Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Cho $d$ không vuông góc $(P)$. Gọi $d'$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$. Góc giữa $d$ và $(P)$ là góc giữa $d$ và $d'$. Ký hiệu: $(\widehat{d, (P)})$. Quy ước:

$d \subset (P)$ hoặc $d \parallel (P)$: góc = $0°$.
$d \perp (P)$: góc = $90°$.
Trường hợp khác: $0° < \alpha < 90°$.

§2. Công thức(2)

2.1

Công thức tính

Gọi $A$ là một điểm trên $d$ ngoài $(P)$, $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $(P)$, $O = d \cap (P)$. Khi đó $\alpha = \widehat{AOH}$ — góc trong tam giác vuông $AHO$: $$\sin \alpha = \dfrac{AH}{AO}, \quad \cos \alpha = \dfrac{OH}{AO}, \quad \tan \alpha = \dfrac{AH}{OH}.$$

2.2

Công thức qua vectơ pháp tuyến + chỉ phương

Cho $\vec{u}$ vectơ chỉ phương của $d$, $\vec{n}$ vectơ pháp tuyến của $(P)$. Góc giữa $d$ và $(P)$ là $\alpha$: $$\sin \alpha = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}.$$ (Vì $\alpha + \beta = 90°$ với $\beta$ là góc giữa $d$ và pháp tuyến của $(P)$.)

§3. Phương pháp(1)

3.1

Phương pháp xác định góc

Bước 1. Tìm giao điểm $O = d \cap (P)$. Bước 2. Chọn 1 điểm $A$ trên $d$ khác $O$. Bước 3. Hạ đường vuông góc $AH$ từ $A$ xuống $(P)$. (Thường $H$ trùng với điểm có sẵn hoặc dễ xác định.) Bước 4. Góc cần tìm $\alpha = \widehat{AOH}$ — tính trong tam giác vuông $AHO$ vuông tại $H$.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: chọn $A$ để $H$ là chân vuông góc đã biết

Trong hình chóp, chọn $A$ = đỉnh chóp $S$ — thì $H$ thường là tâm đáy / chân đường cao, đã được dựng sẵn từ đầu bài. Đối với cạnh bên $SA$: $\alpha = \widehat{SAH}$ — tan $\alpha = SH / AH$ (với $AH$ thuộc đáy).

Bài tập

1. Cho chóp $SA \perp$ đáy + kích thước ⇒ tính SỐ ĐO góc giữa cạnh bên và đáyTrắc nghiệm`angle_lateral_edge_base_degrees`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình chữ nhật $AB = 3,\ AD = 2$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = 3$. Tính số đo góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

A.$60^\circ$

B.$90^\circ$

C.$45^\circ$

D.$30^\circ$

Câu 2.Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình chữ nhật $AB = 2,\ AD = 4$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = \dfrac{4 \sqrt{3}}{3}$. Tính số đo góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

A.$60^\circ$

B.$90^\circ$

C.$45^\circ$

D.$30^\circ$

Câu 3.Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình chữ nhật $AB = 1,\ AD = 4$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = \sqrt{17}$. Tính số đo góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

A.$30^\circ$

B.$45^\circ$

C.$90^\circ$

D.$60^\circ$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh $3$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = 3 \sqrt{6}$. Tính số đo góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

A.$45^\circ$

B.$60^\circ$

C.$30^\circ$

D.$90^\circ$

Câu 5.Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình chữ nhật $AB = 3,\ AD = 2$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = \sqrt{39}$. Tính số đo góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

A.$30^\circ$

B.$60^\circ$

C.$45^\circ$

D.$90^\circ$

Câu 6.Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình chữ nhật $AB = 2,\ AD = 1$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = \dfrac{\sqrt{15}}{3}$. Tính số đo góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

A.$90^\circ$

B.$30^\circ$

C.$45^\circ$

D.$60^\circ$

2. Cùng cấu hình nhưng hỏi $\tan$ của góc giữa cạnh bên và đáy (không hỏi số đo)Trắc nghiệm`angle_lateral_edge_base_tan`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh $1$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = 1$. Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$. Tính $\tan\varphi$.

