Phương trình tích

Công thức

§1. Công thức(1)

1.1

$$A(x) \cdot B(x) = 0 \Leftrightarrow A(x) = 0 \text{ hoặc } B(x) = 0.$$ Tổng quát: $$A \cdot B \cdots N = 0 \Leftrightarrow A = 0 \text{ hoặc } B = 0 \text{ hoặc } \dots \text{ hoặc } N = 0.$$ (Một tích bằng 0 khi và chỉ khi có ít nhất 1 thừa số bằng 0.)

§2. Phương pháp(1)

2.1

Quy trình giải

Bước 1. Đưa phương trình về dạng tích: $A(x) \cdot B(x) = 0$.

Chuyển tất cả về 1 vế.
Phân tích vế đó thành nhân tử.

Bước 2. Giải từng phương trình con: $A(x) = 0, B(x) = 0$. Bước 3. Hợp các nghiệm. Vd: $x^2 - 5x = 0 \Leftrightarrow x(x - 5) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 5$.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: nhận dạng để phân tích nhân tử

Khi phương trình có vế phải $\neq 0$ hoặc 2 vế đều có biểu thức:

Chuyển hết về 1 vế.
Dùng các phương pháp phân tích: đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức, nhóm.
Nếu phân tích được thành tích → áp dụng công thức tích.

Vd: $(x+2)(x-3) = (x+2) \cdot 2 \Leftrightarrow (x+2)[(x-3) - 2] = 0 \Leftrightarrow (x+2)(x-5) = 0$.

Bài tập

1. Phân tích đa thức rồi giải — $ax^2 - b^2 = 0$ dùng hằng đẳng thứcTrắc nghiệm`factor_then_solve`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Hãy giải phương trình $9 x^{2} - 4 = 0$.

A.$x = \dfrac{2}{3}$

B.$x = 2$ hoặc $x = -2$

C.$x = 4$

D.$x = \dfrac{2}{3}$ hoặc $x = - \dfrac{2}{3}$

Câu 2.Phương trình $9 x^{2} - 36 = 0$ có nghiệm bằng:

A.$x = 2$ hoặc $x = -2$

B.$x = 6$ hoặc $x = -6$

C.$x = 36$

D.$x = 2$

Câu 3.Phương trình $9 x^{2} - 16 = 0$ có nghiệm bằng:

A.$x = \dfrac{4}{3}$ hoặc $x = - \dfrac{4}{3}$

B.$x = 4$ hoặc $x = -4$

C.$x = 16$

D.$x = \dfrac{4}{3}$

2. $(x - a)(x - b) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt nếu $a \neq b$, 1 nghiệm kép nếu $a = b$Trắc nghiệm`product_equation_count_roots`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 4.Phương trình $(x - 3)^2 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

A.$2$

B.$0$

C.$1$

D.$3$

Câu 5.Phương trình $(x + 2)(x + 2) = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

A.$3$

B.$1$

C.$0$

D.$2$

Câu 6.Phương trình $(x + 2)(x + 2) = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

A.$1$

B.$2$

C.$0$

D.$3$

3. Giải phương trình tích dạng $(ax + b)(cx + d) = 0$Trắc nghiệm`solve_product_equation`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Tìm nghiệm của phương trình $(2 x + 4)(4 x - 6) = 0$.

A.$x = -2$ hoặc $x = \dfrac{3}{2}$

B.$x = 2$ hoặc $x = - \dfrac{3}{2}$

C.$x = -2$

D.$x = \dfrac{3}{2}$

Câu 8.Hãy giải phương trình $(3 x + 5)(4 x - 7) = 0$.

A.$x = - \dfrac{5}{3}$

B.$x = \dfrac{7}{4}$

C.$x = \dfrac{5}{3}$ hoặc $x = - \dfrac{7}{4}$

D.$x = - \dfrac{5}{3}$ hoặc $x = \dfrac{7}{4}$

Câu 9.Giải phương trình $(2 x - 2)(2 x - 5) = 0$:

A.$x = 1$

B.$x = -1$ hoặc $x = - \dfrac{5}{2}$

C.$x = 1$ hoặc $x = \dfrac{5}{2}$

D.$x = \dfrac{5}{2}$

4. Đưa $x^3 + ax^2 - b^2x - ab^2 = 0$ về tích bằng nhóm hạng tử rồi giảiTrắc nghiệm`solve_product_equation_multistep`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Nghiệm của phương trình $x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45 = 0$ là:

A.$x = -5$ hoặc $x = -3$ hoặc $x = 3$

B.$x = -3$ hoặc $x = 3$ hoặc $x = 5$

C.$x = 3$ hoặc $x = 5$

D.$x = -3$ hoặc $x = 3$

Câu 11.Giải phương trình $x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45 = 0$:

A.$x = -5$ hoặc $x = -3$ hoặc $x = 3$

B.$x = 3$ hoặc $x = 5$

C.$x = -3$ hoặc $x = 3$ hoặc $x = 5$

D.$x = -3$ hoặc $x = 3$

Câu 12.Tìm nghiệm của phương trình $x^{3} - x^{2} - 25 x + 25 = 0$.

