Phương trình lượng giác cơ bản

Công thức

§1. Công thức(4)

1.1

Phương trình $\cos x = m$

Điều kiện: $|m| \leq 1$. Đặt $m = \cos \alpha$: $$\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k 2\pi.$$ Trường hợp đặc biệt:

$\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.
$\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k 2\pi$.
$\cos x = -1 \Leftrightarrow x = \pi + k 2\pi$.

1.2

Phương trình $\cot x = m$

Mọi $m \in \mathbb{R}$ đều có nghiệm. Đặt $m = \cot\alpha$: $$\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi.$$ ĐKXĐ: $\sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k\pi$.

1.3

Phương trình $\sin x = m$

Điều kiện: $|m| \leq 1$ (nếu $|m| > 1$ thì vô nghiệm). Đặt $m = \sin \alpha$: $$\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \begin{cases} x = \alpha + k 2\pi \\ x = \pi - \alpha + k 2\pi \end{cases} \, (k \in \mathbb{Z}).$$ Trường hợp đặc biệt:

$\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi$.
$\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k 2\pi$.
$\sin x = -1 \Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{2} + k 2\pi$.

1.4

Phương trình $\tan x = m$

Mọi $m \in \mathbb{R}$ đều có nghiệm. Đặt $m = \tan\alpha$: $$\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi.$$ ĐKXĐ: $\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.

§2. Phương pháp(1)

2.1

Phương pháp đưa về phương trình cơ bản

Bước 1. Biến đổi đưa về dạng $\sin u = \sin v$, $\cos u = \cos v$, $\tan u = \tan v$, $\cot u = \cot v$. Bước 2. Áp dụng công thức nghiệm tương ứng. Bước 3. Giải các phương trình đại số $u = \dots$ cho biến ban đầu. Bước 4. Kiểm tra điều kiện xác định (nếu có).

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: chuyển dấu trừ thành cùng dạng

$\sin x = -m = \sin(-\alpha)$ — đưa được về dạng $\sin u = \sin v$. $\cos x = -m = \cos(\pi - \alpha)$. $\sin x = \cos y = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} - y\right)$ → cùng họ $\sin$. $\cos x = \sin y = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} - y\right)$ → cùng họ $\cos$. Nguyên tắc: đưa về cùng 1 hàm $\sin$ hoặc $\cos$ ở 2 vế.

§4. Lưu ý(1)

4.1!

Lưu ý: $k \in \mathbb{Z}$

Mọi phương trình lượng giác cơ bản có vô số nghiệm — luôn ghi điều kiện $k \in \mathbb{Z}$. Khi bài yêu cầu nghiệm trong khoảng cụ thể (vd $[0; 2\pi]$): thay $k = 0, \pm 1, \pm 2 \dots$ lần lượt để lấy các nghiệm thuộc khoảng đó.

Bài tập

1. Tìm $m$ để $\sin x = m$ (hoặc $\cos x = m$) có nghiệm → $|m| \leq 1$Trắc nghiệm`condition_for_solvable`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để phương trình $\cos x = m$ có nghiệm.

A.$m \leq 1$

B.$-1 < m < 1$

C.$-1 \leq m \leq 1$

D.$m \geq -1$

Câu 2.Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để phương trình $\sin x = m$ có nghiệm.

A.$-1 < m < 1$

B.$-1 \leq m \leq 1$

C.$m \leq 1$

D.$m \geq -1$

Câu 3.Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để phương trình $\cos x = m$ có nghiệm.

A.$m \leq 1$

B.$-1 \leq m \leq 1$

C.$-1 < m < 1$

D.$m \geq -1$

2. Forward: đếm nghiệm $\cos(kx)=c$ / $\sin(kx)=c$ trên khoảng rộng nhiều chu kỳ; bẫy quên hệ số $k$Trắc nghiệm`count_scaled_trig_roots_on_interval`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Số nghiệm của phương trình $\sin 2x = \dfrac{1}{2}$ trên nửa khoảng $(0; 4\pi]$ là?

