Tích vectơ với một số

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Cho $k \in \mathbb{R}$ và $\vec{a}$. Tích $k \vec{a}$ là vectơ:

Cùng hướng $\vec{a}$ nếu $k > 0$; ngược hướng nếu $k < 0$; bằng $\vec{0}$ nếu $k = 0$ hoặc $\vec{a} = \vec{0}$.
$|k \vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.

§2. Tính chất(1)

2.1

Tính chất phép nhân vectơ với số

Cho $k, l \in \mathbb{R}$ và $\vec{a}, \vec{b}$:

$k(l \vec{a}) = (kl) \vec{a}$.
$(k + l) \vec{a} = k \vec{a} + l \vec{a}$.
$k(\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b}$.
$1 \vec{a} = \vec{a}$, $(-1) \vec{a} = -\vec{a}$, $0 \vec{a} = \vec{0}$.

§3. Công thức(2)

3.1

Phân tích vectơ theo 2 vectơ không cùng phương

Cho 2 vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương. Với mọi $\vec{c}$ tồn tại duy nhất cặp số $(m, n)$ sao cho: $$\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}.$$ Cặp $(\vec{a}, \vec{b})$ gọi là cơ sở của mặt phẳng vectơ.

3.2

Điều kiện 2 vectơ cùng phương

$\vec{a}$ và $\vec{b}$ ($\vec{b} \neq \vec{0}$) cùng phương $\Leftrightarrow$ tồn tại $k$ sao cho $\vec{a} = k \vec{b}$. Hệ quả: $A, B, C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \vec{AB} = k \vec{AC}$ (với $k$ duy nhất).

§4. Phương pháp(2)

4.1

Phân tích vectơ theo 2 vectơ cơ sở

Cho $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương; phân tích $\vec{c}$ thành $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$: Bước 1. Dựng / xác định hình bình hành có 2 cạnh song song $\vec{a}, \vec{b}$ và đường chéo song song $\vec{c}$. Bước 2. Tính tỉ lệ cạnh / chiều dài → tìm $m, n$. Bước 3. Kết quả: $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$.

4.2

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Cách: chứng minh $\vec{AB} = k \vec{AC}$ với $k \in \mathbb{R}$. Bước 1. Phân tích $\vec{AB}, \vec{AC}$ theo 2 vectơ cơ sở (nếu có). Bước 2. Tính tỉ lệ giữa các hệ số → tìm $k$. Bước 3. Kết luận $\vec{AB} = k \vec{AC} \Rightarrow A, B, C$ thẳng hàng.

§5. Mẹo(1)

5.1

Mẹo: dùng tính duy nhất của phân tích

Khi 2 vế đẳng thức cùng phân tích theo $(\vec{a}, \vec{b})$ không cùng phương: $m_1 \vec{a} + n_1 \vec{b} = m_2 \vec{a} + n_2 \vec{b} \Leftrightarrow m_1 = m_2 \text{ và } n_1 = n_2$. → Phương pháp đồng nhất hệ số — đưa bài vectơ về hệ phương trình đại số.

Bài tập

1. Vận dụng cao: tìm tham số $m$ để ba điểm thẳng hàng (dùng tích vectơ với một số)Trắc nghiệm`collinear_three_points_scalar_param`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 1.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho ba điểm $A(-5; 4)$, $B(-10; 8)$ và $C(-20; m)$. Tìm $m$ để ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.

A.$m = 20$

B.$m = 16$

C.$m = -8$

D.$m = -11$

Câu 2.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho ba điểm $A(1; -2)$, $B(4; -7)$ và $C(-8; m)$. Tìm $m$ để ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.

A.$m = -11$

B.$m = 13$

C.$m = 8$

D.$m = -17$

Câu 3.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho ba điểm $A(1; -1)$, $B(3; 0)$ và $C(5; m)$. Tìm $m$ để ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.

A.$m = -3$

B.$m = 2$

C.$m = 3$

D.$m = 1$

2. Cho $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương — phân tích $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$Trắc nghiệm`decompose_vector_two_basis`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho $\vec{a} = (1; 0)$, $\vec{b} = (1; 1)$ và $\vec{c} = (4; 4)$. Hãy phân tích $\vec{c}$ theo $\vec{a}$ và $\vec{b}$.

