Góc lượng giác

Công thức

§1. Định nghĩa(4)

1.1

Góc lượng giác $(Ou, Ov)$ là góc tạo bởi tia $Ou$ quay tới tia $Ov$ theo 1 chiều (quy ước ngược chiều kim đồng hồ là dương, cùng chiều là âm). Hai góc lượng giác có cùng vị trí tia đầu + tia cuối hơn kém nhau $k \cdot 2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$): $(Ou, Ov) = \alpha + k 2\pi$.

1.2

Đơn vị radian + đổi đơn vị

Radian là đơn vị đo góc, $1$ radian là góc ở tâm chắn cung có độ dài = bán kính. Quan hệ: $\pi$ rad $= 180°$, tức: $$1° = \dfrac{\pi}{180} \text{ rad}, \quad 1 \text{ rad} = \dfrac{180°}{\pi} \approx 57.3°.$$ Đổi $\alpha°$ ra rad: $\alpha \cdot \dfrac{\pi}{180}$. Đổi $x$ rad ra độ: $x \cdot \dfrac{180}{\pi}$.

1.3

Đường tròn lượng giác

Đường tròn tâm $O$, bán kính 1, có chiều dương ngược chiều kim đồng hồ, có $A(1; 0)$ là gốc. Mỗi góc lượng giác $\alpha$ tương ứng với 1 điểm $M$ trên đường tròn sao cho $(OA, OM) = \alpha$. Toạ độ $M = (\cos\alpha; \sin\alpha)$.

1.4

Giá trị lượng giác cơ bản

Cho $M(\cos\alpha; \sin\alpha)$ trên đường tròn lượng giác:

$\sin\alpha$ = tung độ của $M$, $\cos\alpha$ = hoành độ.
$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ (với $\cos\alpha \neq 0$).
$\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ (với $\sin\alpha \neq 0$).

Tập giá trị: $\sin\alpha, \cos\alpha \in [-1; 1]$.

§2. Tính chất(1)

2.1

Dấu của giá trị lượng giác theo góc phần tư

Góc phần tư	$\sin$	$\cos$	$\tan$	$\cot$
I (0 - $\pi/2$)	+	+	+	+
II ($\pi/2$ - $\pi$)	+	-	-	-
III ($\pi$ - $3\pi/2$)	-	-	+	+
IV ($3\pi/2$ - $2\pi$)	-	+	-	-

§3. Công thức(1)

3.1

Hệ thức Pythagore lượng giác

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.$$ $$1 + \tan^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha} \, (\cos\alpha \neq 0).$$ $$1 + \cot^2 \alpha = \dfrac{1}{\sin^2 \alpha} \, (\sin\alpha \neq 0).$$ $$\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1.$$

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: rút gọn góc về $[0; 2\pi)$

Với góc $\alpha$ lớn / âm: $\alpha = \alpha_0 + k \cdot 2\pi$ với $\alpha_0 \in [0; 2\pi)$, $k = \lfloor \alpha / (2\pi) \rfloor$. Khi đó $\sin\alpha = \sin\alpha_0$, $\cos\alpha = \cos\alpha_0$, ... → chỉ cần tính trên $\alpha_0$.

Bài tập

1. Đổi độ sang radianTrắc nghiệm`degree_to_radian`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Đổi $120^\circ$ sang radian.

A.$\dfrac{5 \pi}{3}$

B.$\dfrac{2 \pi}{3}$

C.$\dfrac{4 \pi}{3}$

D.$\dfrac{\pi}{3}$

Câu 2.Đổi $30^\circ$ sang radian.

A.$\dfrac{\pi}{6}$

B.$\dfrac{5 \pi}{6}$

C.$\dfrac{\pi}{3}$

D.$\dfrac{\pi}{12}$

Câu 3.Đổi $90^\circ$ sang radian.

A.$\dfrac{\pi}{4}$

B.$\pi$

C.$\dfrac{3 \pi}{2}$

D.$\dfrac{\pi}{2}$

2. Đổi radian sang độTrắc nghiệm`radian_to_degree`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Đổi $2 \pi$ rad sang độ.

A.$270^\circ$

B.$720^\circ$

C.$180^\circ$

D.$360^\circ$

Câu 5.Đổi $\dfrac{2 \pi}{3}$ rad sang độ.

