Hàm số y = ax² và đồ thị

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Hàm $y = a x^2$

$y = a x^2$ với $a \neq 0$. Đồ thị: parabol đỉnh $O$, trục đối xứng $Oy$.

TXĐ: $\mathbb{R}$.
$a > 0$: parabol mở lên, $y \geq 0$ với mọi $x$. $\min y = 0$ tại $x = 0$.
$a < 0$: parabol mở xuống, $y \leq 0$. $\max y = 0$ tại $x = 0$.

§2. Tính chất(1)

2.1

Tính đơn điệu

$a > 0$:

Nghịch biến trên $(-\infty; 0)$.
Đồng biến trên $(0; +\infty)$.

$a < 0$:

Đồng biến trên $(-\infty; 0)$.
Nghịch biến trên $(0; +\infty)$.

§3. Phương pháp(2)

3.1

Vẽ đồ thị $y = a x^2$

Bước 1. Lập bảng giá trị: chọn $x = -2, -1, 0, 1, 2$ → tính $y$ tương ứng. Bước 2. Đánh dấu các điểm trên $Oxy$, đặc biệt đỉnh $O(0; 0)$. Bước 3. Nối thành parabol đối xứng qua $Oy$. Lưu ý: parabol đi qua $O$. $|a|$ càng lớn → parabol hẹp; $|a|$ nhỏ → parabol bè.

3.2

Tìm $a$ khi biết 1 điểm trên đồ thị

Cho $y = a x^2$ đi qua $M(x_0; y_0)$ ($x_0 \neq 0$): $$y_0 = a x_0^2 \Rightarrow a = \dfrac{y_0}{x_0^2}.$$ Vd: đi qua $(2; 8) \Rightarrow a = \dfrac{8}{4} = 2$ → $y = 2x^2$.

Bài tập

1. Tính giá trị $y = ax^2$ tại một điểm $x_0$Trắc nghiệm`evaluate_y_ax2`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 1.Cho hàm số $y = -4x^2$. Tính $y$ khi $x = -5$.

A.$y = -100$

B.$y = 20$

C.$y = 21$

D.$y = 400$

Câu 2.Cho hàm số $y = -7x^2$. Tính $y$ khi $x = 6$.

A.$y = 29$

B.$y = -252$

C.$y = 1764$

D.$y = -42$

Câu 3.Cho hàm số $y = 6x^2$. Tính $y$ khi $x = -6$.

A.$y = -36$

B.$y = 216$

C.$y = 42$

D.$y = 1296$

2. Tìm hệ số $a$ của parabol $y = ax^2$ khi biết đồ thị đi qua một điểmTrắc nghiệm`find_a_from_point_on_y_ax2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Parabol $y = ax^2$ ($a \neq 0$) đi qua điểm $A(-1; -3)$. Tìm hệ số $a$.

A.$a = 1$

B.$a = 3$

C.$a = -2$

D.$a = -3$

Câu 5.Parabol $y = ax^2$ ($a \neq 0$) đi qua điểm $A(-4; -32)$. Tìm hệ số $a$.

A.$a = 16$

B.$a = -2$

C.$a = -32$

D.$a = 2$

Câu 6.Parabol $y = ax^2$ ($a \neq 0$) đi qua điểm $A(1; -3)$. Tìm hệ số $a$.

A.$a = -2$

B.$a = 3$

C.$a = -3$

D.$a = 1$

3. Bề lõm parabol $y = ax^2$ hướng đâu (lên hay xuống)?Trắc nghiệm`parabola_concavity_y_ax2`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 7.Bề lõm của parabol $y = 3x^2$ hướng theo phía nào?

A.Sang phải

B.Sang trái

C.Hướng lên trên

D.Hướng xuống dưới

Câu 8.Bề lõm của parabol $y = 5x^2$ hướng theo phía nào?

A.Sang phải

B.Hướng lên trên

C.Sang trái

D.Hướng xuống dưới

Câu 9.Bề lõm của parabol $y = -3x^2$ hướng theo phía nào?

