Đạo hàm tại một điểm

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Đạo hàm tại 1 điểm

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$ và $x_0 \in (a;b)$. Đạo hàm của $f$ tại $x_0$: $$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.$$ (Khi giới hạn tồn tại hữu hạn.)

§2. Tính chất(3)

2.1

Liên hệ đạo hàm và liên tục

Nếu $f$ có đạo hàm tại $x_0$ thì $f$ liên tục tại $x_0$. Chiều ngược KHÔNG đúng: hàm liên tục có thể không có đạo hàm (vd $y = |x|$ liên tục tại 0 nhưng không có đạo hàm tại đó).

2.2

Ý nghĩa hình học của đạo hàm

$f'(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $y = f(x)$ tại điểm $M_0(x_0; f(x_0))$. Phương trình tiếp tuyến tại $M_0$: $$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0).$$

2.3

Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

Nếu $s = s(t)$ là phương trình chuyển động (quãng đường theo thời gian) thì:

$v(t) = s'(t)$: vận tốc tức thời tại thời điểm $t$.
$a(t) = v'(t) = s''(t)$: gia tốc tức thời.

Tổng quát: đạo hàm = tốc độ biến thiên tức thời của đại lượng theo biến.

§3. Phương pháp(1)

3.1

Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bước 1. Tính $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$. Bước 2. Lập tỉ số $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$, rút gọn. Bước 3. Tính giới hạn khi $\Delta x \to 0$: $f'(x_0) = \lim \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. Lưu ý: cách này chỉ dùng cho bài "theo định nghĩa"; thường dùng công thức đạo hàm để tính nhanh.

Bài tập

1. Tính $f'(x_0)$ với $f(x) = ax^2 + bx + c$Trắc nghiệm`derivative_quadratic_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Cho hàm số $f(x) = -5x^2 + 7x + 5$. Tính $f'(-7)$.

A.$f'(-7) = 77$

B.$f'(-7) = 42$

C.$f'(-7) = 47$

D.$f'(-7) = -289$

Câu 2.Cho hàm số $f(x) = -3x^2 - 2x + 6$. Tính $f'(7)$.

A.$f'(7) = -17$

B.$f'(7) = -155$

C.$f'(7) = -44$

D.$f'(7) = -23$

Câu 3.Cho hàm số $f(x) = -4x^2 + 8x + 9$. Tính $f'(-6)$.

A.$f'(-6) = -183$

B.$f'(-6) = 56$

C.$f'(-6) = 41$

D.$f'(-6) = 32$

2. Quan sát đồ thị parabol và tiếp tuyến tại 1 điểm cho trước, đọc hệ số góc tiếp tuyến từ hìnhTrắc nghiệm`read_tangent_slope_from_graph`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 4.Quan sát đồ thị hàm số $y = f(x)$ và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$ trong hình. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó bằng:

Đồ thị y=1x²+(-2)x+(-2) với tiếp tuyến tại x=1

A.$k = 1$

B.$k = -1$

C.$k = -3$

D.$k = 0$

Câu 5.Quan sát đồ thị hàm số $y = f(x)$ và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0 = -2$ trong hình. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó bằng:

Đồ thị y=-1x²+(1)x+(3) với tiếp tuyến tại x=-2

A.$k = -5$

B.$k = 4$

C.$k = 6$

D.$k = 5$

Câu 6.Quan sát đồ thị hàm số $y = f(x)$ và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0 = -1$ trong hình. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó bằng:

Đồ thị y=1x²+(-1)x+(-1) với tiếp tuyến tại x=-1

A.$k = 3$

B.$k = -2$

C.$k = -4$

D.$k = -3$

3. Phương trình tiếp tuyến tại $(x_0; f(x_0))$: $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$Trắc nghiệm`tangent_equation_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = - 3 x^{2} - 4 x - 4$ tại điểm có hoành độ $x_0 = -2$.

A.$y = 8x + 9$

B.$y = 8x + 7$

C.$y = 9x + 8$

D.$y = 8x + 8$

Câu 8.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = 3 x^{2} + 3 x - 3$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$.

A.$y = 9x - 5$

B.$y = 10x - 6$

C.$y = 9x - 6$

D.$y = 9x - 7$

Câu 9.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = - 2 x^{2} + 4 x + 6$ tại điểm có hoành độ $x_0 = -1$.

A.$y = 8x + 7$

B.$y = 9x + 8$

C.$y = 8x + 9$

D.$y = 8x + 8$

4. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm bậc ba thoả điều kiện hệ số gócTrắc nghiệm`tangent_equation_with_slope_condition`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 10.Cho hàm số $y = x^{3} + 9 x^{2} + 29 x + 4$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d: y = 2x - 3$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $d$.

A.$y = 2x - 24$

B.$y = 2x - 23$

C.$y = 2x - 29$

D.$y = 2x - 22$

Câu 11.Cho hàm số $y = x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 3$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d: y = -3x - 1$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $d$.