A.$120^\circ$

B.$240^\circ$

C.$150^\circ$

D.$60^\circ$

Câu 6.Đổi $\dfrac{\pi}{2}$ rad sang độ.

A.$120^\circ$

B.$45^\circ$

C.$180^\circ$

D.$90^\circ$

3. Dùng công thức cộng tính giá trị lượng giác của tổng/hiệu hai gócTrắc nghiệm`trig_angle_addition_formula_l3`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Cho hai góc nhọn $a, b$ (thuộc góc phần tư thứ nhất) thoả mãn $\sin a = \dfrac{8}{17}$ và $\cos b = \dfrac{24}{25}$. Tính $\sin(a - b)$.

A.$\dfrac{297}{425}$

B.$\dfrac{87}{425}$

C.$- \dfrac{87}{425}$

D.$\dfrac{304}{425}$

Câu 8.Cho hai góc nhọn $a, b$ (thuộc góc phần tư thứ nhất) thoả mãn $\sin a = \dfrac{5}{13}$ và $\cos b = \dfrac{15}{17}$. Tính $\sin(a - b)$.

A.$- \dfrac{21}{221}$

B.$\dfrac{171}{221}$

C.$\dfrac{21}{221}$

D.$\dfrac{140}{221}$

Câu 9.Cho hai góc nhọn $a, b$ (thuộc góc phần tư thứ nhất) thoả mãn $\sin a = \dfrac{5}{13}$ và $\cos b = \dfrac{4}{5}$. Tính $\sin(a - b)$.

A.$\dfrac{33}{65}$

B.$\dfrac{56}{65}$

C.$- \dfrac{16}{65}$

D.$\dfrac{16}{65}$

4. Xác định số đo tổng hai góc nhọn từ tang của chúng (chặn về góc đặc biệt)Trắc nghiệm`trig_angle_sum_to_special_angle_l4`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 10.Cho hai góc nhọn $a$ và $b$ thoả mãn $\tan a = 3$ và $\tan b = 2$. Tính số đo của $a + b$.

A.$\dfrac{\pi}{4}$

B.$\dfrac{\pi}{2}$

C.$\dfrac{5 \pi}{4}$

D.$\dfrac{3 \pi}{4}$

Câu 11.Cho hai góc nhọn $a$ và $b$ thoả mãn $\tan a = 2$ và $\tan b = 3$. Tính số đo của $a + b$.

A.$\dfrac{5 \pi}{4}$

B.$\dfrac{\pi}{4}$

C.$\dfrac{\pi}{2}$

D.$\dfrac{3 \pi}{4}$

Câu 12.Cho hai góc nhọn $a$ và $b$ thoả mãn $\tan a = \dfrac{2}{3}$ và $\tan b = \dfrac{1}{5}$. Tính số đo của $a + b$.

A.$\dfrac{5 \pi}{4}$

B.$\dfrac{3 \pi}{4}$

C.$\dfrac{\pi}{4}$

D.$\dfrac{\pi}{2}$

5. Cho góc cụ thể $\alpha = k\pi/n$ (rad) — kiểm tra quy đổi và bội số $2\pi$Đúng / Sai`trig_angle_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho góc lượng giác $\alpha = \dfrac{\pi}{2}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Một vòng tròn đầy đủ tương ứng với $2\pi$ rad hay $360^\circ$.

b)$\dfrac{\pi}{2}$ rad $= 90^\circ$.

c)$90^\circ = \pi/2$ rad.

d)$60^\circ = \pi/2$ rad.

Câu 14.Cho góc lượng giác $\alpha = \dfrac{2\pi}{3}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số đo theo radian phụ thuộc vào bán kính cung tròn.

b)$60^\circ = \pi/2$ rad.

c)$90^\circ = \pi/2$ rad.

d)$30^\circ = \pi/6$ rad.

Câu 15.Cho góc lượng giác $\alpha = \dfrac{\pi}{2}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số đo theo radian phụ thuộc vào bán kính cung tròn.

b)$60^\circ = \pi/2$ rad.

c)Một vòng tròn đầy đủ tương ứng với $2\pi$ rad hay $360^\circ$.

d)$30^\circ = \pi/6$ rad.

6. Cho góc đặc biệt $\alpha$ (đo bằng độ) — quy đổi sang radian và xét dấu/quadrant của các giá trị lượng giácĐúng / Sai`trig_angle_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho góc lượng giác có số đo $\alpha = 45^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$ rad.

b)Tia kết của góc $45^\circ$ thuộc góc phần tư I.

c)Góc lượng giác có thể nhận giá trị âm (theo chiều kim đồng hồ).

d)$1$ rad bằng $60^\circ$.