A.4

B.8

C.7

D.9

Câu 5.Số nghiệm của phương trình $\sin 3x = -1$ trên đoạn $[\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{9\pi}{2}]$ là?

A.8

B.6

C.7

D.2

Câu 6.Số nghiệm của phương trình $\cos 2x = 0$ trên đoạn $[0; \dfrac{5\pi}{2}]$ là?

A.4

B.5

C.6

D.3

3. Phân biệt khoảng mở vs đoạn đóng: cùng phương trình, đầu mút chứa/không chứa nghiệm → lệch 1Trắc nghiệm`count_scaled_trig_roots_open_closed`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Số nghiệm của phương trình $\cos 2x = -1$ trên khoảng $(-\dfrac{3\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2})$ là?

A.1

B.2

C.0

D.3

Câu 8.Số nghiệm của phương trình $\cos 2x = -1$ trên đoạn $[\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{5\pi}{2}]$ là?

A.2

B.4

C.1

D.3

Câu 9.Số nghiệm của phương trình $\sin 2x = -1$ trên khoảng $(-\dfrac{5\pi}{4}; \dfrac{7\pi}{4})$ là?

A.1

B.2

C.3

D.4

4. Reverse: biết pt có đúng $N$ nghiệm trên khoảng cho trước, hỏi hệ số $k$ phù hợpTrắc nghiệm`count_scaled_trig_roots_reverse`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Cho phương trình $\sin kx = 0$ (với $k$ nguyên dương). Biết phương trình có đúng $6$ nghiệm trên nửa khoảng $(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{5\pi}{2}]$. Giá trị của $k$ là?

A.$k = 1$

B.$k = 4$

C.$k = 3$

D.$k = 2$

Câu 11.Cho phương trình $\cos kx = 0$ (với $k$ nguyên dương). Biết phương trình có đúng $7$ nghiệm trên đoạn $[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}]$. Giá trị của $k$ là?

A.$k = 2$

B.$k = 1$

C.$k = 4$

D.$k = 3$

Câu 12.Cho phương trình $\sin kx = -1$ (với $k$ nguyên dương). Biết phương trình có đúng $5$ nghiệm trên nửa khoảng $(-\pi; 2\pi]$. Giá trị của $k$ là?

A.$k = 4$

B.$k = 2$

C.$k = 3$

D.$k = 1$

5. Đếm số nghiệm của $\sin x = m$ (hoặc $\cos x = m$) trên $[0; 2\pi]$Trắc nghiệm`count_solutions_in_interval`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Số nghiệm của phương trình $\sin x = 1$ thuộc đoạn $[0; 2\pi]$ bằng bao nhiêu?

A.1

B.2

C.3

D.0

Câu 14.Số nghiệm của phương trình $\cos x = 0$ thuộc đoạn $[0; 2\pi]$ bằng bao nhiêu?

A.2

B.3

C.0

D.1

Câu 15.Số nghiệm của phương trình $\cos x = \dfrac{1}{2}$ thuộc đoạn $[0; 2\pi]$ bằng bao nhiêu?

A.2

B.1

C.3

D.0

6. Giải phương trình $\cos x = m$ → $x = \pm \alpha + k2\pi$Trắc nghiệm`solve_cos_x_equals_value`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Giải phương trình $\cos x = \dfrac{1}{2}$.

A.$x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$

B.$x = \pi - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi$

C.$x = \pm \dfrac{\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

D.$x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi$

Câu 17.Giải phương trình $\cos x = 1$.

A.$x = \pi + k2\pi$

B.$x = \pm 0 + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

C.$x = 0 + k\pi$

D.$x = 0 + k2\pi$

Câu 18.Giải phương trình $\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

A.$x = \pi - \dfrac{\pi}{6} + k2\pi$

B.$x = \pm \dfrac{\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

C.$x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi$

D.$x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi$

7. Đơn vị độ: $\cot(ax+b^\circ)=m$ → $x = \dfrac{\alpha^\circ - b^\circ}{a} + k\cdot\dfrac{180^\circ}{a}$Trắc nghiệm`solve_cot_equation_degrees`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 19.Giải phương trình $\tan\left(3x + 60^\circ\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ (đơn vị độ).

