Hệ trục toạ độ

Công thức

§1. Định nghĩa(3)

1.1

Hệ trục toạ độ $Oxy$

Mặt phẳng $Oxy$ có:

2 trục vuông góc: $Ox$ (trục hoành), $Oy$ (trục tung).
2 vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}$: $|\vec{i}| = |\vec{j}| = 1$, $\vec{i} \perp \vec{j}$.
$(\vec{i}, \vec{j})$ là cơ sở chuẩn của mặt phẳng vectơ.

1.2

Toạ độ điểm

Điểm $M$ trong $Oxy$ có toạ độ $(x; y)$ khi $\vec{OM} = (x; y)$, tức $\vec{OM} = x \vec{i} + y \vec{j}$. Ký hiệu: $M(x; y)$. $x$ = hoành độ, $y$ = tung độ.

1.3

Toạ độ vectơ

Vectơ $\vec{a} = x \vec{i} + y \vec{j}$ có toạ độ $(x; y)$: $$\vec{a} = (x; y).$$ Vectơ đơn vị: $\vec{i} = (1; 0)$, $\vec{j} = (0; 1)$. Vectơ-không: $\vec{0} = (0; 0)$.

§2. Tính chất(1)

2.1

2 vectơ bằng nhau qua toạ độ

$\vec{a} = (x_1; y_1)$, $\vec{b} = (x_2; y_2)$: $$\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 = x_2 \\ y_1 = y_2 \end{cases}.$$

§3. Công thức(2)

3.1

Toạ độ trung điểm + trọng tâm

Trung điểm $I$ của $AB$: $$x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2}, \quad y_I = \dfrac{y_A + y_B}{2}.$$ Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$: $$x_G = \dfrac{x_A + x_B + x_C}{3}, \quad y_G = \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}.$$

3.2

Toạ độ vectơ qua 2 điểm

Cho $A(x_A; y_A)$, $B(x_B; y_B)$: $$\vec{AB} = (x_B - x_A; \, y_B - y_A).$$ (Toạ độ của vectơ = toạ độ điểm ngọn trừ toạ độ điểm gốc.)

Bài tập

1. Cho A, B, tính trung điểm M của đoạn ABTrắc nghiệm`midpoint_of_segment`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Cho hai điểm $A(3; 4)$ và $B(1; 3)$. Tìm toạ độ trung điểm $M$ của đoạn $AB$.

A.$M(3; 4)$

B.$M(-2; -1)$

C.$M(4; 7)$

D.$M(2; \dfrac{7}{2})$

Câu 2.Cho hai điểm $A(-5; -2)$ và $B(2; 4)$. Tìm toạ độ trung điểm $M$ của đoạn $AB$.

A.$M(-5; -2)$

B.$M(7; 6)$

C.$M(- \dfrac{3}{2}; 1)$

D.$M(-3; 2)$

Câu 3.Cho hai điểm $A(6; -6)$ và $B(5; 3)$. Tìm toạ độ trung điểm $M$ của đoạn $AB$.

A.$M(\dfrac{11}{2}; - \dfrac{3}{2})$

B.$M(6; -6)$

C.$M(-1; 9)$

D.$M(11; -3)$

2. Vận dụng cao: tìm $M$ trên trục $Ox$ để $MA + MB$ nhỏ nhất (kỹ thuật đối xứng)Trắc nghiệm`min_sum_distance_point_on_axis`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho hai điểm $A(-2; 1)$ và $B(4; 2)$. Tìm điểm $M$ trên trục hoành $Ox$ sao cho $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A.$M(0; 0)$

B.$M(1; 0)$

C.$M(-8; 0)$

D.$M(-2; 0)$

Câu 5.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho hai điểm $A(2; 3)$ và $B(8; 3)$. Tìm điểm $M$ trên trục hoành $Ox$ sao cho $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A.$M(2; 0)$

