Phương pháp tính tích phân

Công thức

§1. Định lý(2)

1.1

Định lý tích phân từng phần

Cho $u(x), v(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[a;b]$: $$\int_a^b u(x) \cdot v'(x) \, dx = u(x) v(x) \Big|_a^b - \int_a^b v(x) \cdot u'(x) \, dx.$$ Hay viết gọn: $\int u\, dv = uv - \int v\, du$.

1.2

Định lý đổi biến số trong tích phân

Cho $f$ liên tục trên $[a;b]$ và $u = \varphi(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[a;b]$ với $\varphi(a) = \alpha, \varphi(b) = \beta$. Khi đó: $$\int_a^b f(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x) \, dx = \int_\alpha^\beta f(u) \, du.$$

§2. Tính chất(1)

2.1

Tích phân trên đoạn đối xứng $[-a; a]$

$f$ chẵn ($f(-x) = f(x)$): $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$.
$f$ lẻ ($f(-x) = -f(x)$): $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$.

→ Nhận diện sớm tính chẵn / lẻ → tiết kiệm 1/2 công sức tính, hoặc kết luận = 0 ngay.

§3. Công thức(1)

3.1

Đổi biến $x = a \sin t$ — tích phân $\sqrt{a^2 - x^2}$

Tích phân $\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} \, dx$: đặt $x = a \sin t, t \in [0; \pi/2]$. $dx = a \cos t \, dt$, $\sqrt{a^2 - x^2} = a \cos t$. $$\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} dx = \int_0^{\pi/2} a^2 \cos^2 t \, dt = \dfrac{\pi a^2}{4}.$$ Ý nghĩa hình học: bằng diện tích $1/4$ hình tròn bán kính $a$. → Nhận diện hình tròn → trả lời ngay không cần tính tích phân.

§4. Phương pháp(3)

4.1

Phương pháp tích phân từng phần

Bước 1. Chọn $u$ và $dv$ theo thứ tự ưu tiên LIATE:

L: Logarit ($\ln, \log$)
I: Inverse trig ($\arcsin, \arctan$)
A: Algebraic (đa thức $x^n$)
T: Trigonometric ($\sin, \cos$)
E: Exponential ($e^x, a^x$)

Chọn $u$ là hàm xếp trước trong LIATE, $dv$ là phần còn lại. Bước 2. Tính $du = u'\, dx$ và $v = \int dv$. Bước 3. Áp dụng công thức: $\int u\, dv = uv - \int v\, du$.

4.2

Tích phân $\int e^{ax} \sin(bx) dx$ — từng phần 2 lần

Tích phân $I = \int e^x \sin x \, dx$ giải bằng từng phần 2 lần: Bước 1. Lần 1: $u = \sin x, dv = e^x dx$ → $I = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$. Bước 2. Lần 2 (tích phân thứ 2): $u = \cos x, dv = e^x dx$ → $\int e^x \cos x dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx = e^x \cos x + I$. Bước 3. Thay lại: $I = e^x \sin x - e^x \cos x - I \Rightarrow 2I = e^x(\sin x - \cos x)$. Kết quả: $\int e^x \sin x \, dx = \dfrac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$. Tương tự: $\int e^x \cos x dx = \dfrac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C$.

4.3

Phương pháp đổi biến số

Bước 1. Quan sát tích phân, chọn $u = \varphi(x)$ sao cho $\varphi'(x)$ xuất hiện (hoặc tỉ lệ với) trong biểu thức. Bước 2. Tính $du = \varphi'(x)\, dx$. Bước 3. Đổi cận: $x = a \to u = \varphi(a)$, $x = b \to u = \varphi(b)$. Bước 4. Thay biến, tính tích phân theo $u$: $$\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\, dx = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\, du.$$

§5. Mẹo(1)

5.1

Mẹo nhận diện dạng tích phân

$\int x^n \cdot e^{ax}\, dx$, $\int x^n \cdot \sin/\cos$: dùng từng phần (chọn $u = x^n$).
$\int \ln x\, dx$: dùng từng phần ($u = \ln x$, $dv = dx$).
$\int f(\sin x)\cos x\, dx$: đổi biến $u = \sin x$.
$\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\, dx = \ln|f(x)| + C$ — dạng cơ bản.
$\int [f(x)]^n f'(x)\, dx = \dfrac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + C$.

§6. Lưu ý(1)

6.1!

Lưu ý điều kiện áp dụng

Hàm phải liên tục trên $[a;b]$ — nếu có điểm gián đoạn, tích phân không xác định hoặc phải tách thành tổng tích phân suy rộng.
Đổi cận khi đổi biến: KHÔNG quên đổi cận theo biến mới.
Dấu của tích phân: $\int_a^b f \neq |area|$ nếu $f$ đổi dấu trên $[a;b]$.

Bài tập

1. Cho $\int g(x)\,dx = F(x)+C$ với $g(x) = x\,e^{ax}$; tính $P = F''(x_0) - k F'(x_0)$Trắc nghiệm`antideriv_combo_second_derivative`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 1.Cho hàm số $F(x)$ thỏa mãn $\displaystyle\int x e^{x}\,dx = F(x) + C$. Giá trị của biểu thức $P = F''(1) - F'(1)$ bằng

A.$P = e$

B.$P = - e$

C.$P = 2 e$

D.$P = 3 e$

Câu 2.Cho hàm số $F(x)$ thỏa mãn $\displaystyle\int x e^{x}\,dx = F(x) + C$. Giá trị của biểu thức $P = F''(1) - F'(1)$ bằng

A.$P = e$

B.$P = 3 e$

C.$P = - e$

D.$P = 2 e$

Câu 3.Cho hàm số $F(x)$ thỏa mãn $\displaystyle\int x e^{2x}\,dx = F(x) + C$. Giá trị của biểu thức $P = F''(1) - 2F'(1)$ bằng

A.$P = e^{2}$

B.$P = - 5 e^{2}$

C.$P = 5 e^{2}$

D.$P = 3 e^{2}$

2. Tính $I = \int_{lo}^{hi}|e^x - k|\,dx$ với $k = e^r$, điểm tách $x = r \ne 0$Trắc nghiệm`integral_abs_exp_shifted_root`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{-3}^{-1} |e^x - e^{-2}|\,dx$.

