Hàm số tan và cotan

Công thức

§1. Tính chất(3)

1.1

Hàm $y = \cot x$

TXĐ: $\mathbb{R} \setminus \{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$.
Tập giá trị: $\mathbb{R}$.
Lẻ: $\cot(-x) = -\cot x$.
Tuần hoàn chu kỳ $\pi$: $\cot(x + \pi) = \cot x$.
Nghịch biến trên mỗi khoảng $(k\pi; \pi + k\pi)$.
Đường tiệm cận đứng: $x = k\pi$.

1.2

Quan hệ $\tan$ và $\cot$

$\tan x \cdot \cot x = 1$ (trên TXĐ chung).
$\cot x = \tan\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$.
Đồ thị $y = \cot x$ là $y = \tan x$ qua phép đối xứng + tịnh tiến.

1.3

Hàm $y = \tan x$

TXĐ: $\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$.
Tập giá trị: $\mathbb{R}$.
Lẻ: $\tan(-x) = -\tan x$.
Tuần hoàn chu kỳ $\pi$: $\tan(x + \pi) = \tan x$.
Đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi; \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right)$.
Đường tiệm cận đứng: $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.

§2. Mẹo(1)

2.1

Mẹo: tìm TXĐ hàm chứa $\tan, \cot$

Với hàm chứa $\tan f(x)$: ĐKXĐ là $\cos f(x) \neq 0 \Leftrightarrow f(x) \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$. Với hàm chứa $\cot f(x)$: ĐKXĐ là $\sin f(x) \neq 0 \Leftrightarrow f(x) \neq k\pi$. → Giải bất phương trình $f(x) = \dots$ rồi loại các giá trị này khỏi $\mathbb{R}$.

Bài tập

1. Reverse: giá trị nào sau đây KHÔNG thuộc tập xác định của hàm tổ hợpTrắc nghiệm`domain_combined_trig_exclude_point`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Cho hàm số $y = \dfrac{1}{\sin x} + \tan x$. Giá trị nào sau đây KHÔNG thuộc tập xác định của hàm số?

A.$x = \dfrac{\pi}{4}$

B.$x = \dfrac{\pi}{3}$

C.$x = \dfrac{\pi}{5}$

D.$x = 0$

Câu 2.Cho hàm số $y = \dfrac{1}{\sin x \cdot \cos x}$. Giá trị nào sau đây KHÔNG thuộc tập xác định của hàm số?

A.$x = 0$

B.$x = \dfrac{3\pi}{4}$

C.$x = \dfrac{5\pi}{6}$

D.$x = \dfrac{\pi}{4}$

Câu 3.Cho hàm số $y = \dfrac{1}{\sin x} + \tan x$. Giá trị nào sau đây KHÔNG thuộc tập xác định của hàm số?

A.$x = \dfrac{2\pi}{3}$

B.$x = \dfrac{\pi}{4}$

C.$x = 0$

D.$x = \dfrac{\pi}{5}$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Cho hàm số $y = \dfrac{1}{\sin x \cdot \cos x}$. Giá trị nào sau đây KHÔNG thuộc tập xác định của hàm số?

A.$x = \dfrac{\pi}{5}$

B.$x = \dfrac{\pi}{2}$

C.$x = -\dfrac{\pi}{4}$

D.$x = \dfrac{\pi}{3}$

Câu 5.Cho hàm số $y = \dfrac{1}{\sin x \cdot \cos x}$. Giá trị nào sau đây KHÔNG thuộc tập xác định của hàm số?

A.$x = \dfrac{3\pi}{2}$

B.$x = \dfrac{\pi}{4}$

C.$x = \dfrac{\pi}{5}$

D.$x = \dfrac{\pi}{6}$

Câu 6.Cho hàm số $y = \dfrac{1}{\sin x} + \tan x$. Giá trị nào sau đây KHÔNG thuộc tập xác định của hàm số?