B.$M(5; 0)$

C.$M(6; 0)$

D.$M(8; 0)$

Câu 6.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho hai điểm $A(0; 1)$ và $B(4; 3)$. Tìm điểm $M$ trên trục hoành $Ox$ sao cho $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A.$M(1; 0)$

B.$M(2; 0)$

C.$M(-2; 0)$

D.$M(0; 0)$

3. Quan sát hai điểm A, B trên Oxy, tính toạ độ vectơ ABTrắc nghiệm`vector_from_figure`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Quan sát vị trí hai điểm $A$ và $B$ trên hệ trục toạ độ trong hình. Tính toạ độ vectơ $\vec{AB}$.

Hai điểm A(5; 4) và B(4; 5) trên Oxy

A.$\vec{AB} = (-1; 1)$

B.$\vec{AB} = (1; -1)$

C.$\vec{AB} = (9; 9)$

D.$\vec{AB} = (4; 5)$

Câu 8.Quan sát vị trí hai điểm $A$ và $B$ trên hệ trục toạ độ trong hình. Tính toạ độ vectơ $\vec{AB}$.

Hai điểm A(5; 2) và B(-4; -4) trên Oxy

A.$\vec{AB} = (1; -2)$

B.$\vec{AB} = (-4; -4)$

C.$\vec{AB} = (-9; -6)$

D.$\vec{AB} = (9; 6)$

Câu 9.Quan sát vị trí hai điểm $A$ và $B$ trên hệ trục toạ độ trong hình. Tính toạ độ vectơ $\vec{AB}$.

Hai điểm A(1; -1) và B(-4; 5) trên Oxy

A.$\vec{AB} = (-5; 6)$

B.$\vec{AB} = (-3; 4)$

C.$\vec{AB} = (5; -6)$

D.$\vec{AB} = (-4; 5)$

4. Tính toạ độ $\vec{AB}$ với $A(x_A, y_A), B(x_B, y_B)$Trắc nghiệm`vector_from_two_points`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Cho $A(-3; -5)$ và $B(-3; -2)$. Tính toạ độ $\vec{AB}$.

A.$\vec{AB} = (0; -3)$

B.$\vec{AB} = (-6; -7)$

C.$\vec{AB} = (-3; -2)$

D.$\vec{AB} = (0; 3)$

Câu 11.Cho $A(-3; -4)$ và $B(5; 6)$. Tính toạ độ $\vec{AB}$.

A.$\vec{AB} = (8; 10)$

B.$\vec{AB} = (-8; -10)$

C.$\vec{AB} = (5; 6)$

D.$\vec{AB} = (2; 2)$

Câu 12.Cho $A(6; -6)$ và $B(-2; -4)$. Tính toạ độ $\vec{AB}$.

A.$\vec{AB} = (8; -2)$

B.$\vec{AB} = (-8; 2)$

C.$\vec{AB} = (-2; -4)$

D.$\vec{AB} = (4; -10)$

5. Cho hai điểm cụ thể $A, B$ trong $Oxy$ — xét toạ độ vectơ $\vec{AB}$ và trung điểmĐúng / Sai`coord_basic_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hai điểm $A(-2; 3)$ và $B(-2; -5)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\overrightarrow{AB} = (0; -8)$.

b)$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ là hai vectơ đối nhau.

c)$\overrightarrow{AB} = (0; 8)$.

d)Trung điểm $M$ của đoạn $AB$ có toạ độ $\left(\dfrac{-4}{2}; \dfrac{-2}{2}\right)$.

Câu 14.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hai điểm $A(2; -4)$ và $B(-1; -4)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\overrightarrow{AB} = (3; 0)$.

b)Trung điểm $M$ của đoạn $AB$ có toạ độ $\left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{-8}{2}\right)$.

c)Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi các toạ độ tương ứng bằng nhau.

d)$\overrightarrow{AB} = (-3; 0)$.