A.$I = e^{-1} - 2\,e^{-2}$

B.$I = e^{-1} + e^{-3} - 2\,e^{-2}$

C.$I = e^{-1} + e^{-3} + 2\,e^{-2}$

D.$I = e^{-1} - e^{-3} - 2\,e^{-2}$

Câu 5.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{-2}^{0} |e^x - e^{-1}|\,dx$.

A.$I = 1 + e^{-2} - 2\,e^{-1}$

B.$I = 1 - e^{-2} - 2\,e^{-1}$

C.$I = 1 + e^{-2} + 2\,e^{-1}$

D.$I = 1 - 2\,e^{-1}$

Câu 6.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{-2}^{0} |e^x - e^{-1}|\,dx$.

A.$I = 1 + e^{-2} - 2\,e^{-1}$

B.$I = 1 - 2\,e^{-1}$

C.$I = 1 + e^{-2} + 2\,e^{-1}$

D.$I = 1 - e^{-2} - 2\,e^{-1}$

3. Biết $\int_{-1}^{1}|e^x - 1|\,dx = a\,e + b\,e^{-1} + c$ ($a,b,c\in\mathbb{Z}$), tính một tổ hợp của $a,b,c$ (mặc định $a+b+c$)Trắc nghiệm`integral_abs_exp_sum_coeffs`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Biết $\displaystyle\int_{-1}^{1} |e^x - 1|\,dx = a\,e + b\,e^{-1} + c$ với $a, b, c$ là các số nguyên. Tính $T = a - b + c$.

A.$T = 4$

B.$T = 2$

C.$T = 0$

D.$T = -2$

Câu 8.Biết $\displaystyle\int_{-1}^{1} |e^x - 1|\,dx = a\,e + b\,e^{-1} + c$ với $a, b, c$ là các số nguyên. Tính $T = a + b + c$.

A.$T = -2$

B.$T = 4$

C.$T = 2$

D.$T = 0$

Câu 9.Biết $\displaystyle\int_{-1}^{1} |e^x - 1|\,dx = a\,e + b\,e^{-1} + c$ với $a, b, c$ là các số nguyên. Tính $T = a + b + c$.

A.$T = 2$

B.$T = 0$

C.$T = -2$

D.$T = 4$

4. Tính trực tiếp $I = \int_{-1}^{1}|e^x - 1|\,dx = e + e^{-1} - 2$Trắc nghiệm`integral_abs_exp_value`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{-1}^{1} |e^x - 1|\,dx$.

A.$I = 1 + e^{-1} - 2$

B.$I = e + e^{-1} - 2$

C.$I = e - e^{-1} - 2$

D.$I = e + e^{-1} + 2$

Câu 11.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{-1}^{1} |e^x - 1|\,dx$.

A.$I = e + e^{-1} + 2$

B.$I = 1 + e^{-1} - 2$

C.$I = e - e^{-1} - 2$

D.$I = e + e^{-1} - 2$

Câu 12.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{-1}^{1} |e^x - 1|\,dx$.

A.$I = 1 + e^{-1} - 2$

B.$I = e + e^{-1} + 2$

C.$I = e + e^{-1} - 2$

D.$I = e - e^{-1} - 2$

5. Tính $\int_p^q |kx + m|\,dx$ — phải tách miền tại $x = -m/k$Trắc nghiệm`integral_abs_linear`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 13.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{-1}^{2} |2x + 0|\,dx$.

A.$I = 5$

B.$I = 6$

C.$I = 3$

D.$I = -5$

Câu 14.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{-2}^{0} |2x + 2|\,dx$.

A.$I = 3$

B.$I = 0$

C.$I = -2$

D.$I = 2$

Câu 15.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{0}^{6} |x - 3|\,dx$.

A.$I = 10$

B.$I = 0$

C.$I = 9$

D.$I = -9$

6. Đọc hình / đa biểu diễn. Hình tô đậm là hình thang cong dưới đồ thị $y=f(x)\ge 0$ trên $[p;q]$; nối VÙNG (hình) với TÍCH PHÂN (đại số) — hoособенно chọn biểu thức tích phân đúng, hoặc tính ra giá trị diện tíchTrắc nghiệm`integral_area_under_curve_read_graph`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 16.Cho đồ thị hàm số $y = x + 1$ (như hình vẽ). Diện tích phần tô đậm (giới hạn bởi đồ thị, trục $Ox$ và hai đường $x=0$, $x=2$) được tính bằng tích phân nào sau đây?

Hình thang cong dưới đồ thị y = x + 1 trên đoạn [0;2]

A.$\displaystyle\int_{0}^{2} (x + 1)\,dx$

B.$\displaystyle\int_{0}^{3} (x + 1)\,dx$

C.$\displaystyle\int_{2}^{0} (x + 1)\,dx$

D.$\displaystyle\int_{0}^{2} (x)\,dx$

Câu 17.Cho đồ thị hàm số $y = 2 x + 3$ (như hình vẽ). Diện tích phần tô đậm (giới hạn bởi đồ thị, trục $Ox$ và hai đường $x=0$, $x=2$) được tính bằng tích phân nào sau đây?

