Phương trình bậc hai một ẩn

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Phương trình bậc hai 1 ẩn

$$a x^2 + b x + c = 0, \quad (a \neq 0).$$ Các trường hợp đặc biệt:

$b = 0$: $ax^2 + c = 0$ (khuyết $b$).
$c = 0$: $ax^2 + bx = 0$ (khuyết $c$).
$b = c = 0$: $ax^2 = 0 \Rightarrow x = 0$.

§2. Phương pháp(1)

2.1

Giải các trường hợp đặc biệt

$ax^2 + c = 0$ ($b = 0$): $x^2 = -\dfrac{c}{a}$. Có nghiệm khi $-c/a \geq 0$ → $x = \pm \sqrt{-c/a}$. $ax^2 + bx = 0$ ($c = 0$): $x(ax + b) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = -\dfrac{b}{a}$. Trường hợp tổng quát: dùng biệt thức $\Delta$ — sẽ xét ở bài sau.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: ưu tiên dùng $a + b + c = 0$ và $a - b + c = 0$

Trước khi dùng $\Delta$:

$a + b + c = 0$: 2 nghiệm $x_1 = 1, x_2 = \dfrac{c}{a}$.
$a - b + c = 0$: 2 nghiệm $x_1 = -1, x_2 = -\dfrac{c}{a}$.

→ Kiểm tra nhanh các tổng/hiệu hệ số trước khi tính $\Delta$ — tiết kiệm thời gian.

Bài tập

1. Cho phương trình bậc hai và 4 giá trị $x_0$, chọn nghiệmTrắc nghiệm`check_x0_solves_quadratic`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 1.Giá trị nào sau đây là nghiệm của phương trình $x^2 + 7x + 10 = 0$?

A.$x = -6$

B.$x = -5$

C.$x = 5$

D.$x = -4$

Câu 2.Giá trị nào sau đây là nghiệm của phương trình $x^2 - 7x + 12 = 0$?

A.$x = -4$

B.$x = 5$

C.$x = 3$

D.$x = 4$

Câu 3.Giá trị nào sau đây là nghiệm của phương trình $x^2 - 25 = 0$?

A.$x = -6$

B.$x = -4$

C.$x = -5$

D.$x = 5$

2. Cho $ax^2 + bx + c = 0$, xác định $a, b, c$Trắc nghiệm`identify_quadratic_coefficients`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 4.Xác định hệ số $a, b, c$ của phương trình bậc hai $x^2 + 4x - 7 = 0$.

A.$a = 1, b = 4, c = -7$

B.$a = 2, b = -3, c = 5$

C.$a = 5, b = 0, c = -10$

D.$a = -3, b = 6, c = 1$

Câu 5.Xác định hệ số $a, b, c$ của phương trình bậc hai $x^2 + 4x - 7 = 0$.

A.$a = 5, b = 0, c = -10$

B.$a = -3, b = 6, c = 1$

C.$a = 1, b = 4, c = -7$

D.$a = 2, b = -3, c = 5$

Câu 6.Xác định hệ số $a, b, c$ của phương trình bậc hai $-3x^2 + 6x + 1 = 0$.

A.$a = -3, b = 6, c = 1$

B.$a = 1, b = 4, c = -7$

C.$a = 2, b = -3, c = 5$

D.$a = 5, b = 0, c = -10$

3. Đưa PT về dạng tổng quát $ax^2 + bx + c = 0$Trắc nghiệm`quadratic_eq_in_general_form`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 7.Đưa phương trình $x^2 + 3 = 2x$ về dạng tổng quát $ax^2 + bx + c = 0$.

A.$x^2 - 2x + 3 = 0$

B.$x^2 - 4x - 5 = 0$

C.$2x^2 - 5x + 1 = 0$

D.$3x^2 + 2x - 5 = 0$

Câu 8.Đưa phương trình $x^2 + 3 = 2x$ về dạng tổng quát $ax^2 + bx + c = 0$.

A.$x^2 - 4x - 5 = 0$

B.$3x^2 + 2x - 5 = 0$

C.$x^2 - 2x + 3 = 0$

D.$2x^2 - 5x + 1 = 0$

Câu 9.Đưa phương trình $2x^2 = 5x - 1$ về dạng tổng quát $ax^2 + bx + c = 0$.

A.$x^2 - 2x + 3 = 0$

B.$x^2 - 4x - 5 = 0$

C.$2x^2 - 5x + 1 = 0$

D.$3x^2 + 2x - 5 = 0$

4. Trong các phương trình, chọn phương trình BẬC HAI một ẩnTrắc nghiệm`recognize_quadratic_eq`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Phương trình nào sau đây là phương trình bậc hai một ẩn?

A.$-2x + 3 = 0$

B.$-2x^2 + 3x - 5 = 0$

C.$-2x^3 + 3x = -5$

D.$\dfrac{1}{x} + 3x = -5$

Câu 11.Phương trình nào sau đây là phương trình bậc hai một ẩn?

A.$-x^2 + x - 2 = 0$

B.$-x + 1 = 0$

C.$-x^3 + x = -2$

D.$\dfrac{1}{x} + x = -2$

Câu 12.Phương trình nào sau đây là phương trình bậc hai một ẩn?

A.$\dfrac{1}{x} - 4x = -6$

B.$x - 4 = 0$

C.$x^3 - 4x = -6$

D.$x^2 - 4x - 6 = 0$

5. Giải phương trình bậc hai ĐẦY ĐỦ kèm biện luận số nghiệm theo $\Delta$Trắc nghiệm`solve_full_quadratic_with_discriminant`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 13.Giải và biện luận số nghiệm của phương trình $x^2 - 2x - 24 = 0$.

