Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Công thức

§1. Tính chất(1)

1.1

Giá trị lượng giác góc đặc biệt

Góc	$0$	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$
$\sin$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\tan$	$0$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\text{kxd}$

§2. Công thức(9)

2.1

Cung phụ — sin → cos, tan → cot

$$\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha, \quad \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha.$$ $$\tan\!\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cot\alpha, \quad \cot\!\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \tan\alpha.$$

2.2

Công thức nhân đôi

$$\sin 2a = 2 \sin a \cos a.$$ $$\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 1 - 2\sin^2 a = 2\cos^2 a - 1.$$ $$\tan 2a = \dfrac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a}.$$

2.3

Hạ bậc

$$\sin^2 a = \dfrac{1 - \cos 2a}{2}, \quad \cos^2 a = \dfrac{1 + \cos 2a}{2}.$$ $$\tan^2 a = \dfrac{1 - \cos 2a}{1 + \cos 2a}.$$

2.4

Cung đối — cùng cos, đối sin

$$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha, \quad \cos(-\alpha) = \cos\alpha.$$ $$\tan(-\alpha) = -\tan\alpha, \quad \cot(-\alpha) = -\cot\alpha.$$

2.5

Cung hơn kém $\pi$ — đối sin, đối cos

$$\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha, \quad \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha.$$ $$\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha, \quad \cot(\pi + \alpha) = \cot\alpha.$$

2.6

Cung hơn kém $\pi/2$

$$\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha, \quad \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha.$$ $$\tan\!\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\cot\alpha, \quad \cot\!\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\tan\alpha.$$

2.7

Tích thành tổng + tổng thành tích

Tích → tổng: $\cos a \cos b = \dfrac{1}{2}[\cos(a-b) + \cos(a+b)]$. $\sin a \sin b = \dfrac{1}{2}[\cos(a-b) - \cos(a+b)]$. $\sin a \cos b = \dfrac{1}{2}[\sin(a-b) + \sin(a+b)]$. Tổng → tích: $\sin a + \sin b = 2 \sin\dfrac{a+b}{2} \cos\dfrac{a-b}{2}$. $\sin a - \sin b = 2 \cos\dfrac{a+b}{2} \sin\dfrac{a-b}{2}$. $\cos a + \cos b = 2 \cos\dfrac{a+b}{2} \cos\dfrac{a-b}{2}$. $\cos a - \cos b = -2 \sin\dfrac{a+b}{2} \sin\dfrac{a-b}{2}$.

2.8

Công thức cộng

$$\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b.$$ $$\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b.$$ $$\tan(a \pm b) = \dfrac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}.$$

2.9

Cung bù — cùng sin, đối cos

$$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha, \quad \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha.$$ $$\tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha, \quad \cot(\pi - \alpha) = -\cot\alpha.$$

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém $\pi$ tan + cot

Cos đối: $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$. Sin bù: $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$. Phụ chéo (cung phụ): sin ↔ cos, tan ↔ cot. Hơn kém $\pi$: tan + cot không đổi (chu kỳ $\pi$); sin + cos đổi dấu.

Bài tập

1. Tính giá trị $\sin/\cos/\tan$ của một góc đặc biệtTrắc nghiệm`evaluate_trig_function`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 1.Tính $\tan 90^\circ$.

A.không xác định

B.1

C.-1

D.0

Câu 2.Tính $\sin 30^\circ$.

A.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

B.$\dfrac{1}{2}$

C.$- \dfrac{1}{2}$

D.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Câu 3.Tính $\tan 150^\circ$.

A.$- \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

B.$- \dfrac{1}{2}$

C.$\dfrac{1}{2}$

D.$- \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

2. Cho góc $\alpha$ thuộc một góc phần tư xác định, hỏi dấu của $\sin\alpha, \cos\alpha$ hoặc $\tan\alpha$Trắc nghiệm`quadrant_sign_of_trig`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 4.Cho góc $\alpha$ thoả mãn $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Dấu của $\tan\alpha$ là?

