Vi phân

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Vi phân của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$. Vi phân của $f$: $$df(x) = f'(x) \cdot dx \quad \text{hay} \quad dy = y' \, dx.$$ Ý nghĩa: $dy \approx \Delta y$ khi $\Delta x$ đủ nhỏ.

§2. Công thức(1)

2.1

Công thức tính gần đúng

Khi $\Delta x$ nhỏ: $$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x.$$ Hay: $f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ khi $x$ gần $x_0$.

§3. Phương pháp(1)

3.1

Phương pháp tính gần đúng giá trị hàm số

Tính $f(x)$ với $x$ "gần" một giá trị $x_0$ dễ tính: Bước 1. Chọn $x_0$ phù hợp (vd $\sqrt{4.02}$ → $x_0 = 4$). Bước 2. Tính $f(x_0), f'(x_0)$. Bước 3. Tính $\Delta x = x - x_0$. Bước 4. Áp dụng: $f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$. Vd: $\sqrt{4.02} \approx \sqrt{4} + \dfrac{1}{2\sqrt{4}} \cdot 0.02 = 2 + 0.005 = 2.005$.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: đánh giá sai số tương đối

Khi đại lượng $x$ có sai số tuyệt đối $\Delta x$, sai số đại lượng phụ thuộc $y = f(x)$: $$\Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x.$$ Sai số tương đối: $\dfrac{\Delta y}{y} \approx \dfrac{f'(x)}{f(x)} \Delta x$.

Bài tập

1. Tính gần đúng $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$Trắc nghiệm`approximation_via_differential`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Sử dụng vi phân, tính gần đúng giá trị $\sqrt{899/100}$.

A.$\sqrt{899/100} \approx \dfrac{1801}{600}$

B.$\sqrt{899/100} \approx \dfrac{299}{100}$

C.$\sqrt{899/100} \approx \dfrac{1799}{600}$

D.$\sqrt{899/100} \approx 3$

Câu 2.Sử dụng vi phân, tính gần đúng giá trị $\sqrt{39/10}$.

A.$\sqrt{39/10} \approx 2$

B.$\sqrt{39/10} \approx \dfrac{79}{40}$

C.$\sqrt{39/10} \approx \dfrac{81}{40}$

D.$\sqrt{39/10} \approx \dfrac{19}{10}$

Câu 3.Sử dụng vi phân, tính gần đúng giá trị $\sqrt{401/100}$.

A.$\sqrt{401/100} \approx \dfrac{801}{400}$

B.$\sqrt{401/100} \approx 2$

C.$\sqrt{401/100} \approx \dfrac{799}{400}$

D.$\sqrt{401/100} \approx \dfrac{201}{100}$

2. Dùng vi phân tính gần đúng căn bậc ba $\sqrt[3]{N}$Trắc nghiệm`cube_root_approximation_via_differential`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Sử dụng vi phân, tính gần đúng giá trị $\sqrt[3]{126}$.

A.$\sqrt[3]{126} \approx \dfrac{374}{75}$

B.$\sqrt[3]{126} \approx 6$

C.$\sqrt[3]{126} \approx \dfrac{376}{75}$

D.$\sqrt[3]{126} \approx 5$

Câu 5.Sử dụng vi phân, tính gần đúng giá trị $\sqrt[3]{126}$.

A.$\sqrt[3]{126} \approx 5$

B.$\sqrt[3]{126} \approx \dfrac{374}{75}$

C.$\sqrt[3]{126} \approx 6$

D.$\sqrt[3]{126} \approx \dfrac{376}{75}$

Câu 6.Sử dụng vi phân, tính gần đúng giá trị $\sqrt[3]{127}$.

A.$\sqrt[3]{127} \approx 7$

B.$\sqrt[3]{127} \approx \dfrac{377}{75}$

C.$\sqrt[3]{127} \approx \dfrac{373}{75}$

D.$\sqrt[3]{127} \approx 5$

3. Viết vi phân $dy$ của hàm $y = ax^2 + bx + c$Trắc nghiệm`differential_polynomial`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Tính vi phân $dy$ của hàm số $y = 3x^2 + 7x - 4$.