A.$\tan\varphi = 1$

B.$\tan\varphi = \dfrac{1}{2}$

C.$\tan\varphi = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

D.$\tan\varphi = \sqrt{3}$

Câu 8.Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh $2$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}$. Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$. Tính $\tan\varphi$.

A.$\tan\varphi = 1$

B.$\tan\varphi = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

C.$\tan\varphi = \dfrac{1}{2}$

D.$\tan\varphi = \sqrt{3}$

Câu 9.Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình chữ nhật $AB = 2,\ AD = 4$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = 2 \sqrt{15}$. Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$. Tính $\tan\varphi$.

A.$\tan\varphi = \dfrac{1}{2}$

B.$\tan\varphi = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

C.$\tan\varphi = 1$

D.$\tan\varphi = \sqrt{3}$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh $2$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = 2$. Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$. Tính $\tan\varphi$.

A.$\tan\varphi = 1$

B.$\tan\varphi = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

C.$\tan\varphi = \sqrt{3}$

D.$\tan\varphi = \dfrac{1}{2}$

Câu 11.Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình chữ nhật $AB = 2,\ AD = 3$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = \dfrac{\sqrt{39}}{3}$. Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$. Tính $\tan\varphi$.

A.$\tan\varphi = \dfrac{1}{2}$

B.$\tan\varphi = 1$

C.$\tan\varphi = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

D.$\tan\varphi = \sqrt{3}$

Câu 12.Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh $3$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = \sqrt{3}$. Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$. Tính $\tan\varphi$.

A.$\tan\varphi = \sqrt{3}$

B.$\tan\varphi = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

C.$\tan\varphi = 1$

D.$\tan\varphi = \dfrac{1}{2}$

3. Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳngTrắc nghiệm`angle_line_plane_def`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 13.Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (khi đường thẳng cắt mặt phẳng) là?

A.Góc giữa đường thẳng và pháp tuyến mặt phẳng

B.Góc giữa đường thẳng và trục Oz

C.Góc giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng

D.Góc giữa đường thẳng và đường thẳng nào đó trong mặt phẳng

Câu 14.Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (khi đường thẳng cắt mặt phẳng) là?

A.Góc giữa đường thẳng và pháp tuyến mặt phẳng

B.Góc giữa đường thẳng và đường thẳng nào đó trong mặt phẳng

C.Góc giữa đường thẳng và trục Oz

D.Góc giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng

Câu 15.Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (khi đường thẳng cắt mặt phẳng) là?

A.Góc giữa đường thẳng và pháp tuyến mặt phẳng

B.Góc giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng

C.Góc giữa đường thẳng và đường thẳng nào đó trong mặt phẳng

D.Góc giữa đường thẳng và trục Oz

4. angle_perp_to_planeTrắc nghiệm(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 16.Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tạo với mặt phẳng đó góc bao nhiêu?

A.$45^\circ$

B.$60^\circ$

C.$90^\circ$

D.$0^\circ$

Câu 17.Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tạo với mặt phẳng đó góc bao nhiêu?

A.$60^\circ$

B.$45^\circ$

C.$0^\circ$

D.$90^\circ$

Câu 18.Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tạo với mặt phẳng đó góc bao nhiêu?

A.$90^\circ$

B.$0^\circ$

C.$45^\circ$

D.$60^\circ$

5. Chóp $SA \perp$ đáy đều cạnh $a$, $SA = 2a$; $M$ trung điểm $SC$Trắc nghiệm`cos_angle_midpoint_line_base`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA \perp (ABC)$ và $SA = 2a$. Gọi $M$ là trung điểm của $SC$. Tính $\cos$ của góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ABC)$.

A.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

B.$\dfrac{\sqrt{21}}{7}$

C.$\dfrac{2\sqrt{7}}{7}$

D.$\dfrac{\sqrt{7}}{7}$

Câu 20.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA \perp (ABC)$ và $SA = 2a$. Gọi $M$ là trung điểm của $SC$. Tính $\cos$ của góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ABC)$.