A.$x = \dfrac{\pi}{6}$

B.$x = \dfrac{\pi}{5}$

C.$x = \dfrac{3\pi}{4}$

D.$x = -\dfrac{\pi}{2}$

2. Tìm TXĐ của hàm tổ hợp cần HỢP nhiều điều kiện (sin≠0 và cos≠0 ⇒ x≠kπ/2)Trắc nghiệm`domain_combined_trig_fraction`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Tìm tập xác định của hàm số $y = \tan x + \cot x$.

A.$x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

B.$x \neq k2\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

C.$x \neq k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

D.$x \neq \dfrac{k\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}$

Câu 8.Tìm tập xác định của hàm số $y = \cot x + \dfrac{1}{\cos x}$.

A.$x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

B.$x \neq k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

C.$x \neq k2\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

D.$x \neq \dfrac{k\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}$

Câu 9.Tìm tập xác định của hàm số $y = \tan x + \cot x$.

A.$x \neq k2\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

B.$x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

C.$x \neq \dfrac{k\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}$

D.$x \neq k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{1}{\sin x \cdot \cos x}$.

A.$x \neq \dfrac{k\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}$

B.$x \neq k2\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

C.$x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

D.$x \neq k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

Câu 11.Tìm tập xác định của hàm số $y = \cot x + \dfrac{1}{\cos x}$.

A.$x \neq \dfrac{k\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}$

B.$x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

C.$x \neq k2\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

D.$x \neq k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

Câu 12.Tìm tập xác định của hàm số $y = \cot x + \dfrac{1}{\cos x}$.

A.$x \neq \dfrac{k\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}$

B.$x \neq k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

C.$x \neq k2\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

D.$x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

3. Biến thể tương phản: hàm chỉ MỘT điều kiện (đáp án KHÔNG luôn là kπ/2)Trắc nghiệm`domain_trig_single_vs_union_contrast`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{1}{\sin x} + 5$ (chú ý: chỉ những số hạng PHÂN THỨC mới sinh điều kiện).

A.$x \neq \dfrac{k\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}$

B.$x \neq k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

C.$x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

D.$x \neq \pi + k2\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

Câu 14.Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{1}{1 + \cos x}$ (chú ý: chỉ những số hạng PHÂN THỨC mới sinh điều kiện).

A.$x \neq \dfrac{k\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}$

B.$x \neq \pi + k2\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

C.$x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

D.$x \neq k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

Câu 15.Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{1}{1 + \cos x}$ (chú ý: chỉ những số hạng PHÂN THỨC mới sinh điều kiện).

A.$x \neq \dfrac{k\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}$

B.$x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

C.$x \neq \pi + k2\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

D.$x \neq k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 16.Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{1}{1 + \cos x}$ (chú ý: chỉ những số hạng PHÂN THỨC mới sinh điều kiện).

A.$x \neq \dfrac{k\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}$

B.$x \neq k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

C.$x \neq \pi + k2\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

D.$x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

Câu 17.Tìm tập xác định của hàm số $y = \tan x + 1$ (chú ý: chỉ những số hạng PHÂN THỨC mới sinh điều kiện).

A.$x \neq \dfrac{k\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}$

B.$x \neq \pi + k2\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

C.$x \neq k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

D.$x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

Câu 18.Tìm tập xác định của hàm số $y = 3\tan x - 2$ (chú ý: chỉ những số hạng PHÂN THỨC mới sinh điều kiện).

A.$x \neq \dfrac{k\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}$

B.$x \neq k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

C.$x \neq \pi + k2\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

D.$x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

4. PT chứa $\tan/\cot$: đặt ẩn (bậc 2 / tích) + ĐKXĐ, rồi đếm nghiệm trên một đoạnTrắc nghiệm`tan_cot_equation_count_roots_with_domain`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 19.Số nghiệm của phương trình $\sqrt{3}\tan^2 x - (1+\sqrt{3})\tan x + 1 = 0$ thuộc nửa khoảng $(-2\pi; 2\pi]$ là?

A.4

B.9

C.8

D.7

Câu 20.Số nghiệm của phương trình $\tan^2 x - (1+\sqrt{3})\tan x + \sqrt{3} = 0$ thuộc đoạn $[\pi; 3\pi]$ là?

