Biện luận theo Δ

Công thức

§1. Định lý(2)

1.1

Phân loại nghiệm theo $\Delta'$

Khi $b = 2b'$ chẵn:

$\Delta' > 0$: $x_{1,2} = \dfrac{-b' \pm \sqrt{\Delta'}}{a}$.
$\Delta' = 0$: $x_1 = x_2 = -\dfrac{b'}{a}$.
$\Delta' < 0$: vô nghiệm.

1.2

Phân loại nghiệm theo $\Delta$

$\Delta > 0$: phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

$$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 a}.$$

$\Delta = 0$: phương trình có nghiệm kép:

$$x_1 = x_2 = -\dfrac{b}{2 a}.$$

$\Delta < 0$: phương trình vô nghiệm (trên $\mathbb{R}$).

§2. Công thức(1)

2.1

Biệt thức $\Delta$

Cho $a x^2 + b x + c = 0 \, (a \neq 0)$: $$\Delta = b^2 - 4 a c.$$ Biệt thức rút gọn (khi $b = 2 b'$): $$\Delta' = b'^2 - a c, \quad \Delta = 4 \Delta'.$$

§3. Phương pháp(1)

3.1

Quy trình giải phương trình bậc 2

Bước 1. Xác định $a, b, c$ (đảm bảo $a \neq 0$). Bước 2. Tính $\Delta = b^2 - 4ac$ (hoặc $\Delta'$ nếu $b$ chẵn). Bước 3. Xét dấu $\Delta$:

$\Delta > 0$: 2 nghiệm phân biệt theo công thức.
$\Delta = 0$: nghiệm kép $x = -b/(2a)$.
$\Delta < 0$: vô nghiệm.

Bước 4. Kết luận.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: dùng $\Delta'$ khi $b$ chẵn

Khi $b$ chẵn ($b = 2b'$): dùng $\Delta'$ thay $\Delta$. Lợi: $\Delta'$ thường nhỏ hơn 4 lần → tính nhanh + chính xác hơn. Vd: $x^2 - 6x + 5 = 0$: $b' = -3, \Delta' = 9 - 5 = 4 > 0 \Rightarrow x = 3 \pm 2 = 5, 1$.

Bài tập

1. Tính $\Delta$ của một phương trình bậc 2Trắc nghiệm`compute_delta_value`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Tính biệt thức $\Delta$ của phương trình $x^2 + 3x - 5 = 0$.

A.$\Delta = -11$

B.$\Delta = -29$

C.$\Delta = 29$

D.$\Delta = 30$

Câu 2.Tính biệt thức $\Delta$ của phương trình $-3x^2 + 2x + 8 = 0$.

A.$\Delta = -100$

B.$\Delta = 101$

C.$\Delta = 100$

D.$\Delta = -92$

Câu 3.Tính biệt thức $\Delta$ của phương trình $-x^2 + 5x + 7 = 0$.

A.$\Delta = 54$

B.$\Delta = -3$

C.$\Delta = -53$

D.$\Delta = 53$

2. Phân loại số nghiệm phương trình bậc hai theo dấu của $\Delta$Trắc nghiệm`discriminant_classify`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Xét phương trình $3x^2 + 2x + 5 = 0$. Số nghiệm thực của phương trình là:

A.Có hai nghiệm phân biệt

B.Vô nghiệm

C.Có vô số nghiệm

D.Có nghiệm kép

Câu 5.Xét phương trình $2x^2 - 10x + 8 = 0$. Số nghiệm thực của phương trình là:

A.Có vô số nghiệm

B.Có hai nghiệm phân biệt

C.Vô nghiệm

D.Có nghiệm kép

Câu 6.Xét phương trình $3x^2 + 2x + 6 = 0$. Số nghiệm thực của phương trình là:

A.Vô nghiệm

B.Có vô số nghiệm

C.Có hai nghiệm phân biệt

D.Có nghiệm kép

3. $\Delta = 0$ → PT có nghiệm kép $x = -b/(2a)$Trắc nghiệm`discriminant_zero_double_root`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Phương trình $x^2 + 4x + 4 = 0$ có nghiệm là?

A.$x = 4$

B.$x = -2$

C.$x = 2$

D.$x = -1$

Câu 8.Phương trình $x^2 + 4x + 4 = 0$ có nghiệm là?

A.$x = 2$

B.$x = -1$

C.$x = 4$

D.$x = -2$

Câu 9.Phương trình $x^2 - 6x + 9 = 0$ có nghiệm là?

A.$x = 3$

B.$x = -3$

C.$x = 9$

D.$x = -6$

4. Tìm $m$ để $x^2 - 2x + m = 0$ có 2 nghiệm phân biệt: $\Delta > 0$ ⇔ $m < 1$Trắc nghiệm`m_for_two_roots`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Tìm $m$ để phương trình $x^2 - 2x + m = 0$ có 2 nghiệm phân biệt.