A.$x = \dfrac{30^\circ - 60^\circ}{3} + k \cdot 180^\circ, k \in \mathbb{Z}$

B.$x = \dfrac{30^\circ + 60^\circ}{3} + k \cdot \dfrac{180^\circ}{3}, k \in \mathbb{Z}$

C.$x = \dfrac{30^\circ - 60^\circ}{3} + k \cdot \dfrac{360^\circ}{3}, k \in \mathbb{Z}$

D.$x = \dfrac{30^\circ - 60^\circ}{3} + k \cdot \dfrac{180^\circ}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Câu 20.Giải phương trình $\cot\left(3x - 15^\circ\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ (đơn vị độ).

A.$x = \dfrac{60^\circ + 15^\circ}{3} + k \cdot \dfrac{360^\circ}{3}, k \in \mathbb{Z}$

B.$x = \dfrac{60^\circ + 15^\circ}{3} + k \cdot 180^\circ, k \in \mathbb{Z}$

C.$x = \dfrac{60^\circ - 15^\circ}{3} + k \cdot \dfrac{180^\circ}{3}, k \in \mathbb{Z}$

D.$x = \dfrac{60^\circ + 15^\circ}{3} + k \cdot \dfrac{180^\circ}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Câu 21.Giải phương trình $\tan\left(3x\right) = 0$ (đơn vị độ).

A.$x = \dfrac{0^\circ}{3} + k \cdot \dfrac{360^\circ}{3}, k \in \mathbb{Z}$

B.$x = \dfrac{0^\circ}{3} + k \cdot \dfrac{180^\circ}{3}, k \in \mathbb{Z}$

C.Phương trình vô nghiệm.

D.$x = \dfrac{0^\circ}{3} + k \cdot 180^\circ, k \in \mathbb{Z}$

8. Forward tịnh tiến: $\sin(x-b)=m$ / $\cos(x+b)=m$ → đặt $u=x\mp b$; bẫy thiếu nhánh $\pi-\alpha$Trắc nghiệm`solve_sin_cos_linear_argument`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 22.Giải phương trình $\sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

A.$x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

B.$x = \pm \left(\dfrac{\pi}{4}\right) + \dfrac{\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

C.$x = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

D.$\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \text{ hoặc } \pi - \left(\dfrac{\pi}{4}\right) + \dfrac{\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

Câu 23.Giải phương trình $\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

A.$\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \text{ hoặc } \pi - \left(\dfrac{\pi}{4}\right) - \dfrac{\pi}{4} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

B.$x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

C.$x = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{4} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

D.$x = \pm \left(\dfrac{\pi}{4}\right) - \dfrac{\pi}{4} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

Câu 24.Giải phương trình $\sin\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

A.$\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \text{ hoặc } \pi - \left(\dfrac{\pi}{4}\right) + \dfrac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

B.$x = \pm \left(\dfrac{\pi}{4}\right) + \dfrac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

C.$x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

D.$x = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

9. Forward nhân/chia hệ số: $\sin(2x)=1$, $\sin(x/2)=1$, $\cos(3x)=m$ → chia hệ số cả $k2\pi$Trắc nghiệm`solve_sin_cos_scaled_argument`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 25.Giải phương trình $\cos\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{1}{2}$.

A.$x = 2\left(\pm \left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right) + k4\pi + \pi, k \in \mathbb{Z}$

B.$2\left(\pm \left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right) + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

C.$2\left(\pm \left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right) + k4\pi, k \in \mathbb{Z}$

D.$\pm \left(\dfrac{\pi}{3}\right) + k4\pi, k \in \mathbb{Z}$

Câu 26.Giải phương trình $\sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = 1$.

