó mô hình $y = x$ sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau, trong đó $x$ là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và $y$ là phần trăm tổng thu nhập. Diện tích giữa hai mô hình này biểu thị "sự bất bình đẳng về thu nhập" của một quốc gia. Năm $2005$, đường cong Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hóa bởi hàm số: $y = (0{,}00061 x^2 + 0{,}0218 x + 1{,}723)^2, \quad 0 \leq x \leq 100$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a)Tính theo thứ tự từ các gia đình nghèo nhất đến giàu nhất, tổng thu nhập thực tế của $60\%$ các gia đình đầu tiên chiếm chưa đến $30\%$ so với tổng thu nhập của toàn bộ các gia đình.

b)Nếu sắp xếp các gia đình theo thứ tự từ nghèo nhất đến giàu nhất, rồi chia thành $10$ nhóm bằng nhau từ $1$ đến $10$, tổng thu nhập của các gia đình trong nhóm $3$ chiếm khoảng $8{,}56\%$ tổng thu nhập của toàn bộ các gia đình.

c)Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kỳ năm $2005$ được xác định bởi công thức $\displaystyle\int_0^{100} \left[x - (0{,}00061 x^2 + 0{,}0218 x + 1{,}723)^2\right]\,dx$.

d)Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kỳ năm $2005$ đã vượt quá $2000$.

Câu 75.Đường cong Lorenz được các nhà kinh tế học biểu thị sự phân phối thu nhập thực tế, trong khi đó mô hình $y = x$ sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau, trong đó $x$ là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và $y$ là phần trăm tổng thu nhập. Diện tích giữa hai mô hình này biểu thị "sự bất bình đẳng về thu nhập" của một quốc gia. Năm $1981$, đường cong Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hóa bởi hàm số: $y = (0{,}00056 x^2 + 0{,}0246 x + 1{,}45)^2, \quad 0 \leq x \leq 100$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

b)Nếu sắp xếp các gia đình theo thứ tự từ nghèo nhất đến giàu nhất, rồi chia thành $10$ nhóm bằng nhau từ $1$ đến $10$, tổng thu nhập của các gia đình trong nhóm $3$ chiếm khoảng $7{,}25\%$ tổng thu nhập của toàn bộ các gia đình.

c)Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kỳ năm $1981$ được xác định bởi công thức $\displaystyle\int_0^{100} \left[x - (0{,}00056 x^2 + 0{,}0246 x + 1{,}45)^2\right]\,dx$.

d)Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kỳ năm $1981$ đã vượt quá $2000$.

25. Hình phẳng ghép $(H) = (H_1) \cup (H_2)$: $(H_1)$ là $\frac14$ đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ (giới hạn bởi cung, Oy, Ox); $(H_2)$ giới hạn bởi $f(x) = R - x^2$, Oy, OxĐúng / Sai`tf_composite_quartercircle_parabola_region`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 76.Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình phẳng $(H)$ gồm hai phần: phần $(H_1)$ giới hạn bởi $\dfrac{1}{4}$ đường tròn có tâm $O$ bán kính bằng $3$, trục tung và trục hoành; phần $(H_2)$ giới hạn bởi đồ thị của hàm số $f(x) = 3 - x^2$, trục tung và trục hoành (như hình vẽ bên). Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Hình phẳng (H): 1/4 đường tròn tâm O bán kính 3 (H1) và miền dưới parabol y=3-x^2 (H2) trong góc phần tư thứ nhất.

a)Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình $(H_2)$ quanh trục $Ox$ bằng $\dfrac{24 \sqrt{3} \pi}{5}$.

b)$\displaystyle\int f(x)\,dx = 3x - \dfrac{x^3}{3} + C$.

c)Diện tích phần $(H_2)$ bằng $2 \sqrt{3}$.

d)Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $(H)$ quanh trục $Ox$ bằng $\dfrac{35}{3}$.

Câu 77.Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình phẳng $(H)$ gồm hai phần: phần $(H_1)$ giới hạn bởi $\dfrac{1}{4}$ đường tròn có tâm $O$ bán kính bằng $4$, trục tung và trục hoành; phần $(H_2)$ giới hạn bởi đồ thị của hàm số $f(x) = 4 - x^2$, trục tung và trục hoành (như hình vẽ bên). Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Hình phẳng (H): 1/4 đường tròn tâm O bán kính 4 (H1) và miền dưới parabol y=4-x^2 (H2) trong góc phần tư thứ nhất.

a)Diện tích hình phẳng $(H)$ bằng $\dfrac{55}{3}$.

b)Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $(H)$ quanh trục $Ox$ bằng $28$.

c)Diện tích phần $(H_2)$ bằng $\dfrac{16}{3}$.

d)Parabol $y = 4 - x^2$ cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x = \sqrt{4}$.

Câu 78.Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình phẳng $(H)$ gồm hai phần: phần $(H_1)$ giới hạn bởi $\dfrac{1}{4}$ đường tròn có tâm $O$ bán kính bằng $4$, trục tung và trục hoành; phần $(H_2)$ giới hạn bởi đồ thị của hàm số $f(x) = 4 - x^2$, trục tung và trục hoành (như hình vẽ bên). Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Hình phẳng (H): 1/4 đường tròn tâm O bán kính 4 (H1) và miền dưới parabol y=4-x^2 (H2) trong góc phần tư thứ nhất.

a)Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình $(H_2)$ quanh trục $Ox$ bằng $\dfrac{256 \pi}{15}$.

b)Diện tích phần $(H_2)$ bằng $\dfrac{16}{3}$.

c)Parabol $y = 4 - x^2$ cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x = \sqrt{4}$.

d)Diện tích hình phẳng $(H)$ bằng $\dfrac{55}{3}$.

26. Biến thể GTNN: cho đồ thị $f'(x)$ với miền $(A)$ phía DƯỚI Ox (diện tích $S_A$) trên $(a; m)$ rồi miền $(B)$ phía TRÊN Ox (diện tích $S_B$) trên $(m; b)$; neo $f(a) = v_0$Đúng / Sai`tf_fprime_graph_compare_values`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 79.Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Biết $f(-3) = -\dfrac{23}{3}$, diện tích miền $(A)$ phía dưới trục $Ox$ bằng $\dfrac{45}{4}$ và diện tích miền $(B)$ phía trên trục $Ox$ bằng $\dfrac{25}{6}$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Đồ thị f'(x) cắt Ox tại -3, 1, 4; miền (A) phía dưới Ox trên (-3;1), miền (B) phía trên Ox trên (1;4).

a)$\displaystyle\int_{-3}^{4} f'(x)\,dx = -\dfrac{185}{12}$.

b)Giá trị nhỏ nhất của $f$ trên đoạn $[-3; 4]$ bằng $-\dfrac{227}{12}$.

c)Hàm số $f$ đạt cực đại tại $x = 1$.

d)$\displaystyle\int_{-3}^{4} f'(x)\,dx = -\dfrac{85}{12}$.

Câu 80.Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Biết $f(-3) = -\dfrac{7}{3}$, diện tích miền $(A)$ phía dưới trục $Ox$ bằng $\dfrac{27}{4}$ và diện tích miền $(B)$ phía trên trục $Ox$ bằng $\dfrac{11}{3}$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Đồ thị f'(x) cắt Ox tại -3, 1, 4; miền (A) phía dưới Ox trên (-3;1), miền (B) phía trên Ox trên (1;4).

a)Hàm số $f$ đạt cực đại tại $x = 1$.

b)Giá trị nhỏ nhất của $f$ trên đoạn $[-3; 4]$ bằng $-\dfrac{109}{12}$.

c)$\displaystyle\int_{-3}^{4} f'(x)\,dx = -\dfrac{37}{12}$.

d)$f(-3) > f(4)$.

Câu 81.Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Biết $f(-3) = \dfrac{5}{3}$, diện tích miền $(A)$ phía dưới trục $Ox$ bằng $\dfrac{45}{2}$ và diện tích miền $(B)$ phía trên trục $Ox$ bằng $\dfrac{16}{3}$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Đồ thị f'(x) cắt Ox tại -3, 2, 4; miền (A) phía dưới Ox trên (-3;2), miền (B) phía trên Ox trên (2;4).

a)Hàm số $f$ đạt cực đại tại $x = 2$.

b)Giá trị nhỏ nhất của $f$ trên đoạn $[-3; 4]$ bằng $-\dfrac{125}{6}$.

c)$\displaystyle\int_{-3}^{4} f'(x)\,dx = -\dfrac{167}{6}$.

d)$f(-3) > f(4)$.

27. Cho đồ thị $f'(x)$: miền $(A)$ phía TRÊN Ox (diện tích $S_A$) trên $(a; m)$, miền $(B)$ phía DƯỚI Ox (diện tích $S_B$) trên $(m; b)$; neo $f(a) = v_0$Đúng / Sai`tf_fprime_graph_signed_area`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 82.Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Biết $f(-2) = -\dfrac{7}{3}$, diện tích miền $(A)$ phía trên trục $Ox$ bằng $\dfrac{27}{4}$ và diện tích miền $(B)$ phía dưới trục $Ox$ bằng $\dfrac{25}{3}$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Đồ thị f'(x) cắt Ox tại -2, 1, 3; miền (A) phía trên Ox trên (-2;1), miền (B) phía dưới Ox trên (1;3).

a)Hàm số $f$ đạt cực tiểu tại $x = 1$.

b)Giá trị lớn nhất của $f$ trên đoạn $[-2; 3]$ bằng $\dfrac{53}{12}$.

c)$\displaystyle\int_{-2}^{3} f'(x)\,dx = \dfrac{181}{12}$.

d)Trên khoảng $(-2; 1)$ hàm số $f$ đồng biến.

Câu 83.Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Biết $f(-2) = \dfrac{5}{3}$, diện tích miền $(A)$ phía trên trục $Ox$ bằng $\dfrac{35}{2}$ và diện tích miền $(B)$ phía dưới trục $Ox$ bằng $\dfrac{11}{3}$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Đồ thị f'(x) cắt Ox tại -2, 2, 4; miền (A) phía trên Ox trên (-2;2), miền (B) phía dưới Ox trên (2;4).

a)$\displaystyle\int_{-2}^{4} f'(x)\,dx = \dfrac{83}{6}$.

b)Hàm số $f$ đạt cực tiểu tại $x = 2$.

c)$\displaystyle\int_{-2}^{4} f'(x)\,dx = \dfrac{127}{6}$.

d)Trên khoảng $(2; 4)$ hàm số $f$ nghịch biến.

Câu 84.Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Biết $f(-2) = -\dfrac{7}{3}$, diện tích miền $(A)$ phía trên trục $Ox$ bằng $\dfrac{63}{4}$ và diện tích miền $(B)$ phía dưới trục $Ox$ bằng $\dfrac{8}{3}$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Đồ thị f'(x) cắt Ox tại -2, 1, 3; miền (A) phía trên Ox trên (-2;1), miền (B) phía dưới Ox trên (1;3).

a)$\displaystyle\int_{-2}^{3} f'(x)\,dx = \dfrac{221}{12}$.

b)$\displaystyle\int_{-2}^{3} f'(x)\,dx = \dfrac{157}{12}$.

c)Giá trị lớn nhất của $f$ trên đoạn $[-2; 3]$ bằng $\dfrac{161}{12}$.

d)Hàm số $f$ đạt cực tiểu tại $x = 1$.

28. $v(t) = v_0 + p t - t^2$ (lưu lượng nước vào bể, L/phút)Đúng / Sai`tf_inflow_rate_tank_volume`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 85.Nước được bơm vào một bể chứa với lưu lượng $v(t) = 120 + 20t - t^2$ (lít/phút), trong đó $t \ge 0$ tính bằng phút kể từ khi bắt đầu bơm. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Ban đầu bể chứa $300$ lít và dung tích bể là $1897$ lít. Sau $9$ phút chảy vào, bể vẫn CHƯA đầy.

b)Nếu đồng thời mở van xả với tốc độ $100$ lít/phút thì tại $t = 6$ phút, lượng nước trong bể đang thay đổi với tốc độ ròng $104$ lít/phút.

c)Lưu lượng nước vào bể đạt giá trị lớn nhất tại $t = 10$ phút.

d)Ban đầu bể chứa $300$ lít và dung tích bể là $2147$ lít. Sau $9$ phút chảy vào, bể KHÔNG bị tràn.

