Công thức
§1. Định nghĩa(4)
Khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau
Khoảng cách 2 mặt phẳng song song
§2. Phương pháp(3)
Tính $d(A, (P))$ — cách dựng trực tiếp
Tính $d$ qua thể tích (mạnh)
Tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau
- Tìm $(P)$ chứa $b$ và song song với $a$.
- $d(a, b) = d(a, (P)) = d(M, (P))$ với $M$ bất kỳ trên $a$.
§3. Mẹo(1)
Mẹo: đổi điểm để dễ tính khoảng cách
- Chọn điểm $B$ khác sao cho $AB \parallel (P)$: $d(A, (P)) = d(B, (P))$.
- Hoặc dùng tỉ lệ: nếu $\dfrac{AM}{BM} = k$ với $M \in (P)$ thì $d(A, (P)) = k \cdot d(B, (P))$.
Bài tập
1. Quan sát hình lập phương trong hình với cạnh được ghi, tính đường chéo không gianTrắc nghiệmcube_diagonal_from_figure(3 câu)
Câu 1.Quan sát hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ trong hình, có cạnh $AB = 4$. Tính độ dài đường chéo không gian $AC'$.
Câu 2.Quan sát hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ trong hình, có cạnh $AB = 3$. Tính độ dài đường chéo không gian $AC'$.
Câu 3.Quan sát hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ trong hình, có cạnh $AB = 4$. Tính độ dài đường chéo không gian $AC'$.
2. Tính đường chéo mặt của hình lập phương cạnh $a$: $a\sqrt{2}$Trắc nghiệmcube_face_diagonal(3 câu)
Câu 4.Hình lập phương có cạnh $5$. Tính độ dài đường chéo của một mặt.
Câu 5.Hình lập phương có cạnh $7$. Tính độ dài đường chéo của một mặt.
Câu 6.Hình lập phương có cạnh $8$. Tính độ dài đường chéo của một mặt.
3. Tính đường chéo không gian của hình lập phương cạnh $a$: $a\sqrt{3}$Trắc nghiệmcube_space_diagonal(3 câu)
Câu 7.Hình lập phương có cạnh $6$. Tính độ dài đường chéo (không gian) của hình lập phương.
Câu 8.Hình lập phương có cạnh $5$. Tính độ dài đường chéo (không gian) của hình lập phương.
Câu 9.Hình lập phương có cạnh $5$. Tính độ dài đường chéo (không gian) của hình lập phương.
4. Hỏi trực tiếp độ dài đường cao $AH$ (chính là khoảng cách)Trắc nghiệmdist_vertex_face_AH_length(3 câu)
Câu 10.Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $AB = a\sqrt{3}$, $SA = a$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SB$. Tính độ dài $AH$.
Câu 11.Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $AB = 6$, $SA = 8$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SB$. Tính độ dài $AH$.
Câu 12.Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $AB = a$, $SA = a\sqrt{2}$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SB$. Tính độ dài $AH$.
5. Reverse: cho $d(A,(SBC))$ và $AB$ → tìm $SA$Trắc nghiệmdist_vertex_face_AH_reverse(3 câu)
Câu 13.Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $AB = a\sqrt{3}$. Biết khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính độ dài cạnh $SA$.
Câu 14.Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $AB = a\sqrt{3}$. Biết khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính độ dài cạnh $SA$.
Câu 15.Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $AB = a$. Biết khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$. Tính độ dài cạnh $SA$.
6. Forward: cho $AB, SA$ → $d(A,(SBC))$ (chọn biểu thức đúng)Trắc nghiệmdist_vertex_to_opposite_lateral_face_AH(3 câu)
Câu 16.Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $AB = 3$, $SA = 4$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.
Câu 17.Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $AB = 6$, $SA = 8$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.
Câu 18.Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $AB = a$, $SA = a\sqrt{2}$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.