A.$dy = (6 x + 7)$

B.$dy = 3 x^{2} + 7 x - 4\,dx$

C.$dy = (6 x + 7)\,dx$

D.$dy = (6 x)\,dx$

Câu 8.Tính vi phân $dy$ của hàm số $y = -3x^2 + 6x - 8$.

A.$dy = (- 6 x)\,dx$

B.$dy = - 3 x^{2} + 6 x - 8\,dx$

C.$dy = (6 - 6 x)\,dx$

D.$dy = (6 - 6 x)$

Câu 9.Tính vi phân $dy$ của hàm số $y = 4x^2 + 3x - 7$.

A.$dy = (8 x)\,dx$

B.$dy = 4 x^{2} + 3 x - 7\,dx$

C.$dy = (8 x + 3)\,dx$

D.$dy = (8 x + 3)$

4. Bài toán sai số tương đối qua vi phân (đại lượng luỹ thừa)Trắc nghiệm`relative_error_via_differential`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 10.Khi đo hình vuông cạnh $a$, người ta được $a = 20$ (đơn vị độ dài) với sai số tuyệt đối không vượt quá $|\Delta a| \le 1$. Dùng vi phân, hãy ước lượng sai số tương đối (tối đa) của diện tích $S$, biết $S = a^2$.

A.$10\%$

B.$20\%$

C.$15\%$

D.$5\%$

Câu 11.Khi đo hình vuông cạnh $a$, người ta được $a = 25$ (đơn vị độ dài) với sai số tuyệt đối không vượt quá $|\Delta a| \le 1$. Dùng vi phân, hãy ước lượng sai số tương đối (tối đa) của diện tích $S$, biết $S = a^2$.

A.$8\%$

B.$4\%$

C.$16\%$

D.$12\%$

Câu 12.Khi đo hình vuông cạnh $a$, người ta được $a = 20$ (đơn vị độ dài) với sai số tuyệt đối không vượt quá $|\Delta a| \le 1$. Dùng vi phân, hãy ước lượng sai số tương đối (tối đa) của diện tích $S$, biết $S = a^2$.

A.$10\%$

B.$5\%$

C.$20\%$

D.$15\%$

5. Cho hàm $y = x^2$ tại $x_0$, $\Delta x$ cụ thể — kiểm tra xấp xỉ $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$Đúng / Sai`diff_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho hàm số $y = x^2$ và xét tại $x_0 = 5$ với $\Delta x = 0,1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Với $dx = 0,1$ thì $dy = 1,0$.

b)$dy$ là một số phụ thuộc vào $x$ và $dx$.

c)$f(5 + 0,1) \approx f(5) + 0,1$.

d)$y' = 2x$, do đó $y'(5) = 10$.

Câu 14.Cho hàm số $y = x^2$ và xét tại $x_0 = 4$ với $\Delta x = 0,1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Vi phân chỉ áp dụng cho đa thức.

b)Với $dx = 0,1$ thì $dy = 0,8$.

c)Theo xấp xỉ vi phân: $(4 + 0,1)^2 \approx 16,8$.

d)$y' = 2x$, do đó $y'(4) = 8$.

Câu 15.Cho hàm số $y = x^2$ và xét tại $x_0 = 5$ với $\Delta x = 0,1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$y' = 2x$, do đó $y'(5) = 10$.

b)Với $dx = 0,1$ thì $dy = 1,0$.

c)Vi phân chỉ áp dụng cho đa thức.

d)$f(5 + 0,1) \approx f(5) + 0,1$.

6. Cho $y = ax^2 + bx + c$ — viết $dy$ tổng quát và tại điểm $x_0$ cụ thểĐúng / Sai`differential_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho hàm số $y = x^2 + 5x + 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$dy$ và $y'$ là cùng một đại lượng.

b)$dy$ tại $x = -3$ là $dy = -1\, dx$.

c)$dy = (2x + 5)\, dx$.

d)$dy = (2x + 5)\, dx$.

Câu 17.Cho hàm số $y = -x^2 - x + 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$dy = (2x - 1)\, dx$.

b)$y' = -2x - 1$.

c)$d(c) = 0$ với hằng số $c$.

d)$dy$ và $y'$ là cùng một đại lượng.

