Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Công thức

§1. Phương pháp(2)

1.1

Các dạng bài điển hình

1. Tìm số: tổng/hiệu/tích các chữ số, mối quan hệ. 2. Chuyển động: $S = v \cdot t$. Xác định mối quan hệ giữa các đại lượng. 3. Công việc / năng suất: thời gian × năng suất = tổng công việc. 4. Tỉ lệ phần trăm / lãi suất. 5. Toán hỗn hợp / pha trộn: khối lượng × nồng độ = lượng chất. 6. Hình học: chu vi, diện tích, mối quan hệ cạnh.

1.2

Quy trình giải bài toán bằng phương trình

Bước 1 — Đặt ẩn: chọn 1 đại lượng chưa biết, đặt $x$, ghi điều kiện. Bước 2 — Biểu diễn: dùng $x$ biểu diễn các đại lượng còn lại. Bước 3 — Lập phương trình: dựa vào dữ kiện đề bài. Bước 4 — Giải phương trình. Bước 5 — Đối chiếu điều kiện ban đầu → kết luận.

§2. Mẹo(2)

2.1

Mẹo: chọn ẩn khéo

Ưu tiên chọn ẩn cho:

Đại lượng đề yêu cầu tìm (đôi khi).
Đại lượng làm các đại lượng khác dễ biểu diễn.
Đại lượng có ràng buộc rõ ràng (nguyên dương, $> 0$, $\leq 100\%$).

Mỗi bài có thể có nhiều cách chọn ẩn — chọn cách giúp phương trình đơn giản nhất.

2.2

Mẹo: lập bảng tóm tắt

Với bài chuyển động / công việc / hỗn hợp: Lập bảng với các cột: đại lượng + biến số tương ứng cho từng tình huống. → Dễ thấy mối quan hệ → lập phương trình nhanh. Vd chuyển động:

	Quãng đường	Vận tốc	Thời gian
Xe đi	$S_1$	$v_1$	$t_1$
Xe về	$S_2$	$v_2$	$t_2$

Bài tập

1. VD cao: thời gian gặp nhau của 2 xe khởi hành lệch giờTrắc nghiệm`meeting_time_two_vehicles_different_start`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 1.Hai địa điểm $A$ và $B$ cách nhau $180$ km. Một ô tô khởi hành từ $A$ đi đến $B$ với vận tốc $30$ km/h. Sau $1$ giờ, một ô tô khác khởi hành từ $B$ đi đến $A$ với vận tốc $50$ km/h. Tính thời gian (kể từ khi ô tô thứ hai khởi hành) để hai xe gặp nhau.

A.$t = \dfrac{13}{8}\text{ (giờ)}$

B.$t = \dfrac{15}{8}\text{ (giờ)}$

C.$t = \dfrac{9}{4}\text{ (giờ)}$

D.$t = 6\text{ (giờ)}$

Câu 2.Hai địa điểm $A$ và $B$ cách nhau $240$ km. Một ô tô khởi hành từ $A$ đi đến $B$ với vận tốc $40$ km/h. Sau $1$ giờ, một ô tô khác khởi hành từ $B$ đi đến $A$ với vận tốc $60$ km/h. Tính thời gian (kể từ khi ô tô thứ hai khởi hành) để hai xe gặp nhau.

A.$t = 2\text{ (giờ)}$

B.$t = \dfrac{9}{5}\text{ (giờ)}$

C.$t = 6\text{ (giờ)}$

D.$t = \dfrac{12}{5}\text{ (giờ)}$

Câu 3.Hai địa điểm $A$ và $B$ cách nhau $200$ km. Một ô tô khởi hành từ $A$ đi đến $B$ với vận tốc $50$ km/h. Sau $1$ giờ, một ô tô khác khởi hành từ $B$ đi đến $A$ với vận tốc $50$ km/h. Tính thời gian (kể từ khi ô tô thứ hai khởi hành) để hai xe gặp nhau.

A.$t = \dfrac{5}{2}\text{ (giờ)}$

B.$t = \dfrac{3}{2}\text{ (giờ)}$

C.$t = 4\text{ (giờ)}$

D.$t = 2\text{ (giờ)}$

2. Bài toán tuổi: cha hơn con $d$ tuổi, sau $k$ năm tuổi cha gấp $r$ lần tuổi conTrắc nghiệm`word_age_problem`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Hiện nay cha hơn con $56$ tuổi. Sau $3$ năm nữa, tuổi cha gấp $3$ lần tuổi con. Tính tuổi cha và tuổi con hiện nay.