7. Cho hình chóp đều $S.ABCD$ cạnh đáy $a$, đường cao $h$ — khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $SC$Trắc nghiệmdistance_point_to_line_in_pyramid(3 câu)
Câu 19.Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2$, đường cao $SO = 2$ (với $O$ là tâm hình vuông $ABCD$). Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $SC$.
Câu 20.Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $1$, đường cao $SO = 1$ (với $O$ là tâm hình vuông $ABCD$). Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $SC$.
Câu 21.Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2$, đường cao $SO = 2$ (với $O$ là tâm hình vuông $ABCD$). Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $SC$.
8. Hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, $SA = h$Trắc nghiệmdistance_point_to_plane_pyramid(3 câu)
Câu 22.Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$ và $SA = 5$. Khoảng cách từ điểm $S$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng?
Câu 23.Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$ và $SA = 4$. Khoảng cách từ điểm $S$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng?
Câu 24.Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$ và $SA = 3$. Khoảng cách từ điểm $S$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng?
9. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song = khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường này đến đường kiaTrắc nghiệmdistance_two_parallel_lines(3 câu)
Câu 25.Hai đường thẳng chéo nhau có khoảng cách bằng?
Câu 26.Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng được đo theo?
Câu 27.Hai đường thẳng song song có khoảng cách bằng?
10. Cho hình lập phương cạnh $a$ — khoảng cách giữa $AC$ và $B'D'$Trắc nghiệmdistance_two_skew_lines_in_cube(3 câu)
Câu 28.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $3$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $B'D'$.
Câu 29.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $3$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $B'D'$.
Câu 30.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $1$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $B'D'$.
11. Lập phương cạnh $ka$Trắc nghiệmdistance_vertex_A_to_vertical_diagonal_plane_BDD1B1_cube(3 câu)
Câu 31.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $3a$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(BDD'B')$ bằng
Câu 32.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(BDD'B')$ bằng
Câu 33.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $3a$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(BDD'B')$ bằng
12. Lập phương cạnh $ka$Trắc nghiệmdistance_vertex_C_to_plane_A1BD_cube_symbolic(3 câu)
Câu 34.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $2a$. Tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(A'BD)$.
Câu 35.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $2a$. Tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(A'BD)$.
Câu 36.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $3a$. Tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(A'BD)$.
13. VD cao: khoảng cách từ đỉnh $C'$ đến mặt phẳng $(A'BD)$ trong lập phương cạnh $a.$ Đáp số: $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$Trắc nghiệmdistance_vertex_to_opposite_face_diagonal_cube(3 câu)
Câu 37.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $5$. Tính khoảng cách từ đỉnh $C'$ đến mặt phẳng $(A'BD).$
Câu 38.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $4$. Tính khoảng cách từ đỉnh $C'$ đến mặt phẳng $(A'BD).$
Câu 39.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $1$. Tính khoảng cách từ đỉnh $C'$ đến mặt phẳng $(A'BD).$
14. Hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, biết $SA = h$ → khoảng cách từ $S$ đến $(ABC)$ là $h$Trắc nghiệmheight_pyramid_with_perp_edge(3 câu)
Câu 40.Hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABC)$ và $SA = 3$. Khoảng cách từ $S$ đến $(ABC)$ bằng?
Câu 41.Hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABC)$ và $SA = 10$. Khoảng cách từ $S$ đến $(ABC)$ bằng?
Câu 42.Hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABC)$ và $SA = 3$. Khoảng cách từ $S$ đến $(ABC)$ bằng?
15. Cho hình lập phương cạnh $a$ — xét khoảng cách giữa các điểm, đường, mặt cụ thểĐúng / Saidistance_facts(3 câu)
Câu 43.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 44.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 45.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
16. Khoảng cách trong hình lập phương cạnh $a$ (số thập phân)Trả lời ngắncube_distance(3 câu)
Câu 46.Hình lập phương cạnh $3$ cm. Tính độ dài "hai cạnh đối" (cm).
Câu 47.Hình lập phương cạnh $2$ cm. Tính độ dài "hai cạnh đối" (cm).
