Góc giữa hai đường thẳng

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Góc giữa 2 đường thẳng

Góc giữa 2 đường thẳng $a, b$ trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng cắt nhau $a', b'$ lần lượt song song với $a, b$, đi qua 1 điểm bất kỳ. Quy ước: góc giữa 2 đường thẳng nằm trong khoảng $[0°; 90°]$.

Ghi chú. Khi $a \parallel b$ hoặc $a \equiv b$: góc giữa chúng = $0°$.

§2. Công thức(1)

2.1

Công thức tính qua vectơ chỉ phương

Cho 2 vectơ chỉ phương $\vec{u}, \vec{v}$ của 2 đường thẳng $a, b$. Gọi $\alpha$ là góc giữa $a, b$: $$\cos \alpha = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}.$$ Lưu ý dấu trị tuyệt đối — đảm bảo $0 \leq \cos\alpha \leq 1$, vì $\alpha \in [0°; 90°]$.

§3. Phương pháp(2)

3.1

Phương pháp toạ độ hoá

Bước 1. Gắn hệ trục toạ độ $Oxyz$ phù hợp với hình. Bước 2. Tính toạ độ các điểm liên quan → tìm vectơ chỉ phương $\vec{u}, \vec{v}$. Bước 3. Áp dụng công thức $\cos\alpha = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$. Lưu ý: dùng cho hình có trục đối xứng / vuông góc tự nhiên (lập phương, hộp chữ nhật...).

3.2

Phương pháp tịnh tiến (dựng song song)

Bước 1. Chọn 1 điểm $O$ (tiện nhất là điểm chung của 2 đường thẳng nếu có, hoặc 1 điểm cho trước). Bước 2. Qua $O$ vẽ $a' \parallel a$ và $b' \parallel b$. Bước 3. Góc giữa $a, b$ = góc giữa $a', b'$ trong cùng mặt phẳng — đo trực tiếp. Mẹo: chọn $a' \equiv a$ nếu $a$ cắt $b$ — chỉ cần tịnh tiến 1 đường.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: dùng định lý cosin trong tam giác

Sau khi tịnh tiến → 3 đỉnh $A, B, C$ trong cùng 1 tam giác, góc $\widehat{BAC}$ chính là góc cần tìm: $$\cos \widehat{BAC} = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}.$$ Lấy trị tuyệt đối nếu góc nhọn / tù không quan trọng (chỉ cần $\in [0°; 90°]$).

Bài tập

1. Tập giá trị của góc giữa hai đường thẳng: $[0; 90^\circ]$Trắc nghiệm`angle_two_lines_range`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 1.Tập giá trị của góc giữa hai đường thẳng (trong không gian) là?

A.$(0^\circ; 90^\circ)$

B.$[0^\circ; 180^\circ]$

C.$[90^\circ; 180^\circ]$

D.$[0^\circ; 90^\circ]$

Câu 2.Tập giá trị của góc giữa hai đường thẳng (trong không gian) là?

A.$[90^\circ; 180^\circ]$

B.$(0^\circ; 90^\circ)$

C.$[0^\circ; 180^\circ]$

D.$[0^\circ; 90^\circ]$

Câu 3.Tập giá trị của góc giữa hai đường thẳng (trong không gian) là?

A.$[0^\circ; 90^\circ]$

B.$(0^\circ; 90^\circ)$

C.$[90^\circ; 180^\circ]$

D.$[0^\circ; 180^\circ]$

2. Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhauTrắc nghiệm`parallel_lines_angle`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 4.Góc giữa hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) bằng?

A.$45^\circ$

B.$180^\circ$

C.$90^\circ$

D.$0^\circ$

Câu 5.Góc giữa hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) bằng?

A.$180^\circ$

B.$0^\circ$

C.$90^\circ$

D.$45^\circ$

Câu 6.Góc giữa hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) bằng?

A.$45^\circ$

B.$0^\circ$

C.$90^\circ$

D.$180^\circ$

3. Cho hình lập phương cạnh $a$ — xét góc giữa các cặp cạnh và đường chéo mặt cụ thểĐúng / Sai`angle_two_lines_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'

a)Góc giữa $AB$ và $A'D'$ bằng $90^\circ$.

b)Góc giữa $AB$ và $CD$ bằng $0^\circ$.

c)Góc giữa $AB$ và $A'B'$ bằng $0^\circ$.

d)Góc giữa hai đường thẳng có thể bằng $120^\circ$.

Câu 8.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'

a)Góc giữa $AC$ và $A'C'$ bằng $0^\circ$.

b)Góc giữa hai đường thẳng có thể bằng $120^\circ$.

c)Góc giữa $AC$ và $BD$ bằng $90^\circ$.

d)Góc giữa $AB$ và $CD$ bằng $0^\circ$.

Câu 9.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'

a)Góc giữa $AB$ và $AD$ bằng $90^\circ$.

b)Góc giữa hai đường thẳng có thể bằng $120^\circ$.

c)Góc giữa $AC$ và $A'C'$ bằng $0^\circ$.

d)Góc giữa $AC$ và $BD$ bằng $90^\circ$.

4. angle_cube_diagonalsTrả lời ngắn(1 câu)

Mẫu 1Nhận biết(1 câu)

Câu 10.Trong hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$, tính góc giữa $AB$ và $A'D$ (theo độ).