A.$2\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

B.$x = 2\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + k4\pi + \pi, k \in \mathbb{Z}$

C.$\dfrac{\pi}{2} + k4\pi, k \in \mathbb{Z}$

D.$2\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + k4\pi, k \in \mathbb{Z}$

Câu 27.Giải phương trình $\cos\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

A.$2\left(\pm \left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right) + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

B.$\pm \left(\dfrac{\pi}{6}\right) + k4\pi, k \in \mathbb{Z}$

C.$x = 2\left(\pm \left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right) + k4\pi + \pi, k \in \mathbb{Z}$

D.$2\left(\pm \left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right) + k4\pi, k \in \mathbb{Z}$

10. Giải $\sin x = \sin\alpha$ với $\alpha = \dfrac{p\pi}{q}$ (góc bất kỳ, KHÔNG phải giá trị đặc biệt)Trắc nghiệm`solve_sin_x_equals_sin_angle`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Giải phương trình $\sin x = \sin \dfrac{\pi}{5}$.

A.$\left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{5} + k2\pi \\ x = \dfrac{4\pi}{5} + k2\pi \end{array}\right.,\ k \in \mathbb{Z}$

B.$x = -\dfrac{\pi}{5} + k2\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

C.$x = \dfrac{\pi}{5} + k2\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

D.$\left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{5} + k2\pi \\ x = -\dfrac{\pi}{5} + k2\pi \end{array}\right.,\ k \in \mathbb{Z}$

Câu 29.Giải phương trình $\sin x = \sin \dfrac{\pi}{10}$.

A.$\left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{10} + k2\pi \\ x = \dfrac{9\pi}{10} + k2\pi \end{array}\right.,\ k \in \mathbb{Z}$

B.$x = -\dfrac{\pi}{10} + k2\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

C.$x = \dfrac{\pi}{10} + k2\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

D.$\left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{10} + k2\pi \\ x = -\dfrac{\pi}{10} + k2\pi \end{array}\right.,\ k \in \mathbb{Z}$

Câu 30.Giải phương trình $\sin x = \sin \dfrac{2\pi}{5}$.

A.$x = -\dfrac{2\pi}{5} + k2\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

B.$\left[\begin{array}{l} x = \dfrac{2\pi}{5} + k2\pi \\ x = \dfrac{3\pi}{5} + k2\pi \end{array}\right.,\ k \in \mathbb{Z}$

C.$\left[\begin{array}{l} x = \dfrac{2\pi}{5} + k2\pi \\ x = -\dfrac{2\pi}{5} + k2\pi \end{array}\right.,\ k \in \mathbb{Z}$

D.$x = \dfrac{2\pi}{5} + k2\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

11. Giải phương trình lượng giác cơ bản $\sin x = m$Trắc nghiệm`solve_sin_x_equals_value`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Giải phương trình $\sin x = - \dfrac{1}{2}$.

A.$x = -\dfrac{\pi}{6} + k2\pi \text{ hoặc } x = \pi - (-\dfrac{\pi}{6}) + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

B.$x = -\dfrac{\pi}{6} + k2\pi$

C.$x = -(-\dfrac{\pi}{6}) + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

D.$x = -\dfrac{\pi}{6} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Câu 32.Giải phương trình $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

A.$x = -(\dfrac{\pi}{3}) + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

B.$x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \text{ hoặc } x = \pi - (\dfrac{\pi}{3}) + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

C.$x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi$

D.$x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Câu 33.Giải phương trình $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

A.$x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

B.$x = -(\dfrac{\pi}{3}) + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

C.$x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \text{ hoặc } x = \pi - (\dfrac{\pi}{3}) + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

D.$x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi$

12. Forward: $\tan x = m$ hoặc $\cot x = m$ → $x = \alpha + k\pi$ (bẫy chu kỳ $k2\pi$)Trắc nghiệm`solve_tan_cot_basic_equation`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 34.Tập nghiệm của phương trình $\tan x = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ là?

A.$x = \dfrac{\pi}{6} + k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

B.$x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

C.$x = \pm \dfrac{\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

D.$x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

Câu 35.Tập nghiệm của phương trình $\tan x = 1$ là?

