Đề Thi Toán Math
Đề Thi Toán Math
Lớp 10 · Vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ

30 câu hỏi

Câu hỏi & PDF học miễn phí — mở khoá để xem đáp án & lời giải chi tiết của chủ đề này.

Đáp án & lời giải
30 câu · đã gồm VAT
Các câu hỏi mới + dạng mới sẽ thường xuyên được cập nhật vào chủ đề. Lưu trang để xem câu mới mỗi ngày.

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Tích vô hướng

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b}).$$ Quy ước: nếu $\vec{a}$ hoặc $\vec{b}$ = $\vec{0}$ thì $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. $\vec{a} \cdot \vec{b}$ là số thực (không phải vectơ).

§2. Tính chất(1)

2.1

Tính chất tích vô hướng

  • Giao hoán: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.
  • Phân phối: $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$.
  • $(k \vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
  • $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = x^2 + y^2 \geq 0$.
  • Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.

§3. Công thức(4)

3.1

Góc giữa 2 vectơ

$$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}.$$ Góc 2 vectơ $\in [0°; 180°]$.
3.2

Tích vô hướng qua toạ độ

Cho $\vec{a} = (x_1; y_1), \vec{b} = (x_2; y_2)$: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2.$$
3.3

Điều kiện 2 vectơ vuông góc

$$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0.$$ Qua toạ độ: $x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$.
3.4

Hệ thức bình phương vô hướng

$$(\vec{a} + \vec{b})^2 = \vec{a}^2 + 2 \vec{a} \vec{b} + \vec{b}^2.$$ $$(\vec{a} - \vec{b})^2 = \vec{a}^2 - 2 \vec{a} \vec{b} + \vec{b}^2.$$ $$\vec{a}^2 - \vec{b}^2 = (\vec{a} - \vec{b})(\vec{a} + \vec{b}).$$ → Tương tự đại số nhưng dùng bình phương vô hướng = bình phương độ dài.

§4. Phương pháp(1)

4.1

Tính tích vô hướng bằng hình chiếu

$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AH,$$ với $H$ là hình chiếu của $C$ lên đường thẳng $AB$ (dấu + nếu $H$ về phía $B$ so với $A$, dấu - nếu ngược lại). Hữu ích để tính các bài toán hình học phẳng có hình chiếu.

§5. Mẹo(1)

5.1

Mẹo: dùng bình phương vô hướng tính khoảng cách

$AB^2 = |\vec{AB}|^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB}$. Khi biểu diễn $\vec{AB}$ qua các vectơ khác: $\vec{AB} = \vec{a} - \vec{b} \Rightarrow AB^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a}\vec{b} + |\vec{b}|^2$. → Tránh tính từng toạ độ riêng → nhanh hơn.

Bài tập

1. Tính góc giữa hai vectơ qua tích vô hướng (VẬN DỤNG)Trắc nghiệmangle_between_vectors(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 1.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $\vec a = (2; 0)$ và $\vec b = (1; 1)$. Tính góc giữa hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$.

A.$30^\circ$
B.$45^\circ$
C.$135^\circ$
D.$60^\circ$

Câu 2.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $\vec a = (1; 1)$ và $\vec b = (-1; -1)$. Tính góc giữa hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$.

A.$165^\circ$
B.$180^\circ$
C.$0^\circ$
D.$90^\circ$

Câu 3.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $\vec a = (1; 0)$ và $\vec b = (1; 1)$. Tính góc giữa hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$.

A.$60^\circ$
B.$45^\circ$
C.$30^\circ$
D.$135^\circ$

2. Quan sát hai vectơ trên hình + góc giữa, tính tích vô hướngTrắc nghiệmdot_product_from_figure(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Quan sát hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trên hình vẽ. Tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

xyO-6-5-4-3-2-112-1123456ab
Hai vectơ a=(-5;1) và b=(1;5) trên hệ trục toạ độ Oxy
A.$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$
B.$\vec{a} \cdot \vec{b} = -24$
C.$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
D.$\vec{a} \cdot \vec{b} = -10$

Câu 5.Quan sát hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trên hình vẽ. Tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

xyO-1-0,50,511,522,53-1123456ab
Hai vectơ a=(2;2) và b=(1;5) trên hệ trục toạ độ Oxy
A.$\vec{a} \cdot \vec{b} = -12$
B.$\vec{a} \cdot \vec{b} = 13$
C.$\vec{a} \cdot \vec{b} = 12$
D.$\vec{a} \cdot \vec{b} = -8$

Câu 6.Quan sát hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trên hình vẽ. Tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

xyO-112345-1123456ab
Hai vectơ a=(4;1) và b=(1;5) trên hệ trục toạ độ Oxy
A.$\vec{a} \cdot \vec{b} = 21$
B.$\vec{a} \cdot \vec{b} = -9$
C.$\vec{a} \cdot \vec{b} = 9$
D.$\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$

3. Vận dụng cao: tính $\vec{AM}\cdot\vec{BC}$ trong tam giác vuông tại $A$, $M$ chia $BC$ theo tỉ số $BM/MC = k$Trắc nghiệmdot_product_via_decomposition_right_triangle(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 7.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 4$, $AC = 3$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $M$ sao cho $BM = 2\,MC$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}$.

