Công thức nghiệm

Công thức

§1. Định lý(1)

1.1

Định lý Vi-ét

Cho $a x^2 + b x + c = 0$ có 2 nghiệm $x_1, x_2$ (có thể trùng): $$S = x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \quad P = x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}.$$ Đảo Vi-ét: nếu $x_1 + x_2 = S, x_1 x_2 = P$ thì $x_1, x_2$ là nghiệm của: $$X^2 - S X + P = 0 \, (\text{cần } S^2 \geq 4 P).$$

§2. Công thức(1)

2.1

Công thức nghiệm phương trình bậc 2

Cho $a x^2 + b x + c = 0 \, (a \neq 0)$, $\Delta = b^2 - 4 a c \geq 0$: $$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 a}.$$ Hoặc dùng $\Delta' = b'^2 - ac$ khi $b = 2b'$: $$x_{1,2} = \dfrac{-b' \pm \sqrt{\Delta'}}{a}.$$

§3. Mẹo(2)

3.1

Mẹo: thứ tự ưu tiên giải

1. Thử $a + b + c = 0$ hoặc $a - b + c = 0$ → nếu có thì kết luận ngay. 2. Thử phân tích nhân tử nếu các hệ số đơn giản. 3. Cuối cùng dùng công thức $\Delta$ (chậm nhất nhưng luôn được).

3.2

Mẹo: nghiệm khi $a+b+c = 0$ hoặc $a-b+c = 0$

$a + b + c = 0$: $x_1 = 1, x_2 = \dfrac{c}{a}$.
$a - b + c = 0$: $x_1 = -1, x_2 = -\dfrac{c}{a}$.

→ Trước khi dùng $\Delta$, luôn thử 2 đẳng thức này. Nhanh hơn rất nhiều.

Bài tập

1. Đếm số nghiệm thực của phương trình bậc 2 — qua dấu $\Delta$Trắc nghiệm`count_real_roots`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Phương trình $x^2 + x + 8 = 0$ có bao nhiêu nghiệm thực?

A.2

B.0

C.1

D.Vô số nghiệm.

Câu 2.Phương trình $x^2 - 10x + 25 = 0$ có bao nhiêu nghiệm thực?

A.1

B.0

C.Vô số nghiệm.

D.2

Câu 3.Phương trình $x^2 - x - 6 = 0$ có bao nhiêu nghiệm thực?

A.0

B.1

C.2

D.Vô số nghiệm.

2. Tìm $m$ để $x^2 - 2mx + (m^2 - k) = 0$ có nghiệm kép → $\Delta = 0$Trắc nghiệm`m_for_double_root`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để phương trình $x^2 + 2mx + 4 = 0$ có nghiệm kép.

A.$m = 2$

B.$m = -2$

C.$m = \pm 2$

D.$m = \pm 4$

Câu 5.Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để phương trình $x^2 + 2mx + 4 = 0$ có nghiệm kép.

A.$m = \pm 4$

B.$m = -2$

C.$m = 2$

D.$m = \pm 2$

Câu 6.Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để phương trình $x^2 + 2mx + 4 = 0$ có nghiệm kép.

A.$m = -2$

B.$m = \pm 4$

C.$m = \pm 2$

D.$m = 2$

3. Tìm $m$ để pt $x^2 - 2x + m = 0$ có 2 nghiệm trái dấu → $P = m < 0$ (kết hợp Δ ≥ 0)Trắc nghiệm`m_for_roots_opposite_sign`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để phương trình $x^2 - x + m = 0$ có hai nghiệm trái dấu.

A.$m < 0$

B.$m \leq 0$

C.$m > 0$

D.$m \geq 0$

Câu 8.Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để phương trình $x^2 + 3x + m = 0$ có hai nghiệm trái dấu.

A.$m < 0$

B.$m \leq 0$

C.$m \geq 0$

D.$m > 0$

Câu 9.Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để phương trình $x^2 - 5x + m = 0$ có hai nghiệm trái dấu.

A.$m > 0$

B.$m \geq 0$

C.$m < 0$

D.$m \leq 0$

4. VDC: tìm $m$ để hai nghiệm thoả hệ thức $x_1^2 + x_2^2 = k$ (dùng Vi-ét)Trắc nghiệm`m_vieta_relation`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 10.Cho phương trình $x^2 - mx + (m - 1) = 0$ ($m$ là tham số) có hai nghiệm $x_1, x_2$. Tìm tất cả giá trị của $m$ để $x_1^2 + x_2^2 = 5$.