A.$\dfrac{\sqrt{7}}{7}$

B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

C.$\dfrac{2\sqrt{7}}{7}$

D.$\dfrac{\sqrt{21}}{7}$

Câu 21.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2$, $SA \perp (ABC)$ và $SA = 4$. Gọi $M$ là trung điểm của $SC$. Tính $\cos$ của góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ABC)$.

A.$\dfrac{\sqrt{7}}{7}$

B.$\dfrac{2\sqrt{7}}{7}$

C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

D.$\dfrac{\sqrt{21}}{7}$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 22.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2$, $SA \perp (ABC)$ và $SA = 4$. Gọi $M$ là trung điểm của $SC$. Tính $\cos$ của góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ABC)$.

A.$\dfrac{\sqrt{7}}{7}$

B.$\dfrac{\sqrt{21}}{7}$

C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

D.$\dfrac{2\sqrt{7}}{7}$

Câu 23.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $3$, $SA \perp (ABC)$ và $SA = 6$. Gọi $M$ là trung điểm của $SC$. Tính $\cos$ của góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ABC)$.

A.$\dfrac{\sqrt{21}}{7}$

B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

C.$\dfrac{2\sqrt{7}}{7}$

D.$\dfrac{\sqrt{7}}{7}$

Câu 24.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA \perp (ABC)$ và $SA = 2a$. Gọi $M$ là trung điểm của $SC$. Tính $\cos$ của góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ABC)$.

A.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

B.$\dfrac{2\sqrt{7}}{7}$

C.$\dfrac{\sqrt{7}}{7}$

D.$\dfrac{\sqrt{21}}{7}$

6. Góc giữa $S{X}$ và đáy là góc NÀO ⇒ $\widehat{S{X}A}$Trắc nghiệm`identify_angle_lateral_edge_base`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 25.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA \perp (ABCD)$. Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc nào?

A.$\widehat{SBA}$

B.$\widehat{SDA}$

C.$\widehat{SDB}$

D.$\widehat{SAD}$

Câu 26.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA \perp (ABCD)$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc nào?

A.$\widehat{SBA}$

B.$\widehat{SCA}$

C.$\widehat{SAC}$

D.$\widehat{SCB}$

Câu 27.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA \perp (ABCD)$. Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc nào?

A.$\widehat{SAD}$

B.$\widehat{SBA}$

C.$\widehat{SDA}$

D.$\widehat{SDB}$

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA \perp (ABCD)$. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc nào?

A.$\widehat{SBC}$

B.$\widehat{SAB}$

C.$\widehat{SBA}$

D.$\widehat{SCA}$

Câu 29.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA \perp (ABCD)$. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc nào?

A.$\widehat{SCA}$

B.$\widehat{SBA}$

C.$\widehat{SAB}$

D.$\widehat{SBC}$

Câu 30.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA \perp (ABCD)$. Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc nào?

A.$\widehat{SDA}$

B.$\widehat{SBA}$

C.$\widehat{SAD}$

D.$\widehat{SDB}$

7. Chọn khẳng định SAI về tên góc / hình chiếu trong chóp $SA \perp$ đáyTrắc nghiệm`identify_angle_projection_false_statement`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 31.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA \perp (ABCD)$. Khẳng định nào sau đây là SAI?

A.Hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$ là $AC$.

B.Góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SBC}$.

C.Hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng $(SAB)$ là $SB$.

D.Hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là điểm $A$.

Câu 32.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA \perp (ABCD)$. Khẳng định nào sau đây là SAI?

A.Hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng $(SAD)$ là $SD$.

B.Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{ASC}$.

C.Góc giữa $SD$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SDA}$.

D.Hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là điểm $A$.

Câu 33.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA \perp (ABCD)$. Khẳng định nào sau đây là SAI?

A.Hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là điểm $A$.

B.Hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$ là $AC$.

C.Góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SBA}$.