Hình thang cong dưới đồ thị y = 2 x + 3 trên đoạn [0;2]

A.$\displaystyle\int_{0}^{2} (2 x)\,dx$

B.$\displaystyle\int_{0}^{2} (2 x + 3)\,dx$

C.$\displaystyle\int_{2}^{0} (2 x + 3)\,dx$

D.$\displaystyle\int_{0}^{3} (2 x + 3)\,dx$

Câu 18.Cho đồ thị hàm số $y = x^{2} + 3$ (như hình vẽ). Diện tích phần tô đậm (giới hạn bởi đồ thị, trục $Ox$ và hai đường $x=0$, $x=3$) được tính bằng tích phân nào sau đây?

Hình thang cong dưới đồ thị y = x^{2} + 3 trên đoạn [0;3]

A.$\displaystyle\int_{0}^{3} (x^2)\,dx$

B.$\displaystyle\int_{0}^{3} (x^{2} + 3)\,dx$

C.$\displaystyle\int_{3}^{0} (x^{2} + 3)\,dx$

D.$\displaystyle\int_{0}^{4} (x^{2} + 3)\,dx$

7. Tính $\int_0^{\pi} e^x\sin x\,dx = \dfrac{e^\pi + 1}{2}$Trắc nghiệm`integral_by_parts_recursive_eax_sin`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 19.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_0^{\pi} e^x \cos x\,dx$.

A.$I = - e^{\pi} - 1$

B.$I = \dfrac{1}{2} - \dfrac{e^{\pi}}{2}$

C.$I = - \dfrac{e^{\pi}}{2} - \dfrac{1}{2}$

D.$I = \dfrac{1}{2} + \dfrac{e^{\pi}}{2}$

Câu 20.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_0^{\pi} e^x \sin x\,dx$.

A.$I = 1 + e^{\pi}$

B.$I = - \dfrac{e^{\pi}}{2} - \dfrac{1}{2}$

C.$I = \dfrac{1}{2} + \dfrac{e^{\pi}}{2}$

D.$I = \dfrac{3}{2} + \dfrac{e^{\pi}}{2}$

Câu 21.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_0^{\pi} e^x \cos x\,dx$.

A.$I = \dfrac{1}{2} + \dfrac{e^{\pi}}{2}$

B.$I = - e^{\pi} - 1$

C.$I = \dfrac{1}{2} - \dfrac{e^{\pi}}{2}$

D.$I = - \dfrac{e^{\pi}}{2} - \dfrac{1}{2}$

8. $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx$ với $f$ chẵn = $2\int_0^a f(x)\,dx$ — chọn $f(x) = x^2 + c$Trắc nghiệm`integral_even_function_symmetric`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{-4}^{4} (x^2 + 4)\,dx$.

A.$I = \dfrac{224}{3}$

B.$I = \dfrac{448}{3}$

C.$I = \dfrac{227}{3}$

D.$I = \dfrac{112}{3}$

Câu 23.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{-3}^{3} (x^2 + 4)\,dx$.

A.$I = 21$

B.$I = 43$

C.$I = 84$

D.$I = 42$

Câu 24.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{-4}^{4} (x^2 + 2)\,dx$.

A.$I = \dfrac{179}{3}$

B.$I = \dfrac{176}{3}$

C.$I = \dfrac{352}{3}$

D.$I = \dfrac{88}{3}$

9. Tính $\int_p^q \dfrac{1}{(x-a)(x-b)}\,dx$ — phân tích thành phần đơn giảnTrắc nghiệm`integral_partial_fraction_two_linear`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 25.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{0}^{2} \dfrac{1}{(x + 3)(x + 1)}\,dx$.

A.$I = - \dfrac{\log{\left(5 \right)}}{2} + \log{\left(6 \right)}$

B.$I = - \dfrac{\log{\left(5 \right)}}{2} + \log{\left(3 \right)}$

C.$I = - \log{\left(3 \right)} + \dfrac{\log{\left(5 \right)}}{2}$

D.$I = \log{\left(\dfrac{9}{5} \right)}$

Câu 26.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{1}{(x + 3)(x + 2)}\,dx$.

A.$I = \log{\left(3 \right)}$

B.$I = \log{\left(\dfrac{9}{4} \right)}$

C.$I = \log{\left(\dfrac{3}{2} \right)}$

D.$I = - \log{\left(3 \right)} + \log{\left(2 \right)}$

Câu 27.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{2}^{3} \dfrac{1}{(x + 1)(x - (1))}\,dx$.

A.$I = \dfrac{\log{\left(6 \right)}}{2}$

B.$I = \log{\left(\dfrac{3}{2} \right)}$

C.$I = - \dfrac{\log{\left(3 \right)}}{2} + \dfrac{\log{\left(2 \right)}}{2}$

D.$I = - \dfrac{\log{\left(2 \right)}}{2} + \dfrac{\log{\left(3 \right)}}{2}$

10. Đảo ngược / tính chất tích phân. Cho $\int_a^b f(x)\,dx = m$ (KHÔNG biết $f$), suy ra một tích phân khác bằng đổi biến tuyến tính hoặc tính chất tuyến tínhTrắc nghiệm`integral_substitution_property_transform`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 28.Cho $\displaystyle\int_{2}^{4} f(x)\,dx = 3$ (chưa biết hàm $f$). Tính $J = \displaystyle\int_{0}^{2} f(x+2)\,dx$.

A.$1$

B.$5$

C.$3$

D.$6$

Câu 29.Cho $\displaystyle\int_{1}^{2} f(x)\,dx = 7$ (chưa biết hàm $f$). Tính $J = \displaystyle\int_{-2}^{-1} f(-x)\,dx$.

A.$7$

B.$-7$

C.$14$

D.$8$

Câu 30.Cho $\displaystyle\int_{2}^{4} f(x)\,dx = 5$ (chưa biết hàm $f$). Tính $J = \displaystyle\int_{-4}^{-2} f(-x)\,dx$.