A.Sang trái

B.Hướng lên trên

C.Sang phải

D.Hướng xuống dưới

4. Tìm TOẠ ĐỘ giao điểm của parabol $y = ax^2$ và đường thẳng $y = mx + p$Trắc nghiệm`parabola_line_intersection_points`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Tìm toạ độ giao điểm của parabol $(P): y = -x^2$ và đường thẳng $(d): y = -3x + 2$.

A.$(1; -1)\text{ và }(2; -4)$

B.$(1; 1)\text{ và }(2; 2)$

C.$(-1; -1)\text{ và }(-2; -4)$

D.$(1; -4)\text{ và }(2; -1)$

Câu 11.Tìm toạ độ giao điểm của parabol $(P): y = -x^2$ và đường thẳng $(d): y = 5x + 6$.

A.$(3; -9)\text{ và }(2; -4)$

B.$(-3; -9)\text{ và }(-2; -4)$

C.$(-3; -4)\text{ và }(-2; -9)$

D.$(-3; -3)\text{ và }(-2; -2)$

Câu 12.Tìm toạ độ giao điểm của parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $(d): y = x + 2$.

A.$(1; 1)\text{ và }(-2; 4)$

B.$(-1; -1)\text{ và }(2; 2)$

C.$(-1; 1)\text{ và }(2; 4)$

D.$(-1; 4)\text{ và }(2; 1)$

5. VD cao: tìm $m$ để $(d): y = mx + b$ tiếp xúc $(P): y = ax^2$Trắc nghiệm`parabola_tangent_to_line_find_m`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 13.Cho parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $(d): y = mx - 1$. Tìm tất cả giá trị $m$ để $(d)$ tiếp xúc với $(P).$

A.$m = -2$

B.$m = 2$

C.$m = \pm 2$

D.$m = \pm 4$

Câu 14.Cho parabol $(P): y = 2x^2$ và đường thẳng $(d): y = mx - 8$. Tìm tất cả giá trị $m$ để $(d)$ tiếp xúc với $(P).$

A.$m = 8$

B.$m = \pm 8$

C.$m = \pm 16$

D.$m = -8$

Câu 15.Cho parabol $(P): y = 2x^2$ và đường thẳng $(d): y = mx - 8$. Tìm tất cả giá trị $m$ để $(d)$ tiếp xúc với $(P).$

A.$m = -8$

B.$m = \pm 8$

C.$m = \pm 16$

D.$m = 8$

6. Đỉnh của parabol $y = ax^2$ luôn ở gốc tọa độ $O(0; 0)$Trắc nghiệm`parabola_vertex_origin`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 16.Trục đối xứng của parabol $y = ax^2$ là?

A.Trục Ox

B.Lên trên

C.O(0; 0)

D.Trục Oy

Câu 17.Đỉnh của parabol $y = ax^2$ ($a \neq 0$) là?

A.Trục Oy

B.O(0; 0)

C.Lên trên

D.Trục Ox

Câu 18.Parabol $y = ax^2$ với $a < 0$ có bề lõm hướng?

A.Xuống dưới

B.Trục Oy

C.O(0; 0)

D.Trục Ox

7. VDC: Bài toán cầu vòm parabolTrắc nghiệm`parabolic_arch_bridge_max_height`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 19.Một chiếc cầu vòm bắc qua sông có dạng một parabol. Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ với gốc $O$ tại chân cầu bên trái, $Ox$ trùng với mặt đường, $Oy$ thẳng đứng hướng lên. Vòm cầu đi qua $O(0; 0)$, đỉnh vòm tại điểm $(12; 8)$ và chân cầu bên phải tại $(24; 0)$ (đơn vị: mét). Một xe tải có chiều rộng $6$ m đi qua cầu; xe chạy bám sát trục đối xứng của cầu (hai mép xe cách đều trục đối xứng). Hỏi chiều cao tối đa $h_{\max}$ của xe (tính từ mặt đường đến điểm cao nhất của xe) để xe có thể đi qua cầu là bao nhiêu mét?

