Một số phương trình lượng giác thường gặp

Công thức

§1. Công thức(1)

1.1

Phương trình $a \sin x + b \cos x = c$

Điều kiện có nghiệm: $a^2 + b^2 \geq c^2$. Cách giải: chia 2 vế cho $\sqrt{a^2 + b^2}$: $$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin x + \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos x = \dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$ Đặt $\cos\varphi = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $\sin\varphi = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$: $$\sin(x + \varphi) = \dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \Rightarrow \text{pt cơ bản}.$$

§2. Phương pháp(4)

2.1

Phương pháp đưa về tích

Dùng các công thức biến đổi (tổng-tích, hạ bậc, nhân đôi) để đưa phương trình về dạng: $$A \cdot B = 0 \Leftrightarrow A = 0 \text{ hoặc } B = 0.$$ Mỗi nhân tử là 1 phương trình lượng giác cơ bản → giải riêng.

2.2

Phương trình đẳng cấp bậc 2: $a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = d$

Cách 1. Xét $\cos x = 0$ → thay vào kiểm tra. Nếu thoả thì có 1 họ nghiệm. Cách 2. Khi $\cos x \neq 0$: chia 2 vế cho $\cos^2 x$: $$a \tan^2 x + b \tan x + c = d (1 + \tan^2 x).$$ Đặt $t = \tan x$, quy về phương trình bậc 2 theo $t$.

2.3

Phương trình bậc 2 theo 1 hàm lượng giác

Dạng: $a t^2 + b t + c = 0$ với $t \in \{\sin x, \cos x, \tan x, \cot x\}$. Bước 1. Đặt $t = $ hàm lượng giác đó. Điều kiện $t$:

$t = \sin x$ hoặc $t = \cos x$: $-1 \leq t \leq 1$.
$t = \tan x, \cot x$: $t \in \mathbb{R}$.

Bước 2. Giải phương trình bậc 2 theo $t$, loại $t$ ngoài miền. Bước 3. Trở lại biến cũ — phương trình lượng giác cơ bản. Vd: $2 \cos^2 x - 3 \cos x + 1 = 0$. Đặt $t = \cos x \in [-1; 1]$: $t = 1$ hoặc $t = 1/2$.

2.4

Phương trình đối xứng theo $\sin x + \cos x$ (hoặc $\sin x - \cos x$)

Dạng: $a(\sin x + \cos x) + b \sin x \cos x + c = 0$. Bước 1. Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin\!\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$, $|t| \leq \sqrt{2}$. Bước 2. $t^2 = 1 + 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin x \cos x = \dfrac{t^2 - 1}{2}$. Bước 3. Quy về phương trình bậc 2 theo $t$, giải rồi đối chiếu $|t| \leq \sqrt{2}$.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo nhận dạng phương trình lượng giác

$\sin^2, \cos^2, \sin x \cos x$ → hạ bậc hoặc đẳng cấp.
$a \sin x + b \cos x$ → bậc nhất, chia $\sqrt{a^2+b^2}$.
$\sin x \pm \cos x$ + $\sin x \cos x$ → đối xứng, đặt $t = \sin x \pm \cos x$.
Có $\sin 2x, \cos 2x, \tan 2x$ → dùng công thức nhân đôi hoặc tổng-tích.

Bài tập

1. Cho $\sin x = a$ ($x$ ở góc phần tư I) — tính $\sin 2x$Trắc nghiệm`apply_double_angle_formula`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Cho $\sin x = \dfrac{3}{5}$ và $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$. Tính $\sin 2x$.

A.$\sin 2x = \dfrac{3}{5}$

B.$\sin 2x = \dfrac{12}{25}$

C.$\sin 2x = \dfrac{24}{25}$

D.$\sin 2x = \dfrac{4}{5}$

Câu 2.Cho $\sin x = \dfrac{5}{13}$ và $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$. Tính $\sin 2x$.

A.$\sin 2x = \dfrac{60}{169}$

B.$\sin 2x = \dfrac{12}{13}$

C.$\sin 2x = \dfrac{5}{13}$

D.$\sin 2x = \dfrac{120}{169}$

Câu 3.Cho $\sin x = \dfrac{3}{5}$ và $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$. Tính $\sin 2x$.