A.$6$

B.$-5$

C.$5$

D.$10$

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 31.Cho $\displaystyle\int_{2}^{5} f(x)\,dx = 9$ (chưa biết hàm $f$). Tính $J = \displaystyle\int_{2}^{5} \big(3f(x)+2\big)\,dx$.

A.$33$

B.$27$

C.$29$

D.$15$

Câu 32.Cho $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx = 8$ (chưa biết hàm $f$). Tính $J = \displaystyle\int_{0}^{2} \big(3f(x)+1\big)\,dx$.

A.$26$

B.$25$

C.$24$

D.$10$

Câu 33.Cho $\displaystyle\int_{1}^{3} f(x)\,dx = 8$ (chưa biết hàm $f$). Tính $J = \displaystyle\int_{1}^{3} \big(3f(x)+2\big)\,dx$.

A.$24$

B.$28$

C.$26$

D.$12$

11. Tính $\int_0^{\pi/2} \sin^n x\cos x\,dx$ — đổi biến $u = \sin x$Trắc nghiệm`integral_trig_sin_cos_power`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 34.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^{2} x \cos x\,dx$.

A.$I = \dfrac{1}{3}$

B.$I = \dfrac{1}{4}$

C.$I = \dfrac{1}{2}$

D.$I = \dfrac{2}{3}$

Câu 35.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^{3} x \cos x\,dx$.

A.$I = \dfrac{1}{3}$

B.$I = \dfrac{3}{4}$

C.$I = \dfrac{1}{5}$

D.$I = \dfrac{1}{4}$

Câu 36.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^{4} x \cos x\,dx$.

A.$I = \dfrac{1}{4}$

B.$I = \dfrac{1}{6}$

C.$I = \dfrac{4}{5}$

D.$I = \dfrac{1}{5}$

12. Tính $\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}\,dx = \dfrac{\pi a^2}{4}$ (1/4 hình tròn)Trắc nghiệm`integral_trig_substitution_sqrt_a2_minus_x2`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 37.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_0^{2} \sqrt{4 - x^2}\,dx$.

A.$I = \pi$

B.$I = 2 \pi$

C.$I = \dfrac{\pi}{2}$

D.$I = 4$

Câu 38.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_0^{3} \sqrt{9 - x^2}\,dx$.

A.$I = \dfrac{9 \pi}{2}$

B.$I = 9$

C.$I = \dfrac{3 \pi}{4}$

D.$I = \dfrac{9 \pi}{4}$

Câu 39.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_0^{3} \sqrt{9 - x^2}\,dx$.

A.$I = \dfrac{9 \pi}{2}$

B.$I = \dfrac{9 \pi}{4}$

C.$I = \dfrac{3 \pi}{4}$

D.$I = 9$

13. VD-VDC THPT. Tính $I = \int_1^{a} x \ln x\,dx$ với $a$ nguyên dươngTrắc nghiệm`integration_by_parts_x_lnx`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 40.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_1^{5} x \ln x\,dx$.

A.$I = \dfrac{25}{2}\ln 5 - 12$

B.$I = \dfrac{25}{2}\ln 5$

C.$I = \dfrac{25}{2}\ln 5 + 6$

D.$I = \dfrac{25}{2}\ln 5 - 6$

Câu 41.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_1^{2} x \ln x\,dx$.

A.$I = 2\ln 2$

B.$I = 2\ln 2 - \dfrac{3}{4}$

C.$I = 2\ln 2 + \dfrac{3}{4}$

D.$I = 2\ln 2 - \dfrac{3}{2}$

Câu 42.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_1^{3} x \ln x\,dx$.

A.$I = \dfrac{9}{2}\ln 3 - 4$

B.$I = \dfrac{9}{2}\ln 3$

C.$I = \dfrac{9}{2}\ln 3 - 2$

D.$I = \dfrac{9}{2}\ln 3 + 2$

14. Tính $\int_0^b x e^{ax}\,dx$ bằng từng phầnTrắc nghiệm`integration_by_parts_xex`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 43.Tính $\displaystyle\int_{0}^{2} x e^{x}\,dx$ bằng phương pháp tích phân từng phần.

A.$I = 1 + e^{2}$

B.$I = - e^{2} - 1$

C.$I = 2 + e^{2}$

D.$I = 2 + 2 e^{2}$

Câu 44.Tính $\displaystyle\int_{0}^{1} x e^{-x}\,dx$ bằng phương pháp tích phân từng phần.

A.$I = 1 - \dfrac{2}{e}$

B.$I = -1 + \dfrac{2}{e}$

C.$I = 2 - \dfrac{2}{e}$

D.$I = 2 - \dfrac{4}{e}$

Câu 45.Tính $\displaystyle\int_{0}^{1} x e^{-x}\,dx$ bằng phương pháp tích phân từng phần.

A.$I = 1 - \dfrac{2}{e}$

B.$I = -1 + \dfrac{2}{e}$

C.$I = 2 - \dfrac{4}{e}$

D.$I = 2 - \dfrac{2}{e}$

15. Tính $\int_a^b (kx + m)^n\,dx$ bằng đổi biến $u = kx + m$Trắc nghiệm`integration_substitution_linear`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 46.Tính $\displaystyle\int_{1}^{3} (- 2 x - 3)^{3}\,dx$ bằng phương pháp đổi biến.

A.$I = 742$

B.$I = -742$

C.$I = -741$

D.$I = 1484$

Câu 47.Tính $\displaystyle\int_{1}^{2} (- 3 x - 3)^{2}\,dx$ bằng phương pháp đổi biến.

A.$I = -171$

B.$I = 57$

C.$I = 58$

D.$I = -57$

Câu 48.Tính $\displaystyle\int_{2}^{5} (- 3 x - 2)^{4}\,dx$ bằng phương pháp đổi biến.