ABCMc = 4b = 321
Tam giác vuông tại A, AB = 4, AC = 3, M trên BC chia tỉ số BM:MC = 2:1.
A.$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC} = \dfrac{2}{3}$
B.$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC} = \dfrac{23}{3}$
C.$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC} = \dfrac{34}{3}$
D.$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC} = - \dfrac{7}{3}$

Câu 8.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 2$, $AC = 4$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $M$ sao cho $M là trung điểm của BC$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}$.

ABCMc = 2b = 411
Tam giác vuông tại A, AB = 2, AC = 4, M trên BC chia tỉ số BM:MC = 1:1.
A.$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC} = 6$
B.$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC} = 10$
C.$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC} = -6$
D.$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC} = 12$

Câu 9.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3$, $AC = 5$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $M$ sao cho $BM = 2\,MC$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}$.

ABCMc = 3b = 521
Tam giác vuông tại A, AB = 3, AC = 5, M trên BC chia tỉ số BM:MC = 2:1.
A.$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC} = \dfrac{16}{3}$
B.$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC} = - \dfrac{7}{3}$
C.$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC} = \dfrac{59}{3}$
D.$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC} = \dfrac{41}{3}$

4. Tìm tham số $m$ để hai vectơ vuông góc (VẬN DỤNG)Trắc nghiệmperpendicular_find_parameter(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $\vec a = (-5; 1)$ và $\vec b = (5; m)$. Tìm $m$ để $\vec a \perp \vec b$.

A.$m = -25$
B.$m = 24$
C.$m = 26$
D.$m = 25$

Câu 11.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $\vec a = (6; 5)$ và $\vec b = (-5; m)$. Tìm $m$ để $\vec a \perp \vec b$.

A.$m = -6$
B.$m = 7$
C.$m = 5$
D.$m = 6$

Câu 12.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $\vec a = (-1; -3)$ và $\vec b = (-3; m)$. Tìm $m$ để $\vec a \perp \vec b$.

A.$m = 1$
B.$m = -1$
C.$m = 2$
D.$m = 0$

5. Tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$ trong mặt phẳng toạ độTrắc nghiệmvector_dot_product_2d(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho $\vec{a} = (-3; -2)$ và $\vec{b} = (-6; 5)$. Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

A.$\vec{a} \cdot \vec{b} = -6$
B.$\vec{a} \cdot \vec{b} = 8$
C.$\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$
D.$\vec{a} \cdot \vec{b} = 28$

Câu 14.Cho $\vec{a} = (-1; 7)$ và $\vec{b} = (-4; -4)$. Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

A.$\vec{a} \cdot \vec{b} = 32$
B.$\vec{a} \cdot \vec{b} = -23$
C.$\vec{a} \cdot \vec{b} = -24$
D.$\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$

Câu 15.Cho $\vec{a} = (5; -7)$ và $\vec{b} = (5; -1)$. Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

xyO-1123456-8-7-6-5-4-3-2-11ab
Hai vectơ a=(5;-7) và b=(5;-1) trên hệ trục toạ độ Oxy
A.$\vec{a} \cdot \vec{b} = 18$
B.$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$
C.$\vec{a} \cdot \vec{b} = -40$
D.$\vec{a} \cdot \vec{b} = 32$

6. Tính độ dài (mô-đun) của vectơ $\vec{a} = (a_1; a_2)$Trắc nghiệmvector_magnitude_2d(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho $\vec{a} = (8; -15)$. Tính $|\vec{a}|$.

A.$|\vec{a}| = -120$
B.$|\vec{a}| = \sqrt{23}$
C.$|\vec{a}| = 17$
D.$|\vec{a}| = 23$

Câu 17.Cho $\vec{a} = (5; 12)$. Tính $|\vec{a}|$.

A.$|\vec{a}| = 17$
B.$|\vec{a}| = 60$
C.$|\vec{a}| = 13$
D.$|\vec{a}| = \sqrt{17}$

Câu 18.Cho $\vec{a} = (8; -15)$. Tính $|\vec{a}|$.

