Khái niệm vectơ

Công thức

§1. Định nghĩa(5)

1.1

Vectơ — định nghĩa

Vectơ là đoạn thẳng có hướng. Vectơ $\vec{AB}$ có:

Điểm gốc $A$, điểm ngọn $B$.
Hướng từ $A$ đến $B$.
Độ dài (môđun) $|\vec{AB}| = AB$.

Vectơ còn ký hiệu $\vec{a}, \vec{b}, \vec{u}, \dots$

1.2

Hai vectơ bằng nhau

$\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow$: 1. $\vec{a}, \vec{b}$ cùng hướng. 2. $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

1.3

Vectơ đối

Vectơ đối của $\vec{a}$ là vectơ $-\vec{a}$ thoả: 1. Ngược hướng với $\vec{a}$. 2. $|-\vec{a}| = |\vec{a}|$. $\vec{AB} = -\vec{BA}$ — đảo điểm gốc ↔ ngọn.

1.4

Hai vectơ cùng phương / cùng hướng / ngược hướng

2 vectơ cùng phương nếu giá (đường thẳng chứa vectơ) song song hoặc trùng nhau.
2 vectơ cùng phương → hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng.
$\vec{a} \parallel \vec{b}$ ký hiệu chỉ cùng phương.

1.5

Vectơ-không $\vec{0}$

Vectơ-không $\vec{0}$ là vectơ có điểm gốc trùng điểm ngọn: $$\vec{AA} = \vec{0}, \quad |\vec{0}| = 0.$$ Vectơ-không cùng phương + cùng hướng với mọi vectơ.

§2. Tính chất(1)

2.1

Tính chất cơ bản

Với bất kỳ điểm $A$ và vectơ $\vec{a}$, luôn tồn tại duy nhất điểm $B$ sao cho $\vec{AB} = \vec{a}$.
$A, B, C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương.
$ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \vec{AB} = \vec{DC}$.

Bài tập

1. Đếm số cặp vectơ bằng nhau trong một cấu hình điểm (VẬN DỤNG CAO)Trắc nghiệm`count_equal_vector_pairs`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 1.Cho tam giác $ABC$ với $M, N, P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC, CA, AB$ (gồm 6 điểm). Hỏi có bao nhiêu CẶP vectơ bằng nhau (khác $\vec 0$) mà điểm đầu và điểm cuối được lấy trong các điểm đã cho? (Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài; mỗi cặp không phân biệt thứ tự.)

A.$36$

B.$18$

C.$12$

D.$6$

Câu 2.Cho tam giác $ABC$ với $M, N, P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC, CA, AB$ (gồm 6 điểm). Hỏi có bao nhiêu CẶP vectơ bằng nhau (khác $\vec 0$) mà điểm đầu và điểm cuối được lấy trong các điểm đã cho? (Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài; mỗi cặp không phân biệt thứ tự.)

A.$6$

B.$36$

C.$12$

D.$18$

Câu 3.Cho lục giác đều $ABCDEF$ (chỉ lấy 6 đỉnh, KHÔNG lấy tâm). Hỏi có bao nhiêu CẶP vectơ bằng nhau (khác $\vec 0$) mà điểm đầu và điểm cuối được lấy trong các điểm đã cho? (Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài; mỗi cặp không phân biệt thứ tự.)

A.$6$

B.$36$

C.$12$

D.$24$

2. Phân tích vectơ theo 2 cạnh hình bình hành / 2 vectơ không cùng phương (VẬN DỤNG)Trắc nghiệm`decompose_parallelogram_intro`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$. Đặt $\vec a = \overrightarrow{AB}$, $\vec b = \overrightarrow{AD}$. Hãy phân tích $\overrightarrow{BO}$ theo $\vec a$ và $\vec b$.

