Biểu thức toạ độ phép toán vectơ

Công thức

§1. Công thức(4)

1.1

Tổng + hiệu vectơ qua toạ độ

Cho $\vec{a} = (x_1; y_1), \vec{b} = (x_2; y_2)$: $$\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2; \, y_1 + y_2).$$ $$\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; \, y_1 - y_2).$$

1.2

Độ dài (modul) vectơ qua toạ độ

$$|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}.$$ Khoảng cách 2 điểm: $AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

1.3

Điều kiện cùng phương qua toạ độ

$\vec{a} = (x_1; y_1), \vec{b} = (x_2; y_2)$ cùng phương $\Leftrightarrow x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$. Hệ quả: $A, B, C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow (x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A) = 0$.

1.4

Nhân vectơ với số qua toạ độ

$$k \vec{a} = k (x_1; y_1) = (k x_1; \, k y_1).$$

§2. Phương pháp(1)

2.1

Giải bài toán vectơ bằng toạ độ

Bước 1. Gắn hệ toạ độ $Oxy$ — chọn gốc, trục cho thuận tiện (đối xứng / vuông góc tự nhiên). Bước 2. Tính toạ độ các điểm và vectơ liên quan. Bước 3. Áp dụng các công thức toạ độ:

Cộng/trừ/nhân số.
Độ dài, khoảng cách, cùng phương, thẳng hàng.

Bước 4. Kết luận theo ngôn ngữ hình học.

Bài tập

1. Vận dụng cao: tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông cho bằng toạ độTrắc nghiệm`circumcircle_right_triangle_from_coords`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 1.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ với $A(-2;-3)$, $B(4;-3)$, $C(-2;5)$. Chứng tỏ tam giác vuông tại $A$ rồi tìm tâm $I$ và bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Tam giác ABC trên Oxy với A=(-2, -3), B=(4, -3), C=(-2, 5), vuông tại A.

A.$I\left(-2;\,1\right);\ R = 4$

B.$I\left(1;\,1\right);\ R = 5$

C.$I\left(0;\,- \dfrac{1}{3}\right);\ R = 5$

D.$I\left(1;\,-3\right);\ R = 3$

Câu 2.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ với $A(0;0)$, $B(5;0)$, $C(0;12)$. Chứng tỏ tam giác vuông tại $A$ rồi tìm tâm $I$ và bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Tam giác ABC trên Oxy với A=(0, 0), B=(5, 0), C=(0, 12), vuông tại A.

A.$I\left(\dfrac{5}{2};\,0\right);\ R = \dfrac{5}{2}$

B.$I\left(0;\,6\right);\ R = 6$

C.$I\left(\dfrac{5}{3};\,4\right);\ R = \dfrac{13}{2}$

D.$I\left(\dfrac{5}{2};\,6\right);\ R = \dfrac{13}{2}$

Câu 3.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ với $A(2;1)$, $B(8;1)$, $C(2;9)$. Chứng tỏ tam giác vuông tại $A$ rồi tìm tâm $I$ và bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Tam giác ABC trên Oxy với A=(2, 1), B=(8, 1), C=(2, 9), vuông tại A.

A.$I\left(4;\,\dfrac{11}{3}\right);\ R = 5$

B.$I\left(5;\,1\right);\ R = 3$

C.$I\left(5;\,5\right);\ R = 5$

D.$I\left(2;\,5\right);\ R = 4$

2. Tìm tham số $m$ để hai vectơ cùng phương (VẬN DỤNG)Trắc nghiệm`collinear_find_parameter`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $\vec u = (2; 1)$ và $\vec v = (2; m)$. Tìm $m$ để hai vectơ $\vec u$ và $\vec v$ cùng phương.

A.$m = 3$

B.$m = 1$

C.$m = 2$

D.$m = 0$

Câu 5.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $\vec u = (2; 3)$ và $\vec v = (-6; m)$. Tìm $m$ để hai vectơ $\vec u$ và $\vec v$ cùng phương.

A.$m = 9$

B.$m = -10$

C.$m = -8$

D.$m = -9$

Câu 6.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $\vec u = (-6; 6)$ và $\vec v = (12; m)$. Tìm $m$ để hai vectơ $\vec u$ và $\vec v$ cùng phương.