A.$h_{\max} = 5$ m

B.$h_{\max} = 2$ m

C.$h_{\max} = 7,5$ m

D.$h_{\max} = 6$ m

Câu 20.Một chiếc cầu vòm bắc qua sông có dạng một parabol. Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ với gốc $O$ tại chân cầu bên trái, $Ox$ trùng với mặt đường, $Oy$ thẳng đứng hướng lên. Vòm cầu đi qua $O(0; 0)$, đỉnh vòm tại điểm $(20; 10)$ và chân cầu bên phải tại $(40; 0)$ (đơn vị: mét). Một xe tải có chiều rộng $8$ m đi qua cầu; xe chạy bám sát trục đối xứng của cầu (hai mép xe cách đều trục đối xứng). Hỏi chiều cao tối đa $h_{\max}$ của xe (tính từ mặt đường đến điểm cao nhất của xe) để xe có thể đi qua cầu là bao nhiêu mét?

A.$h_{\max} = 6$ m

B.$h_{\max} = 8$ m

C.$h_{\max} = 9,6$ m

D.$h_{\max} = 2$ m

Câu 21.Một chiếc cầu vòm bắc qua sông có dạng một parabol. Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ với gốc $O$ tại chân cầu bên trái, $Ox$ trùng với mặt đường, $Oy$ thẳng đứng hướng lên. Vòm cầu đi qua $O(0; 0)$, đỉnh vòm tại điểm $(10; 4)$ và chân cầu bên phải tại $(20; 0)$ (đơn vị: mét). Một xe tải có chiều rộng $4$ m đi qua cầu; xe chạy bám sát trục đối xứng của cầu (hai mép xe cách đều trục đối xứng). Hỏi chiều cao tối đa $h_{\max}$ của xe (tính từ mặt đường đến điểm cao nhất của xe) để xe có thể đi qua cầu là bao nhiêu mét?

A.$h_{\max} = 3,2$ m

B.$h_{\max} = 2$ m

C.$h_{\max} = 3,84$ m

D.$h_{\max} = 0,8$ m

8. Kiểm tra điểm có thuộc đồ thị $y = ax^2$ — thay tọa độ vàoTrắc nghiệm`point_on_y_ax2`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 22.Trong các điểm sau, điểm nào thuộc đồ thị hàm số $y = 3x^2$?

A.$(1; -3)$

B.$(1; 4)$

C.$(1; 3)$

D.$(-1; 4)$

Câu 23.Trong các điểm sau, điểm nào thuộc đồ thị hàm số $y = 2x^2$?

A.$(-1; 3)$

B.$(1; 3)$

C.$(-1; 2)$

D.$(-1; -2)$

Câu 24.Trong các điểm sau, điểm nào thuộc đồ thị hàm số $y = x^2$?

A.$(1; -1)$

B.$(1; 2)$

C.$(1; 1)$

D.$(-1; 2)$

9. Cho $y = ax^2$ cụ thể — kiểm tra dấu $a$ và tính chấtĐúng / Sai`y_eq_ax2_facts`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 25.Cho hàm số $y = x^2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hàm số đồng biến trên cả $\mathbb{R}$.

b)Đồ thị hàm số là một parabol đi qua gốc toạ độ $O$.

c)Đồ thị có bề lõm hướng lên.

d)Đồ thị có bề lõm hướng xuống.

Câu 26.Cho hàm số $y = -x^2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hàm số nhận giá trị lớn nhất tại $x = 0$ (khi $a < 0$).

b)Hàm số nhận giá trị nhỏ nhất tại $x = 0$ (khi $a > 0$).

c)Đồ thị có bề lõm hướng xuống.

d)Đồ thị hàm số là một parabol đi qua gốc toạ độ $O$.

Câu 27.Cho hàm số $y = -3x^2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hàm số nhận giá trị nhỏ nhất tại $x = 0$ (khi $a > 0$).

b)Đồ thị có bề lõm hướng xuống.

c)Hàm số đồng biến trên cả $\mathbb{R}$.

d)Hàm số nhận giá trị lớn nhất tại $x = 0$ (khi $a < 0$).

