Tổng và hiệu hai vectơ

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

1.1

Tổng 2 vectơ (quy tắc 3 điểm)

Cho 3 điểm $A, B, C$: $$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}.$$ Gọi là quy tắc tam giác (3 điểm). Áp dụng cho tổng nhiều vectơ: $\vec{A_1 A_2} + \vec{A_2 A_3} + \dots + \vec{A_{n-1} A_n} = \vec{A_1 A_n}$.

1.2

Quy tắc hình bình hành

Nếu $ABCD$ là hình bình hành: $$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}.$$ Tức 2 cạnh xuất phát từ 1 đỉnh, tổng = đường chéo từ đỉnh đó.

§2. Tính chất(1)

2.1

Tính chất tổng vectơ

Giao hoán: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.
Kết hợp: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.
$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$.
$\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$.

§3. Công thức(2)

3.1

Hiệu 2 vectơ

$$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}).$$ Quy tắc trừ: $$\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}.$$ (Cùng điểm gốc → trừ = vectơ nối 2 ngọn, hướng từ ngọn vế trừ đến ngọn vế bị trừ.)

3.2

Trung điểm + trọng tâm

Trung điểm $I$ của $AB$: $$\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}, \quad \vec{MA} + \vec{MB} = 2 \vec{MI} \, \forall M.$$ Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$: $$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}, \quad \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3 \vec{MG} \, \forall M.$$

§4. Phương pháp(1)

4.1

Phương pháp chèn điểm

Chứng minh đẳng thức vectơ: dùng quy tắc chèn điểm. Vd: chứng minh $\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB}$ → chèn $C$ vào giữa $A$ và $B$. Vd: $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$ → coi $\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB}$ rồi chuyển vế. Mẹo: chọn điểm chèn = điểm chung của các vectơ cần biến đổi.

§5. Mẹo(1)

5.1

Mẹo: tổng vectơ chu trình đa giác = 0

$\vec{A_1 A_2} + \vec{A_2 A_3} + \dots + \vec{A_n A_1} = \vec{A_1 A_1} = \vec{0}$. → Hữu ích khi cần chứng minh tổng nhiều vectơ = $\vec{0}$: tổ chức thành chu trình khép kín.

Bài tập

1. Vận dụng cao: phân tích $\vec{AI}$ theo $\vec{AB}, \vec{AC}$ khi $I$ thoả $\alpha\,\vec{IA} + \beta\,\vec{IB} + \gamma\,\vec{IC} = \vec{0}$Trắc nghiệm`barycenter_decomposition_AI`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 1.Cho tam giác $ABC$ và điểm $I$ thoả mãn $$2\,\overrightarrow{IA} + 3\,\overrightarrow{IB} + 1\,\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}.$$ Phân tích $\overrightarrow{AI}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

A.$\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{6}\,\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AC}$

B.$\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AC}$

C.$\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{6}\,\overrightarrow{AC}$

D.$\overrightarrow{AI} = \dfrac{3}{5}\,\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{4}\,\overrightarrow{AC}$

Câu 2.Cho tam giác $ABC$ và điểm $I$ thoả mãn $$2\,\overrightarrow{IA} + 5\,\overrightarrow{IB} + 3\,\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}.$$ Phân tích $\overrightarrow{AI}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

A.$\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{5}\,\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AC}$

B.$\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{10}\,\overrightarrow{AC}$

C.$\overrightarrow{AI} = \dfrac{3}{10}\,\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AC}$

D.$\overrightarrow{AI} = \dfrac{5}{7}\,\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{8}\,\overrightarrow{AC}$

Câu 3.Cho tam giác $ABC$ và điểm $I$ thoả mãn $$1\,\overrightarrow{IA} + 2\,\overrightarrow{IB} + 3\,\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}.$$ Phân tích $\overrightarrow{AI}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

A.$\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{6}\,\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AC}$

B.$\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AC}$

C.$\overrightarrow{AI} = \dfrac{2}{3}\,\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{5}\,\overrightarrow{AC}$

D.$\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AC}$

2. Quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$Trắc nghiệm`parallelogram_rule_sum`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 4.Cho hình bình hành $ABCD$. Tổng $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ bằng vectơ nào?