A.$y = -3x + 1$

B.$y = -3x - 6$

C.$y = -3x - 5$

D.$y = -3x - 4$

Câu 12.Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 5 x + 3$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d: y = 2x + 2$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $d$.

A.$y = 2x + 6$

B.$y = 2x + 3$

C.$y = 2x + 4$

D.$y = 2x + 5$

5. Tìm $x_0$ trên $y = x^2$ sao cho tiếp tuyến song song với $y = kx + c$ (k chẵn)Trắc nghiệm`tangent_parallel_to_given_line`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Tìm hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^2$ sao cho tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $y = 4x - 4$.

A.$x_0 = -2$

B.$x_0 = 4$

C.$x_0 = 2$

D.$x_0 = 3$

Câu 14.Tìm hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^2$ sao cho tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $y = -6x + 5$.

A.$x_0 = -2$

B.$x_0 = -3$

C.$x_0 = -6$

D.$x_0 = 3$

Câu 15.Tìm hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^2$ sao cho tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $y = 4x - 2$.

A.$x_0 = 4$

B.$x_0 = 2$

C.$x_0 = 3$

D.$x_0 = -2$

6. Tìm $x_0$ trên $y = x^2$ sao cho tiếp tuyến vuông góc với $y = kx + c$Trắc nghiệm`tangent_perpendicular_to_given_line`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 16.Tìm hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^2$ sao cho tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng $y = x - 2$.

A.$x_0 = -1$

B.$x_0 = 1$

C.$x_0 = \dfrac{1}{2}$

D.$x_0 = - \dfrac{1}{2}$

Câu 17.Tìm hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^2$ sao cho tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng $y = 2x$.

A.$x_0 = -1$

B.$x_0 = \dfrac{1}{4}$

C.$x_0 = 1$

D.$x_0 = - \dfrac{1}{4}$

Câu 18.Tìm hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^2$ sao cho tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng $y = -3x - 1$.

A.$x_0 = \dfrac{1}{6}$

B.$x_0 = - \dfrac{3}{2}$

C.$x_0 = - \dfrac{1}{6}$

D.$x_0 = \dfrac{3}{2}$

7. Hệ số góc tiếp tuyến của $y = f(x)$ tại $x = x_0$ chính là $f'(x_0)$Trắc nghiệm`tangent_slope_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = - 2 x^{3} - x - 4$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 2$ bằng:

A.$k = -24$

B.$k = -26$

C.$k = -25$

D.$k = 25$

Câu 20.Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = 3 x^{3} + 5 x + 4$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 2$ bằng:

A.$k = -41$

B.$k = 41$

C.$k = 40$

D.$k = 42$

Câu 21.Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = - 3 x^{3} - 3 x - 4$ tại điểm có hoành độ $x_0 = -3$ bằng:

A.$k = -84$

B.$k = -85$

C.$k = -83$

D.$k = 84$

8. Cho $f(x) = ax^2$ và $x_0$ — kiểm tra định nghĩa đạo hàm bằng giới hạnĐúng / Sai`dap_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho hàm số $f(x) = 2x^2$ và điểm $x_0 = 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hàm số liên tục tại $x_0$ thì luôn có đạo hàm tại $x_0$.

b)$f(3) = 18$.

c)$f'(x) = 4x$.

d)Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị $f$ tại $x_0 = 3$ là $12$.

Câu 23.Cho hàm số $f(x) = 3x^2$ và điểm $x_0 = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.

b)Hàm có đạo hàm tại $x_0$ thì liên tục tại $x_0$.

c)Hàm số liên tục tại $x_0$ thì luôn có đạo hàm tại $x_0$.

d)$f'(x) = 6x$.

Câu 24.Cho hàm số $f(x) = 3x^2$ và điểm $x_0 = 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hàm số liên tục tại $x_0$ thì luôn có đạo hàm tại $x_0$.

b)$f(3) = 27$.

c)Hàm có đạo hàm tại $x_0$ thì liên tục tại $x_0$.

d)Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị $f$ tại $x_0 = 3$ là $18$.

9. Cho $f(x) = x^2 + bx$ và $x_0$ cụ thể — tính $f'(x_0)$ qua định nghĩaĐúng / Sai`deriv_at_point_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Cho hàm số $f(x) = x^2 + 5x$ và điểm $x_0 = 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f'(3) = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{f(x) - f(3)}{x - 3}$.

b)Hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị tại $x_0 = 3$ là $k = 11$.

c)$f'(3) = f(3) = 24$.

d)Phương trình tiếp tuyến tại $x_0 = 3$ là $y = 11(x - 3) + 24$.

Câu 26.Cho hàm số $f(x) = x^2 + 5x$ và điểm $x_0 = 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f$ có đạo hàm tại $x_0 = 3$ nên $f$ liên tục tại $x_0$.

b)Hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị tại $x_0 = 3$ là $k = 11$.

c)$f'(x) = 2x + 5$.

d)$f'(3) = f(3) = 24$.