A.$\dfrac{1}{2}\vec a - \dfrac{1}{2}\vec b$

B.$\dfrac{1}{2}\vec a + \dfrac{1}{2}\vec b$

C.$- \dfrac{1}{2}\vec a + \dfrac{1}{2}\vec b$

D.$- \dfrac{1}{2}\vec a - \dfrac{1}{2}\vec b$

Câu 5.Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$. Đặt $\vec a = \overrightarrow{AB}$, $\vec b = \overrightarrow{AD}$. Hãy phân tích $\overrightarrow{BD}$ theo $\vec a$ và $\vec b$.

A.$-\vec a -\vec b$

B.$\vec a -\vec b$

C.$-\vec a + \vec b$

D.$\vec a + \vec b$

Câu 6.Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$. Đặt $\vec a = \overrightarrow{AB}$, $\vec b = \overrightarrow{AD}$. Hãy phân tích $\overrightarrow{BD}$ theo $\vec a$ và $\vec b$.

A.$\vec a + \vec b$

B.$\vec a -\vec b$

C.$-\vec a -\vec b$

D.$-\vec a + \vec b$

3. Chọn phát biểu SAI về khái niệm vectơTrắc nghiệm`recognize_false_vector_concept`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 7.Chọn phát biểu SAI về khái niệm vectơ:

A.Vectơ là đoạn thẳng có hướng.

B.Mọi vectơ đều có vectơ đối.

C.Hai vectơ đối nhau cùng hướng và cùng độ dài.

D.Vectơ không có hướng tùy ý.

Câu 8.Chọn phát biểu SAI về khái niệm vectơ:

A.Hai vectơ bằng nhau thì cùng phương.

B.Vectơ là đoạn thẳng có hướng.

C.Vectơ không có hướng tùy ý.

D.Hai vectơ đối nhau cùng hướng và cùng độ dài.

Câu 9.Chọn phát biểu SAI về khái niệm vectơ:

A.Mọi vectơ đều có vectơ đối.

B.Vectơ không có hướng tùy ý.

C.Hai vectơ bằng nhau thì cùng phương.

D.Hai vectơ cùng độ dài thì luôn bằng nhau.

4. Chọn phát biểu đúng về khái niệm vectơTrắc nghiệm`recognize_vector_concept`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Chọn phát biểu ĐÚNG về khái niệm vectơ:

A.Vectơ là một số thực.

B.Hai vectơ đối nhau khi cùng hướng và cùng độ dài.

C.Hai vectơ luôn cùng phương.

D.Vectơ là đoạn thẳng có hướng.

Câu 11.Chọn phát biểu ĐÚNG về khái niệm vectơ:

A.Hai vectơ bằng nhau khi có cùng hướng và cùng độ dài.

B.Vectơ là một số thực.

C.Hai vectơ đối nhau khi cùng hướng và cùng độ dài.

D.Hai vectơ luôn cùng phương.

Câu 12.Chọn phát biểu ĐÚNG về khái niệm vectơ:

A.Vectơ không có độ dài bằng 0 và có hướng tùy ý.

B.Hai vectơ luôn cùng phương.

C.Vectơ là một số thực.

D.Hai vectơ đối nhau khi cùng hướng và cùng độ dài.

5. Cộng/trừ vectơ cơ bản qua quy tắc 3 điểm và vectơ đối (THÔNG HIỂU)Trắc nghiệm`vector_basic_combination_intro`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Rút gọn biểu thức vectơ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$.

A.$\overrightarrow{DA}$

B.$\overrightarrow{AC}$

C.$\overrightarrow{AB}$

D.$\overrightarrow{AD}$

Câu 14.Rút gọn biểu thức vectơ $\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{PN}$.

A.$\overrightarrow{MN}$

B.$\overrightarrow{MP}$

C.$\overrightarrow{NM}$

D.$\overrightarrow{PM}$

Câu 15.Rút gọn biểu thức vectơ $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$.