A.$\overrightarrow{DB}$

B.$\overrightarrow{AC}$

C.$\overrightarrow{CA}$

D.$\overrightarrow{BD}$

Câu 5.Cho hình bình hành $ABCD$. Tổng $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ bằng vectơ nào?

A.$\overrightarrow{BD}$

B.$\overrightarrow{AC}$

C.$\overrightarrow{DB}$

D.$\overrightarrow{CA}$

Câu 6.Cho hình bình hành $ABCD$. Tổng $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ bằng vectơ nào?

A.$\overrightarrow{DB}$

B.$\overrightarrow{BD}$

C.$\overrightarrow{AC}$

D.$\overrightarrow{CA}$

3. Quan sát hình minh hoạ quy tắc hình bình hành cộng 2 vectơ → chọn vectơ tổngTrắc nghiệm`parallelogram_sum_from_figure`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 7.Quan sát hình minh hoạ tổng hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ theo quy tắc hình bình hành. Toạ độ vectơ $\vec{u} + \vec{v}$ là:

Cộng vectơ u=(4, 1) và v=(1, 3)

A.$(4; 1)$

B.$(3; -2)$

C.$(5; 4)$

D.$(1; 3)$

Câu 8.Quan sát hình minh hoạ tổng hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ theo quy tắc hình bình hành. Toạ độ vectơ $\vec{u} + \vec{v}$ là:

Cộng vectơ u=(4, 0) và v=(0, 4)

A.$(4; -4)$

B.$(0; 4)$

C.$(4; 0)$

D.$(4; 4)$

Câu 9.Quan sát hình minh hoạ tổng hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ theo quy tắc hình bình hành. Toạ độ vectơ $\vec{u} + \vec{v}$ là:

Cộng vectơ u=(2, 1) và v=(1, 3)

A.$(1; 3)$

B.$(1; -2)$

C.$(3; 4)$

D.$(2; 1)$

4. Quy tắc 3 điểm: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$Trắc nghiệm`three_point_rule`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Áp dụng quy tắc 3 điểm: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ bằng?

A.$\overrightarrow{AC}$

B.$\overrightarrow{BA}$

C.$\overrightarrow{CB}$

D.$\overrightarrow{CA}$

Câu 11.Áp dụng quy tắc 3 điểm: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ bằng?

A.$\overrightarrow{BA}$

B.$\overrightarrow{CB}$

C.$\overrightarrow{AC}$

D.$\overrightarrow{CA}$

Câu 12.Áp dụng quy tắc 3 điểm: $\overrightarrow{XY} + \overrightarrow{YZ}$ bằng?

A.$\overrightarrow{ZY}$

B.$\overrightarrow{XZ}$

C.$\overrightarrow{YX}$

D.$\overrightarrow{ZX}$

5. Rút gọn tổng/hiệu nhiều vectơ về một vectơ qua trung điểm / trọng tâm (VẬN DỤNG)Trắc nghiệm`vector_identity_centroid_midpoint`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 13.Cho I là trung điểm của đoạn $AB$ và điểm $M$ tuỳ ý. Rút gọn $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}$.

A.$2\overrightarrow{MI}$

B.$\overrightarrow{MI}$

C.$\dfrac{1}{2}\overrightarrow{MI}$

D.$2\overrightarrow{IM}$

Câu 14.Cho G là trọng tâm tam giác $ABC$ và điểm $M$ tuỳ ý. Rút gọn $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}$.