A.$x = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

B.$x = \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

C.$x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

D.$x = \pm \dfrac{\pi}{4} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

Câu 36.Tập nghiệm của phương trình $\tan x = 1$ là?

A.$x = \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

B.$x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

C.$x = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

D.$x = \pm \dfrac{\pi}{4} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

13. Đối số có hệ số (radian): $\tan(2x)=m$, $\cot(x/2)=m$, $\tan(ax+b)=m$ → chia hệ số CẢ phần $k\pi$Trắc nghiệm`solve_tan_cot_scaled_argument`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 37.Giải phương trình $\tan\left(3x + \dfrac{\pi}{3}\right) = 1$.

A.$x = \dfrac{\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{3}}{3} + k\dfrac{2\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$

B.$x = \dfrac{\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{3}}{3} + k\dfrac{\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$

C.$x = \dfrac{\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{3}}{3} + k\dfrac{\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$

D.$x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Câu 38.Giải phương trình $\tan\left(\dfrac{x}{2}\right) = -1$.

A.$x = \dfrac{-\dfrac{\pi}{4}}{2} + k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

B.$x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

C.$x = 2\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

D.$x = 2\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

Câu 39.Giải phương trình $\cot\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

A.$x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

B.$x = \dfrac{\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{4}}{2} + k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

C.$x = \dfrac{\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{4}}{2} + k\dfrac{2\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

D.$x = \dfrac{\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}}{2} + k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

14. Reverse: cho nghiệm $x = \dfrac{\alpha}{a} + k\dfrac{2\pi}{a}$, hỏi phương trình $\sin/\cos$ gốcTrắc nghiệm`solve_trig_linear_argument_reverse`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 40.Phương trình nào sau đây có tập nghiệm $x = \dfrac{\pi}{3} + k\dfrac{2\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$?

A.$\cos\left(3x\right) = -1$

B.$\sin\left(3x\right) = -1$

C.$\cos x = -1$

D.$\cos\left(3x\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Câu 41.Phương trình nào sau đây có tập nghiệm $x = \dfrac{\pi}{2} + k\dfrac{2\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$?

A.$\cos\left(2x\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

B.$\sin\left(2x\right) = -1$

C.$\cos\left(2x\right) = -1$

D.$\cos x = -1$

Câu 42.Phương trình nào sau đây có tập nghiệm $x = \dfrac{0}{3} + k\dfrac{2\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$?

A.$\cos\left(3x\right) = 1$

B.$\cos\left(3x\right) = 0$

C.$\cos x = 1$

D.$\sin\left(3x\right) = 1$

15. Tính TỔNG các nghiệm của $\sin(kx)=c$ / $\cos(kx)=c$ trên một đoạn cho trướcTrắc nghiệm`sum_of_roots_trig_equation_on_interval`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 43.Gọi $S$ là tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\cos 2x = 0$ thuộc đoạn $[0; 4\pi]$. Giá trị của $S$ bằng?

A.$\dfrac{63\pi}{4}$

B.$16\pi$

C.$8\pi$

D.$\dfrac{49\pi}{4}$

Câu 44.Gọi $S$ là tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\sin 2x = -1$ thuộc khoảng $(0; 3\pi)$. Giá trị của $S$ bằng?

A.$\dfrac{9\pi}{2}$

B.$\dfrac{21\pi}{4}$

C.$\dfrac{5\pi}{2}$

D.$\dfrac{3\pi}{2}$

Câu 45.Gọi $S$ là tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\sin 2x = 0$ thuộc nửa khoảng $(0; 4\pi]$. Giá trị của $S$ bằng?

A.$\dfrac{35\pi}{2}$

B.$14\pi$

C.$18\pi$

D.$10\pi$

16. Reverse: cho tập nghiệm $x = \alpha + k\pi$, hỏi phương trình $\tan/\cot$ tương ứngTrắc nghiệm`tan_cot_equation_reverse_identify`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 46.Phương trình nào sau đây có tập nghiệm $x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$?