A.$\overrightarrow{BC}$

B.$\overrightarrow{AC}$

C.$\overrightarrow{AB}$

D.$\overrightarrow{CB}$

6. Độ dài vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuốiTrắc nghiệm`vector_magnitude_concept`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 16.Cho $A(1; 1)$, $B(4; 5)$. Tính $|\overrightarrow{AB}|$.

A.$6$

B.$4$

C.$10$

D.$5$

Câu 17.Cho $A(0; 0)$, $B(5; 12)$. Tính $|\overrightarrow{AB}|$.

A.$26$

B.$12$

C.$14$

D.$13$

Câu 18.Cho $A(0; 0)$, $B(3; 4)$. Tính $|\overrightarrow{AB}|$.

A.$6$

B.$4$

C.$10$

D.$5$

7. Vectơ-không có điểm đầu trùng điểm cuối, độ dài bằng 0Trắc nghiệm`zero_vector_concept`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 19.Vectơ-không có độ dài bằng?

A.$0$

B.$\vec{0}$

C.$1$

D.vectơ đơn vị

Câu 20.Vectơ $\overrightarrow{AA}$ là?

A.$0$

B.$1$

C.$\vec{0}$

D.vectơ đơn vị

Câu 21.Vectơ-không có độ dài bằng?

A.$0$

B.vectơ đơn vị

C.$1$

D.$\vec{0}$

8. Cho tam giác $ABC$ với $M$ trung điểm $BC$ — xét vectơĐúng / Sai`vector_intro_examples`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 22.Cho tam giác $\triangle DEF$, $M$ là trung điểm $BC$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Vectơ-không cùng phương với mọi vectơ.

b)$\overrightarrow{DE}$ và $\overrightarrow{ED}$ là hai vectơ bằng nhau.

c)$|\overrightarrow{EM}| = |\overrightarrow{MF}|$.

d)$\overrightarrow{ME} + \overrightarrow{MF} = \vec{0}$.

Câu 23.Cho tam giác $\triangle DEF$, $M$ là trung điểm $BC$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\overrightarrow{DE}$ và $\overrightarrow{ED}$ là hai vectơ bằng nhau.

b)$|\overrightarrow{EM}| = |\overrightarrow{MF}|$.

c)$\overrightarrow{ME} + \overrightarrow{MF} = \vec{0}$.

d)$\overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MF}$.

Câu 24.Cho tam giác $\triangle ABC$, $M$ là trung điểm $BC$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ là hai vectơ bằng nhau.

b)$|\overrightarrow{BM}| = |\overrightarrow{MC}|$.

c)$\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}$.

d)$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MC}$.

9. Cho hình bình hành cụ thể — xét quan hệ phương, hướng, bằng nhauĐúng / Sai`vector_intro_facts`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 25.Cho hình bình hành $MNPQ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai vectơ cùng phương thì luôn cùng hướng.

b)$\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PQ}$ cùng phương.

c)$\overrightarrow{MM} = \vec{0}$.

d)$\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{QP}$ là hai vectơ bằng nhau.

Câu 26.Cho hình bình hành $ABCD$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.

b)Hai vectơ cùng phương thì luôn cùng hướng.

c)$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ có cùng độ dài.

d)$\overrightarrow{AA} = \vec{0}$.

Câu 27.Cho hình bình hành $MNPQ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{NM}$ có cùng độ dài.

b)$\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PQ}$ cùng phương.

c)$\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{NM}$ là hai vectơ đối nhau.

d)$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{PQ}$.

10. Quan hệ giữa 2 vectơ — đáp án 1 (Đối nhau) / 2 (Bằng nhau) / 3 (Cùng phương)Trả lời ngắn`vector_relationship`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 28.Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ có quan hệ gì? (Trả lời $1$ Đối nhau, $2$ Bằng nhau, $3$ Cùng phương.)

Câu 29.Hai vectơ trên hai đường thẳng song song có quan hệ gì? (Trả lời $1$ Đối nhau, $2$ Bằng nhau, $3$ Cùng phương.)