A.$m = 1\text{ hoặc }m = -3$

B.$m = -1\text{ hoặc }m = 3$

C.$m = -1$

D.$m = 3$

Câu 11.Cho phương trình $x^2 - mx + (m - 1) = 0$ ($m$ là tham số) có hai nghiệm $x_1, x_2$. Tìm tất cả giá trị của $m$ để $x_1^2 + x_2^2 = 26$.

A.$m = 6$

B.$m = -4\text{ hoặc }m = 6$

C.$m = 4\text{ hoặc }m = -6$

D.$m = -4$

Câu 12.Cho phương trình $x^2 - mx + (m - 1) = 0$ ($m$ là tham số) có hai nghiệm $x_1, x_2$. Tìm tất cả giá trị của $m$ để $x_1^2 + x_2^2 = 37$.

A.$m = 7$

B.$m = -5\text{ hoặc }m = 7$

C.$m = 5\text{ hoặc }m = -7$

D.$m = -5$

5. Giải phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt nguyênTrắc nghiệm`solve_quadratic_two_real_roots`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Giải phương trình $3x^2 + 27x + 60 = 0$.

A.$x_1 = 5$, $x_2 = 4$

B.$x_1 = -5$, $x_2 = -4$

C.$x_1 = 20$

D.$x_1 = -4$, $x_2 = -4$

Câu 14.Giải phương trình $2x^2 - 2x - 60 = 0$.

A.$x_1 = -5$, $x_2 = 6$

B.$x_1 = -30$

C.$x_1 = -4$, $x_2 = 6$

D.$x_1 = 5$, $x_2 = -6$

Câu 15.Giải phương trình $3x^2 - 24x + 36 = 0$.

A.$x_1 = 6$, $x_2 = 2$

B.$x_1 = 12$

C.$x_1 = 7$, $x_2 = 2$

D.$x_1 = -6$, $x_2 = -2$

6. Áp dụng định lí Vi-ét: tính tổng và tích nghiệm của $ax^2 + bx + c = 0$Trắc nghiệm`vieta_sum_product`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho phương trình $2x^2 + 3x - 3 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$. Tính tích hai nghiệm $P$.

A.$P = x_1 \cdot x_2 = \dfrac{3}{2}$

B.$P = x_1 \cdot x_2 = -3$

C.$P = x_1 \cdot x_2 = 3$

D.$P = x_1 \cdot x_2 = - \dfrac{3}{2}$

Câu 17.Cho phương trình $3x^2 + 9x - 6 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$. Tính tích hai nghiệm $P$.

A.$P = x_1 \cdot x_2 = 3$

B.$P = x_1 \cdot x_2 = -3$

C.$P = x_1 \cdot x_2 = 2$

D.$P = x_1 \cdot x_2 = -2$

Câu 18.Cho phương trình $x^2 + 4x - 4 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$. Tính tổng hai nghiệm $S$.

A.$S = x_1 + x_2 = 4$

B.$S = x_1 + x_2 = -5$

C.$S = x_1 + x_2 = -3$

D.$S = x_1 + x_2 = -4$

7. Cho phương trình bậc 2 với hệ số đặc biệt ($a + b + c = 0$ hoặc $a - b + c = 0$)Đúng / Sai`qf_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho phương trình $3x^2 - 2x - 1 = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình có nghiệm kép.

b)Vì $a - b + c = 4$, phương trình có nghiệm $x = -1$.

c)Tích hai nghiệm $= c/a = \dfrac{-1}{3}$.

d)Nghiệm còn lại bằng $\dfrac{c}{a} = \dfrac{-1}{3}$ (nếu hệ quả $a+b+c=0$).

Câu 20.Cho phương trình $4x^2 + 5x + 1 = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tích hai nghiệm $= c/a = \dfrac{1}{4}$.

b)Tổng hai nghiệm $= -b/a = \dfrac{-5}{4}$.

c)Nghiệm còn lại bằng $\dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{4}$ (nếu hệ quả $a+b+c=0$).

d)Vì $a - b + c = 0$, phương trình có nghiệm $x = -1$.

Câu 21.Cho phương trình $4x^2 - x - 5 = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Vì $a + b + c = -2$, phương trình có nghiệm $x = 1$.

b)Vì $a - b + c = 0$, phương trình có nghiệm $x = -1$.

c)Phương trình có nghiệm kép.

d)$x = -1$ là nghiệm của phương trình.