D.Góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SBC}$.

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 34.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA \perp (ABCD)$. Khẳng định nào sau đây là SAI?

A.Hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng $(SAD)$ là $SD$.

B.Hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là điểm $A$.

C.Hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$ là $AC$.

D.Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCB}$.

Câu 35.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA \perp (ABCD)$. Khẳng định nào sau đây là SAI?

A.Hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là tâm $O$ của đáy.

B.Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}$.

C.Góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SBA}$.

D.Hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là điểm $A$.

Câu 36.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA \perp (ABCD)$. Khẳng định nào sau đây là SAI?

A.Hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là điểm $A$.

B.Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}$.

C.Góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SBC}$.

D.Hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng $(SAB)$ là $SB$.

8. Hình chiếu của $SC$ lên mặt bên $(SAB)$ / $(SAD)$ là đường nàoTrắc nghiệm`identify_projection_edge_on_lateral_face`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 37.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA \perp (ABCD)$. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng $SC$ lên mặt phẳng $(SAD)$ là đường thẳng nào?

A.$SB$

B.$SC$

C.$SA$

D.$SD$

Câu 38.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA \perp (ABCD)$. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng $SC$ lên mặt phẳng $(SAD)$ là đường thẳng nào?

A.$SC$

B.$SB$

C.$SD$

D.$SA$

Câu 39.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA \perp (ABCD)$. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng $SC$ lên mặt phẳng $(SAD)$ là đường thẳng nào?

A.$SD$

B.$SB$

C.$SC$

D.$SA$

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 40.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA \perp (ABCD)$. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng $SC$ lên mặt phẳng $(SAB)$ là đường thẳng nào?

A.$SD$

B.$SA$

C.$SB$

D.$SC$

Câu 41.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA \perp (ABCD)$. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng $SC$ lên mặt phẳng $(SAD)$ là đường thẳng nào?

A.$SA$

B.$SB$

C.$SD$

D.$SC$

Câu 42.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA \perp (ABCD)$. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng $SC$ lên mặt phẳng $(SAD)$ là đường thẳng nào?

A.$SC$

B.$SD$

C.$SA$

D.$SB$

9. Hình chiếu vuông góc của cạnh bên $SX$ lên mặt phẳng đáy $(ABCD)$ trong chóp $SA\perp(ABCD)$ là đường thẳng $AX$Trắc nghiệm`identify_projection_lateral_edge_on_base`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 43.Cho hình chóp $S.ABCD$ có cạnh bên $SA \perp (ABCD)$. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng $SD$ lên mặt phẳng đáy $(ABCD)$ là đường thẳng nào?

A.$AD$

B.$AC$

C.$AB$

D.$SD$

Câu 44.Cho hình chóp $S.ABCD$ có cạnh bên $SA \perp (ABCD)$. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng $SC$ lên mặt phẳng đáy $(ABCD)$ là đường thẳng nào?

A.$AB$

B.$AD$

C.$AC$

D.$SC$

Câu 45.Cho hình chóp $S.ABCD$ có cạnh bên $SA \perp (ABCD)$. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng $SC$ lên mặt phẳng đáy $(ABCD)$ là đường thẳng nào?

A.$SC$

B.$AC$

C.$AD$

D.$AB$

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 46.Cho hình chóp $S.ABCD$ có cạnh bên $SA \perp (ABCD)$. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng $SC$ lên mặt phẳng đáy $(ABCD)$ là đường thẳng nào?

A.$SC$

B.$AB$

C.$AD$

D.$AC$

Câu 47.Cho hình chóp $S.ABCD$ có cạnh bên $SA \perp (ABCD)$. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng $SB$ lên mặt phẳng đáy $(ABCD)$ là đường thẳng nào?

A.$AD$

B.$AB$

C.$AC$

D.$SB$

Câu 48.Cho hình chóp $S.ABCD$ có cạnh bên $SA \perp (ABCD)$. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng $SC$ lên mặt phẳng đáy $(ABCD)$ là đường thẳng nào?