A.$I = - \dfrac{462363}{5}$

B.$I = \dfrac{462363}{5}$

C.$I = \dfrac{462368}{5}$

D.$I = - \dfrac{1387089}{5}$

16. Tính $\int_0^1 x (x^2 + c)^n\,dx$ — đổi biến $u = x^2 + c$Trắc nghiệm`integration_substitution_powerof`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 49.Tính $\displaystyle\int_{0}^{1} x (x^2 + 3)^{4}\,dx$.

A.$I = - \dfrac{781}{10}$

B.$I = \dfrac{791}{10}$

C.$I = \dfrac{781}{10}$

D.$I = \dfrac{781}{5}$

Câu 50.Tính $\displaystyle\int_{0}^{1} x (x^2 + 2)^{2}\,dx$.

A.$I = - \dfrac{19}{6}$

B.$I = \dfrac{19}{3}$

C.$I = \dfrac{25}{6}$

D.$I = \dfrac{19}{6}$

Câu 51.Tính $\displaystyle\int_{0}^{1} x (x^2 + 1)^{4}\,dx$.

A.$I = - \dfrac{31}{10}$

B.$I = \dfrac{41}{10}$

C.$I = \dfrac{31}{10}$

D.$I = \dfrac{31}{5}$

17. Cho $\int_0^1 (2x+1)^n\,dx$ với $n$ cụ thể — xét đúng/sai về phép đổi biến $u = 2x+1$, đổi cận, kết quảĐúng / Sai`integration_methods_examples`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 52.Xét tích phân $I = \int_0^1 (2x+1)^2\,dx$ (tính bằng phương pháp đổi biến). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đặt $u = 2x + 1$ thì $du = 2\,dx$.

b)Mọi tích phân đều tính được bằng đổi biến đơn giản.

c)Đổi biến $u = 2x + 1$ giúp đơn giản tích phân $(2x+1)^2$.

d)$\int (2x+1)^2\,dx = \dfrac{(2x+1)^3}{2(n+1)} + C$ (với $n \neq -1$).

Câu 53.Xét tích phân $I = \int_0^1 (2x+1)^2\,dx$ (tính bằng phương pháp đổi biến). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\int (2x+1)^2\,dx = \dfrac{(2x+1)^3}{2(n+1)} + C$ (với $n \neq -1$).

b)Khi đổi biến, KHÔNG cần đổi cận của tích phân xác định.

c)Đổi biến $u = 2x + 1$ giúp đơn giản tích phân $(2x+1)^2$.

d)Đặt $u = 2x + 1$ thì $du = 2\,dx$.

Câu 54.Xét tích phân $I = \int_0^1 (2x+1)^3\,dx$ (tính bằng phương pháp đổi biến). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Mọi tích phân đều tính được bằng đổi biến đơn giản.

b)$\int_0^1 (2x+1)^3\,dx = 10$.

c)Đổi biến $u = 2x + 1$ giúp đơn giản tích phân $(2x+1)^3$.

d)Khi đổi biến, KHÔNG cần đổi cận của tích phân xác định.

18. Cho $\int_0^1 x e^x\,dx$ — xét đúng/sai về cách chọn $u, dv$ và kết quả tính bằng tích phân từng phầnĐúng / Sai`integration_methods_facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 55.Xét tích phân $I = \int_0^1 x e^x\,dx$ (tính bằng phương pháp tích phân từng phần). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\int_0^1 x e^x\,dx = e$.

b)Phương pháp tích phân từng phần dựa trên công thức $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

c)$\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = (x - 1) e^x + C$.

d)Đặt $u = e^x, dv = x\,dx$ thì $du = e^x\,dx$, $v = \dfrac{x^2}{2}$.

Câu 56.Xét tích phân $I = \int_0^1 x e^x\,dx$ (tính bằng phương pháp tích phân từng phần). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tích phân $\int x e^x\,dx$ tính được bằng đổi biến đơn thuần.

b)Đặt $u = x$, $dv = e^x\,dx$, ta có $du = dx$, $v = e^x$.

c)Khi đổi biến trong tích phân xác định, phải đổi cận theo biến mới.

d)$\int_0^1 x e^x\,dx = 1$.

Câu 57.Xét tích phân $I = \int_0^1 x e^x\,dx$ (tính bằng phương pháp tích phân từng phần). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\int_0^1 x e^x\,dx = e$.

b)Đặt $u = e^x, dv = x\,dx$ thì $du = e^x\,dx$, $v = \dfrac{x^2}{2}$.

c)$\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = (x - 1) e^x + C$.

d)Khi đổi biến trong tích phân xác định, phải đổi cận theo biến mới.

19. Bẫy khái niệm về phương pháp tính tích phân: đổi cận, đối xứng (hàm chẵn/lẻ), trị tuyệt đối, tích phân từng phần, nguyên hàm sơ cấpĐúng / Sai`integration_pitfalls_facts`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 58.Xét tính đúng/sai các khẳng định sau về phương pháp tính tích phân:

a)Khi đặt $u = u(x)$ để đổi biến, ta phải thay $dx$ bằng $\dfrac{du}{u'(x)}$ (với $u'(x)\neq 0$).

b)Nếu $f$ là hàm lẻ và liên tục trên $[-a;a]$ thì $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$.

c)Khi đổi biến $u = u(x)$ trong tích phân xác định, ta giữ nguyên hai cận $a, b$.

d)Nếu $f$ là hàm chẵn và liên tục trên $[-a;a]$ thì $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$.

Câu 59.Xét tính đúng/sai các khẳng định sau về phương pháp tính tích phân:

a)Khi đặt $u = u(x)$ để đổi biến, ta phải thay $dx$ bằng $\dfrac{du}{u'(x)}$ (với $u'(x)\neq 0$).

b)Công thức tích phân từng phần là $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

c)$\int_a^b |f(x)|\,dx = \left|\int_a^b f(x)\,dx\right|$ với mọi hàm $f$.

d)Nếu $f$ là hàm chẵn và liên tục trên $[-a;a]$ thì $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$.