A.$m < 4$

B.$m < 1$

C.$m < 9$

D.$m > 1$

Câu 11.Tìm $m$ để phương trình $x^2 - 2x + m = 0$ có 2 nghiệm phân biệt.

A.$m < 4$

B.$m > 1$

C.$m < 1$

D.$m < 9$

Câu 12.Tìm $m$ để phương trình $x^2 + 2x + m = 0$ có 2 nghiệm phân biệt.

A.$m < 9$

B.$m < 4$

C.$m > 1$

D.$m < 1$

5. VD cao: tìm $m$ để PT bậc 2 có tham số thoả mãn $x_1^2 + x_2^2 = k.$Trắc nghiệm`quadratic_param_sum_squares_roots`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 13.Cho phương trình $x^2 - m x + (m - 1) = 0$. Tìm tất cả giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thoả $|x_1 - x_2| = 4.$

A.$\{m\} = \{6\}$

B.$\{m_1, m_2\} = \{-2, 6\}$

C.$\{m\} = \{-2\}$

D.$\{m\} = \{4\}$

Câu 14.Cho phương trình $x^2 - m x + (m - 1) = 0$. Tìm tất cả giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thoả $|x_1 - x_2| = 1.$

A.$\{m_1, m_2\} = \{1, 3\}$

B.$\{m_1, m_2\} = \{-1, 1\}$

C.$\{m\} = \{1\}$

D.$\{m\} = \{3\}$

Câu 15.Cho phương trình $x^2 - m x + (m - 1) = 0$. Tìm tất cả giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thoả $|x_1 - x_2| = 8.$

A.$\{m\} = \{10\}$

B.$\{m\} = \{8\}$

C.$\{m\} = \{-6\}$

D.$\{m_1, m_2\} = \{-6, 10\}$

6. Tính $\Delta$ của $ax^2 + bx + c = 0$Trả lời ngắn`compute_delta`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Tính biệt thức $\Delta$ của phương trình $-4x^2 + 3x - 5 = 0$.

Câu 17.Tính biệt thức $\Delta$ của phương trình $3x^2 + 5x + 6 = 0$.

Câu 18.Tính biệt thức $\Delta$ của phương trình $3x^2 - 6x + 9 = 0$.

7. Cho phương trình bậc 2, đếm số nghiệm thực dựa vào dấu của $\Delta$Trả lời ngắn`number_of_real_roots_from_delta`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Phương trình $x^2 + 3x - 3 = 0$ có bao nhiêu nghiệm thực?

Câu 20.Phương trình $x^2 + x + 5 = 0$ có bao nhiêu nghiệm thực?

Câu 21.Phương trình $x^2 - 3x + 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm thực?

Công thức

§1. Định lý(2)

§2. Công thức(1)

§3. Phương pháp(1)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Tính $\Delta$ của một phương trình bậc 2Trắc nghiệmcompute_delta_value(3 câu)

2. Phân loại số nghiệm phương trình bậc hai theo dấu của $\Delta$Trắc nghiệmdiscriminant_classify(3 câu)

3. $\Delta = 0$ → PT có nghiệm kép $x = -b/(2a)$Trắc nghiệmdiscriminant_zero_double_root(3 câu)

4. Tìm $m$ để $x^2 - 2x + m = 0$ có 2 nghiệm phân biệt: $\Delta > 0$ ⇔ $m < 1$Trắc nghiệmm_for_two_roots(3 câu)

5. VD cao: tìm $m$ để PT bậc 2 có tham số thoả mãn $x_1^2 + x_2^2 = k.$Trắc nghiệmquadratic_param_sum_squares_roots(3 câu)

6. Tính $\Delta$ của $ax^2 + bx + c = 0$Trả lời ngắncompute_delta(3 câu)

7. Cho phương trình bậc 2, đếm số nghiệm thực dựa vào dấu của $\Delta$Trả lời ngắnnumber_of_real_roots_from_delta(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tính $\Delta$ của một phương trình bậc 2Trắc nghiệm`compute_delta_value`(3 câu)

2. Phân loại số nghiệm phương trình bậc hai theo dấu của $\Delta$Trắc nghiệm`discriminant_classify`(3 câu)

3. $\Delta = 0$ → PT có nghiệm kép $x = -b/(2a)$Trắc nghiệm`discriminant_zero_double_root`(3 câu)

4. Tìm $m$ để $x^2 - 2x + m = 0$ có 2 nghiệm phân biệt: $\Delta > 0$ ⇔ $m < 1$Trắc nghiệm`m_for_two_roots`(3 câu)

5. VD cao: tìm $m$ để PT bậc 2 có tham số thoả mãn $x_1^2 + x_2^2 = k.$Trắc nghiệm`quadratic_param_sum_squares_roots`(3 câu)

6. Tính $\Delta$ của $ax^2 + bx + c = 0$Trả lời ngắn`compute_delta`(3 câu)

7. Cho phương trình bậc 2, đếm số nghiệm thực dựa vào dấu của $\Delta$Trả lời ngắn`number_of_real_roots_from_delta`(3 câu)