Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Công thức

§1. Công thức(1)

1.1

Biểu thức đối xứng cơ bản

Đặt $S = x_1 + x_2, P = x_1 x_2$. Các biểu thức đối xứng theo $x_1, x_2$: $$x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P.$$ $$x_1^3 + x_2^3 = S^3 - 3 S P.$$ $$|x_1 - x_2| = \sqrt{S^2 - 4P}.$$ $$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{S}{P} \, (P \neq 0).$$ $$\dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2} = \dfrac{S^2 - 2P}{P^2}.$$

§2. Phương pháp(2)

2.1

Bài tham số — tìm $m$ thoả điều kiện nghiệm

Bước 1. Đảm bảo phương trình có nghiệm (xét $\Delta \geq 0$ → điều kiện về $m$). Bước 2. Áp dụng Vi-ét: $S = -b/a, P = c/a$ — biểu diễn theo $m$. Bước 3. Đưa điều kiện về biểu thức đối xứng → quy về phương trình theo $m$. Bước 4. Giải, đối chiếu với điều kiện ở Bước 1. Vd: tìm $m$ để $x_1^2 + x_2^2 = 10$ → $S^2 - 2P = 10$ → phương trình theo $m$.

2.2

Dấu của 2 nghiệm

Cho phương trình có 2 nghiệm $x_1, x_2$ ($\Delta \geq 0$). Đặt $S, P$:

2 nghiệm trái dấu ($x_1 x_2 < 0$) $\Leftrightarrow P < 0$.
2 nghiệm cùng dấu $\Leftrightarrow P > 0$:

+ Cùng dương: $P > 0$ và $S > 0$. + Cùng âm: $P > 0$ và $S < 0$.

2 nghiệm đối nhau $\Leftrightarrow S = 0$ và $P < 0$.
2 nghiệm nghịch đảo nhau $\Leftrightarrow P = 1$.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: luôn kiểm tra $\Delta \geq 0$ trước

Trước khi dùng Vi-ét trong bài tham số: bắt buộc xét $\Delta \geq 0$ (hoặc $> 0$ nếu cần 2 nghiệm phân biệt). Nếu quên: kết quả $m$ có thể nằm ngoài miền có nghiệm → sai. → Luôn ghi điều kiện $\Delta$ song song với việc dùng Vi-ét.

Bài tập

1. $|x_1 - x_2| = \sqrt{S^2 - 4P} = \sqrt{\Delta}/|a|$Trắc nghiệm`vieta_abs_diff`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Cho phương trình $x^2 + 2x - 15 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$. Tính $|x_1 - x_2|$.

A.$-2$

B.$9$

C.$-15$

D.$8$

Câu 2.Cho phương trình $x^2 - 3x - 10 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$. Tính $|x_1 - x_2|$.

A.$8$

B.$3$

C.$-10$

D.$7$

Câu 3.Cho phương trình $x^2 - 1 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$. Tính $|x_1 - x_2|$.

A.$2$

B.$0$

C.$-1$

D.$3$

2. Tính $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = S/P$Trắc nghiệm`vieta_inverse_sum`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Cho phương trình $2x^2 + 8x - 4 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2 \neq 0$. Tính $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$.

A.$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = 2$

B.$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = 1$

C.$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{5}{2}$

D.$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = 3$

Câu 5.Cho phương trình $x^2 - 8x - 3 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2 \neq 0$. Tính $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$.

A.$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = - \dfrac{11}{3}$

B.$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = - \dfrac{8}{3}$

C.$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = - \dfrac{13}{6}$

D.$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = - \dfrac{5}{3}$

Câu 6.Cho phương trình $2x^2 + 9x + 9 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2 \neq 0$. Tính $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$.

A.$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = - \dfrac{1}{2}$

B.$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = 0$

C.$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = -2$

D.$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = -1$

3. $x_1^3 + x_2^3 = S^3 - 3SP$Trắc nghiệm`vieta_sum_cubes`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Cho phương trình $x^2 - x - 4 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$. Tính $x_1^3 + x_2^3$.