A.$\sin 2x = \dfrac{24}{25}$

B.$\sin 2x = \dfrac{4}{5}$

C.$\sin 2x = \dfrac{3}{5}$

D.$\sin 2x = \dfrac{12}{25}$

2. Phương trình $a\sin x + b\cos x = c$ — biện luận có nghiệm khi $a^2 + b^2 \geq c^2$Trắc nghiệm`asin_bcos_equals_c`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Phương trình $3\sin x + 4\cos x = 6$ có tính chất nào sau đây?

A.Vô nghiệm

B.Có nghiệm với mọi $x$

C.Có 1 nghiệm duy nhất

D.Có nghiệm

Câu 5.Phương trình $1\sin x + 1\cos x = 2$ có tính chất nào sau đây?

A.Vô nghiệm

B.Có nghiệm

C.Có 1 nghiệm duy nhất

D.Có nghiệm với mọi $x$

Câu 6.Phương trình $1\sin x - 1\cos x = 2$ có tính chất nào sau đây?

A.Vô nghiệm

B.Có nghiệm

C.Có 1 nghiệm duy nhất

D.Có nghiệm với mọi $x$

3. Đưa pt về tích / bậc 2 theo $\sin$ (hoặc $\cos$) rồi ĐẾM nghiệm trên một đoạnTrắc nghiệm`factor_trig_equation_count_roots_on_interval`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 7.Số nghiệm của phương trình $\sin x\,(2\cos x - 1) = 0$ thuộc nửa khoảng $(-2\pi; 0]$ là?

A.3

B.5

C.4

D.2

Câu 8.Số nghiệm của phương trình $\sin x\,(2\cos x - 1) = 0$ thuộc khoảng $(-\pi; \pi)$ là?

A.4

B.3

C.2

D.5

Câu 9.Số nghiệm của phương trình $\cos x\,(2\sin x + 1) = 0$ thuộc khoảng $(\pi; 4\pi)$ là?

A.7

B.8

C.6

D.4

4. Phương trình thuần nhất bậc 2: $a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0$Trắc nghiệm`homogeneous_quadratic_sin_cos`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Giải phương trình $\sin^2 x - \cos^2 x = 0$.

A.$x = \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2}$

B.$x = k\pi$

C.$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

D.$x = k\pi \text{ hoặc } x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$

Câu 11.Giải phương trình $\sin^2 x - \cos^2 x = 0$.

A.$x = k\pi$

B.$x = k\pi \text{ hoặc } x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$

C.$x = \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2}$

D.$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

Câu 12.Giải phương trình $\sin^2 x - \cos^2 x = 0$.

A.$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

B.$x = \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2}$

C.$x = k\pi \text{ hoặc } x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$

D.$x = k\pi$

5. Phương trình bậc 2 đối với $\sin x$ hoặc $\cos x$, đếm số nghiệm trên $[0; 2\pi)$Trắc nghiệm`quadratic_in_sin_cos`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 13.Số nghiệm thuộc $[0; 2\pi)$ của phương trình $\sin^2 x = 1$ là?

A.1

B.2

C.0

D.3

Câu 14.Số nghiệm thuộc $[0; 2\pi)$ của phương trình $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ là?

A.1

B.3

C.2

D.0

Câu 15.Số nghiệm thuộc $[0; 2\pi)$ của phương trình $\sin^2 x = 1$ là?

A.3

B.0

C.2

D.1

6. Phân loại phương trình lượng giác (bậc nhất theo sin/cos, bậc 2, đẳng cấp)Trắc nghiệm`recognize_special_form`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Phương trình $a\sin x + b\cos x = c$ thuộc loại nào?

A.Bậc hai theo $\sin x$

B.Đẳng cấp bậc hai

C.Bậc nhất với $\sin x, \cos x$

D.Phương trình lượng giác cơ bản

Câu 17.Phương trình $a\sin^2 x + b\sin x + c = 0$ thuộc loại nào?

A.Đẳng cấp bậc hai

B.Bậc hai theo $\sin x$

C.Phương trình lượng giác cơ bản

D.Bậc nhất với $\sin x, \cos x$

Câu 18.Phương trình $\sin x = m$ thuộc loại nào?