A.$|\vec{a}| = 23$
B.$|\vec{a}| = \sqrt{23}$
C.$|\vec{a}| = -120$
D.$|\vec{a}| = 17$

7. Cho 2 vectơ tạo góc đặc biệt — xét vuông góc / nhọn / tùĐúng / Saidot_facts2(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho hai vectơ $\vec{u} = (1; 2)$ và $\vec{v} = (4; -2)$ trong mặt phẳng $Oxy$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
b)Góc giữa $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là góc tù.
c)Góc giữa $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là góc nhọn.
d)$|\vec{u}|^2 = 5$.

Câu 20.Cho hai vectơ $\vec{u} = (1; 0)$ và $\vec{v} = (0; 4)$ trong mặt phẳng $Oxy$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tích vô hướng có thể nhận giá trị âm.
b)Góc giữa $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là góc nhọn.
c)$\vec{u} \perp \vec{v}$.
d)$|\vec{u}|^2 = 1$.

Câu 21.Cho hai vectơ $\vec{u} = (1; 0)$ và $\vec{v} = (0; 4)$ trong mặt phẳng $Oxy$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\vec{u} \perp \vec{v}$.
b)$|\vec{u}|^2 = 1$.
c)Góc giữa $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là góc nhọn.
d)Tích vô hướng có thể nhận giá trị âm.

8. Cho 2 vectơ cụ thể trong $Oxy$ — tính tích vô hướng, kiểm tra vuông gócĐúng / Saidot_product_facts(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho hai vectơ $\vec{u} = (-1; -3)$ và $\vec{v} = (2; 2)$ trong mặt phẳng $Oxy$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tích vô hướng của hai vectơ là một vectơ.
b)$\vec{u} \cdot \vec{v} = -8$.
c)$\vec{v} \cdot \vec{u} = -8$.
d)$\vec{u} \cdot \vec{v} \geq 0$.

Câu 23.Cho hai vectơ $\vec{u} = (-4; -1)$ và $\vec{v} = (-4; -2)$ trong mặt phẳng $Oxy$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2 = 17$.
b)$\vec{v} \cdot \vec{u} = 18$.
c)Tích vô hướng của hai vectơ là một vectơ.
d)$\vec{u} \cdot \vec{v} = 18$.

Câu 24.Cho hai vectơ $\vec{u} = (2; -2)$ và $\vec{v} = (-1; -2)$ trong mặt phẳng $Oxy$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\vec{u} \cdot \vec{v} = -6$.
b)$\vec{v} \cdot \vec{u} = 2$.
c)Tích vô hướng của hai vectơ là một vectơ.
d)$\vec{u} \cdot \vec{v} \geq 0$.

9. Cho 2 vectơ trong tọa độ, tính tích vô hướngTrả lời ngắndot_product_compute(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Cho hai vectơ $\vec{a} = (-2; 1)$ và $\vec{b} = (5; -5)$. Tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

a(-2; 1)b(5; -5)
Hai vectơ a=(-2;1) và b=(5;-5)

Câu 26.Cho hai vectơ $\vec{a} = (-2; -1)$ và $\vec{b} = (2; -1)$. Tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

a(-2; -1)b(2; -1)
Hai vectơ a=(-2;-1) và b=(2;-1)

Câu 27.Cho hai vectơ $\vec{a} = (4; -4)$ và $\vec{b} = (-3; 1)$. Tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

a(4; -4)b(-3; 1)
Hai vectơ a=(4;-4) và b=(-3;1)

10. $\vec{a} \cdot \vec{b} = |a||b| \cos\theta$ — biết độ dài và gócTrả lời ngắndot_product_via_angle_sa(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có độ dài $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 6$ và góc giữa hai vectơ là $\theta = 120^\circ$. Tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

|a|=4|b|=6120°
Hai vectơ a, b với góc giữa = 120°

Câu 29.Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có độ dài $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 4$ và góc giữa hai vectơ là $\theta = 60^\circ$. Tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

|a|=3|b|=460°
Hai vectơ a, b với góc giữa = 60°

Câu 30.Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có độ dài $|\vec{a}| = 6$, $|\vec{b}| = 8$ và góc giữa hai vectơ là $\theta = 45^\circ$. Tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

|a|=6|b|=845°
Hai vectơ a, b với góc giữa = 45°
Đáp án & lời giải

Mở đáp án & Lời giải

Mở toàn bộ đáp án + lời giải chi tiết của chủ đề "Tích vô hướng của hai vectơ".

Mở đáp án chủ đề này

Chỉ mở đáp án + lời giải của riêng chủ đề này.

49.000 đ
đã gồm VAT
Mở đáp án cả chương

Mở đáp án & lời giải cho tất cả 6 chủ đề trong chương — gồm cả chủ đề cập nhật thêm sau.

294.000đ
199.000 đ
đã gồm VAT
Xem & mở khoá cả chương

Cần đăng nhập để mua.

Câu hỏi + PDF câu hỏi xem/tải miễn phí; chỉ đáp án & lời giải mở sau khi mua.

← Về danh sách chủ đề