A.Không xác định

B.Bằng 0

C.Âm

D.Dương

Câu 5.Cho góc $\alpha$ thoả mãn $180^\circ < \alpha < 270^\circ$. Dấu của $\tan\alpha$ là?

A.Bằng 0

B.Không xác định

C.Dương

D.Âm

Câu 6.Cho góc $\alpha$ thoả mãn $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Dấu của $\tan\alpha$ là?

A.Dương

B.Bằng 0

C.Âm

D.Không xác định

3. Cho một giá trị lượng giác và góc phần tư, tính biểu thức lượng giácTrắc nghiệm`trig_value_compound_expression_l3`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Cho góc $\alpha$ thoả mãn $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$ và $\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)$. Tính giá trị của biểu thức $\sin\alpha \cdot \cos\alpha$.

A.$\dfrac{12}{25}$

B.$- \dfrac{12}{25}$

C.$\dfrac{3}{5}$

D.$- \dfrac{1}{5}$

Câu 8.Cho góc $\alpha$ thoả mãn $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$ và $\alpha \in \left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)$. Tính giá trị của biểu thức $\cos 2\alpha$.

A.$\dfrac{16}{25}$

B.$\dfrac{7}{25}$

C.$\dfrac{3}{5}$

D.$- \dfrac{7}{25}$

Câu 9.Cho góc $\alpha$ thoả mãn $\sin\alpha = \dfrac{5}{13}$ và $\alpha \in \left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)$. Tính giá trị của biểu thức $\cos 2\alpha$.

A.$\dfrac{5}{13}$

B.$\dfrac{144}{169}$

C.$\dfrac{119}{169}$

D.$- \dfrac{119}{169}$

4. Cho $\tan\alpha$, tính biểu thức lượng giác thuần nhất (quy về $\tan\alpha$)Trắc nghiệm`trig_value_homogeneous_ratio_l4`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 10.Cho góc lượng giác $\alpha$ thoả mãn $\tan\alpha = \dfrac{12}{5}$. Tính giá trị của biểu thức $P = \dfrac{2\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha + 3\cos\alpha}$.

A.$\dfrac{27}{29}$

B.$\dfrac{22}{41}$

C.$\dfrac{3}{4}$

D.$\dfrac{29}{27}$

Câu 11.Cho góc lượng giác $\alpha$ thoả mãn $\tan\alpha = - \dfrac{4}{3}$. Tính giá trị của biểu thức $P = 3\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + 5\cos^2\alpha$.

A.$\dfrac{93}{25}$

B.$\dfrac{117}{25}$

C.$\dfrac{131}{25}$

D.$13$

Câu 12.Cho góc lượng giác $\alpha$ thoả mãn $\tan\alpha = 2$. Tính giá trị của biểu thức $P = 4\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha$.

A.$\dfrac{12}{5}$

B.$\dfrac{17}{5}$

C.$21$

D.$\dfrac{21}{5}$

5. Cho $\sin\alpha = a/b$ với $\alpha \in (0; \pi/2)$ — tính các giá trị lượng giác còn lạiĐúng / Sai`trig_values_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho góc $\alpha$ thoả mãn $\sin \alpha = \dfrac{5}{13}$ và $\alpha \in \left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\cos \alpha = -\dfrac{12}{13}$.

b)Vì $\alpha \in (0; \pi/2)$ nên $\cos \alpha > 0$.

c)$\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$ (với điều kiện xác định).

d)$\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).

Câu 14.Cho góc $\alpha$ thoả mãn $\sin \alpha = \dfrac{5}{13}$ và $\alpha \in \left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).

b)$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

c)$\cos \alpha = -\dfrac{12}{13}$.

d)$\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$ (với điều kiện xác định).

Câu 15.Cho góc $\alpha$ thoả mãn $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$ và $\alpha \in \left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).

b)$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

c)$\cos \alpha = -\dfrac{4}{5}$.

d)$\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$ (với điều kiện xác định).