10. Cho $y = ax^2$, tính $y$ tại $x = k$Trả lời ngắn`evaluate_quadratic`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 28.Cho hàm số $y = 2x^2$. Tính giá trị $y$ tại $x = -3$.

Câu 29.Cho hàm số $y = -5x^2$. Tính giá trị $y$ tại $x = -4$.

Câu 30.Cho hàm số $y = -x^2$. Tính giá trị $y$ tại $x = 1$.

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Tính chất(1)

§3. Phương pháp(2)

Bài tập

1. Tính giá trị $y = ax^2$ tại một điểm $x_0$Trắc nghiệmevaluate_y_ax2(3 câu)

2. Tìm hệ số $a$ của parabol $y = ax^2$ khi biết đồ thị đi qua một điểmTrắc nghiệmfind_a_from_point_on_y_ax2(3 câu)

3. Bề lõm parabol $y = ax^2$ hướng đâu (lên hay xuống)?Trắc nghiệmparabola_concavity_y_ax2(3 câu)

4. Tìm TOẠ ĐỘ giao điểm của parabol $y = ax^2$ và đường thẳng $y = mx + p$Trắc nghiệmparabola_line_intersection_points(3 câu)

5. VD cao: tìm $m$ để $(d): y = mx + b$ tiếp xúc $(P): y = ax^2$Trắc nghiệmparabola_tangent_to_line_find_m(3 câu)

6. Đỉnh của parabol $y = ax^2$ luôn ở gốc tọa độ $O(0; 0)$Trắc nghiệmparabola_vertex_origin(3 câu)

7. VDC: Bài toán cầu vòm parabolTrắc nghiệmparabolic_arch_bridge_max_height(3 câu)

8. Kiểm tra điểm có thuộc đồ thị $y = ax^2$ — thay tọa độ vàoTrắc nghiệmpoint_on_y_ax2(3 câu)

9. Cho $y = ax^2$ cụ thể — kiểm tra dấu $a$ và tính chấtĐúng / Saiy_eq_ax2_facts(3 câu)

10. Cho $y = ax^2$, tính $y$ tại $x = k$Trả lời ngắnevaluate_quadratic(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tính giá trị $y = ax^2$ tại một điểm $x_0$Trắc nghiệm`evaluate_y_ax2`(3 câu)

2. Tìm hệ số $a$ của parabol $y = ax^2$ khi biết đồ thị đi qua một điểmTrắc nghiệm`find_a_from_point_on_y_ax2`(3 câu)

3. Bề lõm parabol $y = ax^2$ hướng đâu (lên hay xuống)?Trắc nghiệm`parabola_concavity_y_ax2`(3 câu)

4. Tìm TOẠ ĐỘ giao điểm của parabol $y = ax^2$ và đường thẳng $y = mx + p$Trắc nghiệm`parabola_line_intersection_points`(3 câu)

5. VD cao: tìm $m$ để $(d): y = mx + b$ tiếp xúc $(P): y = ax^2$Trắc nghiệm`parabola_tangent_to_line_find_m`(3 câu)

6. Đỉnh của parabol $y = ax^2$ luôn ở gốc tọa độ $O(0; 0)$Trắc nghiệm`parabola_vertex_origin`(3 câu)

7. VDC: Bài toán cầu vòm parabolTrắc nghiệm`parabolic_arch_bridge_max_height`(3 câu)

8. Kiểm tra điểm có thuộc đồ thị $y = ax^2$ — thay tọa độ vàoTrắc nghiệm`point_on_y_ax2`(3 câu)

9. Cho $y = ax^2$ cụ thể — kiểm tra dấu $a$ và tính chấtĐúng / Sai`y_eq_ax2_facts`(3 câu)

10. Cho $y = ax^2$, tính $y$ tại $x = k$Trả lời ngắn`evaluate_quadratic`(3 câu)