A.$AD$

B.$AC$

C.$AB$

D.$SC$

10. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên đáy của hình chóp đều — chính là tâm đáyTrắc nghiệm`projection_of_point_in_pyramid`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 49.Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm nào?

A.Tâm đáy (giao điểm hai đường chéo của $ABCD$)

B.Trung điểm cạnh $AB$

C.Đỉnh $A$

D.Trọng tâm tam giác $ABD$

Câu 50.Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm nào?

A.Tâm đáy (giao điểm hai đường chéo của $ABCD$)

B.Trọng tâm tam giác $ABD$

C.Trung điểm cạnh $AB$

D.Đỉnh $A$

Câu 51.Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm nào?

A.Tâm đáy (giao điểm hai đường chéo của $ABCD$)

B.Đỉnh $A$

C.Trung điểm cạnh $AB$

D.Trọng tâm tam giác $ABD$

11. VD cao: hình chóp đáy vuông, SA vuông đáyTrắc nghiệm`pyramid_sc_from_angle_with_base`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 52.Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh $1$, $SA \perp (ABCD).$ Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $30^\circ.$ Tính độ dài $SC.$

A.$SC = \dfrac{2 \sqrt{6}}{3}$

B.$SC = 1$

C.$SC = \sqrt{2}$

D.$SC = \sqrt{3}$

Câu 53.Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh $1$, $SA \perp (ABCD).$ Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^\circ.$ Tính độ dài $SC.$

A.$SC = \sqrt{3}$

B.$SC = \sqrt{2}$

C.$SC = 2 \sqrt{2}$

D.$SC = 1$

Câu 54.Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh $3$, $SA \perp (ABCD).$ Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^\circ.$ Tính độ dài $SC.$

A.$SC = 3 \sqrt{3}$

B.$SC = 3 \sqrt{2}$

C.$SC = 6 \sqrt{2}$

D.$SC = 3$

12. Hình chóp $S.ABC$ với $SA \perp$ đáy và $\triangle ABC$ đều cạnh $a$ — xét góc giữa các cạnh bên với mặt đáyĐúng / Sai`angle_line_plane_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 55.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $\triangle ABC$ đều cạnh $2$, $SA \perp (ABC)$ và $SA = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Góc giữa $SC$ và $(ABC)$ bằng $\widehat{SCA}$.

b)$SA \perp (ABC)$ nên góc giữa $SA$ và $(ABC)$ bằng $90^\circ$.

c)Góc giữa $BC$ và $(ABC)$ bằng $90^\circ$.

d)Hình chiếu vuông góc của $SB$ trên $(ABC)$ là $AB$.

Câu 56.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $\triangle ABC$ đều cạnh $2$, $SA \perp (ABC)$ và $SA = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là góc nhọn vì $SA, SB > 0$.

b)Góc giữa $SB$ và $(ABC)$ bằng $45^\circ$.

c)$SA \perp (ABC)$ nên góc giữa $SA$ và $(ABC)$ bằng $90^\circ$.

d)Góc giữa $BC$ và $(ABC)$ bằng $90^\circ$.

Câu 57.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $\triangle ABC$ đều cạnh $3$, $SA \perp (ABC)$ và $SA = 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Góc giữa $SB$ và $(ABC)$ bằng $45^\circ$.

b)Góc giữa $BC$ và $(ABC)$ bằng $90^\circ$.

c)Góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là góc nhọn vì $SA, SB > 0$.

d)Góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $\widehat{SBA}$.

13. Hình chóp $S.ABCD$ đáy hình vuông cạnh $a$, $SA \perp$ đáy, $SA = a$ — xét góc giữa các cạnh bên / chéo với mặt đáyĐúng / Sai`angle_line_plane_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 58.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Góc giữa $SA$ và $(ABCD)$ bằng $90^\circ$.

b)Hình chiếu vuông góc của $SB$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là $AB$.

c)Góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ bằng góc $\widehat{SBA}$.

d)Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ bằng $45^\circ$.