Câu 86.Nước được bơm vào một bể chứa với lưu lượng $v(t) = 100 + 30t - t^2$ (lít/phút), trong đó $t \ge 0$ tính bằng phút kể từ khi bắt đầu bơm. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Lưu lượng nước vào bể đạt giá trị lớn nhất tại $t = 15$ phút.

b)Nếu đồng thời mở van xả với tốc độ $80$ lít/phút thì tại $t = 6$ phút, lượng nước trong bể đang thay đổi với tốc độ ròng $164$ lít/phút.

c)Ban đầu bể chứa $200$ lít. Sau $9$ phút (chỉ chảy vào, không xả), bể chứa $2072$ lít nước.

d)Ban đầu bể chứa $200$ lít và dung tích bể là $1972$ lít. Sau $9$ phút chảy vào, bể vẫn CHƯA đầy.

Câu 87.Nước được bơm vào một bể chứa với lưu lượng $v(t) = 100 + 30t - t^2$ (lít/phút), trong đó $t \ge 0$ tính bằng phút kể từ khi bắt đầu bơm. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Ban đầu bể chứa $300$ lít và dung tích bể là $1268$ lít. Sau $6$ phút chảy vào, bể vẫn CHƯA đầy.

b)Lưu lượng nước vào bể đạt giá trị lớn nhất tại $t = 15$ phút.

c)Ban đầu bể chứa $300$ lít. Sau $6$ phút (chỉ chảy vào, không xả), bể chứa $1368$ lít nước.

d)Nếu đồng thời mở van xả với tốc độ $60$ lít/phút thì tại $t = 6$ phút, lượng nước trong bể đang thay đổi với tốc độ ròng $184$ lít/phút.

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 88.Nước được bơm vào một bể chứa với lưu lượng $v(t) = 120 + 20t - t^2$ (lít/phút), trong đó $t \ge 0$ tính bằng phút kể từ khi bắt đầu bơm. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Trong $6$ phút đầu, lượng nước chảy vào bể là $\displaystyle\int_0^{6} v(t)\,dt = 1008$ lít.

b)Tại thời điểm $t = 2$ phút, nước chảy vào bể với lưu lượng $156$ lít/phút.

c)Ban đầu bể chứa $200$ lít và dung tích bể là $1158$ lít. Sau $6$ phút chảy vào, bể vẫn CHƯA đầy.

d)Lượng nước chảy vào bể trong $6$ phút đầu đúng bằng $v(6)\cdot6$ lít.

Câu 89.Nước được bơm vào một bể chứa với lưu lượng $v(t) = 100 + 30t - t^2$ (lít/phút), trong đó $t \ge 0$ tính bằng phút kể từ khi bắt đầu bơm. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Nếu đồng thời mở van xả với tốc độ $60$ lít/phút thì tại $t = 3$ phút, lượng nước trong bể đang thay đổi với tốc độ ròng $121$ lít/phút.

b)Lượng nước chảy vào bể trong $9$ phút đầu đúng bằng $v(9)\cdot9$ lít.

c)Ban đầu bể chứa $400$ lít. Sau $9$ phút (chỉ chảy vào, không xả), bể chứa $2272$ lít nước.

d)Tại thời điểm $t = 5$ phút, nước chảy vào bể với lưu lượng $225$ lít/phút.

Câu 90.Nước được bơm vào một bể chứa với lưu lượng $v(t) = 120 + 30t - t^2$ (lít/phút), trong đó $t \ge 0$ tính bằng phút kể từ khi bắt đầu bơm. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Lượng nước chảy vào bể trong $12$ phút đầu đúng bằng $v(12)\cdot12$ lít.

b)Ban đầu bể chứa $400$ lít và dung tích bể là $3374$ lít. Sau $12$ phút chảy vào, bể vẫn CHƯA đầy.

c)Nếu đồng thời mở van xả với tốc độ $80$ lít/phút thì tại $t = 3$ phút, lượng nước trong bể đang thay đổi với tốc độ ròng $121$ lít/phút.

d)Ban đầu bể chứa $400$ lít và dung tích bể là $3624$ lít. Sau $12$ phút chảy vào, bể KHÔNG bị tràn.

29. $P'(x) = -c x + d$ (lợi nhuận biên, triệu đồng ), $P(0) = 0$Đúng / Sai`tf_marginal_profit_million_threshold`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 91.Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức $P'(x) = -0{,}04x + 10$. Ở đây $P(x)$ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được $x$ sản phẩm. Biết rằng khi chưa bán được sản phẩm nào, lợi nhuận của doanh nghiệp bằng $0$ (đã hòa vốn chi phí cố định). Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $80$ lên $130$ sản phẩm là $290$ triệu đồng.

b)Lợi nhuận khi bán được $x$ sản phẩm được tính bằng công thức $P(x) = -0{,}04x^2 + 10x$.

c)Lợi nhuận khi bán được $x$ sản phẩm chính là $P'(x) = -0{,}04x + 10$.

d)Lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất khi bán được $250$ sản phẩm.

Câu 92.Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức $P'(x) = -0{,}04x + 8$. Ở đây $P(x)$ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được $x$ sản phẩm. Biết rằng khi chưa bán được sản phẩm nào, lợi nhuận của doanh nghiệp bằng $0$ (đã hòa vốn chi phí cố định). Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Lợi nhuận khi bán được $x$ sản phẩm được tính bằng công thức $P(x) = -0{,}04x^2 + 8x$.

b)Lợi nhuận khi bán được $100$ sản phẩm đầu tiên là $600$ triệu đồng.

c)Lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất khi bán được $200$ sản phẩm.

d)Biết sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $100$ lên $a$ sản phẩm ($a \in \mathbb{N}^*$) lớn hơn $112$ triệu đồng, khi đó giá trị nhỏ nhất của $a$ là $134$.

Câu 93.Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức $P'(x) = -0{,}02x + 8$. Ở đây $P(x)$ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được $x$ chiếc máy. Biết rằng khi chưa bán được sản phẩm nào, lợi nhuận của doanh nghiệp bằng $0$ (đã hòa vốn chi phí cố định). Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Lợi nhuận khi bán được $x$ chiếc máy được tính bằng công thức $P(x) = -0{,}02x^2 + 8x$.

b)Lợi nhuận khi bán được $100$ chiếc máy đầu tiên là $700$ triệu đồng.

c)Lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất khi bán được $400$ chiếc máy.

d)Lợi nhuận khi bán được $x$ chiếc máy chính là $P'(x) = -0{,}02x + 8$.

30. $P'(x) = -c x + d$ (lợi nhuận biên), $P(0) = 0$Đúng / Sai`tf_marginal_to_profit`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 94.Một cơ sở sản xuất ước tính lợi nhuận biên (tốc độ thay đổi lợi nhuận theo sản lượng) khi bán $x$ sản phẩm là $P'(x) = -0{,}02x + 5$ (nghìn đồng/sản phẩm). Biết rằng khi chưa bán sản phẩm nào thì lợi nhuận bằng $0$, tức $P(0) = 0$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Hàm lợi nhuận là $P(x) = -0{,}01x^2 + 5x$.

b)Khi tăng sản lượng từ $100$ lên $150$ sản phẩm, lợi nhuận tăng thêm $\displaystyle\int_{100}^{150} P'(x)\,dx = 125$ (nghìn đồng).

c)Khi bán $100$ sản phẩm, lợi nhuận đạt $400$ (đơn vị: nghìn đồng).

d)Lợi nhuận biên luôn dương với mọi mức sản lượng $x > 0$.

Câu 95.Một cơ sở sản xuất ước tính lợi nhuận biên (tốc độ thay đổi lợi nhuận theo sản lượng) khi bán $x$ thùng hàng là $P'(x) = -0{,}02x + 4$ (nghìn đồng/thùng hàng). Biết rằng khi chưa bán sản phẩm nào thì lợi nhuận bằng $0$, tức $P(0) = 0$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất khi bán $200$ thùng hàng.

b)Hàm lợi nhuận là $P(x) = -0{,}02x + 4$.

c)Lợi nhuận biên luôn dương với mọi mức sản lượng $x > 0$.

d)Hàm lợi nhuận là $P(x) = -0{,}01x^2 + 4x$.

Câu 96.Một cơ sở sản xuất ước tính lợi nhuận biên (tốc độ thay đổi lợi nhuận theo sản lượng) khi bán $x$ sản phẩm là $P'(x) = -0{,}02x + 4$ (nghìn đồng/sản phẩm). Biết rằng khi chưa bán sản phẩm nào thì lợi nhuận bằng $0$, tức $P(0) = 0$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Lợi nhuận lớn nhất bằng $400$ (nghìn đồng).

b)Khi bán $100$ sản phẩm, lợi nhuận đạt $300$ (đơn vị: nghìn đồng).

c)Lợi nhuận biên luôn dương với mọi mức sản lượng $x > 0$.

d)Khi tăng sản lượng từ $100$ lên $150$ sản phẩm, lợi nhuận tăng thêm $\displaystyle\int_{100}^{150} P'(x)\,dx = 75$ (nghìn đồng).

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 97.Một cơ sở sản xuất ước tính lợi nhuận biên (tốc độ thay đổi lợi nhuận theo sản lượng) khi bán $x$ chiếc áo là $P'(x) = -0{,}04x + 12$ (nghìn đồng/chiếc áo). Biết rằng khi chưa bán sản phẩm nào thì lợi nhuận bằng $0$, tức $P(0) = 0$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Lợi nhuận lớn nhất bằng $1800$ (nghìn đồng).

b)Lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất khi bán $300$ chiếc áo.

c)Vì $P(0) = 0$ nên hằng số $C$ trong nguyên hàm bằng $0$.

d)Lợi nhuận biên luôn dương với mọi mức sản lượng $x > 0$.

Câu 98.Một cơ sở sản xuất ước tính lợi nhuận biên (tốc độ thay đổi lợi nhuận theo sản lượng) khi bán $x$ sản phẩm là $P'(x) = -0{,}02x + 6$ (nghìn đồng/sản phẩm). Biết rằng khi chưa bán sản phẩm nào thì lợi nhuận bằng $0$, tức $P(0) = 0$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất khi bán $300$ sản phẩm.

b)Khi bán $100$ sản phẩm, lợi nhuận đạt $500$ (đơn vị: nghìn đồng).

c)Khi tăng sản lượng từ $100$ lên $150$ sản phẩm, lợi nhuận tăng thêm $\displaystyle\int_{100}^{150} P'(x)\,dx = 175$ (nghìn đồng).

d)Hàm lợi nhuận là $P(x) = -0{,}02x + 6$.

Câu 99.Một cơ sở sản xuất ước tính lợi nhuận biên (tốc độ thay đổi lợi nhuận theo sản lượng) khi bán $x$ chiếc áo là $P'(x) = -0{,}04x + 8$ (nghìn đồng/chiếc áo). Biết rằng khi chưa bán sản phẩm nào thì lợi nhuận bằng $0$, tức $P(0) = 0$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Hàm lợi nhuận là $P(x) = -0{,}04x + 8$.

b)Lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất khi bán $200$ chiếc áo.

c)Lợi nhuận biên luôn dương với mọi mức sản lượng $x > 0$.

d)Lợi nhuận lớn nhất bằng $800$ (nghìn đồng).

31. $h(t) = -k_4 t^4 + k_3 t^3 + h_0$ (cm), với $h'(t) = -4k_4 t^3 + 3k_3 t^2$ và $h(0) = h_0$Đúng / Sai`tf_plant_growth_quartic_height_inflection`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 100.Tốc độ tăng trưởng chiều cao của cây ngô được mô hình hoá bởi $h'(t) = -0{,}02t^3 + 0{,}6t^2$ (cm/tuần), trong đó $t \ge 0$ là số tuần kể từ lúc gieo. Biết ban đầu cây cao $3$ cm và gọi $h(t)$ là chiều cao của cây ở thời điểm $t$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Giai đoạn tăng trưởng của cây ngô đó kéo dài $30$ tuần.

b)Vào thời điểm cây ngô đó phát triển nhanh nhất thì chiều cao của cây là $803$ cm.

c)Chiều cao tối đa của cây ngô đó là $1354$ cm.

d)Cây phát triển nhanh nhất tại thời điểm $t = 20$ tuần.