A.$x = -5$ hoặc $x = -1$ hoặc $x = 5$

B.$x = 1$ hoặc $x = 5$

C.$x = -5$ hoặc $x = 1$ hoặc $x = 5$

D.$x = -5$ hoặc $x = 1$

5. Giải $x^2 + bx + c = 0$ bằng phân tích thành nhân tử khi nghiệm nguyênTrắc nghiệm`solve_quadratic_factor`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Giải phương trình $x^2 - 5x + 6 = 0$.

A.$x = -2,\ x = -3$

B.$x = 2,\ x = -3$

C.$x = 3,\ x = 4$

D.$x = 2,\ x = 3$

Câu 14.Giải phương trình $x^2 + 2x - 8 = 0$.

A.$x = -4,\ x = -2$

B.$x = -3,\ x = 3$

C.$x = 4,\ x = -2$

D.$x = -4,\ x = 2$

Câu 15.Giải phương trình $x^2 - 3x + 2 = 0$.

A.$x = 1,\ x = 2$

B.$x = 1,\ x = -2$

C.$x = -1,\ x = -2$

D.$x = 2,\ x = 3$

6. VDC: giải $(x+k)(x+k+1)(x+k+2)(x+k+3)=m$ bằng đặt ẩn phụ $t=x^2+(2k+3)x$Trắc nghiệm`solve_symmetric_quartic_substitution`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 16.Nghiệm của phương trình $(x - 2)(x - 1)x(x + 1) = 24$ là:

A.$x = -2$ hoặc $x = 3$

B.$x = 3$

C.$x = 6$ hoặc $x = -4$

D.$x = -2$

Câu 17.Tập nghiệm của phương trình $(x + 3)(x + 4)(x + 5)(x + 6) = 120$ là:

A.$x = -1$

B.$x = -8$ hoặc $x = -1$

C.$x = -8$

D.$x = -8$ hoặc $x = -30$

Câu 18.Tập nghiệm của phương trình $x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 120$ là:

A.$x = 2$

B.$x = -5$ hoặc $x = 2$

C.$x = -5$

D.$x = 10$ hoặc $x = -12$

7. 4 mệnh đề Đ/S về phương trình tích $(ax+b)(cx+d) = 0$Đúng / Sai`product_eq_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho phương trình $(3 x - 5)(6 x - 1) = 0$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Phương trình $(3 x - 5)(6 x - 1) = 0$ vô nghiệm.

b)$x = 0$ là một nghiệm của $(3 x - 5)(6 x - 1) = 0$.

c)Phương trình $(3 x - 5)(6 x - 1) = 0$ tương đương với hệ $3 x - 5 = 0$ hoặc $6 x - 1 = 0$.

d)$x = \dfrac{1}{6}$ là một nghiệm của $(3 x - 5)(6 x - 1) = 0$.

Câu 20.Cho phương trình $(6 x + 2)(2 x - 6) = 0$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$x = - \dfrac{1}{3}$ là một nghiệm của $(6 x + 2)(2 x - 6) = 0$.

b)$x = 3$ là một nghiệm của $(6 x + 2)(2 x - 6) = 0$.

c)Phương trình $(6 x + 2)(2 x - 6) = 0$ vô nghiệm.

d)Phương trình $(6 x + 2)(2 x - 6) = 0$ tương đương với hệ $6 x + 2 = 0$ hoặc $2 x - 6 = 0$.

Câu 21.Cho phương trình $(6 x + 1)(2 x + 4) = 0$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$x = 0$ là một nghiệm của $(6 x + 1)(2 x + 4) = 0$.

b)Tích hai biểu thức bằng $0$ khi và chỉ khi ít nhất một biểu thức bằng $0$.

c)$x = -2$ là một nghiệm của $(6 x + 1)(2 x + 4) = 0$.

d)Phương trình $(6 x + 1)(2 x + 4) = 0$ chỉ có duy nhất một nghiệm.

8. Cho phương trình tích cụ thể có dạng $(x - r_1)(x - r_2) = 0$ — kiểm tra nghiệm và phương pháp giảiĐúng / Sai`product_equation_general_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho phương trình $(x - 5)(x - 4) = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$x = 5$ là một nghiệm của phương trình $(x - 5)(x - 4) = 0$.

b)Phương trình $(x + 1)^2 = 0$ có nghiệm kép $x = -1$.

c)$x = 15$ là nghiệm của phương trình $(x - 5)(x - 4) = 0$.

d)Phương trình $(x - 5)(x - 4) = 0$ chỉ có duy nhất nghiệm $x = 5$.

Câu 23.Cho phương trình $(x + 2)(x - 5) = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$x = -2$ là một nghiệm của phương trình $(x + 2)(x - 5) = 0$.

b)Phương trình tích $A(x) \cdot B(x) = 0$ tương đương với $A(x) = 0$ HOẶC $B(x) = 0$.

c)Phương trình $A(x) \cdot B(x) = 0$ tương đương với $A(x) = 0$ VÀ $B(x) = 0$.

d)$x = 8$ là nghiệm của phương trình $(x + 2)(x - 5) = 0$.