8. Giải $ax^2 + bx + c = 0$ với 2 nghiệm nguyên — đáp án là tổng/tích/nghiệm lớn nhấtTrả lời ngắn`solve_quadratic`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho phương trình $3x^2 + 3x - 60 = 0$. Tính tích hai nghiệm.

Câu 23.Cho phương trình $x^2 + x - 20 = 0$. Tính tổng hai nghiệm.

Câu 24.Cho phương trình $5x^2 - 30x + 40 = 0$. Tính tổng hai nghiệm.

9. Cho phương trình bậc 2 có 2 nghiệm thực, tính tổng/tích nghiệm bằng Viète (số thập phân)Trả lời ngắn`sum_of_roots_quadratic`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Cho phương trình $x^2 - 2x - 15 = 0$. Tính tổng hai nghiệm $x_1 + x_2$ (theo Viète).

Câu 26.Cho phương trình $x^2 - 16 = 0$. Tính tích hai nghiệm $x_1 \cdot x_2$ (theo Viète).

Câu 27.Cho phương trình $x^2 - x - 12 = 0$. Tính tích hai nghiệm $x_1 \cdot x_2$ (theo Viète).

Công thức

§1. Định lý(1)

§2. Công thức(1)

§3. Mẹo(2)

Bài tập

1. Đếm số nghiệm thực của phương trình bậc 2 — qua dấu $\Delta$Trắc nghiệmcount_real_roots(3 câu)

2. Tìm $m$ để $x^2 - 2mx + (m^2 - k) = 0$ có nghiệm kép → $\Delta = 0$Trắc nghiệmm_for_double_root(3 câu)

3. Tìm $m$ để pt $x^2 - 2x + m = 0$ có 2 nghiệm trái dấu → $P = m < 0$ (kết hợp Δ ≥ 0)Trắc nghiệmm_for_roots_opposite_sign(3 câu)

4. VDC: tìm $m$ để hai nghiệm thoả hệ thức $x_1^2 + x_2^2 = k$ (dùng Vi-ét)Trắc nghiệmm_vieta_relation(3 câu)

5. Giải phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt nguyênTrắc nghiệmsolve_quadratic_two_real_roots(3 câu)

6. Áp dụng định lí Vi-ét: tính tổng và tích nghiệm của $ax^2 + bx + c = 0$Trắc nghiệmvieta_sum_product(3 câu)

7. Cho phương trình bậc 2 với hệ số đặc biệt ($a + b + c = 0$ hoặc $a - b + c = 0$)Đúng / Saiqf_facts2(3 câu)

8. Giải $ax^2 + bx + c = 0$ với 2 nghiệm nguyên — đáp án là tổng/tích/nghiệm lớn nhấtTrả lời ngắnsolve_quadratic(3 câu)

9. Cho phương trình bậc 2 có 2 nghiệm thực, tính tổng/tích nghiệm bằng Viète (số thập phân)Trả lời ngắnsum_of_roots_quadratic(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Đếm số nghiệm thực của phương trình bậc 2 — qua dấu $\Delta$Trắc nghiệm`count_real_roots`(3 câu)

2. Tìm $m$ để $x^2 - 2mx + (m^2 - k) = 0$ có nghiệm kép → $\Delta = 0$Trắc nghiệm`m_for_double_root`(3 câu)

3. Tìm $m$ để pt $x^2 - 2x + m = 0$ có 2 nghiệm trái dấu → $P = m < 0$ (kết hợp Δ ≥ 0)Trắc nghiệm`m_for_roots_opposite_sign`(3 câu)

4. VDC: tìm $m$ để hai nghiệm thoả hệ thức $x_1^2 + x_2^2 = k$ (dùng Vi-ét)Trắc nghiệm`m_vieta_relation`(3 câu)

5. Giải phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt nguyênTrắc nghiệm`solve_quadratic_two_real_roots`(3 câu)

6. Áp dụng định lí Vi-ét: tính tổng và tích nghiệm của $ax^2 + bx + c = 0$Trắc nghiệm`vieta_sum_product`(3 câu)

7. Cho phương trình bậc 2 với hệ số đặc biệt ($a + b + c = 0$ hoặc $a - b + c = 0$)Đúng / Sai`qf_facts2`(3 câu)

8. Giải $ax^2 + bx + c = 0$ với 2 nghiệm nguyên — đáp án là tổng/tích/nghiệm lớn nhấtTrả lời ngắn`solve_quadratic`(3 câu)

9. Cho phương trình bậc 2 có 2 nghiệm thực, tính tổng/tích nghiệm bằng Viète (số thập phân)Trả lời ngắn`sum_of_roots_quadratic`(3 câu)