Câu 101.Tốc độ tăng trưởng chiều cao của cây ngô được mô hình hoá bởi $h'(t) = -0{,}02t^3 + 0{,}6t^2$ (cm/tuần), trong đó $t \ge 0$ là số tuần kể từ lúc gieo. Biết ban đầu cây cao $5$ cm và gọi $h(t)$ là chiều cao của cây ở thời điểm $t$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Ban đầu (lúc $t = 0$) cây ngô đó cao $5$ cm.

b)Giai đoạn tăng trưởng của cây ngô đó kéo dài $30$ tuần.

c)Vào thời điểm cây ngô đó phát triển nhanh nhất thì chiều cao của cây là $805$ cm.

d)Hàm số $h(t)$ có công thức là $h(t) = -0{,}005t^4 + 0{,}2t^3$.

Câu 102.Tốc độ tăng trưởng chiều cao của cây hoa hướng dương được mô hình hoá bởi $h'(t) = -0{,}02t^3 + 0{,}3t^2$ (cm/tuần), trong đó $t \ge 0$ là số tuần kể từ lúc gieo. Biết ban đầu cây cao $3$ cm và gọi $h(t)$ là chiều cao của cây ở thời điểm $t$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Giai đoạn tăng trưởng của cây hoa hướng dương đó kéo dài $15$ tuần.

b)Hàm số $h(t)$ có công thức là $h(t) = -0{,}005t^4 + 0{,}1t^3$.

c)Cây phát triển nhanh nhất tại thời điểm $t = 10$ tuần.

d)Chiều cao tối đa của cây hoa hướng dương đó là $88$ cm.

32. $h'(t) = -a t^3 + b t^2$ (cm/tuần), $h(0) = h_0$Đúng / Sai`tf_rate_to_quantity_plant_growth`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 103.Cây đậu ban đầu cao $2$ cm, tốc độ tăng chiều cao của cây được mô hình hoá bởi $h'(t) = -0{,}02t^3 + 0{,}18t^2$ (cm/tuần), trong đó $t \ge 0$ là số tuần kể từ lúc trồng. Gọi $h(t)$ là chiều cao của cây ở thời điểm $t$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Sau $9$ tuần đầu, chiều cao của cây tiếp tục tăng.

b)$h(t) = -0{,}005t^4 + 0{,}06t^3$ (với $t \ge 0$).

c)Tại thời điểm $t = 9$ thì $h'(9) = 0$.

d)Chiều cao tối đa của cây là $12{,}935$ cm.

Câu 104.Cây hướng dương ban đầu cao $5$ cm, tốc độ tăng chiều cao của cây được mô hình hoá bởi $h'(t) = -0{,}02t^3 + 0{,}18t^2$ (cm/tuần), trong đó $t \ge 0$ là số tuần kể từ lúc trồng. Gọi $h(t)$ là chiều cao của cây ở thời điểm $t$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Sau $9$ tuần đầu, chiều cao của cây tiếp tục tăng.

b)$h(t) = -0{,}005t^4 + 0{,}06t^3 + 5$ (với $t \ge 0$).

c)$h(t) = -0{,}005t^4 + 0{,}06t^3$ (với $t \ge 0$).

d)Cây phát triển nhanh nhất khi $t = 6$ (tuần), lúc đó cây cao $11{,}48$ cm.

Câu 105.Cây đậu ban đầu cao $2$ cm, tốc độ tăng chiều cao của cây được mô hình hoá bởi $h'(t) = -0{,}02t^3 + 0{,}24t^2$ (cm/tuần), trong đó $t \ge 0$ là số tuần kể từ lúc trồng. Gọi $h(t)$ là chiều cao của cây ở thời điểm $t$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$h(t) = -0{,}005t^4 + 0{,}08t^3$ (với $t \ge 0$).

b)Cây phát triển nhanh nhất khi $t = 8$ (tuần), lúc đó cây cao $22{,}48$ cm.

c)Sau $12$ tuần đầu, chiều cao của cây tiếp tục tăng.

d)$h(t) = -0{,}005t^4 + 0{,}08t^3 + 2$ (với $t \ge 0$).

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 106.Cây ngô ban đầu cao $5$ cm, tốc độ tăng chiều cao của cây được mô hình hoá bởi $h'(t) = -0{,}02t^3 + 0{,}24t^2$ (cm/tuần), trong đó $t \ge 0$ là số tuần kể từ lúc trồng. Gọi $h(t)$ là chiều cao của cây ở thời điểm $t$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$h(t) = -0{,}005t^4 + 0{,}08t^3$ (với $t \ge 0$).

b)Cây phát triển nhanh nhất khi $t = 8$ (tuần), lúc đó cây cao $25{,}48$ cm.

c)Tại thời điểm $t = 12$ thì $h'(12) = 0$.

d)Sau $12$ tuần đầu, chiều cao của cây tiếp tục tăng.

Câu 107.Cây ngô ban đầu cao $2$ cm, tốc độ tăng chiều cao của cây được mô hình hoá bởi $h'(t) = -0{,}02t^3 + 0{,}3t^2$ (cm/tuần), trong đó $t \ge 0$ là số tuần kể từ lúc trồng. Gọi $h(t)$ là chiều cao của cây ở thời điểm $t$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$h(t) = -0{,}005t^4 + 0{,}1t^3 + 2$ (với $t \ge 0$).

b)Tại thời điểm $t = 15$ thì $h'(15) = 0$.

c)Chiều cao tối đa của cây là $84{,}375$ cm.

d)Cây tăng chiều cao trong $15$ tuần đầu.

Câu 108.Cây hướng dương ban đầu cao $4$ cm, tốc độ tăng chiều cao của cây được mô hình hoá bởi $h'(t) = -0{,}02t^3 + 0{,}3t^2$ (cm/tuần), trong đó $t \ge 0$ là số tuần kể từ lúc trồng. Gọi $h(t)$ là chiều cao của cây ở thời điểm $t$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$h(t) = -0{,}005t^4 + 0{,}1t^3 + 4$ (với $t \ge 0$).

b)Sau $15$ tuần đầu, chiều cao của cây tiếp tục tăng.

c)$h(t) = -0{,}005t^4 + 0{,}1t^3$ (với $t \ge 0$).

d)Cây tăng chiều cao trong $15$ tuần đầu.

33. Hai công nhân: $Q_1'(t) = -p t^2 + q t + s$ và $Q_2'(t) = c + a t$ (sản phẩm/giờ), tham số $a$ đọc từ ĐỒ THỊ (hai đường cắt nhau tại điểm có cùng tung độ)Đúng / Sai`tf_two_workers_rate_productivity_compare`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 109.Hai công nhân $A$ và $B$ cùng làm một loại sản phẩm. Hiệu suất làm việc (số sản phẩm mỗi giờ) của công nhân $A$ tại thời điểm $t$ giờ là $Q_1'(t) = -2t^2+4t+58$, của công nhân $B$ là $Q_2'(t) = 53 + a\,t$ với $a$ là hằng số. Đồ thị hai hàm hiệu suất được cho như hình vẽ. Gọi $Q_i(t)$ là số sản phẩm công nhân tương ứng hoàn thành sau $t$ giờ (lúc đầu chưa làm sản phẩm nào). Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Hai đồ thị hiệu suất: Q1'(t)=-2t^2+4t+58 (parabol) và Q2'(t)=53+a·t (đường thẳng), cắt nhau xác định a.

a)Giá trị $a = -3$.

b)Sau $6$ giờ làm việc, số sản phẩm hoàn thành của công nhân $A$ nhiều hơn số sản phẩm hoàn thành của công nhân $B$.

c)Sau $6$ giờ làm việc, công nhân $A$ hoàn thành được $276$ sản phẩm.

d)Hiệu suất làm việc cực đại của công nhân $A$ là $60$ sản phẩm mỗi giờ.

Câu 110.Hai công nhân $A$ và $B$ cùng làm một loại sản phẩm. Hiệu suất làm việc (số sản phẩm mỗi giờ) của công nhân $A$ tại thời điểm $t$ giờ là $Q_1'(t) = -t^2+6t+40$, của công nhân $B$ là $Q_2'(t) = 46 + a\,t$ với $a$ là hằng số. Đồ thị hai hàm hiệu suất được cho như hình vẽ. Gọi $Q_i(t)$ là số sản phẩm công nhân tương ứng hoàn thành sau $t$ giờ (lúc đầu chưa làm sản phẩm nào). Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Hai đồ thị hiệu suất: Q1'(t)=-t^2+6t+40 (parabol) và Q2'(t)=46+a·t (đường thẳng), cắt nhau xác định a.

a)Sau $6$ giờ làm việc, số sản phẩm hoàn thành của công nhân $A$ nhiều hơn số sản phẩm hoàn thành của công nhân $B$.

b)Hiệu suất của công nhân $B$ giảm dần theo thời gian.

c)Hiệu suất làm việc cực đại của công nhân $A$ là $49$ sản phẩm mỗi giờ.

d)Giá trị $a = 0$.

Câu 111.Hai công nhân $A$ và $B$ cùng làm một loại sản phẩm. Hiệu suất làm việc (số sản phẩm mỗi giờ) của công nhân $A$ tại thời điểm $t$ giờ là $Q_1'(t) = -2t^2+4t+58$, của công nhân $B$ là $Q_2'(t) = 53 + a\,t$ với $a$ là hằng số. Đồ thị hai hàm hiệu suất được cho như hình vẽ. Gọi $Q_i(t)$ là số sản phẩm công nhân tương ứng hoàn thành sau $t$ giờ (lúc đầu chưa làm sản phẩm nào). Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Hai đồ thị hiệu suất: Q1'(t)=-2t^2+4t+58 (parabol) và Q2'(t)=53+a·t (đường thẳng), cắt nhau xác định a.

a)Giá trị $a = -3$.

b)Hiệu suất của công nhân $B$ giảm dần theo thời gian.

c)Sau $6$ giờ làm việc, số sản phẩm hoàn thành của công nhân $A$ nhiều hơn số sản phẩm hoàn thành của công nhân $B$.

d)Hiệu suất làm việc cực đại của công nhân $A$ là $60$ sản phẩm mỗi giờ.

34. SA (VDC): Phần tô đậm giới hạn TRÊN bởi cung phần tư đường tròn $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ (góc phần tư thứ nhất) và DƯỚI bởi parabol $y = p\,x^2$ đi qua $O(0;0)$, trên đoạn $[0; R]$Trả lời ngắn`area_arc_and_parabola_points`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 112.Trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục $Oxy$ (đơn vị: dm), xét cung phần tư đường tròn $y = \sqrt{4 - x^2}$ ($0 \le x \le 2$) và parabol $(P)\colon y = 0,5\,x^2$ đi qua gốc $O$. Phần tô đậm là phần của hình quạt phần tư (giới hạn bởi cung tròn và hai trục) nằm phía TRÊN parabol $(P)$. Tính diện tích phần tô đậm (dm²). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 113.Trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục $Oxy$ (đơn vị: dm), xét cung phần tư đường tròn $y = \sqrt{9 - x^2}$ ($0 \le x \le 3$) và parabol $(P)\colon y = 0,333333\,x^2$ đi qua gốc $O$. Phần tô đậm là phần của hình quạt phần tư (giới hạn bởi cung tròn và hai trục) nằm phía TRÊN parabol $(P)$. Tính diện tích phần tô đậm (dm²). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 114.Trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục $Oxy$ (đơn vị: dm), xét cung phần tư đường tròn $y = \sqrt{16 - x^2}$ ($0 \le x \le 4$) và parabol $(P)\colon y = 0,25\,x^2$ đi qua gốc $O$. Phần tô đậm là phần của hình quạt phần tư (giới hạn bởi cung tròn và hai trục) nằm phía TRÊN parabol $(P)$. Tính diện tích phần tô đậm (dm²). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