A.$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{MG}$

B.$\overrightarrow{MG}$

C.$3\overrightarrow{MG}$

D.$3\overrightarrow{GM}$

Câu 15.Cho G là trọng tâm tam giác $ABC$ và điểm $M$ tuỳ ý. Rút gọn $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}$.

A.$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{MG}$

B.$3\overrightarrow{MG}$

C.$\overrightarrow{MG}$

D.$3\overrightarrow{GM}$

6. Cho hình bình hành cụ thể — kiểm tra quy tắc hình bình hành & đẳng thức vectơĐúng / Sai`vector_sum_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho hình bình hành $ABCD$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{AD}|$.

b)$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.

c)$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$.

d)$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.

Câu 17.Cho hình bình hành $MNPQ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{PQ}$.

b)$|\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MQ}| = |\overrightarrow{MN}| + |\overrightarrow{MQ}|$.

c)$\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{MP}$.

d)$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}$.

Câu 18.Cho hình bình hành $MNPQ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{MQ}$.

b)$\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{MP}$.

c)$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}$.

d)$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{PQ}$.

7. Cho tam giác / tứ giác cụ thể — kiểm tra quy tắc cộng vectơĐúng / Sai`vector_sum_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho tam giác $\triangle MNP$. Xét tính đúng/sai các khẳng định về vectơ sau:

a)$\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{NP}$.

b)$\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MP}$.

c)$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{NM}$.

d)$\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{PN}$.

Câu 20.Cho tam giác $\triangle ABC$. Xét tính đúng/sai các khẳng định về vectơ sau:

a)$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}$.

b)$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0}$.

c)$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$.

d)$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$.

Câu 21.Cho tam giác $\triangle XYZ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định về vectơ sau:

a)$\overrightarrow{XY} - \overrightarrow{XZ} = \overrightarrow{YZ}$.

b)$\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{YX}$.

c)$\overrightarrow{XY} + \overrightarrow{YZ} = \overrightarrow{XZ}$.

d)$\overrightarrow{XY} + \overrightarrow{YX} = \vec{0}$.

8. Tính độ dài $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}| = 0$Trả lời ngắn`three_point_rule_length_zero`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 22.Tính giá trị của $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB}|$.

Hai vectơ đối nhau, tổng bằng vectơ-không

Câu 23.Tính giá trị của $|\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NM}|$.

Hai vectơ đối nhau, tổng bằng vectơ-không

Câu 24.Tính giá trị của $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}|$.

Hai vectơ đối nhau, tổng bằng vectơ-không

9. $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$Trả lời ngắn`vector_diff_AB_minus_AC_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ thoả $|\overrightarrow{CB}| = 10$. Tính $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|$.

AB − AC = CB, |CB|=10

Câu 26.Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ thoả $|\overrightarrow{CB}| = 4$. Tính $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|$.

AB − AC = CB, |CB|=4

Câu 27.Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ thoả $|\overrightarrow{CB}| = 3$. Tính $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|$.

AB − AC = CB, |CB|=3

10. Hình bình hành ABCD: $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{AC}|$Trả lời ngắn`vector_sum_distance`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 28.Cho hình bình hành $ABCD$ với độ dài đường chéo $|\overrightarrow{AC}| = 3$. Tính $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}|$.

Hình bình hành ABCD với đường chéo AC = 3

Câu 29.Cho hình bình hành $ABCD$ với độ dài đường chéo $|\overrightarrow{AC}| = 9$. Tính $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}|$.

Hình bình hành ABCD với đường chéo AC = 9

Câu 30.Cho hình bình hành $ABCD$ với độ dài đường chéo $|\overrightarrow{AC}| = 2$. Tính $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}|$.

Hình bình hành ABCD với đường chéo AC = 2

11. Quy tắc 3 điểm: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$Trả lời ngắn`vector_sum_triangle_rule_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ thoả $|\overrightarrow{AC}| = 10$. Tính $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}|$.

AB + BC = AC theo quy tắc 3 điểm, |AC|=10

Câu 32.Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ thoả $|\overrightarrow{AC}| = 6$. Tính $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}|$.