Câu 48.Hình lập phương cạnh $4$ cm. Tính độ dài "hai mặt đối lập" (cm).
17. Đường chéo không gian = $a\sqrt{3}$ (số thập phân)Trả lời ngắncube_space_diagonal_sa(3 câu)
Câu 49.Tính độ dài đường chéo không gian của hình lập phương cạnh $6$. (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 50.Tính độ dài đường chéo không gian của hình lập phương cạnh $2$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 51.Tính độ dài đường chéo không gian của hình lập phương cạnh $3$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
18. Đảo (hình hộp): với cấu hình $E\in AM$, $F\in DI$, $EF\perp(ABCD)$ ta có $EF = \dfrac{q}{6}$ ($q$ là chiều cao hộp, không phụ thuộc cạnh đáy $p$)Trả lời ngắndist_coords_solid_reverse_sa(3 câu)
Câu 52.Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông cạnh $30$ m. Gọi $M$ là trung điểm $CC'$, $I$ là tâm của mặt $(ABB'A')$. Điểm $E$ thuộc $AM$, điểm $F$ thuộc $DI$ sao cho $EF$ vuông góc với $(ABCD)$. Biết $EF = 3$ m. Tính chiều cao $AA'$ của hình hộp (đơn vị: mét).
Câu 53.Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông cạnh $20$ m. Gọi $M$ là trung điểm $CC'$, $I$ là tâm của mặt $(ABB'A')$. Điểm $E$ thuộc $AM$, điểm $F$ thuộc $DI$ sao cho $EF$ vuông góc với $(ABCD)$. Biết $EF = 9$ m. Tính chiều cao $AA'$ của hình hộp (đơn vị: mét).
Câu 54.Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông cạnh $20$ m. Gọi $M$ là trung điểm $CC'$, $I$ là tâm của mặt $(ABB'A')$. Điểm $E$ thuộc $AM$, điểm $F$ thuộc $DI$ sao cho $EF$ vuông góc với $(ABCD)$. Biết $EF = 3$ m. Tính chiều cao $AA'$ của hình hộp (đơn vị: mét).
19. VDC: lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ đáy là tam giác đều cạnh $a$, chiều cao $H$Trả lời ngắndist_two_lines_prism_centroid_coords_sa(3 câu)
Câu 55.Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $3$ m và chiều cao $12$ m. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, điểm $E$ nằm trên tia $AG$ sao cho $AE = 2\,AG$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'G$ và $B'E$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 56.Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $6$ m và chiều cao $6$ m. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, điểm $E$ nằm trên tia $AG$ sao cho $AE = 2\,AG$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'G$ và $B'E$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 57.Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $3$ m và chiều cao $6$ m. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, điểm $E$ nằm trên tia $AG$ sao cho $AE = 3\,AG$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'G$ và $B'E$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
20. Lăng trụ $ABC.A'B'C'$ đáy cân tại $C$Trả lời ngắndist_two_lines_prism_isoceles_apexC_skew_edge_sa(3 câu)
Câu 58.Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $C$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $E$ là điểm thuộc tia $AG$ sao cho $AE=3AG$. Biết $A'A=A'B=15$, $AB=18$ và $AC=3\sqrt{10}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'G$ và $B'E$.
Câu 59.Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $C$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $E$ là điểm thuộc tia $AG$ sao cho $AE=3AG$. Biết $A'A=A'B=17$, $AB=16$ và $AC=10$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'G$ và $B'E$.
Câu 60.Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $C$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $E$ là điểm thuộc tia $AG$ sao cho $AE=3AG$. Biết $A'A=A'B=12$, $AB=10$ và $AC=13$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'G$ và $B'E$.