Câu 18.Cho hàm số $y = 3x^2 + 5x - 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$dy = (6x + 5)\, dx$.

b)$d(c) = 0$ với hằng số $c$.

c)$dy$ và $y'$ là cùng một đại lượng.

d)$dy = (2x + 5)\, dx$.

7. Sử dụng vi phân tính gần đúng $\sqrt{x_0 + \Delta x}$ (số thập phân)Trả lời ngắn`approximation_via_diff_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Sử dụng vi phân, tính gần đúng $\sqrt{48.9}$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 20.Sử dụng vi phân, tính gần đúng $\sqrt{8.9}$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 21.Sử dụng vi phân, tính gần đúng $\sqrt{15.9}$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

8. Tính vi phân $df = f'(x_0)\,dx$ tại điểm $x_0$ với $dx = 1$ — đáp án là $f'(x_0)$Trả lời ngắn`differential_compute`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho $f(x) = x^2 + 2x + 3$. Tính $df$ tại $x = 2$ (với $dx = 1$).

Câu 23.Cho $f(x) = -3x^2 - 5x + 2$. Tính $df$ tại $x = -1$ (với $dx = 1$).

Câu 24.Cho $f(x) = -3x^2 - 3x - 2$. Tính $df$ tại $x = -3$ (với $dx = 1$).

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Công thức(1)

§3. Phương pháp(1)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Tính gần đúng $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$Trắc nghiệmapproximation_via_differential(3 câu)

2. Dùng vi phân tính gần đúng căn bậc ba $\sqrt[3]{N}$Trắc nghiệmcube_root_approximation_via_differential(3 câu)

3. Viết vi phân $dy$ của hàm $y = ax^2 + bx + c$Trắc nghiệmdifferential_polynomial(3 câu)

4. Bài toán sai số tương đối qua vi phân (đại lượng luỹ thừa)Trắc nghiệmrelative_error_via_differential(3 câu)

5. Cho hàm $y = x^2$ tại $x_0$, $\Delta x$ cụ thể — kiểm tra xấp xỉ $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$Đúng / Saidiff_facts2(3 câu)

6. Cho $y = ax^2 + bx + c$ — viết $dy$ tổng quát và tại điểm $x_0$ cụ thểĐúng / Saidifferential_facts(3 câu)

7. Sử dụng vi phân tính gần đúng $\sqrt{x_0 + \Delta x}$ (số thập phân)Trả lời ngắnapproximation_via_diff_sa(3 câu)

8. Tính vi phân $df = f'(x_0)\,dx$ tại điểm $x_0$ với $dx = 1$ — đáp án là $f'(x_0)$Trả lời ngắndifferential_compute(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tính gần đúng $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$Trắc nghiệm`approximation_via_differential`(3 câu)

2. Dùng vi phân tính gần đúng căn bậc ba $\sqrt[3]{N}$Trắc nghiệm`cube_root_approximation_via_differential`(3 câu)

3. Viết vi phân $dy$ của hàm $y = ax^2 + bx + c$Trắc nghiệm`differential_polynomial`(3 câu)

4. Bài toán sai số tương đối qua vi phân (đại lượng luỹ thừa)Trắc nghiệm`relative_error_via_differential`(3 câu)

5. Cho hàm $y = x^2$ tại $x_0$, $\Delta x$ cụ thể — kiểm tra xấp xỉ $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$Đúng / Sai`diff_facts2`(3 câu)

6. Cho $y = ax^2 + bx + c$ — viết $dy$ tổng quát và tại điểm $x_0$ cụ thểĐúng / Sai`differential_facts`(3 câu)

7. Sử dụng vi phân tính gần đúng $\sqrt{x_0 + \Delta x}$ (số thập phân)Trả lời ngắn`approximation_via_diff_sa`(3 câu)

8. Tính vi phân $df = f'(x_0)\,dx$ tại điểm $x_0$ với $dx = 1$ — đáp án là $f'(x_0)$Trả lời ngắn`differential_compute`(3 câu)