A.$m = 12$

B.$m = -12$

C.$m = 18$

D.$m = -13$

3. Tìm toạ độ điểm thoả điều kiện vectơ (VẬN DỤNG)Trắc nghiệm`find_point_vector_condition`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho ba điểm $A(-6; 1)$, $B(-3; 5)$, $C(4; -6)$. Tìm toạ độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

A.$D(1; -10)$

B.$D(-13; 12)$

C.$D(-2; -5)$

D.$D(7; -2)$

Câu 8.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho ba điểm $A(6; 6)$, $B(2; 1)$, $C(-1; 1)$. Tìm toạ độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

A.$D(3; 6)$

B.$D(9; 6)$

C.$D(5; 7)$

D.$D(-5; -4)$

Câu 9.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho ba điểm $A(6; -2)$, $B(-3; 4)$, $C(2; 3)$. Tìm toạ độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

A.$D(8; 1)$

B.$D(-7; 9)$

C.$D(11; -3)$

D.$D(1; -1)$

4. Tính $k \vec{a}$ trong mặt phẳng toạ độTrắc nghiệm`scalar_times_vector`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Cho $\vec{a} = (-5; -3)$. Tính $-4\vec{a}$.

A.$(20; 12)$

B.$(20; -3)$

C.$(-9; -7)$

D.$(-4; -4)$

Câu 11.Cho $\vec{a} = (7; -6)$. Tính $-3\vec{a}$.

A.$(4; -9)$

B.$(-3; -3)$

C.$(-21; -6)$

D.$(-21; 18)$

Câu 12.Cho $\vec{a} = (-5; -2)$. Tính $-1\vec{a}$.

A.$(-1; -1)$

B.$(5; -2)$

C.$(5; 2)$

D.$(-6; -3)$

5. Tính tổng hai vectơ trong mặt phẳng toạ độTrắc nghiệm`vector_sum`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho $\vec{a} = (-1; 1)$ và $\vec{b} = (3; -4)$. Tính $\vec{a} + \vec{b}$.

A.$(-4; 5)$

B.$(3; -3)$

C.$(2; -3)$

D.$(-3; -4)$

Câu 14.Cho $\vec{a} = (-4; -7)$ và $\vec{b} = (4; -5)$. Tính $\vec{a} + \vec{b}$.

A.$(-16; 35)$

B.$(1; -12)$

C.$(-8; -2)$

D.$(0; -12)$

Câu 15.Cho $\vec{a} = (5; 4)$ và $\vec{b} = (5; -1)$. Tính $\vec{a} + \vec{b}$.

A.$(11; 3)$

B.$(0; 5)$

C.$(10; 3)$

D.$(25; -4)$

6. Cho 2 vectơ cụ thể — xét tích vô hướng, độ dài, kết hợp tuyến tínhĐúng / Sai`coord_op_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Trong $Oxy$ cho $\vec{a} = (3; 4)$ và $\vec{b} = (-3; 1)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\vec{a} \cdot \vec{b} = -5$.

b)$2\vec{a} - \vec{b} = (9; 7)$.

c)$\vec{a} \cdot \vec{b} \geq 0$.

d)$|\vec{a}|^2 = 25$.

Câu 17.Trong $Oxy$ cho $\vec{a} = (2; 4)$ và $\vec{b} = (-2; -2)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\vec{a} \cdot \vec{b} = -12$.

b)$\vec{a} \cdot \vec{b} \geq 0$.

c)Tổng hai vectơ luôn nhỏ hơn từng vectơ thành phần.

d)$|\vec{a}|^2 = 20$.

Câu 18.Trong $Oxy$ cho $\vec{a} = (-4; 2)$ và $\vec{b} = (-3; -1)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\vec{a} \perp \vec{b}$.

b)Tổng hai vectơ luôn nhỏ hơn từng vectơ thành phần.

c)$\vec{a} \cdot \vec{b} = 10$.

d)$2\vec{a} - \vec{b} = (-5; 5)$.

7. Cho 2 vectơ cụ thể — xét tổng, hiệu, nhân với số, cùng phươngĐúng / Sai`coord_ops_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Trong $Oxy$ cho $\vec{a} = (2; -4)$ và $\vec{b} = (-1; 3)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$2\vec{a} = (4; -8)$.

b)$\vec{a} + \vec{b} = (1; -7)$.

c)Hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng khác $0$.

d)$\vec{a} + \vec{b} = (1; -1)$.

