Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Công thức

§1. Phương pháp(2)

1.1

Mẹo: phân tích mẫu thành nhân tử để tìm MTC nhỏ

Trước khi quy đồng, phân tích các mẫu thành nhân tử: $\dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{2}{x^2-1}$ Mẫu cuối: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ → MTC = $(x-1)(x+1)$, không cần tăng thêm. → Tính toán đơn giản hơn.

1.2

Quy trình giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1 — ĐKXĐ: tìm mọi giá trị $x$ làm mẫu $= 0$ → loại khỏi tập nghiệm. Bước 2 — Quy đồng + khử mẫu: nhân 2 vế với MTC → phương trình không chứa mẫu. Bước 3 — Giải phương trình thu được. Bước 4 — Đối chiếu ĐKXĐ → loại các nghiệm không thoả → tập nghiệm cuối. Vd: $\dfrac{x+1}{x-2} = 3$. ĐKXĐ: $x \neq 2$. Khử mẫu: $x+1 = 3(x-2) \Leftrightarrow x = 7/2$. Thoả → nghiệm.

§2. Lưu ý(1)

2.1!

Lưu ý: kiểm tra ĐKXĐ là bắt buộc

Sau khi giải, nghiệm có thể không thoả ĐKXĐ → KHÔNG phải nghiệm thực sự (gọi là nghiệm ngoại lai). Vd: $\dfrac{x}{x-1} = \dfrac{1}{x-1}$. ĐKXĐ: $x \neq 1$. Khử mẫu: $x = 1$ — không thoả → vô nghiệm. → Quên đối chiếu ĐKXĐ = sai bài, dù tính toán đúng.

Bài tập

1. VD cao: PT $\dfrac{x-a}{x-b} + \dfrac{x-c}{x-d} = 2.$ Nghiệm: $x = \dfrac{a d + b c - 2 b d}{a + c - 2 b - 2 d + 2(b+d)} = ...$ Pool đã verify nghiệm thoả ĐKXĐTrắc nghiệm`rational_equation_sum_two_fractions_equals_2`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 1.Giải phương trình: $\dfrac{x - 2}{x - 3} + \dfrac{x - 4}{x - 5} = 2.$

A.$x = 6$

B.$x = -2$

C.$x = 8$

D.$x = 4$

Câu 2.Giải phương trình: $\dfrac{x + 1}{x + 0} + \dfrac{x - 1}{x - 2} = 2.$

A.$x = -2$

B.$x = -1$

C.$x = 3$

D.$x = 1$

Câu 3.Giải phương trình: $\dfrac{x - 1}{x - 2} + \dfrac{x - 3}{x - 4} = 2.$

A.$x = -2$

B.$x = 1$

C.$x = 3$

D.$x = 6$

2. Giải $\dfrac{ax + b}{x - p} = c$ — ĐKXĐ, khử mẫu, khai triển, giải, đối chiếuTrắc nghiệm`solve_denominator_equation_multistep`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Tìm nghiệm của phương trình $\dfrac{-x - 17}{x - 1} = 2$. (ĐKXĐ: $x \neq 1$)

A.$x = -4$

B.$x = 5$

C.$x = -5$

D.$x = 1$

Câu 5.Giải phương trình $\dfrac{-4x - 15}{x + 4} = -3$: (ĐKXĐ: $x \neq -4$)

A.$x = -4$

B.$x = 3$

C.$x = -2$

D.$x = -3$

Câu 6.Hãy giải phương trình $\dfrac{-2x - 8}{x + 1} = 1$. (ĐKXĐ: $x \neq -1$)

A.$x = -1$

B.$x = -3$

C.$x = 3$

D.$x = -2$

3. Giải $\dfrac{p}{x+a} = \dfrac{q}{x+b}$ — nhân chéo, quy về bậc nhấtTrắc nghiệm`solve_two_fractions`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Tập nghiệm của phương trình $\dfrac{-36}{x + 6} = \dfrac{-39}{x + 7}$ là: (ĐKXĐ: $x \neq -6$ và $x \neq -7$)

A.$x = 7$

B.$x = -7$

C.$x = 6$

D.$x = -6$

Câu 8.Tìm nghiệm của phương trình $\dfrac{14}{x - 6} = \dfrac{-2}{x + 2}$. (ĐKXĐ: $x \neq 6$ và $x \neq -2$)

A.$x = 1$

B.$x = -2$

C.$x = 6$

D.$x = -1$

Câu 9.Tập nghiệm của phương trình $\dfrac{-3}{x - 2} = \dfrac{-24}{x + 5}$ là: (ĐKXĐ: $x \neq 2$ và $x \neq -5$)