A.$\text{Cha: } 80, \ \text{con: } 26$

B.$\text{Cha: } 25, \ \text{con: } 81$

C.$\text{Cha: } 84, \ \text{con: } 28$

D.$\text{Cha: } 81, \ \text{con: } 25$

Câu 5.Hiện nay cha hơn con $14$ tuổi. Sau $5$ năm nữa, tuổi cha gấp $2$ lần tuổi con. Tính tuổi cha và tuổi con hiện nay.

A.$\text{Cha: } 9, \ \text{con: } 23$

B.$\text{Cha: } 23, \ \text{con: } 9$

C.$\text{Cha: } 28, \ \text{con: } 14$

D.$\text{Cha: } 22, \ \text{con: } 10$

Câu 6.Hiện nay cha hơn con $60$ tuổi. Sau $5$ năm nữa, tuổi cha gấp $4$ lần tuổi con. Tính tuổi cha và tuổi con hiện nay.

A.$\text{Cha: } 80, \ \text{con: } 20$

B.$\text{Cha: } 75, \ \text{con: } 15$

C.$\text{Cha: } 15, \ \text{con: } 75$

D.$\text{Cha: } 74, \ \text{con: } 16$

3. Bài toán chuyển động: hai xe khởi hành cùng thời điểm, ngược chiều/cùng chiều, tìm vận tốc một xe biết tổng/quãng đường gặp nhauTrắc nghiệm`word_motion`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Hai ô tô khởi hành cùng lúc từ hai địa điểm $A$ và $B$ cách nhau $255$ km, đi ngược chiều và gặp nhau sau $3$ giờ. Vận tốc xe thứ hai là $30$ km/h. Tính vận tốc xe thứ nhất.

A.$50\ \text{km/h}$

B.$55\ \text{km/h}$

C.$30\ \text{km/h}$

D.$60\ \text{km/h}$

Câu 8.Hai ô tô khởi hành cùng lúc từ hai địa điểm $A$ và $B$ cách nhau $340$ km, đi ngược chiều và gặp nhau sau $4$ giờ. Vận tốc xe thứ nhất là $55$ km/h. Tính vận tốc xe thứ hai.

A.$25\ \text{km/h}$

B.$55\ \text{km/h}$

C.$30\ \text{km/h}$

D.$35\ \text{km/h}$

Câu 9.Hai ô tô khởi hành cùng lúc từ hai địa điểm $A$ và $B$ cách nhau $230$ km, đi ngược chiều và gặp nhau sau $2$ giờ. Vận tốc xe thứ hai là $50$ km/h. Tính vận tốc xe thứ nhất.

A.$65\ \text{km/h}$

B.$60\ \text{km/h}$

C.$70\ \text{km/h}$

D.$50\ \text{km/h}$

4. Bài toán hình học: hình chữ nhật biết chu vi và quan hệ chiều dài–rộngTrắc nghiệm`word_perimeter`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Một hình chữ nhật có chu vi bằng $98$ cm. Chiều dài hơn chiều rộng $13$ cm. Tính chiều dài và chiều rộng.

A.$\text{Dài: } 18\ \text{cm, rộng: } 31\ \text{cm}$

B.$\text{Dài: } 32\ \text{cm, rộng: } 17\ \text{cm}$

C.$\text{Dài: } 30\ \text{cm, rộng: } 19\ \text{cm}$

D.$\text{Dài: } 31\ \text{cm, rộng: } 18\ \text{cm}$

Câu 11.Một hình chữ nhật có chu vi bằng $76$ cm. Chiều dài hơn chiều rộng $2$ cm. Tính chiều dài và chiều rộng.

A.$\text{Dài: } 19\ \text{cm, rộng: } 19\ \text{cm}$

B.$\text{Dài: } 21\ \text{cm, rộng: } 17\ \text{cm}$

C.$\text{Dài: } 20\ \text{cm, rộng: } 18\ \text{cm}$

D.$\text{Dài: } 18\ \text{cm, rộng: } 20\ \text{cm}$

Câu 12.Một hình chữ nhật có chu vi bằng $92$ cm. Chiều dài hơn chiều rộng $12$ cm. Tính chiều dài và chiều rộng.