A.Đẳng cấp bậc hai

B.Bậc nhất với $\sin x, \cos x$

C.Phương trình lượng giác cơ bản

D.Bậc hai theo $\sin x$

7. Tính $\sin A + \sin B$ bằng công thức tổng → tích, với $A, B$ là góc đặc biệtTrắc nghiệm`sum_to_product_compute`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 19.Tính giá trị biểu thức $P = \cos 75^\circ + \cos 15^\circ$.

A.$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

D.$\dfrac{\sqrt{6}}{4}$

Câu 20.Tính giá trị biểu thức $P = \sin 75^\circ - \sin 15^\circ$.

A.$\dfrac{\sqrt{6}}{4}$

B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

C.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

D.$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

Câu 21.Tính giá trị biểu thức $P = \cos 15^\circ - \cos 75^\circ$.

A.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

C.$\dfrac{\sqrt{6}}{4}$

D.$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

8. $\sin x + m\cos x = 1$ — tìm $m$ để có nghiệmTrắc nghiệm`trig_equation_with_param_m`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 22.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\cos x + m \sin x = 2$ có nghiệm.

A.$|m| \leq \sqrt{3}$

B.$|m| > \sqrt{3}$

C.$|m| \geq \sqrt{3}$

D.$m \in \mathbb{R}$

Câu 23.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\cos x + m \sin x = 2$ có nghiệm.

A.$|m| \geq \sqrt{3}$

B.$m \in \mathbb{R}$

C.$|m| > \sqrt{3}$

D.$|m| \leq \sqrt{3}$

Câu 24.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\cos x + m \sin x = 2$ có nghiệm.

A.$|m| \geq \sqrt{3}$

B.$|m| > \sqrt{3}$

C.$|m| \leq \sqrt{3}$

D.$m \in \mathbb{R}$

9. Cho PT $\sin x + \cos x = c$ — kiểm tra điều kiện và biến đổiĐúng / Sai`common_trig_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Cho phương trình $\sin x + \cos x = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Có thể đặt $t = \tan(x/2)$ để giải $\sin x + \cos x = 2$.

b)$\sin x + \cos x = 2$ có nghiệm.

c)Phương trình có nghiệm khi $|2| \leq \sqrt{2}$.

d)$\sin x + \cos x \leq \sqrt{2}$ với mọi $x$.

Câu 26.Cho phương trình $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình $\tan x = m$ có nghiệm với mọi $m \in \mathbb{R}$.

b)$\sin x + \cos x \leq \sqrt{2}$ với mọi $x$.

c)Phương trình $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$ có nghiệm.

d)$\sin x + \cos x = 2$ có nghiệm.

Câu 27.Cho phương trình $\sin x + \cos x = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình $\sin x + \cos x = 2$ có nghiệm.

b)Phương trình $a\sin x + b\cos x = c$ có nghiệm khi $a^2 + b^2 \geq c^2$.

c)$\sin x + \cos x \leq \sqrt{2}$ với mọi $x$.

d)Phương trình $\tan x = m$ có nghiệm với mọi $m \in \mathbb{R}$.

10. Số nghiệm của một phương trình lượng giác thường gặp trên $[0; 2\pi)$Trả lời ngắn`count_roots_period`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Số nghiệm trên $[0; 2\pi)$ của $\sin^2 x = 1$ là? (Trả lời số nguyên)

Câu 29.Số nghiệm trên $[0; 2\pi)$ của $\sin x \cdot \cos x = 0$ là? (Trả lời số nguyên)

Câu 30.Số nghiệm trên $[0; 2\pi)$ của $\sin x + \cos x = 0$ là? (Trả lời số nguyên)

11. Giải PT $\sin x \cos x = 0$ trên $[0; 2\pi)$, đếm nghiệmTrả lời ngắn`solve_factored_trig`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Số nghiệm trên $[0; 2\pi)$ của $\sin x (2\cos x - 1) = 0$ là?

Câu 32.Số nghiệm trên $[0; 2\pi)$ của $(\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0$ là?