35. SA (VDC): Trong hình vuông $ABCD$ cạnh $s$ (dm), vẽ hai cung phần tư đường tròn bán kính $s$ tâm tại hai đỉnh kề $A$ và $B$Trả lời ngắn`area_arcs_in_rectangle`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 115.Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $5$ dm. Vẽ cung phần tư đường tròn tâm $A$ bán kính $AB = 5$ và cung phần tư đường tròn tâm $B$ bán kính $BA = 5$ (cùng nằm trong hình vuông). Phần gạch sọc là phần chung của hai hình quạt phần tư nói trên. Tính diện tích phần gạch sọc (dm²). (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 116.Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $2$ dm. Vẽ cung phần tư đường tròn tâm $A$ bán kính $AB = 2$ và cung phần tư đường tròn tâm $B$ bán kính $BA = 2$ (cùng nằm trong hình vuông). Phần gạch sọc là phần chung của hai hình quạt phần tư nói trên. Tính diện tích phần gạch sọc (dm²). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 117.Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $6$ dm. Vẽ cung phần tư đường tròn tâm $A$ bán kính $AB = 6$ và cung phần tư đường tròn tâm $B$ bán kính $BA = 6$ (cùng nằm trong hình vuông). Phần gạch sọc là phần chung của hai hình quạt phần tư nói trên. Tính diện tích phần gạch sọc (dm²). (Làm tròn đến hàng phần mười)

36. (VDC) Diện tích miền giới hạn bởi đồ thị $(C): y=\dfrac{x+p}{x-q}$, đồ thị $(C')$ đối xứng với $(C)$ qua $y=x$ (tức $(C')$ là đồ thị hàm ngược), đường $x=m$ và trục tungTrả lời ngắn`area_between_curve_and_inverse`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 118.Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2}$ có đồ thị là $(C)$ và đồ thị $(C')$ đối xứng với $(C)$ qua đường thẳng $y = x$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C)$, $(C')$, đường thẳng $x = -2$ và trục tung. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 119.Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2}$ có đồ thị là $(C)$ và đồ thị $(C')$ đối xứng với $(C)$ qua đường thẳng $y = x$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C)$, $(C')$, đường thẳng $x = -1$ và trục tung. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 120.Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2}$ có đồ thị là $(C)$ và đồ thị $(C')$ đối xứng với $(C)$ qua đường thẳng $y = x$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C)$, $(C')$, đường thẳng $x = -3$ và trục tung. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

37. SA (VDC): Biến thể "phần bù": nửa hình tròn $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ trên $[-R; R]$ chứa một "đồi" parabol $y = p\,x^2$ ($p > 0$) đối xứng qua $Oy$Trả lời ngắn`area_circle_minus_parabola_region`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 121.Trên hệ trục $Oxy$ (đơn vị: dm), xét nửa hình tròn giới hạn bởi trục hoành và nửa đường tròn $y = \sqrt{16 - x^2}$ ($-4 \le x \le 4$). Bên trong có một "đồi" giới hạn bởi trục hoành và parabol $(P)\colon y = 0,25\,x^2$ trên đoạn $[-4; 4]$. Tính diện tích phần của nửa hình tròn nằm NGOÀI phần "đồi" parabol (dm²). (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 122.Trên hệ trục $Oxy$ (đơn vị: dm), xét nửa hình tròn giới hạn bởi trục hoành và nửa đường tròn $y = \sqrt{4 - x^2}$ ($-2 \le x \le 2$). Bên trong có một "đồi" giới hạn bởi trục hoành và parabol $(P)\colon y = 0,5\,x^2$ trên đoạn $[-2; 2]$. Tính diện tích phần của nửa hình tròn nằm NGOÀI phần "đồi" parabol (dm²). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 123.Trên hệ trục $Oxy$ (đơn vị: dm), xét nửa hình tròn giới hạn bởi trục hoành và nửa đường tròn $y = \sqrt{4 - x^2}$ ($-2 \le x \le 2$). Bên trong có một "đồi" giới hạn bởi trục hoành và parabol $(P)\colon y = 1\,x^2$ trên đoạn $[-2; 2]$. Tính diện tích phần của nửa hình tròn nằm NGOÀI phần "đồi" parabol (dm²). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

38. (VDC) Đường cong $y=x^3$, đường thẳng $d$ qua $O$ và $P(t; t^3)$, đường $\Delta:y=-x+c$Trả lời ngắn`area_cubic_secant_BA_diff`(1 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(1 câu)

Câu 124.Cho hàm số $f(x) = x^3$. Đường thẳng $d$ đi qua gốc toạ độ $O$ và điểm $P(2; f(2))$ cắt đường thẳng $\Delta: y = -x + 5$ tại điểm $Q$. Gọi $R$ là giao điểm của $\Delta$ với trục hoành. Gọi $A$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = f(x)$, đường thẳng $\Delta$ và đoạn thẳng $PQ$; $B$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = f(x)$, đường thẳng $\Delta$ và trục hoành. Tính giá trị của $B - A$.

39. SA (VDC): Cho $f(x) = x^3 + c\,x$ và điểm $P(p; f(p))$Trả lời ngắn`area_cubic_secant_difference`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 125.Cho hàm số $f(x) = x^3 + 2x$ và điểm $P(4; 72)$ thuộc đồ thị. Đường thẳng $d$ đi qua gốc toạ độ $O$ và điểm $P$. Trên đoạn $[0; 4]$, gọi $A$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $d$ và đồ thị hàm số $f$; $B$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f$ và trục hoành. Tính $B - A$.

Câu 126.Cho hàm số $f(x) = x^3 + 3x$ và điểm $P(4; 76)$ thuộc đồ thị. Đường thẳng $d$ đi qua gốc toạ độ $O$ và điểm $P$. Trên đoạn $[0; 4]$, gọi $A$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $d$ và đồ thị hàm số $f$; $B$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f$ và trục hoành. Tính $B - A$.

Câu 127.Cho hàm số $f(x) = x^3 + 6x$ và điểm $P(3; 45)$ thuộc đồ thị. Đường thẳng $d$ đi qua gốc toạ độ $O$ và điểm $P$. Trên đoạn $[0; 3]$, gọi $A$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $d$ và đồ thị hàm số $f$; $B$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f$ và trục hoành. Tính $B - A$.

40. SA (VDC): Cùng cấu hình $f(x) = x^3 + c\,x$, $d$ qua $O$ và $P(p; f(p))$, với $A, B$ như trênTrả lời ngắn`area_cubic_secant_sum_or_ratio`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 128.Cho hàm số $f(x) = x^3 + 4x$ và điểm $P(4; 80)$ thuộc đồ thị. Đường thẳng $d$ đi qua gốc toạ độ $O$ và điểm $P$. Trên đoạn $[0; 4]$, gọi $A$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $d$ và đồ thị hàm số $f$; $B$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f$ và trục hoành. Tính tổng $A + B$.

Câu 129.Cho hàm số $f(x) = x^3 + 3x$ và điểm $P(3; 36)$ thuộc đồ thị. Đường thẳng $d$ đi qua gốc toạ độ $O$ và điểm $P$. Trên đoạn $[0; 3]$, gọi $A$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $d$ và đồ thị hàm số $f$; $B$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f$ và trục hoành. Tính tổng $A + B$.

Câu 130.Cho hàm số $f(x) = x^3 + 3x$ và điểm $P(2; 14)$ thuộc đồ thị. Đường thẳng $d$ đi qua gốc toạ độ $O$ và điểm $P$. Trên đoạn $[0; 2]$, gọi $A$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $d$ và đồ thị hàm số $f$; $B$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f$ và trục hoành. Tính tổng $A + B$.

41. SA (VDC): Sân khấu hình quạt tròn bán kính $R$, góc ở tâm $\theta$ radTrả lời ngắn`area_parabola_sector_three_zones`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 131.Một sân khấu ngoài trời có dạng hình quạt tròn tâm $O$, bán kính $R = 12$ m và góc ở tâm $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ (rad). Bên trong quạt, người ta lát ba vùng: • "Sàn diễn" là hình phẳng giới hạn bởi đường kính đáy và parabol đỉnh $(0; 3)$ đi qua hai mép $(\pm 12; 0)$, diện tích $S_1 = \dfrac{8hR}{3}$, đơn giá $0,4$ triệu đồng/m²; • Lối đi viền có diện tích $S_2 = 6$ m², đơn giá $0,25$ triệu đồng/m²; • Phần còn lại của quạt, đơn giá $0,15$ triệu đồng/m². Tính tổng chi phí lát ba vùng (triệu đồng). (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 132.Một sân khấu ngoài trời có dạng hình quạt tròn tâm $O$, bán kính $R = 9$ m và góc ở tâm $\theta = \pi$ (rad). Bên trong quạt, người ta lát ba vùng: • "Sàn diễn" là hình phẳng giới hạn bởi đường kính đáy và parabol đỉnh $(0; 3)$ đi qua hai mép $(\pm 9; 0)$, diện tích $S_1 = \dfrac{8hR}{3}$, đơn giá $0,5$ triệu đồng/m²; • Lối đi viền có diện tích $S_2 = 6$ m², đơn giá $0,3$ triệu đồng/m²; • Phần còn lại của quạt, đơn giá $0,2$ triệu đồng/m². Tính tổng chi phí lát ba vùng (triệu đồng). (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 133.Một sân khấu ngoài trời có dạng hình quạt tròn tâm $O$, bán kính $R = 9$ m và góc ở tâm $\theta = \dfrac{3\pi}{4}$ (rad). Bên trong quạt, người ta lát ba vùng: • "Sàn diễn" là hình phẳng giới hạn bởi đường kính đáy và parabol đỉnh $(0; 3)$ đi qua hai mép $(\pm 9; 0)$, diện tích $S_1 = \dfrac{8hR}{3}$, đơn giá $0,6$ triệu đồng/m²; • Lối đi viền có diện tích $S_2 = 5$ m², đơn giá $0,4$ triệu đồng/m²; • Phần còn lại của quạt, đơn giá $0,25$ triệu đồng/m². Tính tổng chi phí lát ba vùng (triệu đồng). (Làm tròn đến hàng phần mười)

42. SA (VD): Bồn hoa nửa hình tròn bán kính $R$Trả lời ngắn`area_parabola_semicircle_cost`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 134.Một bồn hoa hình nửa hình tròn tâm $O$ bán kính $R = 6$ m (đường kính nằm trên trục $Ox$, bồn ở phía trên). Người ta thiết kế một "đài hoa" là hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và parabol $(P)\colon y = -0,166667\,(x^2 - 36)$ có đỉnh tại $(0; 3)$ và đi qua hai mép $(-6; 0)$, $(6; 0)$. Phần đài hoa trồng hoa với đơn giá $20$ nghìn đồng/m², phần còn lại của bồn (giữa đài hoa và cung tròn) trồng cỏ với đơn giá $12$ nghìn đồng/m². Tính tổng chi phí (nghìn đồng). (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Câu 135.Một bồn hoa hình nửa hình tròn tâm $O$ bán kính $R = 9$ m (đường kính nằm trên trục $Ox$, bồn ở phía trên). Người ta thiết kế một "đài hoa" là hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và parabol $(P)\colon y = -0,0740741\,(x^2 - 81)$ có đỉnh tại $(0; 3)$ và đi qua hai mép $(-9; 0)$, $(9; 0)$. Phần đài hoa trồng hoa với đơn giá $20$ nghìn đồng/m², phần còn lại của bồn (giữa đài hoa và cung tròn) trồng cỏ với đơn giá $12$ nghìn đồng/m². Tính tổng chi phí (nghìn đồng). (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Câu 136.Một bồn hoa hình nửa hình tròn tâm $O$ bán kính $R = 9$ m (đường kính nằm trên trục $Ox$, bồn ở phía trên). Người ta thiết kế một "đài hoa" là hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và parabol $(P)\colon y = -0,0740741\,(x^2 - 81)$ có đỉnh tại $(0; 3)$ và đi qua hai mép $(-9; 0)$, $(9; 0)$. Phần đài hoa trồng hoa với đơn giá $25$ nghìn đồng/m², phần còn lại của bồn (giữa đài hoa và cung tròn) trồng cỏ với đơn giá $15$ nghìn đồng/m². Tính tổng chi phí (nghìn đồng). (Làm tròn đến hàng đơn vị)

43. (VDC, tái hiện 1 đề) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 5 parabol giống nhau tạo thành "ngôi sao năm cánh" trong ngũ giác đềuTrả lời ngắn`area_pentagon_five_parabolas`(1 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(1 câu)