A.$\cot x = \sqrt{3}$

B.$\sin x = \sqrt{3}$

C.$\cot x = 1$

D.$\tan x = \sqrt{3}$

Câu 47.Phương trình nào sau đây có tập nghiệm $x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$?

A.$\cot x = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

B.$\sin x = \sqrt{3}$

C.$\tan x = \sqrt{3}$

D.$\cot x = \sqrt{3}$

Câu 48.Phương trình nào sau đây có tập nghiệm $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$?

A.$\cot x = \sqrt{3}$

B.$\cot x = 1$

C.$\sin x = 1$

D.$\tan x = 1$

17. Cho phương trình $\sin x = \sin \alpha$ với $\alpha$ cụ thể — xét nghiệm tổng quát và nghiệm trong $[0; 2\pi]$Đúng / Sai`basic_trig_eq_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 49.Cho phương trình $\sin x = \dfrac{1}{2}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình $\sin x = \dfrac{1}{2}$ có duy nhất một nghiệm.

b)Phương trình $\sin x = m$ có nghiệm khi $|m| \leq 1$.

c)Phương trình tương đương $\sin x = \sin \pi/6$.

d)Phương trình có nghiệm vì $|\dfrac{1}{2}| \leq 1$.

Câu 50.Cho phương trình $\sin x = \dfrac{1}{2}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình $\sin x = m$ có nghiệm khi $|m| \leq 1$.

b)Phương trình có nghiệm vì $|\dfrac{1}{2}| \leq 1$.

c)Nghiệm tổng quát: $x = \pm \pi/6 + k 2\pi$.

d)Nghiệm tổng quát: $x = \pi/6 + k 2\pi$ hoặc $x = \pi - \pi/6 + k 2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).

Câu 51.Cho phương trình $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Nghiệm tổng quát: $x = \pi/3 + k 2\pi$ hoặc $x = \pi - \pi/3 + k 2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).

b)Phương trình $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ có duy nhất một nghiệm.

c)Nghiệm tổng quát: $x = \pm \pi/3 + k 2\pi$.

d)Phương trình có nghiệm vì $|\dfrac{\sqrt{3}}{2}| \leq 1$.

18. Cho $\sin x = a$ hoặc $\cos x = a$, tìm 1 nghiệm trong $[0; 2\pi)$ — số radian (thập phân)Trả lời ngắn`solve_basic_trig`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 52.Tìm một nghiệm trong $[0; 2\pi)$ của $\sin x = \dfrac{1}{2}$ (viết dưới dạng số radian thập phân). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 53.Tìm một nghiệm trong $[0; 2\pi)$ của $\tan x = 1$ (viết dưới dạng số radian thập phân). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 54.Tìm một nghiệm trong $[0; 2\pi)$ của $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (viết dưới dạng số radian thập phân). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

19. Đếm số nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trên $[0; 2\pi)$Trả lời ngắn`trig_eq_count_solutions_in_period`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 55.Phương trình $\sin x = 0$ có bao nhiêu nghiệm trên $[0; 2\pi)$?

Câu 56.Phương trình $\cos x = \dfrac{1}{2}$ có bao nhiêu nghiệm trên $[0; 2\pi)$?

Câu 57.Phương trình $\sin x = 1$ có bao nhiêu nghiệm trên $[0; 2\pi)$?

Công thức

§1. Công thức(4)

§2. Phương pháp(1)

§3. Mẹo(1)

§4. Lưu ý(1)

Bài tập

1. Tìm $m$ để $\sin x = m$ (hoặc $\cos x = m$) có nghiệm → $|m| \leq 1$Trắc nghiệmcondition_for_solvable(3 câu)

2. Forward: đếm nghiệm $\cos(kx)=c$ / $\sin(kx)=c$ trên khoảng rộng nhiều chu kỳ; bẫy quên hệ số $k$Trắc nghiệmcount_scaled_trig_roots_on_interval(3 câu)