Câu 33.Số nghiệm trên $[0; 2\pi)$ của $\sin x (\sin x - 1) = 0$ là?

Một số phương trình lượng giác thường gặp

Công thức

§1. Công thức(1)

§2. Phương pháp(4)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Cho $\sin x = a$ ($x$ ở góc phần tư I) — tính $\sin 2x$Trắc nghiệmapply_double_angle_formula(3 câu)

2. Phương trình $a\sin x + b\cos x = c$ — biện luận có nghiệm khi $a^2 + b^2 \geq c^2$Trắc nghiệmasin_bcos_equals_c(3 câu)

3. Đưa pt về tích / bậc 2 theo $\sin$ (hoặc $\cos$) rồi ĐẾM nghiệm trên một đoạnTrắc nghiệmfactor_trig_equation_count_roots_on_interval(3 câu)

4. Phương trình thuần nhất bậc 2: $a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0$Trắc nghiệmhomogeneous_quadratic_sin_cos(3 câu)

5. Phương trình bậc 2 đối với $\sin x$ hoặc $\cos x$, đếm số nghiệm trên $[0; 2\pi)$Trắc nghiệmquadratic_in_sin_cos(3 câu)

6. Phân loại phương trình lượng giác (bậc nhất theo sin/cos, bậc 2, đẳng cấp)Trắc nghiệmrecognize_special_form(3 câu)

7. Tính $\sin A + \sin B$ bằng công thức tổng → tích, với $A, B$ là góc đặc biệtTrắc nghiệmsum_to_product_compute(3 câu)

8. $\sin x + m\cos x = 1$ — tìm $m$ để có nghiệmTrắc nghiệmtrig_equation_with_param_m(3 câu)

9. Cho PT $\sin x + \cos x = c$ — kiểm tra điều kiện và biến đổiĐúng / Saicommon_trig_facts(3 câu)

10. Số nghiệm của một phương trình lượng giác thường gặp trên $[0; 2\pi)$Trả lời ngắncount_roots_period(3 câu)

11. Giải PT $\sin x \cos x = 0$ trên $[0; 2\pi)$, đếm nghiệmTrả lời ngắnsolve_factored_trig(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Cho $\sin x = a$ ($x$ ở góc phần tư I) — tính $\sin 2x$Trắc nghiệm`apply_double_angle_formula`(3 câu)

2. Phương trình $a\sin x + b\cos x = c$ — biện luận có nghiệm khi $a^2 + b^2 \geq c^2$Trắc nghiệm`asin_bcos_equals_c`(3 câu)

3. Đưa pt về tích / bậc 2 theo $\sin$ (hoặc $\cos$) rồi ĐẾM nghiệm trên một đoạnTrắc nghiệm`factor_trig_equation_count_roots_on_interval`(3 câu)

4. Phương trình thuần nhất bậc 2: $a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0$Trắc nghiệm`homogeneous_quadratic_sin_cos`(3 câu)

5. Phương trình bậc 2 đối với $\sin x$ hoặc $\cos x$, đếm số nghiệm trên $[0; 2\pi)$Trắc nghiệm`quadratic_in_sin_cos`(3 câu)

6. Phân loại phương trình lượng giác (bậc nhất theo sin/cos, bậc 2, đẳng cấp)Trắc nghiệm`recognize_special_form`(3 câu)

7. Tính $\sin A + \sin B$ bằng công thức tổng → tích, với $A, B$ là góc đặc biệtTrắc nghiệm`sum_to_product_compute`(3 câu)

8. $\sin x + m\cos x = 1$ — tìm $m$ để có nghiệmTrắc nghiệm`trig_equation_with_param_m`(3 câu)

9. Cho PT $\sin x + \cos x = c$ — kiểm tra điều kiện và biến đổiĐúng / Sai`common_trig_facts`(3 câu)

10. Số nghiệm của một phương trình lượng giác thường gặp trên $[0; 2\pi)$Trả lời ngắn`count_roots_period`(3 câu)

11. Giải PT $\sin x \cos x = 0$ trên $[0; 2\pi)$, đếm nghiệmTrả lời ngắn`solve_factored_trig`(3 câu)