A.$x_1^3 + x_2^3 = -13$

B.$x_1^3 + x_2^3 = -11$

C.$x_1^3 + x_2^3 = 13$

D.$x_1^3 + x_2^3 = 1$

Câu 8.Cho phương trình $x^2 - 2x + 3 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$. Tính $x_1^3 + x_2^3$.

A.$x_1^3 + x_2^3 = 8$

B.$x_1^3 + x_2^3 = 10$

C.$x_1^3 + x_2^3 = -10$

D.$x_1^3 + x_2^3 = 26$

Câu 9.Cho phương trình $x^2 - 3x - 6 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$. Tính $x_1^3 + x_2^3$.

A.$x_1^3 + x_2^3 = 81$

B.$x_1^3 + x_2^3 = -81$

C.$x_1^3 + x_2^3 = 27$

D.$x_1^3 + x_2^3 = -27$

4. VD cao: $x_1^4 + x_2^4 = (S^2 - 2P)^2 - 2P^2$ cho PT bậc 2 chuẩn hoáTrắc nghiệm`vieta_sum_of_fourth_powers`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 10.Cho phương trình $x^2 - 5x + 4 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ (kể cả nghiệm phức). Tính giá trị $x_1^4 + x_2^4.$

A.$625$

B.$32$

C.$289$

D.$257$

Câu 11.Cho phương trình $x^2 - 4x + 3 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ (kể cả nghiệm phức). Tính giá trị $x_1^4 + x_2^4.$

A.$256$

B.$18$

C.$100$

D.$82$

Câu 12.Cho phương trình $x^2 - 6x + 8 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ (kể cả nghiệm phức). Tính giá trị $x_1^4 + x_2^4.$

A.$400$

B.$128$

C.$1296$

D.$272$

5. Tính $x_1^2 + x_2^2$ qua $S = x_1 + x_2$ và $P = x_1 x_2$Trắc nghiệm`vieta_sum_of_squares`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho phương trình $2x^2 - 4x + 8 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$. Tính $x_1^2 + x_2^2$.

A.$x_1^2 + x_2^2 = 4$

B.$x_1^2 + x_2^2 = -6$

C.$x_1^2 + x_2^2 = 12$

D.$x_1^2 + x_2^2 = -4$

Câu 14.Cho phương trình $2x^2 - 9x + 8 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$. Tính $x_1^2 + x_2^2$.

A.$x_1^2 + x_2^2 = \dfrac{49}{4}$

B.$x_1^2 + x_2^2 = - \dfrac{7}{2}$

C.$x_1^2 + x_2^2 = \dfrac{113}{4}$

D.$x_1^2 + x_2^2 = \dfrac{81}{4}$

Câu 15.Cho phương trình $2x^2 - 4x - 3 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$. Tính $x_1^2 + x_2^2$.

A.$x_1^2 + x_2^2 = 4$

B.$x_1^2 + x_2^2 = 7$

C.$x_1^2 + x_2^2 = 5$

D.$x_1^2 + x_2^2 = 1$

6. Cho phương trình bậc 2 với 2 nghiệm rõ — kiểm tra VièteĐúng / Sai`vieta_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho phương trình $x^2 + 4x - 5 = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau (gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm):

a)Hai nghiệm trái dấu.

b)Hai nghiệm cùng dấu.

c)Hai nghiệm cùng âm.

d)Theo Viète: $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = -5$.

Câu 17.Cho phương trình $x^2 - 7x + 10 = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau (gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm):

a)Theo Viète: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = 7$.

b)Tổng hai nghiệm bằng $\dfrac{b}{a} = -7$.

c)Hai nghiệm cùng âm.

d)Hai nghiệm trái dấu.

Câu 18.Cho phương trình $x^2 + x - 6 = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau (gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm):

a)Hai nghiệm cùng âm.

b)Theo Viète: $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = -6$.

c)Hai nghiệm trái dấu.

d)Hai nghiệm cùng dương.