Câu 59.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $1$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ bằng góc $\widehat{SBA}$.

b)$AC$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ nên góc giữa $AC$ và $(ABCD)$ bằng $0^\circ$.

c)Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ bằng $45^\circ$.

d)Hình chiếu của $S$ trên $(ABCD)$ là điểm $C$.

Câu 60.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $1$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hình chiếu vuông góc của $SB$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là $AB$.

b)$AC$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ nên góc giữa $AC$ và $(ABCD)$ bằng $0^\circ$.

c)Góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^\circ$.

d)Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ bằng $45^\circ$.

14. Chóp $S.ABCD$ đáy chữ nhật $AB=2a, AD=a$, $\triangle SAB$ đều và $(SAB)\perp(ABCD)$Đúng / Sai`pyramid_equilateral_face_perp_base_4facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 61.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB = 6$, $AD = 3$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H, K$ lần lượt là trung điểm $AB, CD$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$SH \perp (ABCD)$.

b)Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^\circ$.

c)Góc nhị diện $[S, CD, A]$ là góc $\widehat{SKA}$.

d)Góc giữa $SB$ và $CD$ bằng $90^\circ$.

Câu 62.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB = 4$, $AD = 2$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H, K$ lần lượt là trung điểm $AB, CD$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^\circ$.

b)Hình chiếu vuông góc của $SC$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là $HC$.

c)Góc giữa $SB$ và $CD$ bằng $60^\circ$.

d)Góc nhị diện $[S, CD, A]$ là góc $\widehat{SKA}$.

Câu 63.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB = 4$, $AD = 2$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H, K$ lần lượt là trung điểm $AB, CD$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hình chiếu vuông góc của $SC$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là $HC$.

b)Góc giữa $SB$ và $CD$ bằng $60^\circ$.

c)Góc giữa $SB$ và $CD$ bằng $90^\circ$.

d)Số đo góc nhị diện $[S, CD, A]$ bằng $60^\circ$.

15. Biến thể: đổi ý nhị diện sang khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng $d(A,(SCD)) = \dfrac{a\sqrt3}{2}$ (và $d(H,(SCD))$ bằng nó)Đúng / Sai`pyramid_equilateral_face_perp_base_dist_variant`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 64.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB = 4$, $AD = 2$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H, K$ lần lượt là trung điểm $AB, CD$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$CD \perp (SHK)$ với $H, K$ là trung điểm $AB, CD$.

b)Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng $2\sqrt{3}$.

c)Khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $2\sqrt{3}$.

d)Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng $\sqrt{3}$.

Câu 65.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB = 4$, $AD = 2$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H, K$ lần lượt là trung điểm $AB, CD$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$SH \perp (ABCD)$ với $SH = 2\sqrt{3}$.

b)Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng $2\sqrt{3}$.

c)Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng $\sqrt{3}$.

d)Khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $2\sqrt{3}$.

Câu 66.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB = 4$, $AD = 2$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H, K$ lần lượt là trung điểm $AB, CD$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng $\sqrt{3}$.

b)Khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $2\sqrt{3}$.

c)$SH \perp (ABCD)$ với $SH = 2\sqrt{3}$.

d)Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng $2\sqrt{3}$.

16. Biến thể: thay một ý bằng $(SAB)\perp(ABCD)$ và khoảng cách $d(S,(ABCD)) = SH = a\sqrt3$Đúng / Sai`pyramid_equilateral_face_perp_base_facts_v2`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 67.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB = 2$, $AD = 1$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H, K$ lần lượt là trung điểm $AB, CD$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$SH \perp (ABCD)$ với $H$ là trung điểm $AB$.

b)Hình chiếu vuông góc của $S$ trên $(ABCD)$ là điểm $A$.

c)Số đo góc nhị diện $[S, CD, A]$ bằng $60^\circ$.

d)Khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $\sqrt{3}$.