Câu 137.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy$, cho ngũ giác đều $ABCDE$ có tâm $I$, $A(-2; -4)$, $B(2; -4)$ và năm parabol $(P_1), (P_2), (P_3), (P_4), (P_5)$ giống nhau tạo thành hình ngôi sao năm cánh. Biết $(P_1)$ có đỉnh là gốc toạ độ $O$. Hỏi diện tích hình phẳng giới hạn bởi năm parabol đã cho bằng bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

44. SA (VDC): Hình chữ nhật $ABCD$ tâm $O$, $AB = W$, $BC = H$Trả lời ngắn`area_two_arcs_rectangle_minus_rhombus`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 138.Cho hình chữ nhật $ABCD$ tâm $O$, với $AB = 6$, $BC = 4$. Gọi $E, F, G, H'$ lần lượt là trung điểm của $CD, AB, BC, AD$. Biết hai cung $GEH'$, $GFH'$ lần lượt là cung tròn đi qua $G, H', E$ và $G, F, H'$. Tính diện tích phần hình được gạch sọc (nằm giữa hai cung và ngoài tứ giác $GEH'F$). (Làm tròn đến hàng phần chục)

Câu 139.Cho hình chữ nhật $ABCD$ tâm $O$, với $AB = 8$, $BC = 4$. Gọi $E, F, G, H'$ lần lượt là trung điểm của $CD, AB, BC, AD$. Biết hai cung $GEH'$, $GFH'$ lần lượt là cung tròn đi qua $G, H', E$ và $G, F, H'$. Tính diện tích phần hình được gạch sọc (nằm giữa hai cung và ngoài tứ giác $GEH'F$). (Làm tròn đến hàng phần chục)

Câu 140.Cho hình chữ nhật $ABCD$ tâm $O$, với $AB = 10$, $BC = 6$. Gọi $E, F, G, H'$ lần lượt là trung điểm của $CD, AB, BC, AD$. Biết hai cung $GEH'$, $GFH'$ lần lượt là cung tròn đi qua $G, H', E$ và $G, F, H'$. Tính diện tích phần hình được gạch sọc (nằm giữa hai cung và ngoài tứ giác $GEH'F$). (Làm tròn đến hàng phần chục)

45. Diện tích hình chữ nhật $y = k$ trên $[a, b]$Trả lời ngắn`area_under_constant`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 141.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = 2$, trục hoành, $x = 5$, $x = 9$.

Câu 142.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = 2$, trục hoành, $x = 4$, $x = 10$.

Câu 143.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = 4$, trục hoành, $x = 4$, $x = 10$.

46. Đảo ngược: cho diện tích $S$ dưới đường cong $y=f(x)\geq 0$ (f tuyến tính hoặc bậc hai đơn giản) trên $[0; b]$, tìm cận trên $b$Trả lời ngắn`area_under_curve_find_upper_bound`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 144.Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\,y = x\,$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = b$ (với $b > 0$). Biết diện tích hình phẳng đó bằng $12,5$. Tìm $b$.

Câu 145.Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\,y = 3x^2\,$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = b$ (với $b > 0$). Biết diện tích hình phẳng đó bằng $64$. Tìm $b$.

Câu 146.Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\,y = 3x\,$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = b$ (với $b > 0$). Biết diện tích hình phẳng đó bằng $13,5$. Tìm $b$.

47. Diện tích giới hạn bởi $y = x^2$, $y = 0$, $x = a$, $x = b$ (số thập phân)Trả lời ngắn`area_under_quadratic`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 147.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$, trục hoành, $x = 2$, $x = 3$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 148.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$, trục hoành, $x = 1$, $x = 2$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 149.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$, trục hoành, $x = 0$, $x = 3$.

48. SA (VD): Logo dạng "thấu kính" giới hạn bởi HAI parabol đối xứng $(P_1): y = a\,x(L - x)$ và $(P_2): y = -a\,x(L - x)$ trên tấm bảng $L \times H$Trả lời ngắn`area_zoned_two_parabolas_cost`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 150.Một logo trang trí có dạng "thấu kính" nằm trên một tấm bảng hình chữ nhật kích thước $3\,\text{dm} \times 5\,\text{dm}$. Trên hệ trục $Oxy$ (đơn vị: đề-xi-mét), cạnh dưới và cạnh trên của bảng song song với $Ox$, logo được giới hạn bởi hai parabol $(P_1)\colon y = x(3 - x)$ và $(P_2)\colon y = -x(3 - x)$. Phần bên trong logo được sơn màu với đơn giá $12$ nghìn đồng/dm², phần còn lại của tấm bảng được sơn nền với đơn giá $6$ nghìn đồng/dm². Tính tổng số tiền sơn cả tấm bảng (nghìn đồng).

Câu 151.Một logo trang trí có dạng "thấu kính" nằm trên một tấm bảng hình chữ nhật kích thước $6\,\text{dm} \times 18\,\text{dm}$. Trên hệ trục $Oxy$ (đơn vị: đề-xi-mét), cạnh dưới và cạnh trên của bảng song song với $Ox$, logo được giới hạn bởi hai parabol $(P_1)\colon y = x(6 - x)$ và $(P_2)\colon y = -x(6 - x)$. Phần bên trong logo được sơn màu với đơn giá $25$ nghìn đồng/dm², phần còn lại của tấm bảng được sơn nền với đơn giá $15$ nghìn đồng/dm². Tính tổng số tiền sơn cả tấm bảng (nghìn đồng).

Câu 152.Một logo trang trí có dạng "thấu kính" nằm trên một tấm bảng hình chữ nhật kích thước $3\,\text{dm} \times 5\,\text{dm}$. Trên hệ trục $Oxy$ (đơn vị: đề-xi-mét), cạnh dưới và cạnh trên của bảng song song với $Ox$, logo được giới hạn bởi hai parabol $(P_1)\colon y = x(3 - x)$ và $(P_2)\colon y = -x(3 - x)$. Phần bên trong logo được sơn màu với đơn giá $30$ nghìn đồng/dm², phần còn lại của tấm bảng được sơn nền với đơn giá $20$ nghìn đồng/dm². Tính tổng số tiền sơn cả tấm bảng (nghìn đồng).

49. Giá trị trung bình của hàm trên đoạn — ứng dụng thực tếTrả lời ngắn`average_value_of_function_application`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 153.Công suất tiêu thụ của một thiết bị trong khoảng thời gian từ $0$ đến $6$ giờ được mô hình hoá bởi $P(t) = -t^2 + 12t + 20$ (kW), $t$ tính bằng giờ. Tính công suất trung bình trong khoảng thời gian đó.

Câu 154.Công suất tiêu thụ của một thiết bị trong khoảng thời gian từ $0$ đến $3$ giờ được mô hình hoá bởi $P(t) = -t^2 + 6t + 20$ (kW), $t$ tính bằng giờ. Tính công suất trung bình trong khoảng thời gian đó.

Câu 155.Vận tốc của một vật chuyển động trong khoảng thời gian từ $0$ đến $6$ giây được mô hình hoá bởi $v(t) = -2t^2 + 8t + 20$ (m/s), $t$ tính bằng giây. Tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian đó.

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 156.Công suất tiêu thụ của một thiết bị trong khoảng thời gian từ $0$ đến $3$ giờ được mô hình hoá bởi $P(t) = -2t^2 + 5t + 30$ (kW), $t$ tính bằng giờ. Tính công suất trung bình trong khoảng thời gian đó. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 157.Vận tốc của một vật chuyển động trong khoảng thời gian từ $0$ đến $3$ giây được mô hình hoá bởi $v(t) = -t^2 + 7t + 30$ (m/s), $t$ tính bằng giây. Tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian đó. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 158.Vận tốc của một vật chuyển động trong khoảng thời gian từ $0$ đến $3$ giây được mô hình hoá bởi $v(t) = -t^2 + 5t + 20$ (m/s), $t$ tính bằng giây. Tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian đó. (Làm tròn đến hàng phần mười)

50. SA (VDC): Phôi (bạc) hình vuông cạnh $L$Trả lời ngắn`badge_parabola_outside_semicircle_area`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 159.Người ta chế tác huy hiệu trên một phôi bạc hình vuông cạnh $10$ mm. Chọn hệ trục $Oxy$ với $O$ là một đỉnh của phôi, cạnh dưới nằm trên $Ox$ và cạnh trái nằm trên $Oy$; gọi $A$ là đỉnh đối diện trên cạnh dưới và $C$ là đỉnh đối diện trên cạnh trái. Lấy điểm $M$ bên trong phôi cách cạnh dưới $8$ mm và cách cạnh trái $4$ mm. "Cạnh vòm" là một nửa cung tròn đi qua ba điểm $O, M, C$; "đường lượn" là một phần parabol đi qua ba điểm $O, M, A$. Tính diện tích phần tô đậm — phần phôi nằm phía trên "đường lượn" và ngoài "cạnh vòm" (đơn vị mm², làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 160.Người ta chế tác huy hiệu trên một phôi bạc hình vuông cạnh $20$ mm. Chọn hệ trục $Oxy$ với $O$ là một đỉnh của phôi, cạnh dưới nằm trên $Ox$ và cạnh trái nằm trên $Oy$; gọi $A$ là đỉnh đối diện trên cạnh dưới và $C$ là đỉnh đối diện trên cạnh trái. Lấy điểm $M$ bên trong phôi cách cạnh dưới $4$ mm và cách cạnh trái $8$ mm. "Cạnh vòm" là một nửa cung tròn đi qua ba điểm $O, M, C$; "đường lượn" là một phần parabol đi qua ba điểm $O, M, A$. Tính diện tích phần tô đậm — phần phôi nằm phía trên "đường lượn" và ngoài "cạnh vòm" (đơn vị mm², làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 161.Người ta chế tác huy hiệu trên một phôi bạc hình vuông cạnh $20$ mm. Chọn hệ trục $Oxy$ với $O$ là một đỉnh của phôi, cạnh dưới nằm trên $Ox$ và cạnh trái nằm trên $Oy$; gọi $A$ là đỉnh đối diện trên cạnh dưới và $C$ là đỉnh đối diện trên cạnh trái. Lấy điểm $M$ bên trong phôi cách cạnh dưới $16$ mm và cách cạnh trái $8$ mm. "Cạnh vòm" là một nửa cung tròn đi qua ba điểm $O, M, C$; "đường lượn" là một phần parabol đi qua ba điểm $O, M, A$. Tính diện tích phần tô đậm — phần phôi nằm phía trên "đường lượn" và ngoài "cạnh vòm" (đơn vị mm², làm tròn đến hàng đơn vị).

51. VDC (SA): Bảng quảng cáo $ABCD$ kích thước $W \times H$ m²Trả lời ngắn`billboard_hyperbola_content_area`(2 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(2 câu)

Câu 162.Một công ty thiết kế một bảng quảng cáo có dạng hình chữ nhật $ABCD$ với kích thước $AB = 10$ m, $AD = 6$ m. Nội dung quảng cáo được mô tả trong phần tô đậm với hai đường cong trong hình là một phần của đồ thị hàm số $(C)$ có dạng $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ (hình minh hoạ). Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $(C)$ đều bằng $3$ m. Đồ thị hàm số $(C)$ cắt cạnh $AB$ tại điểm $E$ thoả mãn $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{2}{5}$. Diện tích phần nội dung quảng cáo là bao nhiêu mét vuông? (Làm tròn đến hàng phần mười)

Bảng quảng cáo 10x6 m, đường cong phân thức

Câu 163.Một công ty thiết kế một bảng quảng cáo có dạng hình chữ nhật $ABCD$ với kích thước $AB = 12$ m, $AD = 8$ m. Nội dung quảng cáo được mô tả trong phần tô đậm với hai đường cong trong hình là một phần của đồ thị hàm số $(C)$ có dạng $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ (hình minh hoạ). Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $(C)$ đều bằng $4$ m. Đồ thị hàm số $(C)$ cắt cạnh $AB$ tại điểm $E$ thoả mãn $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{5}{12}$. Diện tích phần nội dung quảng cáo là bao nhiêu mét vuông? (Làm tròn đến hàng phần mười)