Câu 15.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hai điểm $A(1; 3)$ và $B(5; -5)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Trung điểm $M$ của đoạn $AB$ có toạ độ $\left(\dfrac{6}{2}; \dfrac{-2}{2}\right)$.

b)$\overrightarrow{AB} = (-4; 8)$.

c)$\overrightarrow{BA} = (-4; 8)$.

d)$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ là hai vectơ đối nhau.

6. Cho vectơ $\vec a$ cụ thể — xét độ dài, tính chấtĐúng / Sai`coord_basic_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho vectơ $\vec{a} = (5; -3)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$|\vec{a}|^2 = 16$.

b)Vectơ $\vec{a} = (5; -3)$ có $|\vec{a}|^2 = 34$.

c)Vectơ $-\vec{a}$ có toạ độ $(-5; 3)$.

d)$\vec{a} = (5; -3)$ là vectơ-không.

Câu 17.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho vectơ $\vec{a} = (2; -2)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Vectơ $2\vec{a}$ có toạ độ $(4; -4)$.

b)Vectơ $-\vec{a}$ có toạ độ $(-2; 2)$.

c)Vectơ $\vec{a} = (2; -2)$ có $|\vec{a}|^2 = 8$.

d)$\vec{a} = (2; -2)$ là vectơ-không.

Câu 18.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho vectơ $\vec{a} = (-3; -2)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Vectơ $-\vec{a}$ có toạ độ $(3; 2)$.

b)$|\vec{a}|^2 = 5$.

c)Hai vectơ có cùng độ dài thì luôn bằng nhau.

d)Vectơ $\vec{a} = (-3; -2)$ có $|\vec{a}|^2 = 13$.

7. Hoành độ trọng tâm tam giác ABCTrả lời ngắn`centroid_x_triangle_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 19.Cho ba điểm $A(-3; 1)$, $B(1; 6)$ và $C(7; -8)$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Tính hoành độ của $G$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Tam giác ABC trên Oxy

Câu 20.Cho ba điểm $A(-7; 2)$, $B(-3; -8)$ và $C(-7; -4)$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Tính hoành độ của $G$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Tam giác ABC trên Oxy

Câu 21.Cho ba điểm $A(2; 8)$, $B(7; -3)$ và $C(-6; 5)$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Tính hoành độ của $G$.

Tam giác ABC trên Oxy

8. Hoành độ trung điểm của đoạn $AB$Trả lời ngắn`midpoint_x_two_points_sa`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 22.Cho hai điểm $A(4; -5)$ và $B(4; -1)$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Gọi $M$ là trung điểm đoạn $AB$. Tính hoành độ của $M$.

A(4;-5), B(4;-1)

Câu 23.Cho hai điểm $A(8; 3)$ và $B(2; 2)$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Gọi $M$ là trung điểm đoạn $AB$. Tính hoành độ của $M$.

A(8;3), B(2;2)

Câu 24.Cho hai điểm $A(4; 1)$ và $B(-3; -1)$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Gọi $M$ là trung điểm đoạn $AB$. Tính hoành độ của $M$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

A(4;1), B(-3;-1)

9. Hoành độ của $\overrightarrow{AB}$Trả lời ngắn`vector_AB_x_component`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Cho hai điểm $A(-4; 2)$ và $B(-7; -7)$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Tính hoành độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Hai điểm A(-4;2) và B(-7;-7) trên Oxy

Câu 26.Cho hai điểm $A(7; 7)$ và $B(1; -5)$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Tính hoành độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Hai điểm A(7;7) và B(1;-5) trên Oxy

Câu 27.Cho hai điểm $A(1; -6)$ và $B(7; -1)$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Tính hoành độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Hai điểm A(1;-6) và B(7;-1) trên Oxy

10. Cho 2 điểm A, B, tính độ dài $|\overrightarrow{AB}|$ qua tọa độTrả lời ngắn`vector_length_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Cho hai điểm $A(2; -5)$ và $B(7; -17)$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$ (cũng là độ dài vectơ $|\overrightarrow{AB}|$).