Câu 17.Cho góc lượng giác có số đo $\alpha = 135^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tia kết của góc $135^\circ$ thuộc góc phần tư II.

b)$1$ rad bằng $60^\circ$.

c)$135^\circ = \dfrac{3\pi}{4}$ rad.

d)$2\pi$ rad $= 720^\circ$.

Câu 18.Cho góc lượng giác có số đo $\alpha = 30^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$2\pi$ rad $= 720^\circ$.

b)$\pi$ rad $= 180^\circ$.

c)$1$ rad bằng $60^\circ$.

d)$30^\circ + 360^\circ$ và $30^\circ$ là hai góc lượng giác cùng tia kết.

7. Tìm góc cùng tia kết với $\alpha$ trong $(360^\circ; 720^\circ)$Trả lời ngắn`coterminal_angle`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Tìm một góc cùng tia kết với góc $150^\circ$ có số đo trong $(360^\circ; 720^\circ)$ (theo độ).

Câu 20.Tìm một góc cùng tia kết với góc $120^\circ$ có số đo trong $(360^\circ; 720^\circ)$ (theo độ).

Câu 21.Tìm một góc cùng tia kết với góc $60^\circ$ có số đo trong $(360^\circ; 720^\circ)$ (theo độ).

8. Đổi độ sang radian (số thập phân)Trả lời ngắn`deg_to_rad_sa`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 22.Đổi $180^\circ$ sang radian (số thập phân). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 23.Đổi $30^\circ$ sang radian (số thập phân). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 24.Đổi $60^\circ$ sang radian (số thập phân). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Góc lượng giác

Công thức

§1. Định nghĩa(4)

§2. Tính chất(1)

§3. Công thức(1)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Đổi độ sang radianTrắc nghiệmdegree_to_radian(3 câu)

2. Đổi radian sang độTrắc nghiệmradian_to_degree(3 câu)

3. Dùng công thức cộng tính giá trị lượng giác của tổng/hiệu hai gócTrắc nghiệmtrig_angle_addition_formula_l3(3 câu)

4. Xác định số đo tổng hai góc nhọn từ tang của chúng (chặn về góc đặc biệt)Trắc nghiệmtrig_angle_sum_to_special_angle_l4(3 câu)

5. Cho góc cụ thể $\alpha = k\pi/n$ (rad) — kiểm tra quy đổi và bội số $2\pi$Đúng / Saitrig_angle_examples(3 câu)

6. Cho góc đặc biệt $\alpha$ (đo bằng độ) — quy đổi sang radian và xét dấu/quadrant của các giá trị lượng giácĐúng / Saitrig_angle_facts(3 câu)

7. Tìm góc cùng tia kết với $\alpha$ trong $(360^\circ; 720^\circ)$Trả lời ngắncoterminal_angle(3 câu)

8. Đổi độ sang radian (số thập phân)Trả lời ngắndeg_to_rad_sa(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Đổi độ sang radianTrắc nghiệm`degree_to_radian`(3 câu)

2. Đổi radian sang độTrắc nghiệm`radian_to_degree`(3 câu)

3. Dùng công thức cộng tính giá trị lượng giác của tổng/hiệu hai gócTrắc nghiệm`trig_angle_addition_formula_l3`(3 câu)

4. Xác định số đo tổng hai góc nhọn từ tang của chúng (chặn về góc đặc biệt)Trắc nghiệm`trig_angle_sum_to_special_angle_l4`(3 câu)

5. Cho góc cụ thể $\alpha = k\pi/n$ (rad) — kiểm tra quy đổi và bội số $2\pi$Đúng / Sai`trig_angle_examples`(3 câu)

6. Cho góc đặc biệt $\alpha$ (đo bằng độ) — quy đổi sang radian và xét dấu/quadrant của các giá trị lượng giácĐúng / Sai`trig_angle_facts`(3 câu)

7. Tìm góc cùng tia kết với $\alpha$ trong $(360^\circ; 720^\circ)$Trả lời ngắn`coterminal_angle`(3 câu)

8. Đổi độ sang radian (số thập phân)Trả lời ngắn`deg_to_rad_sa`(3 câu)