7. Định lý Viète đảo: cho $S, P$ — tìm phương trình bậc 2Đúng / Sai`vieta_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho hai số $u, v$ thoả mãn $u + v = -2$ và $u \cdot v = -3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai số $u, v$ có thể tìm bằng cách giải phương trình $x^2 - Sx + P = 0$.

b)Phương trình bậc 2 nhận $u = -3, v = 1$ làm nghiệm là $x^2 + 2x - 3 = 0$.

c)Phương trình $x^2 - Sx + P = 0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $S, P$.

d)Khi $S^2 < 4P$, không tồn tại 2 số thực có tổng $S$ và tích $P$.

Câu 20.Cho hai số $u, v$ thoả mãn $u + v = 5$ và $u \cdot v = 6$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình $x^2 - Sx + P = 0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $S, P$.

b)Phương trình bậc 2 nhận $u = 3, v = 2$ làm nghiệm là $x^2 - 5x + 6 = 0$.

c)Hai số $u, v$ có thể tìm bằng cách giải phương trình $x^2 - Sx + P = 0$.

d)Hai số $u, v$ là nghiệm của phương trình $x^2 - Sx + P = 0$ (Viète đảo).

Câu 21.Cho hai số $u, v$ thoả mãn $u + v = 6$ và $u \cdot v = 8$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình $x^2 - Sx + P = 0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $S, P$.

b)Khi $S^2 < 4P$, không tồn tại 2 số thực có tổng $S$ và tích $P$.

c)Hai số $u, v$ có thể tìm bằng cách giải phương trình $x^2 - Sx + P = 0$.

d)Phương trình bậc 2 nhận $u = 4, v = 2$ làm nghiệm là $x^2 - 6x + 8 = 0$.

8. Cửa sổ bán nguyệt + chữ nhật: chu vi cho trước, diện tích $\ge S_{min}$ dẫn tới bất phương trình bậc 2 có hệ số $\pi$; dùng Vi-ét tính $x_1 \cdot x_2$Trả lời ngắn`semicircle_window_area_product_roots`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 22.Bác An cần làm cửa sổ cho ngôi nhà mới, cửa sổ có hình dạng phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình chữ nhật, có chu vi là $8$ m ($8$ m chính là chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ đi độ dài cạnh hình chữ nhật là dây cung của hình bán nguyệt). Gọi $x$ là bán kính của hình bán nguyệt. Để diện tích cửa sổ không nhỏ hơn $1$ m$^2$ thì $x \in [x_1; x_2]$. Tính $x_1\cdot x_2$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 23.Bác An cần làm cửa sổ cho ngôi nhà mới, cửa sổ có hình dạng phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình chữ nhật, có chu vi là $7$ m ($7$ m chính là chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ đi độ dài cạnh hình chữ nhật là dây cung của hình bán nguyệt). Gọi $x$ là bán kính của hình bán nguyệt. Để diện tích cửa sổ không nhỏ hơn $3$ m$^2$ thì $x \in [x_1; x_2]$. Tính $x_1\cdot x_2$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 24.Bác An cần làm cửa sổ cho ngôi nhà mới, cửa sổ có hình dạng phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình chữ nhật, có chu vi là $6$ m ($6$ m chính là chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ đi độ dài cạnh hình chữ nhật là dây cung của hình bán nguyệt). Gọi $x$ là bán kính của hình bán nguyệt. Để diện tích cửa sổ không nhỏ hơn $2,5$ m$^2$ thì $x \in [x_1; x_2]$. Tính $x_1\cdot x_2$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

9. Cho ax² + bx + c = 0, dùng Viète tính $x_1 + x_2$, $x_1 x_2$, $x_1^2 + x_2^2$ (số thập phân)Trả lời ngắn`sum_or_product`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Cho phương trình $4x^2 - 3x - 3 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$. Tính $x_1 + x_2$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 26.Cho phương trình $x^2 - 2x - 7 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$. Tính $x_1 x_2$.

Câu 27.Cho phương trình $3x^2 + 2x - 2 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$. Tính $x_1 + x_2$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

10. Cho PT bậc 2 với 2 nghiệm $x_1, x_2$, tính $x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P$Trả lời ngắn`vieta_squares_sum`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Phương trình $x^2 - 3x + 2 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$. Tính $x_1^2 + x_2^2$.