Câu 30.Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AB}$ có quan hệ gì? (Trả lời $1$ Đối nhau, $2$ Bằng nhau, $3$ Cùng phương.)

11. Câu hỏi vectơ không — đáp án là số 0Trả lời ngắn`zero_vector_property`(1 câu)

Mẫu 1Nhận biết(1 câu)

Câu 31.Độ dài của vectơ không $\vec{0}$ bằng bao nhiêu?

Công thức

§1. Định nghĩa(5)

§2. Tính chất(1)

Bài tập

1. Đếm số cặp vectơ bằng nhau trong một cấu hình điểm (VẬN DỤNG CAO)Trắc nghiệmcount_equal_vector_pairs(3 câu)

2. Phân tích vectơ theo 2 cạnh hình bình hành / 2 vectơ không cùng phương (VẬN DỤNG)Trắc nghiệmdecompose_parallelogram_intro(3 câu)

3. Chọn phát biểu SAI về khái niệm vectơTrắc nghiệmrecognize_false_vector_concept(3 câu)

4. Chọn phát biểu đúng về khái niệm vectơTrắc nghiệmrecognize_vector_concept(3 câu)

5. Cộng/trừ vectơ cơ bản qua quy tắc 3 điểm và vectơ đối (THÔNG HIỂU)Trắc nghiệmvector_basic_combination_intro(3 câu)

6. Độ dài vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuốiTrắc nghiệmvector_magnitude_concept(3 câu)

7. Vectơ-không có điểm đầu trùng điểm cuối, độ dài bằng 0Trắc nghiệmzero_vector_concept(3 câu)

8. Cho tam giác $ABC$ với $M$ trung điểm $BC$ — xét vectơĐúng / Saivector_intro_examples(3 câu)

9. Cho hình bình hành cụ thể — xét quan hệ phương, hướng, bằng nhauĐúng / Saivector_intro_facts(3 câu)

10. Quan hệ giữa 2 vectơ — đáp án 1 (Đối nhau) / 2 (Bằng nhau) / 3 (Cùng phương)Trả lời ngắnvector_relationship(3 câu)

11. Câu hỏi vectơ không — đáp án là số 0Trả lời ngắnzero_vector_property(1 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Đếm số cặp vectơ bằng nhau trong một cấu hình điểm (VẬN DỤNG CAO)Trắc nghiệm`count_equal_vector_pairs`(3 câu)

2. Phân tích vectơ theo 2 cạnh hình bình hành / 2 vectơ không cùng phương (VẬN DỤNG)Trắc nghiệm`decompose_parallelogram_intro`(3 câu)

3. Chọn phát biểu SAI về khái niệm vectơTrắc nghiệm`recognize_false_vector_concept`(3 câu)

4. Chọn phát biểu đúng về khái niệm vectơTrắc nghiệm`recognize_vector_concept`(3 câu)

5. Cộng/trừ vectơ cơ bản qua quy tắc 3 điểm và vectơ đối (THÔNG HIỂU)Trắc nghiệm`vector_basic_combination_intro`(3 câu)

6. Độ dài vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuốiTrắc nghiệm`vector_magnitude_concept`(3 câu)

7. Vectơ-không có điểm đầu trùng điểm cuối, độ dài bằng 0Trắc nghiệm`zero_vector_concept`(3 câu)

8. Cho tam giác $ABC$ với $M$ trung điểm $BC$ — xét vectơĐúng / Sai`vector_intro_examples`(3 câu)

9. Cho hình bình hành cụ thể — xét quan hệ phương, hướng, bằng nhauĐúng / Sai`vector_intro_facts`(3 câu)

10. Quan hệ giữa 2 vectơ — đáp án 1 (Đối nhau) / 2 (Bằng nhau) / 3 (Cùng phương)Trả lời ngắn`vector_relationship`(3 câu)

11. Câu hỏi vectơ không — đáp án là số 0Trả lời ngắn`zero_vector_property`(1 câu)