21. VDC: hình hộp chữ nhật đáy vuông cạnh $p$, cao $q$Trả lời ngắndist_two_points_box_vertical_coords_sa(3 câu)
Câu 61.Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông cạnh $36$ m, chiều cao $32$ m. Gọi $M$ là trung điểm $CC'$, $I$ là tâm của mặt $(ABB'A')$. Điểm $E$ thuộc $AM$, điểm $F$ thuộc $DI$ sao cho $EF$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Tính độ dài đoạn $EF$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 62.Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông cạnh $36$ m, chiều cao $18$ m. Gọi $M$ là trung điểm $CC'$, $I$ là tâm của mặt $(ABB'A')$. Điểm $E$ thuộc $AM$, điểm $F$ thuộc $DI$ sao cho $EF$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Tính độ dài đoạn $EF$ (đơn vị: mét).
Câu 63.Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông cạnh $32$ m, chiều cao $36$ m. Gọi $M$ là trung điểm $CC'$, $I$ là tâm của mặt $(ABB'A')$. Điểm $E$ thuộc $AM$, điểm $F$ thuộc $DI$ sao cho $EF$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Tính độ dài đoạn $EF$ (đơn vị: mét).
22. Hình hộp chữ nhật đáy vuông cạnh $p$, cao $q$Trả lời ngắndist_two_points_box_vertical_Dprime_coords_sa(3 câu)
Câu 64.Trong một chiếc hộp kính hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh bằng $24$ cm, chiều cao của hộp là $48$ cm, có hai con kiến đang di chuyển. Giả sử chiếc hộp được mô hình hóa là hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với $ABCD$ là đáy hộp được đặt trên bàn, thì con kiến thứ nhất coi như điểm $E$ di chuyển trên sợi dây (đường thẳng) nối từ đỉnh $A$ đến trung điểm $M$ của $CC'$; còn con kiến thứ hai được coi như điểm $F$ di chuyển trên sợi dây (đường thẳng) nối từ đỉnh $D'$ tới tâm $I$ của mặt $ABB'A'$. Tính khoảng cách giữa hai con kiến khi đường thẳng đi qua vị trí của hai con kiến vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$ (đơn vị: cm).
Câu 65.Trong một chiếc hộp kính hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh bằng $36$ cm, chiều cao của hộp là $24$ cm, có hai con kiến đang di chuyển. Giả sử chiếc hộp được mô hình hóa là hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với $ABCD$ là đáy hộp được đặt trên bàn, thì con kiến thứ nhất coi như điểm $E$ di chuyển trên sợi dây (đường thẳng) nối từ đỉnh $A$ đến trung điểm $M$ của $CC'$; còn con kiến thứ hai được coi như điểm $F$ di chuyển trên sợi dây (đường thẳng) nối từ đỉnh $D'$ tới tâm $I$ của mặt $ABB'A'$. Tính khoảng cách giữa hai con kiến khi đường thẳng đi qua vị trí của hai con kiến vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$ (đơn vị: cm).
Câu 66.Trong một chiếc hộp kính hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh bằng $36$ cm, chiều cao của hộp là $40$ cm, có hai con kiến đang di chuyển. Giả sử chiếc hộp được mô hình hóa là hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với $ABCD$ là đáy hộp được đặt trên bàn, thì con kiến thứ nhất coi như điểm $E$ di chuyển trên sợi dây (đường thẳng) nối từ đỉnh $A$ đến trung điểm $M$ của $CC'$; còn con kiến thứ hai được coi như điểm $F$ di chuyển trên sợi dây (đường thẳng) nối từ đỉnh $D'$ tới tâm $I$ của mặt $ABB'A'$. Tính khoảng cách giữa hai con kiến khi đường thẳng đi qua vị trí của hai con kiến vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$ (đơn vị: cm).
23. Đảo: lăng trụ đứng đáy tam giác vuông tại $C$Trả lời ngắndist_vertex_to_face_reverse_edge_sa(3 câu)
Câu 67.Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $C$. Biết cạnh góc vuông $AC = 3$ m và khoảng cách từ đỉnh $C$ đến mặt phẳng $(AA'B'B)$ bằng $2,40$ m. Tính độ dài cạnh góc vuông $BC$ (đơn vị: mét).