A.$\text{Dài: } 30\ \text{cm, rộng: } 16\ \text{cm}$

B.$\text{Dài: } 28\ \text{cm, rộng: } 18\ \text{cm}$

C.$\text{Dài: } 29\ \text{cm, rộng: } 17\ \text{cm}$

D.$\text{Dài: } 17\ \text{cm, rộng: } 29\ \text{cm}$

5. Bài toán cổ điển: tìm hai số biết tổng và hiệu của chúngTrắc nghiệm`word_two_numbers_sum_difference`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 13.Tổng của hai số bằng $119$, hiệu của chúng (số lớn trừ số bé) bằng $7$. Tìm hai số đó.

A.$a = 126, b = 112$

B.$a = 63, b = 56$

C.$a = 56, b = 63$

D.$a = 64, b = 55$

Câu 14.Tổng của hai số bằng $42$, hiệu của chúng (số lớn trừ số bé) bằng $24$. Tìm hai số đó.

A.$a = 33, b = 9$

B.$a = 34, b = 8$

C.$a = 66, b = 18$

D.$a = 9, b = 33$

Câu 15.Tổng của hai số bằng $80$, hiệu của chúng (số lớn trừ số bé) bằng $34$. Tìm hai số đó.

A.$a = 114, b = 46$

B.$a = 58, b = 22$

C.$a = 23, b = 57$

D.$a = 57, b = 23$

6. Bài toán tuổi cụ thể (cha và con) — kiểm tra cách đặt ẩn và lập phương trìnhĐúng / Sai`word_problem_method_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Hiện nay tuổi cha hơn tuổi con $26$ tuổi và tổng tuổi của hai cha con là $72$ tuổi. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Giải phương trình ta được tuổi cha bằng $49$ và tuổi con bằng $23$.

b)Có thể đặt $x$ là tuổi cha hiện nay (với điều kiện $x$ là số nguyên dương).

c)Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình có $3$ bước chính: lập phương trình → giải phương trình → kết luận.

d)Một bài toán chỉ có duy nhất một cách chọn ẩn.

Câu 17.Hiện nay tuổi cha hơn tuổi con $30$ tuổi và tổng tuổi của hai cha con là $72$ tuổi. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Có thể đặt $x$ là tuổi cha hiện nay (với điều kiện $x$ là số nguyên dương).

b)Bước đầu tiên khi lập phương trình là chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

c)Giải phương trình ta được tuổi cha bằng $51$ và tuổi con bằng $21$.

d)Sau khi tìm được giá trị của ẩn, không cần đối chiếu điều kiện đã đặt.

Câu 18.Hiện nay tuổi cha hơn tuổi con $26$ tuổi và tổng tuổi của hai cha con là $70$ tuổi. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Bước đầu tiên khi lập phương trình là chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

b)Một bài toán chỉ có duy nhất một cách chọn ẩn.

c)Có thể đặt $x$ là tuổi cha hiện nay (với điều kiện $x$ là số nguyên dương).

d)Sau khi tìm được giá trị của ẩn, không cần đối chiếu điều kiện đã đặt.

7. Bài toán chuyển động cụ thể: ô tô đi từ A đến B với vận tốc v và thời gian t — kiểm tra cách lập phương trìnhĐúng / Sai`word_problem_specific_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Một ô tô đi từ $A$ đến $B$ với vận tốc $60$ km/h trong $2$ giờ. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Bài toán hình học cũng có thể giải bằng cách lập phương trình.

b)Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, đơn vị của các đại lượng không cần thống nhất.

c)Khi nghiệm tìm được không thoả điều kiện thực tế, ta vẫn lấy nó làm đáp án.

d)Quan hệ "A nhiều hơn B là $k$" được biểu diễn bởi $A = B + k$.

Câu 20.Một ô tô đi từ $A$ đến $B$ với vận tốc $60$ km/h trong $3$ giờ. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Quãng đường $AB$ bằng $180$ km.

b)Quan hệ "vận tốc $\times$ thời gian = quãng đường" cho phép viết phương trình $s = v \cdot t$.

c)Có thể đặt $x$ (km) là quãng đường $AB$, lập phương trình $x = 60 \cdot 3$.

d)Khi nghiệm tìm được không thoả điều kiện thực tế, ta vẫn lấy nó làm đáp án.

Câu 21.Một ô tô đi từ $A$ đến $B$ với vận tốc $50$ km/h trong $3$ giờ. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khi nghiệm tìm được không thoả điều kiện thực tế, ta vẫn lấy nó làm đáp án.

b)Quãng đường $AB$ bằng $53$ km (cộng vận tốc với thời gian).

c)Có thể đặt $x$ (km) là quãng đường $AB$, lập phương trình $x = 50 \cdot 3$.

d)Quan hệ "vận tốc $\times$ thời gian = quãng đường" cho phép viết phương trình $s = v \cdot t$.