5. Hỏi sin (hoặc cos) của góc thay vì số đoTrả lời ngắn`angle_line_to_plane_coords_sincos_sa`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 11.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB = BC = a$, $AD = 3a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SD$, trung điểm $BC$. Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$. Tính $\sin\varphi$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 12.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB = BC = a$, $AD = 2a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SC$, trung điểm $AD$. Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$. Tính $\cos\varphi$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 13.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB = BC = a$, $AD = 2a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SB$, trung điểm $CD$. Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$. Tính $\sin\varphi$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 14.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB = BC = a$, $AD = 2a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SC$, trung điểm $AD$. Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$. Tính $\cos\varphi$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 15.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB = BC = a$, $AD = 2a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SD$, trung điểm $BC$. Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$. Tính $\cos\varphi$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 16.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB = BC = a$, $AD = 2a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SB$, trung điểm $CD$. Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$. Tính $\cos\varphi$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

6. Đổi mặt phẳng đích sang (SAB) (hoặc đổi cặp trung điểm), tính lại số đo gócTrả lời ngắn`angle_line_to_plane_coords_swap_plane_sa`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 17.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB = BC = a$, $AD = 2a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SD$, trung điểm $BC$. Tính số đo (theo độ) của góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAB)$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 18.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB = BC = a$, $AD = 3a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SD$, trung điểm $BC$. Tính số đo (theo độ) của góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAB)$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 19.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB = BC = a$, $AD = 2a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SB$, trung điểm $CD$. Tính số đo (theo độ) của góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAB)$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 20.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB = BC = a$, $AD = 2a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SB$, trung điểm $CD$. Tính số đo (theo độ) của góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAB)$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 21.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB = BC = a$, $AD = 3a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SD$, trung điểm $BC$. Tính số đo (theo độ) của góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAB)$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 22.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB = BC = a$, $AD = 3a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SC$, trung điểm $AD$. Tính số đo (theo độ) của góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAB)$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

7. Forward: cho kích thước -> số đo góc giữa MN và mặt phẳng (độ, làm tròn)Trả lời ngắn`angle_line_to_plane_coords_trapezoid_sa`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 23.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB = BC = a$, $AD = 3a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SC$, trung điểm $AD$. Tính số đo (theo độ) của góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$.

Câu 24.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB = BC = a$, $AD = 3a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SD$, trung điểm $BC$. Tính số đo (theo độ) của góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 25.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB = BC = a$, $AD = 2a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SC$, trung điểm $AD$. Tính số đo (theo độ) của góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 26.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB = BC = a$, $AD = 3a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SC$, trung điểm $AD$. Tính số đo (theo độ) của góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$.

Câu 27.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB = BC = a$, $AD = 3a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SD$, trung điểm $BC$. Tính số đo (theo độ) của góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 28.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB = BC = a$, $AD = 2a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SC$, trung điểm $AD$. Tính số đo (theo độ) của góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

8. angle_perp_linesTrả lời ngắn(1 câu)

Mẫu 1Nhận biết(1 câu)

Câu 29.Góc giữa hai đường thẳng vuông góc nhau bằng bao nhiêu độ? (Trả lời số nguyên)

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Công thức(1)

§3. Phương pháp(2)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Tập giá trị của góc giữa hai đường thẳng: $[0; 90^\circ]$Trắc nghiệmangle_two_lines_range(3 câu)

2. Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhauTrắc nghiệmparallel_lines_angle(3 câu)

3. Cho hình lập phương cạnh $a$ — xét góc giữa các cặp cạnh và đường chéo mặt cụ thểĐúng / Saiangle_two_lines_facts(3 câu)

4. angle_cube_diagonalsTrả lời ngắn(1 câu)

5. Hỏi sin (hoặc cos) của góc thay vì số đoTrả lời ngắnangle_line_to_plane_coords_sincos_sa(6 câu)

6. Đổi mặt phẳng đích sang (SAB) (hoặc đổi cặp trung điểm), tính lại số đo gócTrả lời ngắnangle_line_to_plane_coords_swap_plane_sa(6 câu)

7. Forward: cho kích thước -> số đo góc giữa MN và mặt phẳng (độ, làm tròn)Trả lời ngắnangle_line_to_plane_coords_trapezoid_sa(6 câu)

8. angle_perp_linesTrả lời ngắn(1 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tập giá trị của góc giữa hai đường thẳng: $[0; 90^\circ]$Trắc nghiệm`angle_two_lines_range`(3 câu)

2. Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhauTrắc nghiệm`parallel_lines_angle`(3 câu)

3. Cho hình lập phương cạnh $a$ — xét góc giữa các cặp cạnh và đường chéo mặt cụ thểĐúng / Sai`angle_two_lines_facts`(3 câu)

5. Hỏi sin (hoặc cos) của góc thay vì số đoTrả lời ngắn`angle_line_to_plane_coords_sincos_sa`(6 câu)

6. Đổi mặt phẳng đích sang (SAB) (hoặc đổi cặp trung điểm), tính lại số đo gócTrả lời ngắn`angle_line_to_plane_coords_swap_plane_sa`(6 câu)

7. Forward: cho kích thước -> số đo góc giữa MN và mặt phẳng (độ, làm tròn)Trả lời ngắn`angle_line_to_plane_coords_trapezoid_sa`(6 câu)