A.2

B.5

C.4

D.3

Câu 21.Số nghiệm của phương trình $\tan^2 x - (1+\sqrt{3})\tan x + \sqrt{3} = 0$ thuộc nửa khoảng $[0; 4\pi)$ là?

A.4

B.8

C.9

D.7

5. Chu kỳ của $\tan x, \cot x$ là $\pi$Trắc nghiệm`tan_cot_period`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 22.Chu kỳ của hàm số $y = \tan x$ là?

A.$\dfrac{\pi}{2}$

B.$\pi$

C.$3\pi$

D.$2\pi$

Câu 23.Chu kỳ của hàm số $y = \cot x$ là?

A.$\dfrac{\pi}{2}$

B.$3\pi$

C.$\pi$

D.$2\pi$

Câu 24.Chu kỳ của hàm số $y = \tan x$ là?

A.$\pi$

B.$\dfrac{\pi}{2}$

C.$2\pi$

D.$3\pi$

6. Tìm các điểm hàm $\tan x$ hoặc $\cot x$ không xác địnhTrắc nghiệm`tan_cot_undefined`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Tìm điều kiện xác định của $\cot x$ ($k \in \mathbb{Z}$).

A.$x = 2k\pi$

B.$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

C.$x = k\pi$

D.$x = (k + 1)\pi$

Câu 26.Tìm điều kiện xác định của $\tan x$ ($k \in \mathbb{Z}$).

A.$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

B.$x = k\pi/2$

C.$x = 2k\pi$

D.$x = k\pi$

Câu 27.Tìm điều kiện xác định của $\cot x$ ($k \in \mathbb{Z}$).

A.$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

B.$x = k\pi$

C.$x = 2k\pi$

D.$x = (k + 1)\pi$

7. Cho hàm $f(x) = \cot x$ — xét TXĐ, lẻ, chu kì, công thức nghịch đảoĐúng / Sai`tan_cot_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Cho hàm số $f(x) = \cot x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\cot x$ là hàm số lẻ.

b)$\cot(\dfrac{\pi}{3}) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

c)$\cot x$ là hàm chẵn.

d)Tập giá trị của $\cot x$ là $[-1; 1]$.

Câu 29.Cho hàm số $f(x) = \cot x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\tan x \cdot \cot x = 1$ (khi cả hai xác định).

b)$\cot(\dfrac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.

c)$\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$.

d)$\cot x$ là hàm chẵn.

Câu 30.Cho hàm số $f(x) = \cot x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tập xác định của $\cot x$ là $\mathbb{R} \setminus \{k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$.

b)Chu kì cơ sở của $\cot x$ là $\pi$.

c)$\tan x \cdot \cot x = 1$ (khi cả hai xác định).

d)Tập giá trị của $\cot x$ là $[-1; 1]$.

8. Cho hàm $f(x) = \tan x$ — xét TXĐ, chu kì, lẻ, giá trị tại $\pi/4$Đúng / Sai`tan_cot_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Cho hàm số $f(x) = \tan x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tập xác định của $\tan x$ là $\mathbb{R} \setminus \{\dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$.

b)$\tan x$ là hàm chẵn.

c)$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ (khi $\cos x \neq 0$).

d)$\tan(\dfrac{\pi}{2})$ xác định và bằng $0$.

Câu 32.Cho hàm số $f(x) = \tan x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ (khi $\cos x \neq 0$).

b)$\tan(\dfrac{\pi}{2})$ xác định và bằng $0$.

c)Tập xác định của $\tan x$ là $\mathbb{R} \setminus \{\dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$.

d)$\tan x$ là hàm chẵn.

Câu 33.Cho hàm số $f(x) = \tan x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\tan x$ là hàm số lẻ: $\tan(-x) = -\tan x$.

b)$\tan(\dfrac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

c)$\tan(\dfrac{\pi}{2})$ xác định và bằng $0$.

d)Chu kì cơ sở của $\tan x$ là $\pi$.

9. Tính $\cot$ tại góc đặc biệt (số thập phân)Trả lời ngắn`cot_special_value`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 34.Tính $\cot 45^\circ$.