8. Thời gian gặp của hai xe ngược chiều (giờ)Trả lời ngắn`sa_motion_meet`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 22.Hai ô tô khởi hành cùng lúc cách nhau $220$ km, đi ngược chiều vận tốc $55$ và $55$ km/h. Hỏi sau bao nhiêu giờ chúng gặp nhau?

Câu 23.Hai ô tô khởi hành cùng lúc cách nhau $280$ km, đi ngược chiều vận tốc $30$ và $40$ km/h. Hỏi sau bao nhiêu giờ chúng gặp nhau?

Câu 24.Hai ô tô khởi hành cùng lúc cách nhau $315$ km, đi ngược chiều vận tốc $50$ và $55$ km/h. Hỏi sau bao nhiêu giờ chúng gặp nhau?

9. Tìm số nhỏ/lớn từ tổng và hiệuTrả lời ngắn`sa_two_numbers`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 25.Tổng hai số bằng $82$, hiệu $22$. Tìm số lớn.

Câu 26.Tổng hai số bằng $41$, hiệu $21$. Tìm số lớn.

Câu 27.Tổng hai số bằng $87$, hiệu $17$. Tìm số nhỏ.

Công thức

§1. Phương pháp(2)

§2. Mẹo(2)

Bài tập

1. VD cao: thời gian gặp nhau của 2 xe khởi hành lệch giờTrắc nghiệmmeeting_time_two_vehicles_different_start(3 câu)

2. Bài toán tuổi: cha hơn con $d$ tuổi, sau $k$ năm tuổi cha gấp $r$ lần tuổi conTrắc nghiệmword_age_problem(3 câu)

3. Bài toán chuyển động: hai xe khởi hành cùng thời điểm, ngược chiều/cùng chiều, tìm vận tốc một xe biết tổng/quãng đường gặp nhauTrắc nghiệmword_motion(3 câu)

4. Bài toán hình học: hình chữ nhật biết chu vi và quan hệ chiều dài–rộngTrắc nghiệmword_perimeter(3 câu)

5. Bài toán cổ điển: tìm hai số biết tổng và hiệu của chúngTrắc nghiệmword_two_numbers_sum_difference(3 câu)

6. Bài toán tuổi cụ thể (cha và con) — kiểm tra cách đặt ẩn và lập phương trìnhĐúng / Saiword_problem_method_facts(3 câu)

7. Bài toán chuyển động cụ thể: ô tô đi từ A đến B với vận tốc v và thời gian t — kiểm tra cách lập phương trìnhĐúng / Saiword_problem_specific_facts(3 câu)

8. Thời gian gặp của hai xe ngược chiều (giờ)Trả lời ngắnsa_motion_meet(3 câu)

9. Tìm số nhỏ/lớn từ tổng và hiệuTrả lời ngắnsa_two_numbers(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. VD cao: thời gian gặp nhau của 2 xe khởi hành lệch giờTrắc nghiệm`meeting_time_two_vehicles_different_start`(3 câu)

2. Bài toán tuổi: cha hơn con $d$ tuổi, sau $k$ năm tuổi cha gấp $r$ lần tuổi conTrắc nghiệm`word_age_problem`(3 câu)

3. Bài toán chuyển động: hai xe khởi hành cùng thời điểm, ngược chiều/cùng chiều, tìm vận tốc một xe biết tổng/quãng đường gặp nhauTrắc nghiệm`word_motion`(3 câu)

4. Bài toán hình học: hình chữ nhật biết chu vi và quan hệ chiều dài–rộngTrắc nghiệm`word_perimeter`(3 câu)

5. Bài toán cổ điển: tìm hai số biết tổng và hiệu của chúngTrắc nghiệm`word_two_numbers_sum_difference`(3 câu)

6. Bài toán tuổi cụ thể (cha và con) — kiểm tra cách đặt ẩn và lập phương trìnhĐúng / Sai`word_problem_method_facts`(3 câu)

7. Bài toán chuyển động cụ thể: ô tô đi từ A đến B với vận tốc v và thời gian t — kiểm tra cách lập phương trìnhĐúng / Sai`word_problem_specific_facts`(3 câu)

8. Thời gian gặp của hai xe ngược chiều (giờ)Trả lời ngắn`sa_motion_meet`(3 câu)

9. Tìm số nhỏ/lớn từ tổng và hiệuTrả lời ngắn`sa_two_numbers`(3 câu)