3. Phân biệt khoảng mở vs đoạn đóng: cùng phương trình, đầu mút chứa/không chứa nghiệm → lệch 1Trắc nghiệmcount_scaled_trig_roots_open_closed(3 câu)

4. Reverse: biết pt có đúng $N$ nghiệm trên khoảng cho trước, hỏi hệ số $k$ phù hợpTrắc nghiệmcount_scaled_trig_roots_reverse(3 câu)

5. Đếm số nghiệm của $\sin x = m$ (hoặc $\cos x = m$) trên $[0; 2\pi]$Trắc nghiệmcount_solutions_in_interval(3 câu)

6. Giải phương trình $\cos x = m$ → $x = \pm \alpha + k2\pi$Trắc nghiệmsolve_cos_x_equals_value(3 câu)

7. Đơn vị độ: $\cot(ax+b^\circ)=m$ → $x = \dfrac{\alpha^\circ - b^\circ}{a} + k\cdot\dfrac{180^\circ}{a}$Trắc nghiệmsolve_cot_equation_degrees(3 câu)

8. Forward tịnh tiến: $\sin(x-b)=m$ / $\cos(x+b)=m$ → đặt $u=x\mp b$; bẫy thiếu nhánh $\pi-\alpha$Trắc nghiệmsolve_sin_cos_linear_argument(3 câu)

9. Forward nhân/chia hệ số: $\sin(2x)=1$, $\sin(x/2)=1$, $\cos(3x)=m$ → chia hệ số cả $k2\pi$Trắc nghiệmsolve_sin_cos_scaled_argument(3 câu)

10. Giải $\sin x = \sin\alpha$ với $\alpha = \dfrac{p\pi}{q}$ (góc bất kỳ, KHÔNG phải giá trị đặc biệt)Trắc nghiệmsolve_sin_x_equals_sin_angle(3 câu)

11. Giải phương trình lượng giác cơ bản $\sin x = m$Trắc nghiệmsolve_sin_x_equals_value(3 câu)

12. Forward: $\tan x = m$ hoặc $\cot x = m$ → $x = \alpha + k\pi$ (bẫy chu kỳ $k2\pi$)Trắc nghiệmsolve_tan_cot_basic_equation(3 câu)

13. Đối số có hệ số (radian): $\tan(2x)=m$, $\cot(x/2)=m$, $\tan(ax+b)=m$ → chia hệ số CẢ phần $k\pi$Trắc nghiệmsolve_tan_cot_scaled_argument(3 câu)

14. Reverse: cho nghiệm $x = \dfrac{\alpha}{a} + k\dfrac{2\pi}{a}$, hỏi phương trình $\sin/\cos$ gốcTrắc nghiệmsolve_trig_linear_argument_reverse(3 câu)

15. Tính TỔNG các nghiệm của $\sin(kx)=c$ / $\cos(kx)=c$ trên một đoạn cho trướcTrắc nghiệmsum_of_roots_trig_equation_on_interval(3 câu)

16. Reverse: cho tập nghiệm $x = \alpha + k\pi$, hỏi phương trình $\tan/\cot$ tương ứngTrắc nghiệmtan_cot_equation_reverse_identify(3 câu)

17. Cho phương trình $\sin x = \sin \alpha$ với $\alpha$ cụ thể — xét nghiệm tổng quát và nghiệm trong $[0; 2\pi]$Đúng / Saibasic_trig_eq_facts(3 câu)

18. Cho $\sin x = a$ hoặc $\cos x = a$, tìm 1 nghiệm trong $[0; 2\pi)$ — số radian (thập phân)Trả lời ngắnsolve_basic_trig(3 câu)

19. Đếm số nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trên $[0; 2\pi)$Trả lời ngắntrig_eq_count_solutions_in_period(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tìm $m$ để $\sin x = m$ (hoặc $\cos x = m$) có nghiệm → $|m| \leq 1$Trắc nghiệm`condition_for_solvable`(3 câu)