Bảng quảng cáo 12x8 m, đường cong phân thức

52. SA (VDC): Bảng quảng cáo $ABCD$ kích thước $AB \times AD$Trả lời ngắn`billboard_hyperbola_printed_area`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 164.Một công ty thiết kế một bảng quảng cáo có dạng hình chữ nhật $ABCD$ với kích thước $AB = 10$ m, $AD = 6$ m. Trên bảng, hai đường cong là một phần đồ thị hàm số $(C)\colon y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ (hình minh hoạ) chia bảng thành nhiều phần; phần in nội dung (phần tô đậm) là phần bảng nằm GIỮA hai nhánh của $(C)$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của $(C)$ đều bằng $2$ m. Đồ thị $(C)$ cắt cạnh $AB$ tại điểm $E$ thoả mãn $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{2}{5}$. Tính diện tích phần in nội dung (mét vuông). (Làm tròn đến hàng phần mười)

Bảng quảng cáo 10x6 m, đường cong phân thức

Câu 165.Một công ty thiết kế một bảng quảng cáo có dạng hình chữ nhật $ABCD$ với kích thước $AB = 10$ m, $AD = 6$ m. Trên bảng, hai đường cong là một phần đồ thị hàm số $(C)\colon y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ (hình minh hoạ) chia bảng thành nhiều phần; phần in nội dung (phần tô đậm) là phần bảng nằm GIỮA hai nhánh của $(C)$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của $(C)$ đều bằng $3$ m. Đồ thị $(C)$ cắt cạnh $AB$ tại điểm $E$ thoả mãn $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{2}{5}$. Tính diện tích phần in nội dung (mét vuông). (Làm tròn đến hàng phần mười)

Bảng quảng cáo 10x6 m, đường cong phân thức

Câu 166.Một công ty thiết kế một bảng quảng cáo có dạng hình chữ nhật $ABCD$ với kích thước $AB = 12$ m, $AD = 8$ m. Trên bảng, hai đường cong là một phần đồ thị hàm số $(C)\colon y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ (hình minh hoạ) chia bảng thành nhiều phần; phần in nội dung (phần tô đậm) là phần bảng nằm GIỮA hai nhánh của $(C)$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của $(C)$ đều bằng $4$ m. Đồ thị $(C)$ cắt cạnh $AB$ tại điểm $E$ thoả mãn $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{5}{12}$. Tính diện tích phần in nội dung (mét vuông). (Làm tròn đến hàng phần mười)

Bảng quảng cáo 12x8 m, đường cong phân thức

53. SA (VDC): Đồ thị $(C)\colon y = \dfrac12 x^3 + a x^2 + b x + c$ đi qua hai điểm $A(1; y_1)$, $B(2; y_2)$ và diện tích hình thang cong dưới $(C)$ trên $[0; 2]$ (so với trục hoành) bằng $I$ (giả thiết $(C) \ge 0$ trên đoạn này)Trả lời ngắn`cubic_coeffs_from_points_area_ratio`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 167.Cho hàm số $y = \dfrac12 x^3 + a x^2 + b x + c$ có đồ thị $(C)$. Biết $(C)$ đi qua hai điểm $A(1; \dfrac{1}{2})$, $B(2; 5)$ và hình phẳng giới hạn bởi $(C)$, trục hoành, hai đường thẳng $x = 0$, $x = 2$ có diện tích bằng $\dfrac{8}{3}$ (biết $(C) \ge 0$ trên $[0; 2]$). Tìm hệ số $a$.

Câu 168.Cho hàm số $y = \dfrac12 x^3 + a x^2 + b x + c$ có đồ thị $(C)$. Biết $(C)$ đi qua hai điểm $A(1; \dfrac{5}{2})$, $B(2; 4)$ và hình phẳng giới hạn bởi $(C)$, trục hoành, hai đường thẳng $x = 0$, $x = 2$ có diện tích bằng $\dfrac{16}{3}$ (biết $(C) \ge 0$ trên $[0; 2]$). Tìm $a - b$.

Câu 169.Cho hàm số $y = \dfrac12 x^3 + a x^2 + b x + c$ có đồ thị $(C)$. Biết $(C)$ đi qua hai điểm $A(1; \dfrac{3}{2})$, $B(2; 9)$ và hình phẳng giới hạn bởi $(C)$, trục hoành, hai đường thẳng $x = 0$, $x = 2$ có diện tích bằng $\dfrac{14}{3}$ (biết $(C) \ge 0$ trên $[0; 2]$). Tìm $a - b$.

54. SA (VDC): Logo trên $Oxy$ gồm $(C_1)\colon y = x^2$, $(C_2)\colon y = s\,x$ và $(C_3)\colon y = f(x)$Trả lời ngắn`logo_equal_areas_cubic_glass_cost`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 170.Một logo được thiết kế trên hệ trục toạ độ $Oxy$ (đơn vị trên các trục là mét) gồm các đường $(C_1)\colon y = x^2$, $(C_2)\colon y = 2x$ và $(C_3)\colon y = f(x)$. Lấy điểm $P(\alpha; \alpha^2)$ thuộc $(C_1)$ với $\alpha \in [0; 1]$. Đường thẳng qua $P$ song song với trục hoành cắt $(C_2)$ tại $Q$ và đường thẳng qua $P$ song song với trục tung cắt $(C_3)$ tại $R$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C_1)$, $(C_2)$, $PQ$ và $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C_1)$, $(C_3)$, $PR$. Biết yêu cầu thiết kế là $S_1 = S_2$ với mọi $\alpha \in [0; 1]$. Phần hình phẳng giới hạn bởi $(C_3)$ và trục hoành được lắp kính phát sáng với chi phí $6$ triệu đồng/m². Tổng chi phí thi công phần kính phát sáng là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 171.Một logo được thiết kế trên hệ trục toạ độ $Oxy$ (đơn vị trên các trục là mét) gồm các đường $(C_1)\colon y = x^2$, $(C_2)\colon y = 2x$ và $(C_3)\colon y = f(x)$. Lấy điểm $P(\alpha; \alpha^2)$ thuộc $(C_1)$ với $\alpha \in [0; 1]$. Đường thẳng qua $P$ song song với trục hoành cắt $(C_2)$ tại $Q$ và đường thẳng qua $P$ song song với trục tung cắt $(C_3)$ tại $R$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C_1)$, $(C_2)$, $PQ$ và $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C_1)$, $(C_3)$, $PR$. Biết yêu cầu thiết kế là $S_1 = S_2$ với mọi $\alpha \in [0; 1]$. Phần hình phẳng giới hạn bởi $(C_3)$ và trục hoành được lắp kính phát sáng với chi phí $12$ triệu đồng/m². Tổng chi phí thi công phần kính phát sáng là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 172.Một logo được thiết kế trên hệ trục toạ độ $Oxy$ (đơn vị trên các trục là mét) gồm các đường $(C_1)\colon y = x^2$, $(C_2)\colon y = 2x$ và $(C_3)\colon y = f(x)$. Lấy điểm $P(\alpha; \alpha^2)$ thuộc $(C_1)$ với $\alpha \in [0; 1]$. Đường thẳng qua $P$ song song với trục hoành cắt $(C_2)$ tại $Q$ và đường thẳng qua $P$ song song với trục tung cắt $(C_3)$ tại $R$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C_1)$, $(C_2)$, $PQ$ và $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C_1)$, $(C_3)$, $PR$. Biết yêu cầu thiết kế là $S_1 = S_2$ với mọi $\alpha \in [0; 1]$. Phần hình phẳng giới hạn bởi $(C_3)$ và trục hoành được lắp kính phát sáng với chi phí $24$ triệu đồng/m². Tổng chi phí thi công phần kính phát sáng là bao nhiêu triệu đồng?

55. VDC++ (SA): Mô hình kinh tế cầu/cung với hàm cầu $D(x)$ tuyến tính và hàm cung $S(x)$ bậc 2Trả lời ngắn`market_equilibrium_consumer_surplus`(1 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(1 câu)

Câu 173.Trong một mô hình kinh tế, hàm cung $y = S(x)$ là giá của một sản phẩm khi nhà sản xuất sẵn sàng bán ra $x$ sản phẩm, hàm cầu $y = D(x)$ là giá của một sản phẩm khi người tiêu dùng có nhu cầu mua $x$ sản phẩm. Điểm cắt nhau $(x_0; y_0)$ của đồ thị hai hàm trên gọi là điểm cân bằng thị trường. Các nhà kinh tế gọi thặng dư tiêu dùng là diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang $y = y_0$ và trục tung; thặng dư sản xuất là diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm cung, đường ngang $y = y_0$ và trục tung. Xét thị trường tấm pin năng lượng mặt trời thế hệ mới với: $p = D(x) = 4 - 0{,}2 x$ (triệu đồng/tấm); $p = S(x) = 0{,}4 + 0{,}1 x + \dfrac{1}{m} x^2$ (triệu đồng/tấm), trong đó $x$ là sản lượng (đơn vị: nghìn sản phẩm), $p$ là giá bán (triệu đồng/sản phẩm) và $m > 0$ là chỉ số hiệu quả công nghệ. Biết rằng tại trạng thái cân bằng thị trường, thặng dư sản xuất đạt được là $4{,}2$ tỉ đồng. Tại thời điểm này, thặng dư tiêu dùng là bao nhiêu tỉ đồng?

56. VDC: Mô hình bông hoa khổng lồ với $n$ cánh giống nhau, mỗi cánh có bề mặt là hình phẳng giới hạn bởi 2 parabol $(P_1): y = -x^2 + a x$ và $(P_2): y = x^2 - b x$Trả lời ngắn`symmetric_flower_petals_volume_cost`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 174.Hướng tới chuỗi sự kiện văn hoá địa phương, một nhóm kỹ sư thiết kế một mô hình bông hoa khổng lồ phát sáng. Bông hoa được thiết kế gồm $5$ cánh hoa có kích thước và hình dáng giống hệt nhau. Mỗi cánh hoa được đúc đặc nguyên khối từ nhựa mica tán sáng cao cấp với độ dày đồng nhất là $10$ cm. Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ (đơn vị đo trên mỗi trục toạ độ là mét), bề mặt của mỗi cánh hoa được mô tả là một hình phẳng giới hạn bởi hai parabol có phương trình: $(P_1): y = -x^2 + 6x$ và $(P_2): y = x^2 - 6x$. Biết chi phí vật liệu nhựa mica tán sáng này là $20$ triệu đồng cho mỗi $1\,\text{m}^3$. Hỏi tổng chi phí vật liệu để đúc cả $5$ cánh hoa trong mô hình biểu tượng này là bao nhiêu triệu đồng?

1 cánh hoa parabol (P1): y=-x²+6x và (P2): y=x²-6x

Câu 175.Hướng tới chuỗi sự kiện văn hoá địa phương, một nhóm kỹ sư thiết kế một mô hình bông hoa khổng lồ phát sáng. Bông hoa được thiết kế gồm $5$ cánh hoa có kích thước và hình dáng giống hệt nhau. Mỗi cánh hoa được đúc đặc nguyên khối từ nhựa mica tán sáng cao cấp với độ dày đồng nhất là $15$ cm. Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ (đơn vị đo trên mỗi trục toạ độ là mét), bề mặt của mỗi cánh hoa được mô tả là một hình phẳng giới hạn bởi hai parabol có phương trình: $(P_1): y = -x^2 + 4x$ và $(P_2): y = x^2 - 2x$. Biết chi phí vật liệu nhựa mica tán sáng này là $40$ triệu đồng cho mỗi $1\,\text{m}^3$. Hỏi tổng chi phí vật liệu để đúc cả $5$ cánh hoa trong mô hình biểu tượng này là bao nhiêu triệu đồng?

1 cánh hoa parabol (P1): y=-x²+4x và (P2): y=x²-2x

Câu 176.Hướng tới chuỗi sự kiện văn hoá địa phương, một nhóm kỹ sư thiết kế một mô hình bông hoa khổng lồ phát sáng. Bông hoa được thiết kế gồm $6$ cánh hoa có kích thước và hình dáng giống hệt nhau. Mỗi cánh hoa được đúc đặc nguyên khối từ nhựa mica tán sáng cao cấp với độ dày đồng nhất là $20$ cm. Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ (đơn vị đo trên mỗi trục toạ độ là mét), bề mặt của mỗi cánh hoa được mô tả là một hình phẳng giới hạn bởi hai parabol có phương trình: $(P_1): y = -x^2 + 2x$ và $(P_2): y = x^2 - 4x$. Biết chi phí vật liệu nhựa mica tán sáng này là $30$ triệu đồng cho mỗi $1\,\text{m}^3$. Hỏi tổng chi phí vật liệu để đúc cả $6$ cánh hoa trong mô hình biểu tượng này là bao nhiêu triệu đồng?