Câu 60.Xét tính đúng/sai các khẳng định sau về phương pháp tính tích phân:

a)Nếu $f$ là hàm lẻ và liên tục trên $[-a;a]$ thì $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$.

b)$\int (kx+m)^n\,dx = \dfrac{(kx+m)^{n+1}}{n+1} + C$ (với $k\neq 0$, $n\neq -1$).

c)Khi đặt $u = u(x)$ để đổi biến, ta phải thay $dx$ bằng $\dfrac{du}{u'(x)}$ (với $u'(x)\neq 0$).

d)Công thức tích phân từng phần là $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 61.Xét tính đúng/sai các khẳng định sau về phương pháp tính tích phân:

a)Khi đổi biến $u = u(x)$ trong tích phân xác định, ta giữ nguyên hai cận $a, b$.

b)Nếu $f$ là hàm lẻ và liên tục trên $[-a;a]$ thì $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$.

c)Có thể đổi biến $u = \sin x$ cho $\int \sin^n x\,dx$ mà không cần thừa số $\cos x\,dx$.

d)$\int (kx+m)^n\,dx = \dfrac{(kx+m)^{n+1}}{n+1} + C$ (với $k\neq 0$, $n\neq -1$).

Câu 62.Xét tính đúng/sai các khẳng định sau về phương pháp tính tích phân:

a)Nếu $f$ là hàm chẵn và liên tục trên $[-a;a]$ thì $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$.

b)Khi đổi biến $u = u(x)$ trong tích phân xác định, ta giữ nguyên hai cận $a, b$.

c)Có thể đổi biến $u = \sin x$ cho $\int \sin^n x\,dx$ mà không cần thừa số $\cos x\,dx$.

d)Mọi hàm liên tục đều có nguyên hàm biểu diễn được bằng hàm sơ cấp.

Câu 63.Xét tính đúng/sai các khẳng định sau về phương pháp tính tích phân:

a)Có thể đổi biến $u = \sin x$ cho $\int \sin^n x\,dx$ mà không cần thừa số $\cos x\,dx$.

b)Khi đặt $u = u(x)$ để đổi biến, ta phải thay $dx$ bằng $\dfrac{du}{u'(x)}$ (với $u'(x)\neq 0$).

c)Khi đổi biến $u = u(x)$ trong tích phân xác định, ta giữ nguyên hai cận $a, b$.

d)$\int_a^b |f(x)|\,dx = \left|\int_a^b f(x)\,dx\right|$ với mọi hàm $f$.

20. Tính $\int_0^1 x e^x\,dx = 1$Trả lời ngắn`integral_by_parts_value`(1 câu)

Mẫu 1Vận dụng(1 câu)

Câu 64.Tính $\int_{0}^{1} x e^x\,dx$.

21. Đảo ngược: tìm cận trên $b$ (hoặc tham số $a$) để tích phân đạt giá trị cho trướcTrả lời ngắn`integral_param_find_upper_limit`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 65.Cho $\int_0^b 4\,dx = 12$ với $b > 0$. Tìm $b$.

Câu 66.Cho $\int_0^b 3\,dx = 15$ với $b > 0$. Tìm $b$.

Câu 67.Cho $\int_0^b 4\,dx = 8$ với $b > 0$. Tìm $b$.

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 68.Cho $\int_0^1 (a x + 1)\,dx = 2$. Tìm $a$.

Câu 69.Cho $\int_0^b 2x\,dx = 4$ với $b > 0$. Tìm $b$.

Câu 70.Cho $\int_0^b 2x\,dx = 9$ với $b > 0$. Tìm $b$.

22. Tính $\int_0^1 (2x + 1)^n\,dx$ (số thập phân)Trả lời ngắn`integral_substitution_value`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 71.Tính $\int_{0}^{1} (2x + 1)^{4}\,dx$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 72.Tính $\int_{0}^{1} (2x + 1)^{3}\,dx$.

Câu 73.Tính $\int_{0}^{1} (2x + 1)^{2}\,dx$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

23. Ứng dụng vật lý: quãng đường $s=\int_0^T v(t)\,dt$ (đổi biến / từng phần)Trả lời ngắn`integral_velocity_distance_app`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 74.Một vật chuyển động thẳng với vận tốc $v(t) = (3t+2)^2$ (m/s). Tính quãng đường vật đi được trong $1$ giây đầu (m).

Câu 75.Một vật chuyển động thẳng với vận tốc $v(t) = t\,e^{-t}$ (m/s). Tính quãng đường vật đi được trong $2$ giây đầu (m). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 76.Một vật chuyển động thẳng với vận tốc $v(t) = t\,e^{-t}$ (m/s). Tính quãng đường vật đi được trong $1$ giây đầu (m). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

24. Biến thể $\cos$: $f'(x)=A\cos^2 x + B$, $f(0)=c$ → $\int_0^L f(x)\,dx$Trả lời ngắn`recover_f_from_fprime_cos_definite`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 77.Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(0) = 4$ và $f'(x) = 4\cos^2 x + 3$. Tính $\displaystyle\int_0^{\dfrac{\pi}{4}} f(x)\,dx$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 78.Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(0) = 4$ và $f'(x) = 4\cos^2 x + 2$. Tính $\displaystyle\int_0^{\dfrac{\pi}{4}} f(x)\,dx$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 79.Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(0) = 4$ và $f'(x) = 6\cos^2 x + 1$. Tính $\displaystyle\int_0^{\dfrac{\pi}{3}} f(x)\,dx$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