6. Cho $\cos\alpha = -m$ với $\alpha \in (\pi/2; \pi)$ — xét dấu các giá trịĐúng / Sai`trig_values_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho góc $\alpha$ thoả mãn $\cos \alpha = -\dfrac{12}{13}$ và $\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\sin \alpha = \dfrac{5}{13}$.

b)$\cos(-\alpha) = -\cos \alpha$.

c)Vì $\alpha \in (\pi/2; \pi)$ nên $\sin \alpha > 0$ và $\cos \alpha < 0$.

d)$\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$.

Câu 17.Cho góc $\alpha$ thoả mãn $\cos \alpha = -\dfrac{4}{5}$ và $\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\tan \alpha = -\dfrac{3}{4}$.

b)$\cos(-\alpha) = -\cos \alpha$.

c)$\tan \alpha < 0$ vì $\alpha$ thuộc góc phần tư II.

d)$\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$.

Câu 18.Cho góc $\alpha$ thoả mãn $\cos \alpha = -\dfrac{12}{13}$ và $\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Vì $\alpha \in (\pi/2; \pi)$ nên $\sin \alpha > 0$ và $\cos \alpha < 0$.

b)$\tan \alpha < 0$ vì $\alpha$ thuộc góc phần tư II.

c)Hàm $\sin$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$.

d)$\cos(-\alpha) = -\cos \alpha$.

7. Tính giá trị lượng giác tại radian đặc biệt (số thập phân)Trả lời ngắn`trig_value_at_special_radian`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 19.Tính giá trị $\tan \dfrac{\pi}{4}$.

Câu 20.Tính giá trị $\sin \dfrac{\pi}{2}$.

Câu 21.Tính giá trị $\sin \dfrac{\pi}{3}$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Công thức

§1. Tính chất(1)

§2. Công thức(9)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Tính giá trị $\sin/\cos/\tan$ của một góc đặc biệtTrắc nghiệmevaluate_trig_function(3 câu)

2. Cho góc $\alpha$ thuộc một góc phần tư xác định, hỏi dấu của $\sin\alpha, \cos\alpha$ hoặc $\tan\alpha$Trắc nghiệmquadrant_sign_of_trig(3 câu)

3. Cho một giá trị lượng giác và góc phần tư, tính biểu thức lượng giácTrắc nghiệmtrig_value_compound_expression_l3(3 câu)

4. Cho $\tan\alpha$, tính biểu thức lượng giác thuần nhất (quy về $\tan\alpha$)Trắc nghiệmtrig_value_homogeneous_ratio_l4(3 câu)

5. Cho $\sin\alpha = a/b$ với $\alpha \in (0; \pi/2)$ — tính các giá trị lượng giác còn lạiĐúng / Saitrig_values_facts(3 câu)

6. Cho $\cos\alpha = -m$ với $\alpha \in (\pi/2; \pi)$ — xét dấu các giá trịĐúng / Saitrig_values_facts2(3 câu)

7. Tính giá trị lượng giác tại radian đặc biệt (số thập phân)Trả lời ngắntrig_value_at_special_radian(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tính giá trị $\sin/\cos/\tan$ của một góc đặc biệtTrắc nghiệm`evaluate_trig_function`(3 câu)

2. Cho góc $\alpha$ thuộc một góc phần tư xác định, hỏi dấu của $\sin\alpha, \cos\alpha$ hoặc $\tan\alpha$Trắc nghiệm`quadrant_sign_of_trig`(3 câu)

3. Cho một giá trị lượng giác và góc phần tư, tính biểu thức lượng giácTrắc nghiệm`trig_value_compound_expression_l3`(3 câu)

4. Cho $\tan\alpha$, tính biểu thức lượng giác thuần nhất (quy về $\tan\alpha$)Trắc nghiệm`trig_value_homogeneous_ratio_l4`(3 câu)

5. Cho $\sin\alpha = a/b$ với $\alpha \in (0; \pi/2)$ — tính các giá trị lượng giác còn lạiĐúng / Sai`trig_values_facts`(3 câu)

6. Cho $\cos\alpha = -m$ với $\alpha \in (\pi/2; \pi)$ — xét dấu các giá trịĐúng / Sai`trig_values_facts2`(3 câu)

7. Tính giá trị lượng giác tại radian đặc biệt (số thập phân)Trả lời ngắn`trig_value_at_special_radian`(3 câu)