1 cánh hoa parabol (P1): y=-x²+2x và (P2): y=x²-4x

Công thức

§1. Công thức(3)

§2. Phương pháp(2)

§3. Mẹo(1)

§4. Lưu ý(1)

Bài tập

1. Tìm khẳng định SAI về công thức diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x)$ và trục $Ox$ trên $[a; b]$, khi đồ thị $f$ NẰM HOÀN TOÀN DƯỚI trục $Ox$ ($f(x) \le 0$ trên $[a; b]$)Trắc nghiệmarea_below_ox_find_false_formula(3 câu)

2. Diện tích giữa 2 đồ thị $y = f(x), y = g(x)$ trên $[a; b]$ với $f \geq g$Trắc nghiệmarea_between_curves(3 câu)

3. Chọn ĐÚNG biểu thức tích phân tính diện tích miền (gạch chéo) giới hạn bởi HAI parabol $y = a_1x^2 + b_1x + c_1$ và $y = a_2x^2 + b_2x + c_2$Trắc nghiệmarea_between_two_parabolas_choose_integrand(3 câu)

4. Chọn ĐÚNG công thức diện tích miền giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = p, x = q$, KHI $f$ ĐỔI DẤU trên $[p; q]$Trắc nghiệmarea_curve_ox_two_lines_choose_abs_formula(3 câu)

5. Chọn ĐÚNG công thức diện tích miền giữa hai đường $y=f(x), y=g(x)$Trắc nghiệmarea_formula_between_two_curves(3 câu)

6. Chọn ĐÚNG công thức diện tích miền giới hạn bởi $y = ax+b$, $Ox$, $x=p$, $x=q$Trắc nghiệmarea_formula_linear_under_ox(3 câu)

7. Diện tích giới hạn bởi parabol $y = -(x - x_1)(x - x_2)$ (mở xuống) và trục OxTrắc nghiệmarea_parabola_axis(3 câu)

8. Chọn công thức ĐÚNG cho diện tích $S = \int|f|$ khi $f$ đổi dấu — phải tách dấu theo nghiệm đọc từ mô tả/đồ thịTrắc nghiệmarea_sign_split_choose_formula(3 câu)

9. Đối ngẫu của find_false: tìm khẳng định ĐÚNG về biểu thức $S$ khi đồ thị có phần dưới $Ox$Trắc nghiệmarea_sign_split_choose_true(3 câu)

10. Tìm khẳng định SAI trong 4 phát biểu về diện tích khi $f$ đổi dấuTrắc nghiệmarea_sign_split_find_false(3 câu)

12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = ax^2$ và Ox trên $[0, k]$Trắc nghiệmarea_under_curve_quadratic(3 câu)

13. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = ax$ trên $[0; a]$ (với $a > 0$)Trắc nghiệmarea_with_abs_value_two_curves(3 câu)

14. VDC: Đường thẳng $y = kx$ và parabol $y = x^2 + a$ (tham số $a > 0$)Trắc nghiệmequal_area_parabola_line_param(3 câu)

15. Ước lượng quãng đường $S\approx\int v\,dt$ từ bảng vận tốc $v(t)$ bằng quy tắc hình thangTrắc nghiệmestimate_area_from_velocity_table_trapezoid(3 câu)

17. Forward: cho $S_1$ (miền trên $Ox$), $S_2$ (miền dưới $Ox$), tính $\int_a^b f = S_1 - S_2$Trắc nghiệmintegral_signed_area_forward(3 câu)

18. Reverse: cho $\int_a^b f$ và $S_1$ (miền trên), tìm $S_2 = S_1 - \int_a^b f$Trắc nghiệmintegral_signed_area_reverse(3 câu)

19. Ba miền: $S_1$ (trên), $S_2$ (dưới), $S_3$ (trên) → $\int_a^b f = S_1 - S_2 + S_3$Trắc nghiệmintegral_signed_area_three_regions(3 câu)

20. Quan sát hình vẽ vùng giới hạn bởi đường cong y=ax², trục Ox và x=kTrắc nghiệmread_area_under_curve_from_figure(3 câu)

21. Cho hàm $y = f(x)$ cụ thể (đa thức bậc 2 hoặc 3) trên đoạn cụ thể — xét đúng/sai về diện tích hình thang cong giữa đồ thị và trục $Ox$Đúng / Saiarea_app_facts2(3 câu)

22. Cho hai đường $y = x^2$ và $y = 2x$ (hoặc tương tự) — xét đúng/sai về giao điểm, công thức diện tích và kết quảĐúng / Saiarea_application_facts(3 câu)

23. Hai đường cong CẮT NHAU trong đoạn → phải tách miền theo điểm cắtĐúng / Saiarea_between_curves_crossing_split_facts(3 câu)

24. TF: đường cong Lorenz $L(x) = (\alpha x^2 + \beta x + \gamma)^2$Đúng / Sailorenz_curve_income_inequality(3 câu)

25. Hình phẳng ghép $(H) = (H_1) \cup (H_2)$: $(H_1)$ là $\frac14$ đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ (giới hạn bởi cung, Oy, Ox); $(H_2)$ giới hạn bởi $f(x) = R - x^2$, Oy, OxĐúng / Saitf_composite_quartercircle_parabola_region(3 câu)

26. Biến thể GTNN: cho đồ thị $f'(x)$ với miền $(A)$ phía DƯỚI Ox (diện tích $S_A$) trên $(a; m)$ rồi miền $(B)$ phía TRÊN Ox (diện tích $S_B$) trên $(m; b)$; neo $f(a) = v_0$Đúng / Saitf_fprime_graph_compare_values(3 câu)

27. Cho đồ thị $f'(x)$: miền $(A)$ phía TRÊN Ox (diện tích $S_A$) trên $(a; m)$, miền $(B)$ phía DƯỚI Ox (diện tích $S_B$) trên $(m; b)$; neo $f(a) = v_0$Đúng / Saitf_fprime_graph_signed_area(3 câu)

28. $v(t) = v_0 + p t - t^2$ (lưu lượng nước vào bể, L/phút)Đúng / Saitf_inflow_rate_tank_volume(6 câu)

29. $P'(x) = -c x + d$ (lợi nhuận biên, triệu đồng ), $P(0) = 0$Đúng / Saitf_marginal_profit_million_threshold(3 câu)

30. $P'(x) = -c x + d$ (lợi nhuận biên), $P(0) = 0$Đúng / Saitf_marginal_to_profit(6 câu)

31. $h(t) = -k_4 t^4 + k_3 t^3 + h_0$ (cm), với $h'(t) = -4k_4 t^3 + 3k_3 t^2$ và $h(0) = h_0$Đúng / Saitf_plant_growth_quartic_height_inflection(3 câu)

32. $h'(t) = -a t^3 + b t^2$ (cm/tuần), $h(0) = h_0$Đúng / Saitf_rate_to_quantity_plant_growth(6 câu)

33. Hai công nhân: $Q_1'(t) = -p t^2 + q t + s$ và $Q_2'(t) = c + a t$ (sản phẩm/giờ), tham số $a$ đọc từ ĐỒ THỊ (hai đường cắt nhau tại điểm có cùng tung độ)Đúng / Saitf_two_workers_rate_productivity_compare(3 câu)

34. SA (VDC): Phần tô đậm giới hạn TRÊN bởi cung phần tư đường tròn $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ (góc phần tư thứ nhất) và DƯỚI bởi parabol $y = p\,x^2$ đi qua $O(0;0)$, trên đoạn $[0; R]$Trả lời ngắnarea_arc_and_parabola_points(3 câu)

35. SA (VDC): Trong hình vuông $ABCD$ cạnh $s$ (dm), vẽ hai cung phần tư đường tròn bán kính $s$ tâm tại hai đỉnh kề $A$ và $B$Trả lời ngắnarea_arcs_in_rectangle(3 câu)

36. (VDC) Diện tích miền giới hạn bởi đồ thị $(C): y=\dfrac{x+p}{x-q}$, đồ thị $(C')$ đối xứng với $(C)$ qua $y=x$ (tức $(C')$ là đồ thị hàm ngược), đường $x=m$ và trục tungTrả lời ngắnarea_between_curve_and_inverse(3 câu)

37. SA (VDC): Biến thể "phần bù": nửa hình tròn $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ trên $[-R; R]$ chứa một "đồi" parabol $y = p\,x^2$ ($p > 0$) đối xứng qua $Oy$Trả lời ngắnarea_circle_minus_parabola_region(3 câu)

38. (VDC) Đường cong $y=x^3$, đường thẳng $d$ qua $O$ và $P(t; t^3)$, đường $\Delta:y=-x+c$Trả lời ngắnarea_cubic_secant_BA_diff(1 câu)

39. SA (VDC): Cho $f(x) = x^3 + c\,x$ và điểm $P(p; f(p))$Trả lời ngắnarea_cubic_secant_difference(3 câu)

40. SA (VDC): Cùng cấu hình $f(x) = x^3 + c\,x$, $d$ qua $O$ và $P(p; f(p))$, với $A, B$ như trênTrả lời ngắnarea_cubic_secant_sum_or_ratio(3 câu)

41. SA (VDC): Sân khấu hình quạt tròn bán kính $R$, góc ở tâm $\theta$ radTrả lời ngắnarea_parabola_sector_three_zones(3 câu)

42. SA (VD): Bồn hoa nửa hình tròn bán kính $R$Trả lời ngắnarea_parabola_semicircle_cost(3 câu)

43. (VDC, tái hiện 1 đề) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 5 parabol giống nhau tạo thành "ngôi sao năm cánh" trong ngũ giác đềuTrả lời ngắnarea_pentagon_five_parabolas(1 câu)

44. SA (VDC): Hình chữ nhật $ABCD$ tâm $O$, $AB = W$, $BC = H$Trả lời ngắnarea_two_arcs_rectangle_minus_rhombus(3 câu)

45. Diện tích hình chữ nhật $y = k$ trên $[a, b]$Trả lời ngắnarea_under_constant(3 câu)

46. Đảo ngược: cho diện tích $S$ dưới đường cong $y=f(x)\geq 0$ (f tuyến tính hoặc bậc hai đơn giản) trên $[0; b]$, tìm cận trên $b$Trả lời ngắnarea_under_curve_find_upper_bound(3 câu)

47. Diện tích giới hạn bởi $y = x^2$, $y = 0$, $x = a$, $x = b$ (số thập phân)Trả lời ngắnarea_under_quadratic(3 câu)

48. SA (VD): Logo dạng "thấu kính" giới hạn bởi HAI parabol đối xứng $(P_1): y = a\,x(L - x)$ và $(P_2): y = -a\,x(L - x)$ trên tấm bảng $L \times H$Trả lời ngắnarea_zoned_two_parabolas_cost(3 câu)

49. Giá trị trung bình của hàm trên đoạn — ứng dụng thực tếTrả lời ngắnaverage_value_of_function_application(6 câu)

50. SA (VDC): Phôi (bạc) hình vuông cạnh $L$Trả lời ngắnbadge_parabola_outside_semicircle_area(3 câu)

51. VDC (SA): Bảng quảng cáo $ABCD$ kích thước $W \times H$ m²Trả lời ngắnbillboard_hyperbola_content_area(2 câu)

52. SA (VDC): Bảng quảng cáo $ABCD$ kích thước $AB \times AD$Trả lời ngắnbillboard_hyperbola_printed_area(3 câu)

54. SA (VDC): Logo trên $Oxy$ gồm $(C_1)\colon y = x^2$, $(C_2)\colon y = s\,x$ và $(C_3)\colon y = f(x)$Trả lời ngắnlogo_equal_areas_cubic_glass_cost(3 câu)

55. VDC++ (SA): Mô hình kinh tế cầu/cung với hàm cầu $D(x)$ tuyến tính và hàm cung $S(x)$ bậc 2Trả lời ngắnmarket_equilibrium_consumer_surplus(1 câu)