Câu 35.Tính $\cot 30^\circ$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 36.Tính $\cot 60^\circ$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

10. Tính $\tan$ tại góc đặc biệt (số thập phân)Trả lời ngắn`tan_special_value`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 37.Tính $\tan 0^\circ$.

Câu 38.Tính $\tan 180^\circ$.

Câu 39.Tính $\tan 60^\circ$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Công thức

§1. Tính chất(3)

§2. Mẹo(1)

Bài tập

1. Reverse: giá trị nào sau đây KHÔNG thuộc tập xác định của hàm tổ hợpTrắc nghiệmdomain_combined_trig_exclude_point(6 câu)

2. Tìm TXĐ của hàm tổ hợp cần HỢP nhiều điều kiện (sin≠0 và cos≠0 ⇒ x≠kπ/2)Trắc nghiệmdomain_combined_trig_fraction(6 câu)

3. Biến thể tương phản: hàm chỉ MỘT điều kiện (đáp án KHÔNG luôn là kπ/2)Trắc nghiệmdomain_trig_single_vs_union_contrast(6 câu)

4. PT chứa $\tan/\cot$: đặt ẩn (bậc 2 / tích) + ĐKXĐ, rồi đếm nghiệm trên một đoạnTrắc nghiệmtan_cot_equation_count_roots_with_domain(3 câu)

5. Chu kỳ của $\tan x, \cot x$ là $\pi$Trắc nghiệmtan_cot_period(3 câu)

6. Tìm các điểm hàm $\tan x$ hoặc $\cot x$ không xác địnhTrắc nghiệmtan_cot_undefined(3 câu)

7. Cho hàm $f(x) = \cot x$ — xét TXĐ, lẻ, chu kì, công thức nghịch đảoĐúng / Saitan_cot_examples(3 câu)

8. Cho hàm $f(x) = \tan x$ — xét TXĐ, chu kì, lẻ, giá trị tại $\pi/4$Đúng / Saitan_cot_facts(3 câu)

9. Tính $\cot$ tại góc đặc biệt (số thập phân)Trả lời ngắncot_special_value(3 câu)

10. Tính $\tan$ tại góc đặc biệt (số thập phân)Trả lời ngắntan_special_value(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Reverse: giá trị nào sau đây KHÔNG thuộc tập xác định của hàm tổ hợpTrắc nghiệm`domain_combined_trig_exclude_point`(6 câu)

2. Tìm TXĐ của hàm tổ hợp cần HỢP nhiều điều kiện (sin≠0 và cos≠0 ⇒ x≠kπ/2)Trắc nghiệm`domain_combined_trig_fraction`(6 câu)

3. Biến thể tương phản: hàm chỉ MỘT điều kiện (đáp án KHÔNG luôn là kπ/2)Trắc nghiệm`domain_trig_single_vs_union_contrast`(6 câu)

4. PT chứa $\tan/\cot$: đặt ẩn (bậc 2 / tích) + ĐKXĐ, rồi đếm nghiệm trên một đoạnTrắc nghiệm`tan_cot_equation_count_roots_with_domain`(3 câu)

5. Chu kỳ của $\tan x, \cot x$ là $\pi$Trắc nghiệm`tan_cot_period`(3 câu)

6. Tìm các điểm hàm $\tan x$ hoặc $\cot x$ không xác địnhTrắc nghiệm`tan_cot_undefined`(3 câu)

7. Cho hàm $f(x) = \cot x$ — xét TXĐ, lẻ, chu kì, công thức nghịch đảoĐúng / Sai`tan_cot_examples`(3 câu)

8. Cho hàm $f(x) = \tan x$ — xét TXĐ, chu kì, lẻ, giá trị tại $\pi/4$Đúng / Sai`tan_cot_facts`(3 câu)

9. Tính $\cot$ tại góc đặc biệt (số thập phân)Trả lời ngắn`cot_special_value`(3 câu)

10. Tính $\tan$ tại góc đặc biệt (số thập phân)Trả lời ngắn`tan_special_value`(3 câu)