Câu 68.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB = 4$, $AD = 2$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H, K$ lần lượt là trung điểm $AB, CD$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.

b)$SH \perp (ABCD)$ với $H$ là trung điểm $AB$.

c)Hình chiếu vuông góc của $S$ trên $(ABCD)$ là điểm $A$.

d)Đường thẳng $CD$ vuông góc với mặt phẳng $(SAD)$.

Câu 69.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB = 2$, $AD = 1$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H, K$ lần lượt là trung điểm $AB, CD$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $2$.

b)Đường thẳng $CD$ vuông góc với mặt phẳng $(SAD)$.

c)Mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.

d)Hình chiếu vuông góc của $S$ trên $(ABCD)$ là điểm $A$.

17. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng → góc 0°Trả lời ngắn`angle_line_in_plane`(1 câu)

Mẫu 1Nhận biết(1 câu)

Câu 70.Một đường thẳng nằm trong mặt phẳng tạo với mặt phẳng đó góc bao nhiêu độ?

18. Giá trị lớn nhất (theo độ) của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng = 90Trả lời ngắn`angle_line_plane_max`(1 câu)

Mẫu 1Nhận biết(1 câu)

Câu 71.Giá trị lớn nhất (theo độ) của góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là bao nhiêu?

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Công thức(2)

§3. Phương pháp(1)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Cho chóp $SA \perp$ đáy + kích thước ⇒ tính SỐ ĐO góc giữa cạnh bên và đáyTrắc nghiệmangle_lateral_edge_base_degrees(6 câu)

2. Cùng cấu hình nhưng hỏi $\tan$ của góc giữa cạnh bên và đáy (không hỏi số đo)Trắc nghiệmangle_lateral_edge_base_tan(6 câu)

3. Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳngTrắc nghiệmangle_line_plane_def(3 câu)

4. angle_perp_to_planeTrắc nghiệm(3 câu)

5. Chóp $SA \perp$ đáy đều cạnh $a$, $SA = 2a$; $M$ trung điểm $SC$Trắc nghiệmcos_angle_midpoint_line_base(6 câu)

6. Góc giữa $S{X}$ và đáy là góc NÀO ⇒ $\widehat{S{X}A}$Trắc nghiệmidentify_angle_lateral_edge_base(6 câu)

7. Chọn khẳng định SAI về tên góc / hình chiếu trong chóp $SA \perp$ đáyTrắc nghiệmidentify_angle_projection_false_statement(6 câu)

8. Hình chiếu của $SC$ lên mặt bên $(SAB)$ / $(SAD)$ là đường nàoTrắc nghiệmidentify_projection_edge_on_lateral_face(6 câu)

9. Hình chiếu vuông góc của cạnh bên $SX$ lên mặt phẳng đáy $(ABCD)$ trong chóp $SA\perp(ABCD)$ là đường thẳng $AX$Trắc nghiệmidentify_projection_lateral_edge_on_base(6 câu)

10. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên đáy của hình chóp đều — chính là tâm đáyTrắc nghiệmprojection_of_point_in_pyramid(3 câu)

11. VD cao: hình chóp đáy vuông, SA vuông đáyTrắc nghiệmpyramid_sc_from_angle_with_base(3 câu)

12. Hình chóp $S.ABC$ với $SA \perp$ đáy và $\triangle ABC$ đều cạnh $a$ — xét góc giữa các cạnh bên với mặt đáyĐúng / Saiangle_line_plane_examples(3 câu)

13. Hình chóp $S.ABCD$ đáy hình vuông cạnh $a$, $SA \perp$ đáy, $SA = a$ — xét góc giữa các cạnh bên / chéo với mặt đáyĐúng / Saiangle_line_plane_facts(3 câu)

14. Chóp $S.ABCD$ đáy chữ nhật $AB=2a, AD=a$, $\triangle SAB$ đều và $(SAB)\perp(ABCD)$Đúng / Saipyramid_equilateral_face_perp_base_4facts(3 câu)

15. Biến thể: đổi ý nhị diện sang khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng $d(A,(SCD)) = \dfrac{a\sqrt3}{2}$ (và $d(H,(SCD))$ bằng nó)Đúng / Saipyramid_equilateral_face_perp_base_dist_variant(3 câu)