25. Cho $f'(x)=A\sin^2 x + B$, $f(0)=c$Trả lời ngắn`recover_f_from_fprime_definite`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 80.Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(0) = 4$ và $f'(x) = 4\sin^2 x + 1$. Tính $\displaystyle\int_0^{\dfrac{\pi}{4}} f(x)\,dx$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 81.Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(0) = 5$ và $f'(x) = 8\sin^2 x + 2$. Tính $\displaystyle\int_0^{\dfrac{\pi}{4}} f(x)\,dx$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 82.Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(0) = 2$ và $f'(x) = 6\sin^2 x + 2$. Tính $\displaystyle\int_0^{\dfrac{\pi}{4}} f(x)\,dx$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

26. Cho $f'(x)=A\sin^2 x + B$, $f(0)=c$Trả lời ngắn`recover_f_from_fprime_value`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 83.Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(0) = 4$ và $f'(x) = 6\sin^2 x + 2$. Tính $f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 84.Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(0) = 3$ và $f'(x) = 4\sin^2 x + 3$. Tính $f\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 85.Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(0) = 4$ và $f'(x) = 4\sin^2 x + 3$. Tính $f\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Công thức

§1. Định lý(2)

§2. Tính chất(1)

§3. Công thức(1)

§4. Phương pháp(3)

§5. Mẹo(1)

§6. Lưu ý(1)

Bài tập

1. Cho $\int g(x)\,dx = F(x)+C$ với $g(x) = x\,e^{ax}$; tính $P = F''(x_0) - k F'(x_0)$Trắc nghiệmantideriv_combo_second_derivative(3 câu)

2. Tính $I = \int_{lo}^{hi}|e^x - k|\,dx$ với $k = e^r$, điểm tách $x = r \ne 0$Trắc nghiệmintegral_abs_exp_shifted_root(3 câu)

3. Biết $\int_{-1}^{1}|e^x - 1|\,dx = a\,e + b\,e^{-1} + c$ ($a,b,c\in\mathbb{Z}$), tính một tổ hợp của $a,b,c$ (mặc định $a+b+c$)Trắc nghiệmintegral_abs_exp_sum_coeffs(3 câu)

4. Tính trực tiếp $I = \int_{-1}^{1}|e^x - 1|\,dx = e + e^{-1} - 2$Trắc nghiệmintegral_abs_exp_value(3 câu)

5. Tính $\int_p^q |kx + m|\,dx$ — phải tách miền tại $x = -m/k$Trắc nghiệmintegral_abs_linear(3 câu)

7. Tính $\int_0^{\pi} e^x\sin x\,dx = \dfrac{e^\pi + 1}{2}$Trắc nghiệmintegral_by_parts_recursive_eax_sin(3 câu)

8. $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx$ với $f$ chẵn = $2\int_0^a f(x)\,dx$ — chọn $f(x) = x^2 + c$Trắc nghiệmintegral_even_function_symmetric(3 câu)

9. Tính $\int_p^q \dfrac{1}{(x-a)(x-b)}\,dx$ — phân tích thành phần đơn giảnTrắc nghiệmintegral_partial_fraction_two_linear(3 câu)

10. Đảo ngược / tính chất tích phân. Cho $\int_a^b f(x)\,dx = m$ (KHÔNG biết $f$), suy ra một tích phân khác bằng đổi biến tuyến tính hoặc tính chất tuyến tínhTrắc nghiệmintegral_substitution_property_transform(6 câu)

11. Tính $\int_0^{\pi/2} \sin^n x\cos x\,dx$ — đổi biến $u = \sin x$Trắc nghiệmintegral_trig_sin_cos_power(3 câu)

12. Tính $\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}\,dx = \dfrac{\pi a^2}{4}$ (1/4 hình tròn)Trắc nghiệmintegral_trig_substitution_sqrt_a2_minus_x2(3 câu)

13. VD-VDC THPT. Tính $I = \int_1^{a} x \ln x\,dx$ với $a$ nguyên dươngTrắc nghiệmintegration_by_parts_x_lnx(3 câu)

14. Tính $\int_0^b x e^{ax}\,dx$ bằng từng phầnTrắc nghiệmintegration_by_parts_xex(3 câu)

15. Tính $\int_a^b (kx + m)^n\,dx$ bằng đổi biến $u = kx + m$Trắc nghiệmintegration_substitution_linear(3 câu)

16. Tính $\int_0^1 x (x^2 + c)^n\,dx$ — đổi biến $u = x^2 + c$Trắc nghiệmintegration_substitution_powerof(3 câu)

17. Cho $\int_0^1 (2x+1)^n\,dx$ với $n$ cụ thể — xét đúng/sai về phép đổi biến $u = 2x+1$, đổi cận, kết quảĐúng / Saiintegration_methods_examples(3 câu)

18. Cho $\int_0^1 x e^x\,dx$ — xét đúng/sai về cách chọn $u, dv$ và kết quả tính bằng tích phân từng phầnĐúng / Saiintegration_methods_facts(3 câu)

19. Bẫy khái niệm về phương pháp tính tích phân: đổi cận, đối xứng (hàm chẵn/lẻ), trị tuyệt đối, tích phân từng phần, nguyên hàm sơ cấpĐúng / Saiintegration_pitfalls_facts(6 câu)

20. Tính $\int_0^1 x e^x\,dx = 1$Trả lời ngắnintegral_by_parts_value(1 câu)

21. Đảo ngược: tìm cận trên $b$ (hoặc tham số $a$) để tích phân đạt giá trị cho trướcTrả lời ngắnintegral_param_find_upper_limit(6 câu)

22. Tính $\int_0^1 (2x + 1)^n\,dx$ (số thập phân)Trả lời ngắnintegral_substitution_value(3 câu)

23. Ứng dụng vật lý: quãng đường $s=\int_0^T v(t)\,dt$ (đổi biến / từng phần)Trả lời ngắnintegral_velocity_distance_app(3 câu)