Hai điểm A(2;-5) và B(7;-17)

Câu 29.Cho hai điểm $A(1; 4)$ và $B(-4; -8)$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$ (cũng là độ dài vectơ $|\overrightarrow{AB}|$).

Hai điểm A(1;4) và B(-4;-8)

Câu 30.Cho hai điểm $A(3; -4)$ và $B(10; -28)$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$ (cũng là độ dài vectơ $|\overrightarrow{AB}|$).

Hai điểm A(3;-4) và B(10;-28)

Công thức

§1. Định nghĩa(3)

§2. Tính chất(1)

§3. Công thức(2)

Bài tập

1. Cho A, B, tính trung điểm M của đoạn ABTrắc nghiệmmidpoint_of_segment(3 câu)

2. Vận dụng cao: tìm $M$ trên trục $Ox$ để $MA + MB$ nhỏ nhất (kỹ thuật đối xứng)Trắc nghiệmmin_sum_distance_point_on_axis(3 câu)

3. Quan sát hai điểm A, B trên Oxy, tính toạ độ vectơ ABTrắc nghiệmvector_from_figure(3 câu)

4. Tính toạ độ $\vec{AB}$ với $A(x_A, y_A), B(x_B, y_B)$Trắc nghiệmvector_from_two_points(3 câu)

5. Cho hai điểm cụ thể $A, B$ trong $Oxy$ — xét toạ độ vectơ $\vec{AB}$ và trung điểmĐúng / Saicoord_basic_facts(3 câu)

6. Cho vectơ $\vec a$ cụ thể — xét độ dài, tính chấtĐúng / Saicoord_basic_facts2(3 câu)

7. Hoành độ trọng tâm tam giác ABCTrả lời ngắncentroid_x_triangle_sa(3 câu)

8. Hoành độ trung điểm của đoạn $AB$Trả lời ngắnmidpoint_x_two_points_sa(3 câu)

9. Hoành độ của $\overrightarrow{AB}$Trả lời ngắnvector_AB_x_component(3 câu)

10. Cho 2 điểm A, B, tính độ dài $|\overrightarrow{AB}|$ qua tọa độTrả lời ngắnvector_length_sa(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Cho A, B, tính trung điểm M của đoạn ABTrắc nghiệm`midpoint_of_segment`(3 câu)

2. Vận dụng cao: tìm $M$ trên trục $Ox$ để $MA + MB$ nhỏ nhất (kỹ thuật đối xứng)Trắc nghiệm`min_sum_distance_point_on_axis`(3 câu)

3. Quan sát hai điểm A, B trên Oxy, tính toạ độ vectơ ABTrắc nghiệm`vector_from_figure`(3 câu)

4. Tính toạ độ $\vec{AB}$ với $A(x_A, y_A), B(x_B, y_B)$Trắc nghiệm`vector_from_two_points`(3 câu)

5. Cho hai điểm cụ thể $A, B$ trong $Oxy$ — xét toạ độ vectơ $\vec{AB}$ và trung điểmĐúng / Sai`coord_basic_facts`(3 câu)

6. Cho vectơ $\vec a$ cụ thể — xét độ dài, tính chấtĐúng / Sai`coord_basic_facts2`(3 câu)

7. Hoành độ trọng tâm tam giác ABCTrả lời ngắn`centroid_x_triangle_sa`(3 câu)

8. Hoành độ trung điểm của đoạn $AB$Trả lời ngắn`midpoint_x_two_points_sa`(3 câu)

9. Hoành độ của $\overrightarrow{AB}$Trả lời ngắn`vector_AB_x_component`(3 câu)

10. Cho 2 điểm A, B, tính độ dài $|\overrightarrow{AB}|$ qua tọa độTrả lời ngắn`vector_length_sa`(3 câu)