2. Forward: đếm nghiệm $\cos(kx)=c$ / $\sin(kx)=c$ trên khoảng rộng nhiều chu kỳ; bẫy quên hệ số $k$Trắc nghiệm`count_scaled_trig_roots_on_interval`(3 câu)

3. Phân biệt khoảng mở vs đoạn đóng: cùng phương trình, đầu mút chứa/không chứa nghiệm → lệch 1Trắc nghiệm`count_scaled_trig_roots_open_closed`(3 câu)

4. Reverse: biết pt có đúng $N$ nghiệm trên khoảng cho trước, hỏi hệ số $k$ phù hợpTrắc nghiệm`count_scaled_trig_roots_reverse`(3 câu)

5. Đếm số nghiệm của $\sin x = m$ (hoặc $\cos x = m$) trên $[0; 2\pi]$Trắc nghiệm`count_solutions_in_interval`(3 câu)

6. Giải phương trình $\cos x = m$ → $x = \pm \alpha + k2\pi$Trắc nghiệm`solve_cos_x_equals_value`(3 câu)

7. Đơn vị độ: $\cot(ax+b^\circ)=m$ → $x = \dfrac{\alpha^\circ - b^\circ}{a} + k\cdot\dfrac{180^\circ}{a}$Trắc nghiệm`solve_cot_equation_degrees`(3 câu)

8. Forward tịnh tiến: $\sin(x-b)=m$ / $\cos(x+b)=m$ → đặt $u=x\mp b$; bẫy thiếu nhánh $\pi-\alpha$Trắc nghiệm`solve_sin_cos_linear_argument`(3 câu)

9. Forward nhân/chia hệ số: $\sin(2x)=1$, $\sin(x/2)=1$, $\cos(3x)=m$ → chia hệ số cả $k2\pi$Trắc nghiệm`solve_sin_cos_scaled_argument`(3 câu)

10. Giải $\sin x = \sin\alpha$ với $\alpha = \dfrac{p\pi}{q}$ (góc bất kỳ, KHÔNG phải giá trị đặc biệt)Trắc nghiệm`solve_sin_x_equals_sin_angle`(3 câu)

11. Giải phương trình lượng giác cơ bản $\sin x = m$Trắc nghiệm`solve_sin_x_equals_value`(3 câu)

12. Forward: $\tan x = m$ hoặc $\cot x = m$ → $x = \alpha + k\pi$ (bẫy chu kỳ $k2\pi$)Trắc nghiệm`solve_tan_cot_basic_equation`(3 câu)

13. Đối số có hệ số (radian): $\tan(2x)=m$, $\cot(x/2)=m$, $\tan(ax+b)=m$ → chia hệ số CẢ phần $k\pi$Trắc nghiệm`solve_tan_cot_scaled_argument`(3 câu)

14. Reverse: cho nghiệm $x = \dfrac{\alpha}{a} + k\dfrac{2\pi}{a}$, hỏi phương trình $\sin/\cos$ gốcTrắc nghiệm`solve_trig_linear_argument_reverse`(3 câu)

15. Tính TỔNG các nghiệm của $\sin(kx)=c$ / $\cos(kx)=c$ trên một đoạn cho trướcTrắc nghiệm`sum_of_roots_trig_equation_on_interval`(3 câu)

16. Reverse: cho tập nghiệm $x = \alpha + k\pi$, hỏi phương trình $\tan/\cot$ tương ứngTrắc nghiệm`tan_cot_equation_reverse_identify`(3 câu)

17. Cho phương trình $\sin x = \sin \alpha$ với $\alpha$ cụ thể — xét nghiệm tổng quát và nghiệm trong $[0; 2\pi]$Đúng / Sai`basic_trig_eq_facts`(3 câu)

18. Cho $\sin x = a$ hoặc $\cos x = a$, tìm 1 nghiệm trong $[0; 2\pi)$ — số radian (thập phân)Trả lời ngắn`solve_basic_trig`(3 câu)

19. Đếm số nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trên $[0; 2\pi)$Trả lời ngắn`trig_eq_count_solutions_in_period`(3 câu)