Câu 24.Cho phương trình $(x + 3)(x - 3) = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$x = 7$ là nghiệm của phương trình $(x + 3)(x - 3) = 0$.

b)Phương trình $A(x) \cdot B(x) = 0$ tương đương với $A(x) = 0$ VÀ $B(x) = 0$.

c)Phương trình $(x + 1)^2 = 0$ có nghiệm kép $x = -1$.

d)Phương trình tích $A(x) \cdot B(x) = 0$ tương đương với $A(x) = 0$ HOẶC $B(x) = 0$.

9. Giải $a^2 x^2 - b^2 = 0$, tính tổng/tích nghiệmTrả lời ngắn`solve_diff_squares`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Cho $4x^2 - 4 = 0$. Tính tích hai nghiệm.

Câu 26.Cho $16x^2 - 16 = 0$. Tính tổng hai nghiệm.

Câu 27.Cho $4x^2 - 25 = 0$. Tính tích hai nghiệm. (Làm tròn đến hàng phần mười)

10. Tìm nghiệm lớn/nhỏ của $(ax+b)(cx+d) = 0$Trả lời ngắn`solve_product`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Tìm nghiệm nhỏ nhất của $(2x + 5)(4x + 2) = 0$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 29.Tìm nghiệm lớn nhất của $(x + 3)(x - 5) = 0$.

Câu 30.Tìm nghiệm nhỏ nhất của $(2x - 2)(3x + 7) = 0$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Phương trình tích

Công thức

§1. Công thức(1)

§2. Phương pháp(1)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Phân tích đa thức rồi giải — $ax^2 - b^2 = 0$ dùng hằng đẳng thứcTrắc nghiệmfactor_then_solve(3 câu)

2. $(x - a)(x - b) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt nếu $a \neq b$, 1 nghiệm kép nếu $a = b$Trắc nghiệmproduct_equation_count_roots(3 câu)

3. Giải phương trình tích dạng $(ax + b)(cx + d) = 0$Trắc nghiệmsolve_product_equation(3 câu)

4. Đưa $x^3 + ax^2 - b^2x - ab^2 = 0$ về tích bằng nhóm hạng tử rồi giảiTrắc nghiệmsolve_product_equation_multistep(3 câu)

5. Giải $x^2 + bx + c = 0$ bằng phân tích thành nhân tử khi nghiệm nguyênTrắc nghiệmsolve_quadratic_factor(3 câu)

6. VDC: giải $(x+k)(x+k+1)(x+k+2)(x+k+3)=m$ bằng đặt ẩn phụ $t=x^2+(2k+3)x$Trắc nghiệmsolve_symmetric_quartic_substitution(3 câu)

7. 4 mệnh đề Đ/S về phương trình tích $(ax+b)(cx+d) = 0$Đúng / Saiproduct_eq_facts(3 câu)

8. Cho phương trình tích cụ thể có dạng $(x - r_1)(x - r_2) = 0$ — kiểm tra nghiệm và phương pháp giảiĐúng / Saiproduct_equation_general_facts(3 câu)

9. Giải $a^2 x^2 - b^2 = 0$, tính tổng/tích nghiệmTrả lời ngắnsolve_diff_squares(3 câu)

10. Tìm nghiệm lớn/nhỏ của $(ax+b)(cx+d) = 0$Trả lời ngắnsolve_product(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Phân tích đa thức rồi giải — $ax^2 - b^2 = 0$ dùng hằng đẳng thứcTrắc nghiệm`factor_then_solve`(3 câu)

2. $(x - a)(x - b) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt nếu $a \neq b$, 1 nghiệm kép nếu $a = b$Trắc nghiệm`product_equation_count_roots`(3 câu)

3. Giải phương trình tích dạng $(ax + b)(cx + d) = 0$Trắc nghiệm`solve_product_equation`(3 câu)

4. Đưa $x^3 + ax^2 - b^2x - ab^2 = 0$ về tích bằng nhóm hạng tử rồi giảiTrắc nghiệm`solve_product_equation_multistep`(3 câu)

5. Giải $x^2 + bx + c = 0$ bằng phân tích thành nhân tử khi nghiệm nguyênTrắc nghiệm`solve_quadratic_factor`(3 câu)

6. VDC: giải $(x+k)(x+k+1)(x+k+2)(x+k+3)=m$ bằng đặt ẩn phụ $t=x^2+(2k+3)x$Trắc nghiệm`solve_symmetric_quartic_substitution`(3 câu)

7. 4 mệnh đề Đ/S về phương trình tích $(ax+b)(cx+d) = 0$Đúng / Sai`product_eq_facts`(3 câu)

8. Cho phương trình tích cụ thể có dạng $(x - r_1)(x - r_2) = 0$ — kiểm tra nghiệm và phương pháp giảiĐúng / Sai`product_equation_general_facts`(3 câu)

9. Giải $a^2 x^2 - b^2 = 0$, tính tổng/tích nghiệmTrả lời ngắn`solve_diff_squares`(3 câu)

10. Tìm nghiệm lớn/nhỏ của $(ax+b)(cx+d) = 0$Trả lời ngắn`solve_product`(3 câu)