AB + BC = AC theo quy tắc 3 điểm, |AC|=6

Câu 33.Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ thoả $|\overrightarrow{AC}| = 11$. Tính $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}|$.

AB + BC = AC theo quy tắc 3 điểm, |AC|=11

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

§2. Tính chất(1)

§3. Công thức(2)

§4. Phương pháp(1)

§5. Mẹo(1)

Bài tập

1. Vận dụng cao: phân tích $\vec{AI}$ theo $\vec{AB}, \vec{AC}$ khi $I$ thoả $\alpha\,\vec{IA} + \beta\,\vec{IB} + \gamma\,\vec{IC} = \vec{0}$Trắc nghiệmbarycenter_decomposition_AI(3 câu)

2. Quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$Trắc nghiệmparallelogram_rule_sum(3 câu)

3. Quan sát hình minh hoạ quy tắc hình bình hành cộng 2 vectơ → chọn vectơ tổngTrắc nghiệmparallelogram_sum_from_figure(3 câu)

4. Quy tắc 3 điểm: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$Trắc nghiệmthree_point_rule(3 câu)

5. Rút gọn tổng/hiệu nhiều vectơ về một vectơ qua trung điểm / trọng tâm (VẬN DỤNG)Trắc nghiệmvector_identity_centroid_midpoint(3 câu)

6. Cho hình bình hành cụ thể — kiểm tra quy tắc hình bình hành & đẳng thức vectơĐúng / Saivector_sum_examples(3 câu)

7. Cho tam giác / tứ giác cụ thể — kiểm tra quy tắc cộng vectơĐúng / Saivector_sum_facts(3 câu)

8. Tính độ dài $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}| = 0$Trả lời ngắnthree_point_rule_length_zero(3 câu)

9. $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$Trả lời ngắnvector_diff_AB_minus_AC_sa(3 câu)

10. Hình bình hành ABCD: $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{AC}|$Trả lời ngắnvector_sum_distance(3 câu)

11. Quy tắc 3 điểm: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$Trả lời ngắnvector_sum_triangle_rule_sa(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Vận dụng cao: phân tích $\vec{AI}$ theo $\vec{AB}, \vec{AC}$ khi $I$ thoả $\alpha\,\vec{IA} + \beta\,\vec{IB} + \gamma\,\vec{IC} = \vec{0}$Trắc nghiệm`barycenter_decomposition_AI`(3 câu)

2. Quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$Trắc nghiệm`parallelogram_rule_sum`(3 câu)

3. Quan sát hình minh hoạ quy tắc hình bình hành cộng 2 vectơ → chọn vectơ tổngTrắc nghiệm`parallelogram_sum_from_figure`(3 câu)

4. Quy tắc 3 điểm: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$Trắc nghiệm`three_point_rule`(3 câu)

5. Rút gọn tổng/hiệu nhiều vectơ về một vectơ qua trung điểm / trọng tâm (VẬN DỤNG)Trắc nghiệm`vector_identity_centroid_midpoint`(3 câu)

6. Cho hình bình hành cụ thể — kiểm tra quy tắc hình bình hành & đẳng thức vectơĐúng / Sai`vector_sum_examples`(3 câu)

7. Cho tam giác / tứ giác cụ thể — kiểm tra quy tắc cộng vectơĐúng / Sai`vector_sum_facts`(3 câu)

8. Tính độ dài $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}| = 0$Trả lời ngắn`three_point_rule_length_zero`(3 câu)

9. $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$Trả lời ngắn`vector_diff_AB_minus_AC_sa`(3 câu)

10. Hình bình hành ABCD: $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{AC}|$Trả lời ngắn`vector_sum_distance`(3 câu)

11. Quy tắc 3 điểm: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$Trả lời ngắn`vector_sum_triangle_rule_sa`(3 câu)