24. Biến thể $\cos$: $f'(x)=A\cos^2 x + B$, $f(0)=c$ → $\int_0^L f(x)\,dx$Trả lời ngắnrecover_f_from_fprime_cos_definite(3 câu)

25. Cho $f'(x)=A\sin^2 x + B$, $f(0)=c$Trả lời ngắnrecover_f_from_fprime_definite(3 câu)

26. Cho $f'(x)=A\sin^2 x + B$, $f(0)=c$Trả lời ngắnrecover_f_from_fprime_value(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Cho $\int g(x)\,dx = F(x)+C$ với $g(x) = x\,e^{ax}$; tính $P = F''(x_0) - k F'(x_0)$Trắc nghiệm`antideriv_combo_second_derivative`(3 câu)

2. Tính $I = \int_{lo}^{hi}|e^x - k|\,dx$ với $k = e^r$, điểm tách $x = r \ne 0$Trắc nghiệm`integral_abs_exp_shifted_root`(3 câu)

3. Biết $\int_{-1}^{1}|e^x - 1|\,dx = a\,e + b\,e^{-1} + c$ ($a,b,c\in\mathbb{Z}$), tính một tổ hợp của $a,b,c$ (mặc định $a+b+c$)Trắc nghiệm`integral_abs_exp_sum_coeffs`(3 câu)

4. Tính trực tiếp $I = \int_{-1}^{1}|e^x - 1|\,dx = e + e^{-1} - 2$Trắc nghiệm`integral_abs_exp_value`(3 câu)

5. Tính $\int_p^q |kx + m|\,dx$ — phải tách miền tại $x = -m/k$Trắc nghiệm`integral_abs_linear`(3 câu)

7. Tính $\int_0^{\pi} e^x\sin x\,dx = \dfrac{e^\pi + 1}{2}$Trắc nghiệm`integral_by_parts_recursive_eax_sin`(3 câu)

8. $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx$ với $f$ chẵn = $2\int_0^a f(x)\,dx$ — chọn $f(x) = x^2 + c$Trắc nghiệm`integral_even_function_symmetric`(3 câu)

9. Tính $\int_p^q \dfrac{1}{(x-a)(x-b)}\,dx$ — phân tích thành phần đơn giảnTrắc nghiệm`integral_partial_fraction_two_linear`(3 câu)

10. Đảo ngược / tính chất tích phân. Cho $\int_a^b f(x)\,dx = m$ (KHÔNG biết $f$), suy ra một tích phân khác bằng đổi biến tuyến tính hoặc tính chất tuyến tínhTrắc nghiệm`integral_substitution_property_transform`(6 câu)

11. Tính $\int_0^{\pi/2} \sin^n x\cos x\,dx$ — đổi biến $u = \sin x$Trắc nghiệm`integral_trig_sin_cos_power`(3 câu)

12. Tính $\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}\,dx = \dfrac{\pi a^2}{4}$ (1/4 hình tròn)Trắc nghiệm`integral_trig_substitution_sqrt_a2_minus_x2`(3 câu)

13. VD-VDC THPT. Tính $I = \int_1^{a} x \ln x\,dx$ với $a$ nguyên dươngTrắc nghiệm`integration_by_parts_x_lnx`(3 câu)

14. Tính $\int_0^b x e^{ax}\,dx$ bằng từng phầnTrắc nghiệm`integration_by_parts_xex`(3 câu)

15. Tính $\int_a^b (kx + m)^n\,dx$ bằng đổi biến $u = kx + m$Trắc nghiệm`integration_substitution_linear`(3 câu)

16. Tính $\int_0^1 x (x^2 + c)^n\,dx$ — đổi biến $u = x^2 + c$Trắc nghiệm`integration_substitution_powerof`(3 câu)

17. Cho $\int_0^1 (2x+1)^n\,dx$ với $n$ cụ thể — xét đúng/sai về phép đổi biến $u = 2x+1$, đổi cận, kết quảĐúng / Sai`integration_methods_examples`(3 câu)

18. Cho $\int_0^1 x e^x\,dx$ — xét đúng/sai về cách chọn $u, dv$ và kết quả tính bằng tích phân từng phầnĐúng / Sai`integration_methods_facts`(3 câu)

19. Bẫy khái niệm về phương pháp tính tích phân: đổi cận, đối xứng (hàm chẵn/lẻ), trị tuyệt đối, tích phân từng phần, nguyên hàm sơ cấpĐúng / Sai`integration_pitfalls_facts`(6 câu)

20. Tính $\int_0^1 x e^x\,dx = 1$Trả lời ngắn`integral_by_parts_value`(1 câu)

21. Đảo ngược: tìm cận trên $b$ (hoặc tham số $a$) để tích phân đạt giá trị cho trướcTrả lời ngắn`integral_param_find_upper_limit`(6 câu)

22. Tính $\int_0^1 (2x + 1)^n\,dx$ (số thập phân)Trả lời ngắn`integral_substitution_value`(3 câu)

23. Ứng dụng vật lý: quãng đường $s=\int_0^T v(t)\,dt$ (đổi biến / từng phần)Trả lời ngắn`integral_velocity_distance_app`(3 câu)

24. Biến thể $\cos$: $f'(x)=A\cos^2 x + B$, $f(0)=c$ → $\int_0^L f(x)\,dx$Trả lời ngắn`recover_f_from_fprime_cos_definite`(3 câu)

25. Cho $f'(x)=A\sin^2 x + B$, $f(0)=c$Trả lời ngắn`recover_f_from_fprime_definite`(3 câu)

26. Cho $f'(x)=A\sin^2 x + B$, $f(0)=c$Trả lời ngắn`recover_f_from_fprime_value`(3 câu)