A.$\vec{c} = \vec{a} + 4\vec{b}$

B.$\vec{c} = 4\vec{a} + 4\vec{b}$

C.$\vec{c} = 4\vec{a} + 0\vec{b}$

D.$\vec{c} = 0\vec{a} + 4\vec{b}$

Câu 5.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho $\vec{a} = (1; 0)$, $\vec{b} = (1; 1)$ và $\vec{c} = (6; 4)$. Hãy phân tích $\vec{c}$ theo $\vec{a}$ và $\vec{b}$.

A.$\vec{c} = 6\vec{a} + 4\vec{b}$

B.$\vec{c} = 2\vec{a} + 4\vec{b}$

C.$\vec{c} = 4\vec{a} + 2\vec{b}$

D.$\vec{c} = -2\vec{a} + 4\vec{b}$

Câu 6.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho $\vec{a} = (1; 0)$, $\vec{b} = (1; 1)$ và $\vec{c} = (5; 1)$. Hãy phân tích $\vec{c}$ theo $\vec{a}$ và $\vec{b}$.

A.$\vec{c} = \vec{a} + 4\vec{b}$

B.$\vec{c} = -4\vec{a} + \vec{b}$

C.$\vec{c} = 4\vec{a} + \vec{b}$

D.$\vec{c} = 5\vec{a} + \vec{b}$

3. Cho $M$ là trung điểm $AB$Trắc nghiệm`midpoint_vector_relation`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Cho $M$ là trung điểm đoạn $AB$. Đẳng thức nào sau đây ĐÚNG?

A.$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0}$

B.$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AB}$

C.$\overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{BM}$

D.$\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB}$

Câu 8.Cho $M$ là trung điểm đoạn $AB$. Đẳng thức nào sau đây ĐÚNG?

A.$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0}$

B.$\overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{BM}$

C.$\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB}$

D.$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AB}$

Câu 9.Cho $M$ là trung điểm đoạn $AB$. Đẳng thức nào sau đây ĐÚNG?

A.$\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB}$

B.$\overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{BM}$

C.$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0}$

D.$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AB}$

4. Cho $\vec{u}$, hỏi $k\vec{u}$ có hướng/độ dài thế nàoTrắc nghiệm`scalar_mult_recognition`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Chọn phát biểu ĐÚNG về tích vectơ với một số:

A.$-\vec{u}$ và $\vec{u}$ có cùng hướng.

B.$2\vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$ và độ dài gấp đôi.

C.$2\vec{u}$ vuông góc với $\vec{u}$.

D.$-2\vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$.

Câu 11.Chọn phát biểu ĐÚNG về tích vectơ với một số:

A.$-\vec{u}$ và $\vec{u}$ có cùng hướng.

B.$-2\vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$.

C.$2\vec{u}$ vuông góc với $\vec{u}$.

D.$0 \cdot \vec{u} = \vec{0}$.

Câu 12.Chọn phát biểu ĐÚNG về tích vectơ với một số:

A.$3\vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$.

B.$-2\vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$.

C.$2\vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$ và độ dài gấp đôi.

D.$2\vec{u}$ vuông góc với $\vec{u}$.

5. Cho tam giác $ABC$ với $G$ trọng tâm — xét đẳng thức vectơĐúng / Sai`scalar_mult_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho tam giác $\triangle ABC$ với $G$ là trọng tâm. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$2\vec{u} - 3\vec{u} = \vec{u}$.

b)$3(\vec{u} - \vec{v}) = 3\vec{u} - 3\vec{v}$.

c)$\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$.

d)$\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3} \overrightarrow{AM}$ với $M$ trung điểm $BC$.

Câu 14.Cho tam giác $\triangle MNP$ với $G$ là trọng tâm. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$3(\vec{u} - \vec{v}) = 3\vec{u} - 3\vec{v}$.

b)Hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại $k$ sao cho $\vec{v} = k\vec{u}$ (với $\vec{u} \neq \vec{0}$).

c)$\overrightarrow{MG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MP})$.

d)$2\vec{u} - 3\vec{u} = \vec{u}$.

Câu 15.Cho tam giác $\triangle ABC$ với $G$ là trọng tâm. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại $k$ sao cho $\vec{v} = k\vec{u}$ (với $\vec{u} \neq \vec{0}$).

b)$\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3} \overrightarrow{AM}$ với $M$ trung điểm $BC$.

c)$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$.

d)$2\vec{u} - 3\vec{u} = \vec{u}$.