A.$x = -3\text{ hoặc }x = 6$

B.$x = -6\text{ hoặc }x = 4$

C.$x = -4$

D.$x = -4\text{ hoặc }x = 6$

Câu 14.Giải và biện luận số nghiệm của phương trình $x^2 + 12x + 36 = 0$.

A.$x = -6\text{ hoặc }x = 6$

B.Phương trình vô nghiệm.

C.$x = 6\text{ (nghiệm kép)}$

D.$x = -6\text{ (nghiệm kép)}$

Câu 15.Giải và biện luận số nghiệm của phương trình $x^2 + 7x + 12 = 0$.

A.$x = 3\text{ hoặc }x = 4$

B.$x = -3\text{ hoặc }x = -3$

C.$x = -4\text{ hoặc }x = -3$

D.$x = -4$

6. Giải phương trình bậc hai khuyết đơn giảnTrắc nghiệm`solve_incomplete_quadratic`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Giải phương trình $x^2 - 4 = 0$.

A.$x = \pm 4$

B.$x = 2$

C.$x = \pm 2$

D.Phương trình vô nghiệm.

Câu 17.Giải phương trình $2x^2 + 8x = 0$.

A.$x = -4$

B.$x = 0$

C.$x = 0\text{ hoặc }x = -4$

D.$x = 0\text{ hoặc }x = 4$

Câu 18.Giải phương trình $2x^2 - 98 = 0$.

A.$x = \pm 49$

B.$x = \pm 7$

C.$x = \pm 14$

D.$x = 7$

7. Cho phương trình bậc 2 cụ thể — kiểm tra hệ số $a, b, c$Đúng / Sai`quadratic_intro_facts`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 19.Cho phương trình $2x^2 + 3x + 5 = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hệ số tự do $c = 5$.

b)Hệ số $a = 2$, $b = 3$, $c = 5$.

c)Phương trình $2x^2 + 3x + 5 = 0$ là phương trình bậc hai một ẩn.

d)Phương trình bậc hai luôn có nghiệm thực.

Câu 20.Cho phương trình $-3x^2 + 2x - 5 = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình $-3x^2 + 2x - 5 = 0$ là phương trình bậc hai một ẩn.

b)Hệ số $a = -3$, $b = 2$, $c = -5$.

c)$x = 0$ là nghiệm của phương trình.

d)Phương trình bậc hai có nhiều nhất 2 nghiệm thực.

Câu 21.Cho phương trình $3x^2 + 3x - 1 = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hệ số $a = 3$, $b = 3$, $c = -1$.

b)Phương trình $3x^2 + 3x - 1 = 0$ là phương trình bậc hai một ẩn.

c)$x = 0$ là nghiệm của phương trình.

d)Phương trình bậc hai có nhiều nhất 2 nghiệm thực.

8. Cho phương trình $ax^2 + bx + c = 0$, hỏi giá trị một hệ sốTrả lời ngắn`identify_a_b_c`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 22.Cho phương trình $4x^2 + 2x - 3 = 0$. Tìm hệ số $b$.

Câu 23.Cho phương trình $-4x^2 + 7x + 6 = 0$. Tìm hệ số $b$.

Câu 24.Cho phương trình $-4x^2 - 5x - 2 = 0$. Tìm hệ số $b$.

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Phương pháp(1)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Cho phương trình bậc hai và 4 giá trị $x_0$, chọn nghiệmTrắc nghiệmcheck_x0_solves_quadratic(3 câu)

2. Cho $ax^2 + bx + c = 0$, xác định $a, b, c$Trắc nghiệmidentify_quadratic_coefficients(3 câu)

3. Đưa PT về dạng tổng quát $ax^2 + bx + c = 0$Trắc nghiệmquadratic_eq_in_general_form(3 câu)

4. Trong các phương trình, chọn phương trình BẬC HAI một ẩnTrắc nghiệmrecognize_quadratic_eq(3 câu)

5. Giải phương trình bậc hai ĐẦY ĐỦ kèm biện luận số nghiệm theo $\Delta$Trắc nghiệmsolve_full_quadratic_with_discriminant(3 câu)

6. Giải phương trình bậc hai khuyết đơn giảnTrắc nghiệmsolve_incomplete_quadratic(3 câu)

7. Cho phương trình bậc 2 cụ thể — kiểm tra hệ số $a, b, c$Đúng / Saiquadratic_intro_facts(3 câu)

8. Cho phương trình $ax^2 + bx + c = 0$, hỏi giá trị một hệ sốTrả lời ngắnidentify_a_b_c(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Cho phương trình bậc hai và 4 giá trị $x_0$, chọn nghiệmTrắc nghiệm`check_x0_solves_quadratic`(3 câu)

2. Cho $ax^2 + bx + c = 0$, xác định $a, b, c$Trắc nghiệm`identify_quadratic_coefficients`(3 câu)

3. Đưa PT về dạng tổng quát $ax^2 + bx + c = 0$Trắc nghiệm`quadratic_eq_in_general_form`(3 câu)

4. Trong các phương trình, chọn phương trình BẬC HAI một ẩnTrắc nghiệm`recognize_quadratic_eq`(3 câu)

5. Giải phương trình bậc hai ĐẦY ĐỦ kèm biện luận số nghiệm theo $\Delta$Trắc nghiệm`solve_full_quadratic_with_discriminant`(3 câu)

6. Giải phương trình bậc hai khuyết đơn giảnTrắc nghiệm`solve_incomplete_quadratic`(3 câu)

7. Cho phương trình bậc 2 cụ thể — kiểm tra hệ số $a, b, c$Đúng / Sai`quadratic_intro_facts`(3 câu)

8. Cho phương trình $ax^2 + bx + c = 0$, hỏi giá trị một hệ sốTrả lời ngắn`identify_a_b_c`(3 câu)