Câu 68.Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $C$. Biết cạnh góc vuông $AC = 12$ m và khoảng cách từ đỉnh $C$ đến mặt phẳng $(AA'B'B)$ bằng $4,62$ m. Tính độ dài cạnh góc vuông $BC$ (đơn vị: mét).
Câu 69.Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $C$. Biết cạnh góc vuông $AC = 12$ m và khoảng cách từ đỉnh $C$ đến mặt phẳng $(AA'B'B)$ bằng $9,60$ m. Tính độ dài cạnh góc vuông $BC$ (đơn vị: mét).
24. Chóp tứ giác đều $S.ABCD$ cạnh đáy $a$, cạnh bên $b$ — khoảng cách từ đỉnh đáy $B$ đến mặt bên $(SCD)$ (làm tròn)Trả lời ngắndist_vertex_to_lateral_face_reg_pyramid_sa(3 câu)
Câu 70.Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $AB = 7$ m và cạnh bên $SA = 6$ m. Tính khoảng cách từ đỉnh $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 71.Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $AB = 4$ m và cạnh bên $SA = 8$ m. Tính khoảng cách từ đỉnh $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 72.Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $AB = 7$ m và cạnh bên $SA = 7$ m. Tính khoảng cách từ đỉnh $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
25. Lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ đáy tam giác, cho $AC=u$, $BC=v$, góc $ACB=\gamma$ — khoảng cách từ $C$ đến mặt bên $(AA'B'B)$Trả lời ngắndist_vertex_to_lateral_face_right_prism_sa(3 câu)
Câu 73.Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $AC = 4$ m, $BC = 10$ m và góc $\widehat{ACB} = 120^\circ$. Tính khoảng cách từ đỉnh $C$ đến mặt phẳng $(AA'B'B)$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 74.Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $AC = 6$ m, $BC = 10$ m và góc $\widehat{ACB} = 120^\circ$. Tính khoảng cách từ đỉnh $C$ đến mặt phẳng $(AA'B'B)$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 75.Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $AC = 9$ m, $BC = 4$ m và góc $\widehat{ACB} = 120^\circ$. Tính khoảng cách từ đỉnh $C$ đến mặt phẳng $(AA'B'B)$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
26. Đảo: lăng trụ đáy tam giác đều cạnh $a$, thể tích $V=c\sqrt3$ (m³)Trả lời ngắnoblique_prism_skew_or_height_reverse_sa(3 câu)
Câu 76.Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $4$ m và thể tích khối lăng trụ bằng $20\sqrt3$ (m³). Tính chiều cao $AA'$ của lăng trụ (đơn vị: mét).
Câu 77.Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $4$ m và thể tích khối lăng trụ bằng $24\sqrt3$ (m³). Tính chiều cao $AA'$ của lăng trụ (đơn vị: mét).
Câu 78.Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $2$ m và thể tích khối lăng trụ bằng $5\sqrt3$ (m³). Tính chiều cao $AA'$ của lăng trụ (đơn vị: mét).
27. Lăng trụ xiên đáy tam giác đều cạnh $a$, đỉnh $A'$ chiếu xuống trọng tâm $G$ của đáyTrả lời ngắnoblique_prism_volume_from_skew_dist_mn_sa(3 câu)
Câu 79.Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $5$ m; hình chiếu vuông góc của đỉnh $A'$ lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC$ bằng $3,75$ m. Tính thể tích khối lăng trụ (đơn vị: m³). (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 80.Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $4$ m; hình chiếu vuông góc của đỉnh $A'$ lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC$ bằng $3$ m. Tính thể tích khối lăng trụ (đơn vị: m³). (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 81.Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $13$ m; hình chiếu vuông góc của đỉnh $A'$ lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC$ bằng $4,18$ m. Tính thể tích khối lăng trụ (đơn vị: m³). (Làm tròn đến hàng đơn vị)
28. VDC: Kim tự tháp đều $S.ABCD$ đáy vuông cạnh $a$, cạnh bên $b$ — tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $SA$ và $BD$Trả lời ngắnpyramid_skew_lines_distance(3 câu)
Câu 82.Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $8$ m và các cạnh bên $SA = SB = SC = SD = 8$ m. Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $SA$ và $BD$ (đơn vị: mét).