A.$x = -5$

B.$x = 2$

C.$x = -3$

D.$x = 3$

4. Giải $\dfrac{a}{x + b} = c$ — quy về phương trình bậc nhấtTrắc nghiệm`solve_with_x_in_denominator`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Nghiệm của phương trình $\dfrac{5}{x + 3} = -5$ là: (ĐKXĐ: $x \neq -3$)

A.$x = -1$

B.$x = -4$

C.$x = -3$

D.$x = 2$

Câu 11.Hãy giải phương trình $\dfrac{-7}{x - 2} = 5$. (ĐKXĐ: $x \neq 2$)

A.$x = -5$

B.$x = - \dfrac{7}{5}$

C.$x = - \dfrac{17}{5}$

D.$x = \dfrac{3}{5}$

Câu 12.Phương trình $\dfrac{-4}{x - 3} = -3$ có nghiệm bằng: (ĐKXĐ: $x \neq 3$)

A.$x = \dfrac{4}{3}$

B.$x = -1$

C.$x = \dfrac{13}{3}$

D.$x = - \dfrac{5}{3}$

5. 4 mệnh đề Đ/S quanh phương trình $\dfrac{a}{x + b} = c$Đúng / Sai`denom_eq_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho phương trình $\dfrac{-4}{x + 3} = -3$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Phương trình $\dfrac{-4}{x + 3} = -3$ tương đương với phương trình $-4 = -3(x + 3)$ khi $x \neq -3$.

b)$x = - \dfrac{5}{3}$ là nghiệm của phương trình $\dfrac{-4}{x + 3} = -3$.

c)Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, không cần kiểm tra điều kiện xác định.

d)Phương trình $\dfrac{-4}{x + 3} = -3$ có thể quy về phương trình bậc nhất một ẩn.

Câu 14.Cho phương trình $\dfrac{-8}{x - 4} = -1$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$x = 12$ là nghiệm của phương trình $\dfrac{-8}{x - 4} = -1$.

b)$x = 4$ luôn là nghiệm của phương trình $\dfrac{-8}{x - 4} = -1$.

c)Điều kiện xác định của phương trình $\dfrac{-8}{x - 4} = -1$ là $x \neq 4$.

d)Phương trình $\dfrac{-8}{x - 4} = -1$ có thể quy về phương trình bậc nhất một ẩn.

Câu 15.Cho phương trình $\dfrac{9}{x - 4} = -2$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, không cần kiểm tra điều kiện xác định.

b)$x = 4$ luôn là nghiệm của phương trình $\dfrac{9}{x - 4} = -2$.

c)$x = - \dfrac{1}{2}$ là nghiệm của phương trình $\dfrac{9}{x - 4} = -2$.

d)Phương trình $\dfrac{9}{x - 4} = -2$ có thể quy về phương trình bậc nhất một ẩn.

6. Cho phương trình $\dfrac{1}{x - k} = 0$ (vô nghiệm) và $\dfrac{x}{x} = 1$ (cần ĐKXĐ) cụ thể — kiểm tra cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫuĐúng / Sai`equation_denominator_general_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho hai phương trình $\dfrac{1}{x + 5} = 0$ và $\dfrac{x}{x} = 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình $\dfrac{x}{x} = 1$ có nghiệm là mọi $x \in \mathbb{R}$.

b)Phương trình $\dfrac{1}{x + 5} = 0$ tương đương với phương trình $1 = 0$ (sau khi nhân chéo).

c)Bước đầu tiên khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu là tìm điều kiện xác định.

d)Điều kiện xác định của phương trình $\dfrac{1}{x + 5} = 0$ là $x \neq -5$.

Câu 17.Cho hai phương trình $\dfrac{1}{x + 1} = 0$ và $\dfrac{x}{x} = 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Có thể nhân cả hai vế với mẫu chung mà không cần đặt điều kiện.

b)Phương trình $\dfrac{1}{x + 1} = 0$ tương đương với phương trình $1 = 0$ (sau khi nhân chéo).

c)Sau khi giải, mỗi nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện xác định.

d)Phương trình $\dfrac{x}{x} = 1$ có nghiệm là mọi $x \in \mathbb{R}$.

Câu 18.Cho hai phương trình $\dfrac{1}{x + 4} = 0$ và $\dfrac{x}{x} = 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình $\dfrac{x}{x} = 1$ có nghiệm là mọi $x \in \mathbb{R}$.

b)Quy đồng mẫu hai vế là phép biến đổi tương đương khi mẫu khác $0$.

c)Phương trình $\dfrac{1}{x + 4} = 0$ vô nghiệm.

d)Phương trình $\dfrac{1}{x + 4} = 0$ tương đương với phương trình $1 = 0$ (sau khi nhân chéo).