16. Biến thể: thay một ý bằng $(SAB)\perp(ABCD)$ và khoảng cách $d(S,(ABCD)) = SH = a\sqrt3$Đúng / Saipyramid_equilateral_face_perp_base_facts_v2(3 câu)

17. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng → góc 0°Trả lời ngắnangle_line_in_plane(1 câu)

18. Giá trị lớn nhất (theo độ) của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng = 90Trả lời ngắnangle_line_plane_max(1 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Cho chóp $SA \perp$ đáy + kích thước ⇒ tính SỐ ĐO góc giữa cạnh bên và đáyTrắc nghiệm`angle_lateral_edge_base_degrees`(6 câu)

2. Cùng cấu hình nhưng hỏi $\tan$ của góc giữa cạnh bên và đáy (không hỏi số đo)Trắc nghiệm`angle_lateral_edge_base_tan`(6 câu)

3. Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳngTrắc nghiệm`angle_line_plane_def`(3 câu)

5. Chóp $SA \perp$ đáy đều cạnh $a$, $SA = 2a$; $M$ trung điểm $SC$Trắc nghiệm`cos_angle_midpoint_line_base`(6 câu)

6. Góc giữa $S{X}$ và đáy là góc NÀO ⇒ $\widehat{S{X}A}$Trắc nghiệm`identify_angle_lateral_edge_base`(6 câu)

7. Chọn khẳng định SAI về tên góc / hình chiếu trong chóp $SA \perp$ đáyTrắc nghiệm`identify_angle_projection_false_statement`(6 câu)

8. Hình chiếu của $SC$ lên mặt bên $(SAB)$ / $(SAD)$ là đường nàoTrắc nghiệm`identify_projection_edge_on_lateral_face`(6 câu)

9. Hình chiếu vuông góc của cạnh bên $SX$ lên mặt phẳng đáy $(ABCD)$ trong chóp $SA\perp(ABCD)$ là đường thẳng $AX$Trắc nghiệm`identify_projection_lateral_edge_on_base`(6 câu)

10. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên đáy của hình chóp đều — chính là tâm đáyTrắc nghiệm`projection_of_point_in_pyramid`(3 câu)

11. VD cao: hình chóp đáy vuông, SA vuông đáyTrắc nghiệm`pyramid_sc_from_angle_with_base`(3 câu)

12. Hình chóp $S.ABC$ với $SA \perp$ đáy và $\triangle ABC$ đều cạnh $a$ — xét góc giữa các cạnh bên với mặt đáyĐúng / Sai`angle_line_plane_examples`(3 câu)

13. Hình chóp $S.ABCD$ đáy hình vuông cạnh $a$, $SA \perp$ đáy, $SA = a$ — xét góc giữa các cạnh bên / chéo với mặt đáyĐúng / Sai`angle_line_plane_facts`(3 câu)

14. Chóp $S.ABCD$ đáy chữ nhật $AB=2a, AD=a$, $\triangle SAB$ đều và $(SAB)\perp(ABCD)$Đúng / Sai`pyramid_equilateral_face_perp_base_4facts`(3 câu)

15. Biến thể: đổi ý nhị diện sang khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng $d(A,(SCD)) = \dfrac{a\sqrt3}{2}$ (và $d(H,(SCD))$ bằng nó)Đúng / Sai`pyramid_equilateral_face_perp_base_dist_variant`(3 câu)

16. Biến thể: thay một ý bằng $(SAB)\perp(ABCD)$ và khoảng cách $d(S,(ABCD)) = SH = a\sqrt3$Đúng / Sai`pyramid_equilateral_face_perp_base_facts_v2`(3 câu)

17. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng → góc 0°Trả lời ngắn`angle_line_in_plane`(1 câu)

18. Giá trị lớn nhất (theo độ) của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng = 90Trả lời ngắn`angle_line_plane_max`(1 câu)