Câu 83.Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $4$ m và các cạnh bên $SA = SB = SC = SD = 4$ m. Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $SA$ và $BD$ (đơn vị: mét).
Câu 84.Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $6$ m và các cạnh bên $SA = SB = SC = SD = 10$ m. Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $SA$ và $BD$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
29. Chóp $S.ABCD$ đáy hình thoi cạnh $s$, $\widehat{ABC}=60^\circ$; $S$ chiếu xuống trọng tâm $H$ của $\triangle ABC$, $SH=h$ — khoảng cách giữa $AC$ và $SD$ (làm tròn)Trả lời ngắnskew_dist_AC_SD_rhombus_apex_over_centroid_sa(3 câu)
Câu 85.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi với $\widehat{ABC} = 60^\circ$ và $AB = 2$. Biết rằng hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trọng tâm $H$ của tam giác $ABC$ và $SH = \sqrt3$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SD$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 86.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi với $\widehat{ABC} = 60^\circ$ và $AB = 2$. Biết rằng hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trọng tâm $H$ của tam giác $ABC$ và $SH = 2$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SD$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 87.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi với $\widehat{ABC} = 60^\circ$ và $AB = 4$. Biết rằng hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trọng tâm $H$ của tam giác $ABC$ và $SH = 2\sqrt3$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SD$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
30. Chóp tứ giác đều đáy cạnh $a$, đường cao $h$: khoảng cách giữa cạnh đáy $AB$ và cạnh bên $SC$ bằng $\dfrac{2ah}{\sqrt{a^2+4h^2}}$Trả lời ngắnskew_dist_base_edge_lateral_edge_reg_quad_pyramid_sa(3 câu)
Câu 88.Người ta thiết kế một chiếc lều cắm trại dạng hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh $15$ m. Cọc trung tâm $SO$ vuông góc với mặt đất $(ABCD)$ và có chiều cao $SO = 10$ m. Để giăng một sợi dây giằng nối cạnh đáy $AB$ với cạnh bên $SC$, cần tính khoảng cách ngắn nhất giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$ (đơn vị: mét).
Câu 89.Người ta thiết kế một chiếc lều cắm trại dạng hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh $8$ m. Cọc trung tâm $SO$ vuông góc với mặt đất $(ABCD)$ và có chiều cao $SO = 3$ m. Để giăng một sợi dây giằng nối cạnh đáy $AB$ với cạnh bên $SC$, cần tính khoảng cách ngắn nhất giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 90.Người ta thiết kế mái vòm kính có dạng hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh $15$ m. Cột trụ $SO$ đỡ mái vòm vuông góc với mặt sàn $(ABCD)$ và có chiều cao $SO = 10$ m. Để giăng một dải đèn LED nối cạnh đáy $AB$ với cạnh bên $SC$, cần tính khoảng cách ngắn nhất giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$ (đơn vị: mét).