Câu 29.Phương trình $x^2 - 5x + 6 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$. Tính $x_1^2 + x_2^2$.

Câu 30.Phương trình $x^2 - 9x + 20 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$. Tính $x_1^2 + x_2^2$.

Công thức

§1. Công thức(1)

§2. Phương pháp(2)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. $|x_1 - x_2| = \sqrt{S^2 - 4P} = \sqrt{\Delta}/|a|$Trắc nghiệmvieta_abs_diff(3 câu)

2. Tính $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = S/P$Trắc nghiệmvieta_inverse_sum(3 câu)

3. $x_1^3 + x_2^3 = S^3 - 3SP$Trắc nghiệmvieta_sum_cubes(3 câu)

4. VD cao: $x_1^4 + x_2^4 = (S^2 - 2P)^2 - 2P^2$ cho PT bậc 2 chuẩn hoáTrắc nghiệmvieta_sum_of_fourth_powers(3 câu)

5. Tính $x_1^2 + x_2^2$ qua $S = x_1 + x_2$ và $P = x_1 x_2$Trắc nghiệmvieta_sum_of_squares(3 câu)

6. Cho phương trình bậc 2 với 2 nghiệm rõ — kiểm tra VièteĐúng / Saivieta_facts(3 câu)

7. Định lý Viète đảo: cho $S, P$ — tìm phương trình bậc 2Đúng / Saivieta_facts2(3 câu)

8. Cửa sổ bán nguyệt + chữ nhật: chu vi cho trước, diện tích $\ge S_{min}$ dẫn tới bất phương trình bậc 2 có hệ số $\pi$; dùng Vi-ét tính $x_1 \cdot x_2$Trả lời ngắnsemicircle_window_area_product_roots(3 câu)

9. Cho ax² + bx + c = 0, dùng Viète tính $x_1 + x_2$, $x_1 x_2$, $x_1^2 + x_2^2$ (số thập phân)Trả lời ngắnsum_or_product(3 câu)

10. Cho PT bậc 2 với 2 nghiệm $x_1, x_2$, tính $x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P$Trả lời ngắnvieta_squares_sum(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. $|x_1 - x_2| = \sqrt{S^2 - 4P} = \sqrt{\Delta}/|a|$Trắc nghiệm`vieta_abs_diff`(3 câu)

2. Tính $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = S/P$Trắc nghiệm`vieta_inverse_sum`(3 câu)

3. $x_1^3 + x_2^3 = S^3 - 3SP$Trắc nghiệm`vieta_sum_cubes`(3 câu)

4. VD cao: $x_1^4 + x_2^4 = (S^2 - 2P)^2 - 2P^2$ cho PT bậc 2 chuẩn hoáTrắc nghiệm`vieta_sum_of_fourth_powers`(3 câu)

5. Tính $x_1^2 + x_2^2$ qua $S = x_1 + x_2$ và $P = x_1 x_2$Trắc nghiệm`vieta_sum_of_squares`(3 câu)

6. Cho phương trình bậc 2 với 2 nghiệm rõ — kiểm tra VièteĐúng / Sai`vieta_facts`(3 câu)

7. Định lý Viète đảo: cho $S, P$ — tìm phương trình bậc 2Đúng / Sai`vieta_facts2`(3 câu)

8. Cửa sổ bán nguyệt + chữ nhật: chu vi cho trước, diện tích $\ge S_{min}$ dẫn tới bất phương trình bậc 2 có hệ số $\pi$; dùng Vi-ét tính $x_1 \cdot x_2$Trả lời ngắn`semicircle_window_area_product_roots`(3 câu)

9. Cho ax² + bx + c = 0, dùng Viète tính $x_1 + x_2$, $x_1 x_2$, $x_1^2 + x_2^2$ (số thập phân)Trả lời ngắn`sum_or_product`(3 câu)

10. Cho PT bậc 2 với 2 nghiệm $x_1, x_2$, tính $x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P$Trả lời ngắn`vieta_squares_sum`(3 câu)