6. Cho vectơ $\vec u$ và số $k$ cụ thể — xét tính chất tích vô hướngĐúng / Sai`scalar_mult_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho $\vec{u} = (-3; 1)$ và số thực $k = -3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$k\vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$.

b)$|k\vec{u}|^2 = 90$.

c)$1 \cdot \vec{u} = \vec{u}$.

d)$k\vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$.

Câu 17.Cho $\vec{u} = (-4; -3)$ và số thực $k = -2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$0 \cdot \vec{u} = \vec{u}$.

b)$|k\vec{u}|^2 = 100$.

c)$1 \cdot \vec{u} = \vec{u}$.

d)$k\vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$.

Câu 18.Cho $\vec{u} = (1; -3)$ và số thực $k = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$0 \cdot \vec{u} = \vec{u}$.

b)$k\vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$.

c)$|k\vec{u}|^2 = 40$.

d)$(-1) \cdot \vec{u} = -\vec{u} = (-1; 3)$.

7. Cho $|\vec{u}| = a$, tính $|k\vec{u}|$Trả lời ngắn`length_of_scaled_vector`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 19.Cho $|\vec{u}| = 9$. Tính $|3\vec{u}|$.

Câu 20.Cho $|\vec{u}| = 7$. Tính $|4\vec{u}|$.

Câu 21.Cho $|\vec{u}| = 9$. Tính $|5\vec{u}|$.

8. $\overrightarrow{IM} = k(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB})$ với $M$ trung điểm $AB$ — đáp án $k = 0,5$Trả lời ngắn`midpoint_formula_coefficient`(1 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(1 câu)

Câu 22.Cho $M$ là trung điểm đoạn $AB$, $I$ là một điểm bất kì. $\overrightarrow{IM} = k(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB})$. Tìm $k$.

Tích vectơ với một số

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Tính chất(1)

§3. Công thức(2)

§4. Phương pháp(2)

§5. Mẹo(1)

Bài tập

1. Vận dụng cao: tìm tham số $m$ để ba điểm thẳng hàng (dùng tích vectơ với một số)Trắc nghiệmcollinear_three_points_scalar_param(3 câu)

2. Cho $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương — phân tích $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$Trắc nghiệmdecompose_vector_two_basis(3 câu)

3. Cho $M$ là trung điểm $AB$Trắc nghiệmmidpoint_vector_relation(3 câu)

4. Cho $\vec{u}$, hỏi $k\vec{u}$ có hướng/độ dài thế nàoTrắc nghiệmscalar_mult_recognition(3 câu)

5. Cho tam giác $ABC$ với $G$ trọng tâm — xét đẳng thức vectơĐúng / Saiscalar_mult_examples(3 câu)

6. Cho vectơ $\vec u$ và số $k$ cụ thể — xét tính chất tích vô hướngĐúng / Saiscalar_mult_facts(3 câu)

7. Cho $|\vec{u}| = a$, tính $|k\vec{u}|$Trả lời ngắnlength_of_scaled_vector(3 câu)

8. $\overrightarrow{IM} = k(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB})$ với $M$ trung điểm $AB$ — đáp án $k = 0,5$Trả lời ngắnmidpoint_formula_coefficient(1 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Vận dụng cao: tìm tham số $m$ để ba điểm thẳng hàng (dùng tích vectơ với một số)Trắc nghiệm`collinear_three_points_scalar_param`(3 câu)

2. Cho $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương — phân tích $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$Trắc nghiệm`decompose_vector_two_basis`(3 câu)

3. Cho $M$ là trung điểm $AB$Trắc nghiệm`midpoint_vector_relation`(3 câu)

4. Cho $\vec{u}$, hỏi $k\vec{u}$ có hướng/độ dài thế nàoTrắc nghiệm`scalar_mult_recognition`(3 câu)

5. Cho tam giác $ABC$ với $G$ trọng tâm — xét đẳng thức vectơĐúng / Sai`scalar_mult_examples`(3 câu)

6. Cho vectơ $\vec u$ và số $k$ cụ thể — xét tính chất tích vô hướngĐúng / Sai`scalar_mult_facts`(3 câu)

7. Cho $|\vec{u}| = a$, tính $|k\vec{u}|$Trả lời ngắn`length_of_scaled_vector`(3 câu)

8. $\overrightarrow{IM} = k(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB})$ với $M$ trung điểm $AB$ — đáp án $k = 0,5$Trả lời ngắn`midpoint_formula_coefficient`(1 câu)