7. Tìm giá trị $x$ nhỏ hơn trong tập điều kiện cấmTrả lời ngắn`find_excluded_value_smaller`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 19.Phương trình $\dfrac{1}{(x - 1)(x + 4)} = 2$ có ĐKXĐ $x \neq c_1$ và $x \neq c_2$. Ghi giá trị nhỏ hơn trong $\{c_1, c_2\}$.

Câu 20.Phương trình $\dfrac{1}{(x - 6)(x + 3)} = 2$ có ĐKXĐ $x \neq c_1$ và $x \neq c_2$. Ghi giá trị nhỏ hơn trong $\{c_1, c_2\}$.

Câu 21.Phương trình $\dfrac{1}{(x + 2)(x - 3)} = 2$ có ĐKXĐ $x \neq c_1$ và $x \neq c_2$. Ghi giá trị nhỏ hơn trong $\{c_1, c_2\}$.

8. Giải $a/(x+b) = c$ — đáp án giá trị $x$Trả lời ngắn`solve_simple_denom`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Giải $\dfrac{10}{x + 1} = 3$ (ĐKXĐ: $x \neq -1$). Tính $x$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 23.Giải $\dfrac{3}{x + 6} = -5$ (ĐKXĐ: $x \neq -6$). Tính $x$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 24.Giải $\dfrac{11}{x - 4} = -4$ (ĐKXĐ: $x \neq 4$). Tính $x$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Công thức

§1. Phương pháp(2)

§2. Lưu ý(1)

Bài tập

1. VD cao: PT $\dfrac{x-a}{x-b} + \dfrac{x-c}{x-d} = 2.$ Nghiệm: $x = \dfrac{a d + b c - 2 b d}{a + c - 2 b - 2 d + 2(b+d)} = ...$ Pool đã verify nghiệm thoả ĐKXĐTrắc nghiệmrational_equation_sum_two_fractions_equals_2(3 câu)

2. Giải $\dfrac{ax + b}{x - p} = c$ — ĐKXĐ, khử mẫu, khai triển, giải, đối chiếuTrắc nghiệmsolve_denominator_equation_multistep(3 câu)

3. Giải $\dfrac{p}{x+a} = \dfrac{q}{x+b}$ — nhân chéo, quy về bậc nhấtTrắc nghiệmsolve_two_fractions(3 câu)

4. Giải $\dfrac{a}{x + b} = c$ — quy về phương trình bậc nhấtTrắc nghiệmsolve_with_x_in_denominator(3 câu)

5. 4 mệnh đề Đ/S quanh phương trình $\dfrac{a}{x + b} = c$Đúng / Saidenom_eq_facts(3 câu)

6. Cho phương trình $\dfrac{1}{x - k} = 0$ (vô nghiệm) và $\dfrac{x}{x} = 1$ (cần ĐKXĐ) cụ thể — kiểm tra cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫuĐúng / Saiequation_denominator_general_facts(3 câu)

7. Tìm giá trị $x$ nhỏ hơn trong tập điều kiện cấmTrả lời ngắnfind_excluded_value_smaller(3 câu)

8. Giải $a/(x+b) = c$ — đáp án giá trị $x$Trả lời ngắnsolve_simple_denom(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. VD cao: PT $\dfrac{x-a}{x-b} + \dfrac{x-c}{x-d} = 2.$ Nghiệm: $x = \dfrac{a d + b c - 2 b d}{a + c - 2 b - 2 d + 2(b+d)} = ...$ Pool đã verify nghiệm thoả ĐKXĐTrắc nghiệm`rational_equation_sum_two_fractions_equals_2`(3 câu)

2. Giải $\dfrac{ax + b}{x - p} = c$ — ĐKXĐ, khử mẫu, khai triển, giải, đối chiếuTrắc nghiệm`solve_denominator_equation_multistep`(3 câu)

3. Giải $\dfrac{p}{x+a} = \dfrac{q}{x+b}$ — nhân chéo, quy về bậc nhấtTrắc nghiệm`solve_two_fractions`(3 câu)

4. Giải $\dfrac{a}{x + b} = c$ — quy về phương trình bậc nhấtTrắc nghiệm`solve_with_x_in_denominator`(3 câu)

5. 4 mệnh đề Đ/S quanh phương trình $\dfrac{a}{x + b} = c$Đúng / Sai`denom_eq_facts`(3 câu)

6. Cho phương trình $\dfrac{1}{x - k} = 0$ (vô nghiệm) và $\dfrac{x}{x} = 1$ (cần ĐKXĐ) cụ thể — kiểm tra cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫuĐúng / Sai`equation_denominator_general_facts`(3 câu)

7. Tìm giá trị $x$ nhỏ hơn trong tập điều kiện cấmTrả lời ngắn`find_excluded_value_smaller`(3 câu)

8. Giải $a/(x+b) = c$ — đáp án giá trị $x$Trả lời ngắn`solve_simple_denom`(3 câu)