56. VDC: Mô hình bông hoa khổng lồ với $n$ cánh giống nhau, mỗi cánh có bề mặt là hình phẳng giới hạn bởi 2 parabol $(P_1): y = -x^2 + a x$ và $(P_2): y = x^2 - b x$Trả lời ngắnsymmetric_flower_petals_volume_cost(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tìm khẳng định SAI về công thức diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x)$ và trục $Ox$ trên $[a; b]$, khi đồ thị $f$ NẰM HOÀN TOÀN DƯỚI trục $Ox$ ($f(x) \le 0$ trên $[a; b]$)Trắc nghiệm`area_below_ox_find_false_formula`(3 câu)

2. Diện tích giữa 2 đồ thị $y = f(x), y = g(x)$ trên $[a; b]$ với $f \geq g$Trắc nghiệm`area_between_curves`(3 câu)

3. Chọn ĐÚNG biểu thức tích phân tính diện tích miền (gạch chéo) giới hạn bởi HAI parabol $y = a_1x^2 + b_1x + c_1$ và $y = a_2x^2 + b_2x + c_2$Trắc nghiệm`area_between_two_parabolas_choose_integrand`(3 câu)

4. Chọn ĐÚNG công thức diện tích miền giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = p, x = q$, KHI $f$ ĐỔI DẤU trên $[p; q]$Trắc nghiệm`area_curve_ox_two_lines_choose_abs_formula`(3 câu)

5. Chọn ĐÚNG công thức diện tích miền giữa hai đường $y=f(x), y=g(x)$Trắc nghiệm`area_formula_between_two_curves`(3 câu)

6. Chọn ĐÚNG công thức diện tích miền giới hạn bởi $y = ax+b$, $Ox$, $x=p$, $x=q$Trắc nghiệm`area_formula_linear_under_ox`(3 câu)

7. Diện tích giới hạn bởi parabol $y = -(x - x_1)(x - x_2)$ (mở xuống) và trục OxTrắc nghiệm`area_parabola_axis`(3 câu)

8. Chọn công thức ĐÚNG cho diện tích $S = \int|f|$ khi $f$ đổi dấu — phải tách dấu theo nghiệm đọc từ mô tả/đồ thịTrắc nghiệm`area_sign_split_choose_formula`(3 câu)

9. Đối ngẫu của find_false: tìm khẳng định ĐÚNG về biểu thức $S$ khi đồ thị có phần dưới $Ox$Trắc nghiệm`area_sign_split_choose_true`(3 câu)

10. Tìm khẳng định SAI trong 4 phát biểu về diện tích khi $f$ đổi dấuTrắc nghiệm`area_sign_split_find_false`(3 câu)

12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = ax^2$ và Ox trên $[0, k]$Trắc nghiệm`area_under_curve_quadratic`(3 câu)

13. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = ax$ trên $[0; a]$ (với $a > 0$)Trắc nghiệm`area_with_abs_value_two_curves`(3 câu)

14. VDC: Đường thẳng $y = kx$ và parabol $y = x^2 + a$ (tham số $a > 0$)Trắc nghiệm`equal_area_parabola_line_param`(3 câu)

15. Ước lượng quãng đường $S\approx\int v\,dt$ từ bảng vận tốc $v(t)$ bằng quy tắc hình thangTrắc nghiệm`estimate_area_from_velocity_table_trapezoid`(3 câu)

17. Forward: cho $S_1$ (miền trên $Ox$), $S_2$ (miền dưới $Ox$), tính $\int_a^b f = S_1 - S_2$Trắc nghiệm`integral_signed_area_forward`(3 câu)

18. Reverse: cho $\int_a^b f$ và $S_1$ (miền trên), tìm $S_2 = S_1 - \int_a^b f$Trắc nghiệm`integral_signed_area_reverse`(3 câu)

19. Ba miền: $S_1$ (trên), $S_2$ (dưới), $S_3$ (trên) → $\int_a^b f = S_1 - S_2 + S_3$Trắc nghiệm`integral_signed_area_three_regions`(3 câu)

20. Quan sát hình vẽ vùng giới hạn bởi đường cong y=ax², trục Ox và x=kTrắc nghiệm`read_area_under_curve_from_figure`(3 câu)

21. Cho hàm $y = f(x)$ cụ thể (đa thức bậc 2 hoặc 3) trên đoạn cụ thể — xét đúng/sai về diện tích hình thang cong giữa đồ thị và trục $Ox$Đúng / Sai`area_app_facts2`(3 câu)

22. Cho hai đường $y = x^2$ và $y = 2x$ (hoặc tương tự) — xét đúng/sai về giao điểm, công thức diện tích và kết quảĐúng / Sai`area_application_facts`(3 câu)

23. Hai đường cong CẮT NHAU trong đoạn → phải tách miền theo điểm cắtĐúng / Sai`area_between_curves_crossing_split_facts`(3 câu)

24. TF: đường cong Lorenz $L(x) = (\alpha x^2 + \beta x + \gamma)^2$Đúng / Sai`lorenz_curve_income_inequality`(3 câu)

25. Hình phẳng ghép $(H) = (H_1) \cup (H_2)$: $(H_1)$ là $\frac14$ đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ (giới hạn bởi cung, Oy, Ox); $(H_2)$ giới hạn bởi $f(x) = R - x^2$, Oy, OxĐúng / Sai`tf_composite_quartercircle_parabola_region`(3 câu)

26. Biến thể GTNN: cho đồ thị $f'(x)$ với miền $(A)$ phía DƯỚI Ox (diện tích $S_A$) trên $(a; m)$ rồi miền $(B)$ phía TRÊN Ox (diện tích $S_B$) trên $(m; b)$; neo $f(a) = v_0$Đúng / Sai`tf_fprime_graph_compare_values`(3 câu)

27. Cho đồ thị $f'(x)$: miền $(A)$ phía TRÊN Ox (diện tích $S_A$) trên $(a; m)$, miền $(B)$ phía DƯỚI Ox (diện tích $S_B$) trên $(m; b)$; neo $f(a) = v_0$Đúng / Sai`tf_fprime_graph_signed_area`(3 câu)

28. $v(t) = v_0 + p t - t^2$ (lưu lượng nước vào bể, L/phút)Đúng / Sai`tf_inflow_rate_tank_volume`(6 câu)

29. $P'(x) = -c x + d$ (lợi nhuận biên, triệu đồng ), $P(0) = 0$Đúng / Sai`tf_marginal_profit_million_threshold`(3 câu)

30. $P'(x) = -c x + d$ (lợi nhuận biên), $P(0) = 0$Đúng / Sai`tf_marginal_to_profit`(6 câu)

31. $h(t) = -k_4 t^4 + k_3 t^3 + h_0$ (cm), với $h'(t) = -4k_4 t^3 + 3k_3 t^2$ và $h(0) = h_0$Đúng / Sai`tf_plant_growth_quartic_height_inflection`(3 câu)

32. $h'(t) = -a t^3 + b t^2$ (cm/tuần), $h(0) = h_0$Đúng / Sai`tf_rate_to_quantity_plant_growth`(6 câu)

33. Hai công nhân: $Q_1'(t) = -p t^2 + q t + s$ và $Q_2'(t) = c + a t$ (sản phẩm/giờ), tham số $a$ đọc từ ĐỒ THỊ (hai đường cắt nhau tại điểm có cùng tung độ)Đúng / Sai`tf_two_workers_rate_productivity_compare`(3 câu)

34. SA (VDC): Phần tô đậm giới hạn TRÊN bởi cung phần tư đường tròn $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ (góc phần tư thứ nhất) và DƯỚI bởi parabol $y = p\,x^2$ đi qua $O(0;0)$, trên đoạn $[0; R]$Trả lời ngắn`area_arc_and_parabola_points`(3 câu)

35. SA (VDC): Trong hình vuông $ABCD$ cạnh $s$ (dm), vẽ hai cung phần tư đường tròn bán kính $s$ tâm tại hai đỉnh kề $A$ và $B$Trả lời ngắn`area_arcs_in_rectangle`(3 câu)

36. (VDC) Diện tích miền giới hạn bởi đồ thị $(C): y=\dfrac{x+p}{x-q}$, đồ thị $(C')$ đối xứng với $(C)$ qua $y=x$ (tức $(C')$ là đồ thị hàm ngược), đường $x=m$ và trục tungTrả lời ngắn`area_between_curve_and_inverse`(3 câu)

37. SA (VDC): Biến thể "phần bù": nửa hình tròn $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ trên $[-R; R]$ chứa một "đồi" parabol $y = p\,x^2$ ($p > 0$) đối xứng qua $Oy$Trả lời ngắn`area_circle_minus_parabola_region`(3 câu)

38. (VDC) Đường cong $y=x^3$, đường thẳng $d$ qua $O$ và $P(t; t^3)$, đường $\Delta:y=-x+c$Trả lời ngắn`area_cubic_secant_BA_diff`(1 câu)

39. SA (VDC): Cho $f(x) = x^3 + c\,x$ và điểm $P(p; f(p))$Trả lời ngắn`area_cubic_secant_difference`(3 câu)

40. SA (VDC): Cùng cấu hình $f(x) = x^3 + c\,x$, $d$ qua $O$ và $P(p; f(p))$, với $A, B$ như trênTrả lời ngắn`area_cubic_secant_sum_or_ratio`(3 câu)

41. SA (VDC): Sân khấu hình quạt tròn bán kính $R$, góc ở tâm $\theta$ radTrả lời ngắn`area_parabola_sector_three_zones`(3 câu)

42. SA (VD): Bồn hoa nửa hình tròn bán kính $R$Trả lời ngắn`area_parabola_semicircle_cost`(3 câu)

43. (VDC, tái hiện 1 đề) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 5 parabol giống nhau tạo thành "ngôi sao năm cánh" trong ngũ giác đềuTrả lời ngắn`area_pentagon_five_parabolas`(1 câu)

44. SA (VDC): Hình chữ nhật $ABCD$ tâm $O$, $AB = W$, $BC = H$Trả lời ngắn`area_two_arcs_rectangle_minus_rhombus`(3 câu)

45. Diện tích hình chữ nhật $y = k$ trên $[a, b]$Trả lời ngắn`area_under_constant`(3 câu)

46. Đảo ngược: cho diện tích $S$ dưới đường cong $y=f(x)\geq 0$ (f tuyến tính hoặc bậc hai đơn giản) trên $[0; b]$, tìm cận trên $b$Trả lời ngắn`area_under_curve_find_upper_bound`(3 câu)

47. Diện tích giới hạn bởi $y = x^2$, $y = 0$, $x = a$, $x = b$ (số thập phân)Trả lời ngắn`area_under_quadratic`(3 câu)

48. SA (VD): Logo dạng "thấu kính" giới hạn bởi HAI parabol đối xứng $(P_1): y = a\,x(L - x)$ và $(P_2): y = -a\,x(L - x)$ trên tấm bảng $L \times H$Trả lời ngắn`area_zoned_two_parabolas_cost`(3 câu)

49. Giá trị trung bình của hàm trên đoạn — ứng dụng thực tếTrả lời ngắn`average_value_of_function_application`(6 câu)

50. SA (VDC): Phôi (bạc) hình vuông cạnh $L$Trả lời ngắn`badge_parabola_outside_semicircle_area`(3 câu)

51. VDC (SA): Bảng quảng cáo $ABCD$ kích thước $W \times H$ m²Trả lời ngắn`billboard_hyperbola_content_area`(2 câu)

52. SA (VDC): Bảng quảng cáo $ABCD$ kích thước $AB \times AD$Trả lời ngắn`billboard_hyperbola_printed_area`(3 câu)

54. SA (VDC): Logo trên $Oxy$ gồm $(C_1)\colon y = x^2$, $(C_2)\colon y = s\,x$ và $(C_3)\colon y = f(x)$Trả lời ngắn`logo_equal_areas_cubic_glass_cost`(3 câu)

55. VDC++ (SA): Mô hình kinh tế cầu/cung với hàm cầu $D(x)$ tuyến tính và hàm cung $S(x)$ bậc 2Trả lời ngắn`market_equilibrium_consumer_surplus`(1 câu)

56. VDC: Mô hình bông hoa khổng lồ với $n$ cánh giống nhau, mỗi cánh có bề mặt là hình phẳng giới hạn bởi 2 parabol $(P_1): y = -x^2 + a x$ và $(P_2): y = x^2 - b x$Trả lời ngắn`symmetric_flower_petals_volume_cost`(3 câu)