31. Chóp $S.ABCD$ đáy hình thoi tâm $O$ cạnh $s$, $\widehat{BAD}=60^\circ$, $SA\perp(ABCD)$, $SA=h$ — tính khoảng cách giữa $BD$ và $SC$ (làm tròn)Trả lời ngắnskew_dist_BD_SC_rhombus_base_perp_sa(3 câu)
Câu 91.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ có cạnh bằng $2$, $\widehat{BAD}=60^\circ$. $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=2$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 92.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ có cạnh bằng $3$, $\widehat{BAD}=60^\circ$. $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=3$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 93.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ có cạnh bằng $4$, $\widehat{BAD}=60^\circ$. $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=2\sqrt3$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
32. Chóp tứ giác đều $S.ABCD$ đáy vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA=b$ — khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $SD$ và $AB$ (làm tròn)Trả lời ngắnskew_dist_lateral_edge_SD_base_edge_AB_reg_pyramid_sa(3 câu)
Câu 94.Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $2$ và cạnh bên $SA = 3$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD$ và $AB$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 95.Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $1$ và cạnh bên $SA = 2$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD$ và $AB$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 96.Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $6$ và cạnh bên $SA = 8$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD$ và $AB$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
33. Chóp $S.ABCD$ đáy vuông cạnh $a$; hình chiếu của $S$ là trung điểm $H$ của $AB$; góc nhị diện $[S,AD,B]=\theta$ — khoảng cách giữa $AB$ và $SC$Trả lời ngắnskew_dist_pyramid_apex_proj_midpoint_dihedral_sa(3 câu)
Câu 97.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $3$ m. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên đáy là trung điểm $H$ của cạnh $AB$. Biết góc nhị diện $[S, AD, B]$ bằng $60^\circ$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 98.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2$ m. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên đáy là trung điểm $H$ của cạnh $AB$. Biết góc nhị diện $[S, AD, B]$ bằng $60^\circ$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 99.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $4$ m. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên đáy là trung điểm $H$ của cạnh $AB$. Biết góc nhị diện $[S, AD, B]$ bằng $60^\circ$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
34. Chóp $S.ABCD$ đáy vuông cạnh $a$, tam giác $SAB$ đều và $\perp$ đáy — khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $DN$ và $SC$ ($N$ là trung điểm $BC$)Trả lời ngắnskew_dist_pyramid_equilateral_face_perp_base_sa(3 câu)
Câu 100.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $4$ m, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $AB$, $BC$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $DN$ và $SC$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 101.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $3$ m, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $AB$, $BC$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $DN$ và $SC$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 102.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2$ m, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $AB$, $BC$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $DN$ và $SC$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
35. Cùng cấu hình chóp $S.ABCD$ đáy vuông cạnh $a$, $SAB$ đều $\perp$ đáy, nhưng đổi sang cặp đường chéo nhau $AN$ và $SC$ ($N$ trung điểm $BC$)Trả lời ngắnskew_dist_pyramid_swap_pair_sa(3 câu)
Câu 103.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2$ m, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $N$ là trung điểm $BC$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AN$ và $SC$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 104.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $4$ m, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $N$ là trung điểm $BC$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AN$ và $SC$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 105.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $3$ m, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $N$ là trung điểm $BC$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AN$ và $SC$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
36. Lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$: cho góc nhị diện $[A',BC,A]=\theta$ và diện tích $S_{\triangle A'BC}$ — khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $AB$ và $A'C'$Trả lời ngắnskew_dist_reg_prism_from_dihedral_area_sa(3 câu)
Câu 106.Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có góc nhị diện $[A', BC, A]$ bằng $60^\circ$ và diện tích tam giác $A'BC$ bằng $32\sqrt3$ (m²). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $A'C'$ (đơn vị: mét).
Câu 107.Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có góc nhị diện $[A', BC, A]$ bằng $30^\circ$ và diện tích tam giác $A'BC$ bằng $32$ (m²). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $A'C'$ (đơn vị: mét).
Câu 108.Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có góc nhị diện $[A', BC, A]$ bằng $60^\circ$ và diện tích tam giác $A'BC$ bằng $8\sqrt3$ (m²). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $A'C'$ (đơn vị: mét).
37. Chóp $S.ABCD$ đáy vuông cạnh $a$, $SA\perp(ABCD)$ — khoảng cách giữa $SA$ và $BD$ bằng nửa đường chéo đáy $\dfrac{a\sqrt2}{2}$ (làm tròn)Trả lời ngắnskew_dist_vertical_edge_base_diagonal_square_pyramid_sa(3 câu)
Câu 109.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $9$, $SA\perp(ABCD)$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BD$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 110.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $11$, $SA\perp(ABCD)$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BD$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 111.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $4$, $SA\perp(ABCD)$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BD$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần trăm)