Câu 27.Cho hàm số $f(x) = x^2 + 3x$ và điểm $x_0 = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f'(2) = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2}$.

b)Hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị tại $x_0 = 2$ là $k = 7$.

c)$f'(2) = f(2) = 10$.

d)$f'(2) = 7$.

10. Cho $f(x) = ax^2 + bx + c$, tính $f'(x_0)$Trả lời ngắn`poly_derivative_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Cho $f(x) = x^2 + 2x - 3$. Tính $f'(1)$.

Câu 29.Cho $f(x) = -3x^2 + x - 7$. Tính $f'(3)$.

Câu 30.Cho $f(x) = -3x^2 + 4x + 6$. Tính $f'(2)$.

11. Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm $x_0$ là $f'(x_0)$Trả lời ngắn`tangent_slope_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Cho hàm số $f(x) = 2x^2 - x$. Tìm hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ $x_0 = -4$.

Câu 32.Cho hàm số $f(x) = -3x^2 + 2x$. Tìm hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ $x_0 = -4$.

Câu 33.Cho hàm số $f(x) = 3x^2 + x$. Tìm hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ $x_0 = -1$.

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Tính chất(3)

§3. Phương pháp(1)

Bài tập

1. Tính $f'(x_0)$ với $f(x) = ax^2 + bx + c$Trắc nghiệmderivative_quadratic_at_point(3 câu)

2. Quan sát đồ thị parabol và tiếp tuyến tại 1 điểm cho trước, đọc hệ số góc tiếp tuyến từ hìnhTrắc nghiệmread_tangent_slope_from_graph(3 câu)

3. Phương trình tiếp tuyến tại $(x_0; f(x_0))$: $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$Trắc nghiệmtangent_equation_at_point(3 câu)

4. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm bậc ba thoả điều kiện hệ số gócTrắc nghiệmtangent_equation_with_slope_condition(3 câu)

5. Tìm $x_0$ trên $y = x^2$ sao cho tiếp tuyến song song với $y = kx + c$ (k chẵn)Trắc nghiệmtangent_parallel_to_given_line(3 câu)

6. Tìm $x_0$ trên $y = x^2$ sao cho tiếp tuyến vuông góc với $y = kx + c$Trắc nghiệmtangent_perpendicular_to_given_line(3 câu)

7. Hệ số góc tiếp tuyến của $y = f(x)$ tại $x = x_0$ chính là $f'(x_0)$Trắc nghiệmtangent_slope_at_point(3 câu)

8. Cho $f(x) = ax^2$ và $x_0$ — kiểm tra định nghĩa đạo hàm bằng giới hạnĐúng / Saidap_facts2(3 câu)

9. Cho $f(x) = x^2 + bx$ và $x_0$ cụ thể — tính $f'(x_0)$ qua định nghĩaĐúng / Saideriv_at_point_facts(3 câu)

10. Cho $f(x) = ax^2 + bx + c$, tính $f'(x_0)$Trả lời ngắnpoly_derivative_at_point(3 câu)

11. Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm $x_0$ là $f'(x_0)$Trả lời ngắntangent_slope_sa(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tính $f'(x_0)$ với $f(x) = ax^2 + bx + c$Trắc nghiệm`derivative_quadratic_at_point`(3 câu)

2. Quan sát đồ thị parabol và tiếp tuyến tại 1 điểm cho trước, đọc hệ số góc tiếp tuyến từ hìnhTrắc nghiệm`read_tangent_slope_from_graph`(3 câu)

3. Phương trình tiếp tuyến tại $(x_0; f(x_0))$: $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$Trắc nghiệm`tangent_equation_at_point`(3 câu)

4. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm bậc ba thoả điều kiện hệ số gócTrắc nghiệm`tangent_equation_with_slope_condition`(3 câu)

5. Tìm $x_0$ trên $y = x^2$ sao cho tiếp tuyến song song với $y = kx + c$ (k chẵn)Trắc nghiệm`tangent_parallel_to_given_line`(3 câu)

6. Tìm $x_0$ trên $y = x^2$ sao cho tiếp tuyến vuông góc với $y = kx + c$Trắc nghiệm`tangent_perpendicular_to_given_line`(3 câu)

7. Hệ số góc tiếp tuyến của $y = f(x)$ tại $x = x_0$ chính là $f'(x_0)$Trắc nghiệm`tangent_slope_at_point`(3 câu)

8. Cho $f(x) = ax^2$ và $x_0$ — kiểm tra định nghĩa đạo hàm bằng giới hạnĐúng / Sai`dap_facts2`(3 câu)

9. Cho $f(x) = x^2 + bx$ và $x_0$ cụ thể — tính $f'(x_0)$ qua định nghĩaĐúng / Sai`deriv_at_point_facts`(3 câu)

10. Cho $f(x) = ax^2 + bx + c$, tính $f'(x_0)$Trả lời ngắn`poly_derivative_at_point`(3 câu)

11. Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm $x_0$ là $f'(x_0)$Trả lời ngắn`tangent_slope_sa`(3 câu)