Câu 20.Trong $Oxy$ cho $\vec{a} = (-4; -4)$ và $\vec{b} = (-1; -2)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\vec{a} + \vec{b} = (-5; -6)$.

b)Hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng khác $0$.

c)$\vec{a} + \vec{b} = (-5; -2)$.

d)$\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.

Câu 21.Trong $Oxy$ cho $\vec{a} = (-4; 4)$ và $\vec{b} = (-1; -4)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.

b)$2\vec{a} = (-8; 8)$.

c)$\vec{a} + \vec{b} = (-5; 8)$.

d)Hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng khác $0$.

8. Hoành độ của $k\vec{a} + l\vec{b}$Trả lời ngắn`vector_combination_x`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho $\vec{a} = (2; -5)$, $\vec{b} = (-5; -5)$. Hoành độ của $-3\vec{a} - 2\vec{b}$ bằng?

Câu 23.Cho $\vec{a} = (-4; 4)$, $\vec{b} = (1; 4)$. Hoành độ của $-1\vec{a} + 3\vec{b}$ bằng?

Câu 24.Cho $\vec{a} = (-4; 5)$, $\vec{b} = (-3; -5)$. Hoành độ của $2\vec{a} - 3\vec{b}$ bằng?

9. $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ (Pythagorean triples)Trả lời ngắn`vector_magnitude_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Cho $\vec{a} = (3; 4)$. Tính $|\vec{a}|$.

Câu 26.Cho $\vec{a} = (9; 12)$. Tính $|\vec{a}|$.

Câu 27.Cho $\vec{a} = (8; 15)$. Tính $|\vec{a}|$.

Công thức

§1. Công thức(4)

§2. Phương pháp(1)

Bài tập

1. Vận dụng cao: tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông cho bằng toạ độTrắc nghiệmcircumcircle_right_triangle_from_coords(3 câu)

2. Tìm tham số $m$ để hai vectơ cùng phương (VẬN DỤNG)Trắc nghiệmcollinear_find_parameter(3 câu)

3. Tìm toạ độ điểm thoả điều kiện vectơ (VẬN DỤNG)Trắc nghiệmfind_point_vector_condition(3 câu)

4. Tính $k \vec{a}$ trong mặt phẳng toạ độTrắc nghiệmscalar_times_vector(3 câu)

5. Tính tổng hai vectơ trong mặt phẳng toạ độTrắc nghiệmvector_sum(3 câu)

6. Cho 2 vectơ cụ thể — xét tích vô hướng, độ dài, kết hợp tuyến tínhĐúng / Saicoord_op_facts2(3 câu)

7. Cho 2 vectơ cụ thể — xét tổng, hiệu, nhân với số, cùng phươngĐúng / Saicoord_ops_facts(3 câu)

8. Hoành độ của $k\vec{a} + l\vec{b}$Trả lời ngắnvector_combination_x(3 câu)

9. $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ (Pythagorean triples)Trả lời ngắnvector_magnitude_sa(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Vận dụng cao: tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông cho bằng toạ độTrắc nghiệm`circumcircle_right_triangle_from_coords`(3 câu)

2. Tìm tham số $m$ để hai vectơ cùng phương (VẬN DỤNG)Trắc nghiệm`collinear_find_parameter`(3 câu)

3. Tìm toạ độ điểm thoả điều kiện vectơ (VẬN DỤNG)Trắc nghiệm`find_point_vector_condition`(3 câu)

4. Tính $k \vec{a}$ trong mặt phẳng toạ độTrắc nghiệm`scalar_times_vector`(3 câu)

5. Tính tổng hai vectơ trong mặt phẳng toạ độTrắc nghiệm`vector_sum`(3 câu)

6. Cho 2 vectơ cụ thể — xét tích vô hướng, độ dài, kết hợp tuyến tínhĐúng / Sai`coord_op_facts2`(3 câu)

7. Cho 2 vectơ cụ thể — xét tổng, hiệu, nhân với số, cùng phươngĐúng / Sai`coord_ops_facts`(3 câu)

8. Hoành độ của $k\vec{a} + l\vec{b}$Trả lời ngắn`vector_combination_x`(3 câu)

9. $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ (Pythagorean triples)Trả lời ngắn`vector_magnitude_sa`(3 câu)