Hình chóp đều và tứ diện đều

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

1.1

Hình chóp đều

Hình chóp đều là hình chóp có:

Đáy là một đa giác đều.
Chân đường cao trùng với tâm của đáy (tâm đường tròn ngoại tiếp đáy).

Hệ quả: các cạnh bên bằng nhau, các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau.

1.2

Tứ diện đều

Tứ diện đều là tứ diện có 4 mặt là 4 tam giác đều bằng nhau (và 6 cạnh bằng nhau). Tứ diện đều cạnh $a$:

Chiều cao $h = \dfrac{a \sqrt{6}}{3}$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy (tam giác đều cạnh $a$): $R_{\triangle} = \dfrac{a \sqrt{3}}{3}$.

§2. Tính chất(2)

2.1

Trung đoạn (apothem) trong chóp đều

Trong hình chóp đều $S.A_1 A_2 \dots A_n$ với tâm đáy $O$:

$SO$ = đường cao.
Gọi $M$ là trung điểm cạnh đáy $A_1 A_2$. Trung đoạn = $SM$.
Trong tam giác vuông $SOM$: $SM^2 = SO^2 + OM^2$.
$OM$ = bán kính đường tròn nội tiếp đáy.

Mặt bên $SA_1 A_2$ có chiều cao = $SM$ → diện tích mặt bên = $\dfrac{1}{2} \cdot A_1 A_2 \cdot SM$.

2.2

Tính chất hình chóp đều

Các cạnh bên bằng nhau.
Đường cao đi qua tâm đáy.
Các mặt bên là tam giác cân bằng nhau.
Mặt phẳng chứa cạnh bên và đường cao chia đôi mặt đáy theo trục đối xứng.
Chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh xuống đáy là tâm $O$ của đa giác đáy.

§3. Công thức(2)

3.1

Diện tích xung quanh chóp đều

$$S_{xq} = \dfrac{1}{2} \cdot p \cdot l,$$ với $p$ = chu vi đáy, $l$ = trung đoạn (apothem từ đỉnh đến trung điểm cạnh đáy). $S_{tp} = S_{xq} + S_{\text{đáy}}$.

3.2

Thể tích tứ diện đều cạnh $a$

$$V_{\text{tứ diện đều}} = \dfrac{a^3 \sqrt{2}}{12}.$$ Diện tích mặt bên (tam giác đều cạnh $a$): $S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: góc giữa cạnh bên + đáy / mặt bên + đáy

Trong hình chóp đều với đỉnh $S$, tâm đáy $O$, $A$ là đỉnh đáy, $M$ trung điểm cạnh đáy:

Góc giữa cạnh bên $SA$ và đáy = $\widehat{SAO}$, $\tan = \dfrac{SO}{OA}$.
Góc giữa mặt bên $(SA_1A_2)$ và đáy = $\widehat{SMO}$, $\tan = \dfrac{SO}{OM}$.

(Vì $OA$ là đường chiếu của $SA$, $OM$ vuông góc $A_1A_2$.)

Bài tập

1. Đếm số đỉnh và số cạnh của tứ diện đều / hình chóp đều đáy n-giácTrắc nghiệm`pyramid_vertex_edge_count`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 1.Hình chóp lục giác đều có bao nhiêu đỉnh và bao nhiêu cạnh?

A.7 đỉnh, 12 cạnh

B.12 đỉnh, 7 cạnh

C.8 đỉnh, 14 cạnh

D.6 đỉnh, 10 cạnh

Câu 2.Hình chóp ngũ giác đều có bao nhiêu đỉnh và bao nhiêu cạnh?

A.7 đỉnh, 12 cạnh

B.10 đỉnh, 6 cạnh

C.6 đỉnh, 10 cạnh

D.5 đỉnh, 8 cạnh

Câu 3.Hình chóp tam giác đều có bao nhiêu đỉnh và bao nhiêu cạnh?

A.4 đỉnh, 6 cạnh

B.5 đỉnh, 8 cạnh

C.3 đỉnh, 4 cạnh

D.6 đỉnh, 4 cạnh

2. Phát biểu đúng về hình chóp đều / tứ diện đềuTrắc nghiệm`regular_pyramid_concept`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 4.Chọn phát biểu ĐÚNG về hình chóp đều / tứ diện đều:

A.Tứ diện đều có 4 mặt là tam giác đều bằng nhau.

B.Hình chóp đều có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng tâm đáy.

C.Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên = cạnh đáy.

D.Hình chóp đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.

Câu 5.Chọn phát biểu ĐÚNG về hình chóp đều / tứ diện đều:

A.Hình chóp đều có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng tâm đáy.

B.Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên = cạnh đáy.

C.Tứ diện đều có 4 mặt là tam giác đều bằng nhau.

D.Hình chóp đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.

Câu 6.Chọn phát biểu ĐÚNG về hình chóp đều / tứ diện đều:

A.Hình chóp đều có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng tâm đáy.

B.Tứ diện đều có 4 mặt là tam giác đều bằng nhau.

C.Mọi tứ diện đều là hình chóp đều.

D.Hình chóp đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.

3. Lăng trụ đứng đáy tam giác đều cạnh KÝ HIỆU $a$, cạnh bên $AA'=c\,a\sqrt{d}$Trắc nghiệm`vol_prism_equilateral_tri_symbolic_mc`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ và $AA' = 2a$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là

A.$V = \dfrac{a^{3}}{2}$

B.$V = \dfrac{\sqrt{3} a^{3}}{2}$

C.$V = \dfrac{\sqrt{3} a^{3}}{6}$

D.$V = \sqrt{3} a^{3}$

Câu 8.Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ và $AA' = 3a\sqrt{3}$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là

A.$V = \dfrac{9 a^{3}}{2}$

B.$V = \dfrac{9 a^{3}}{4}$

C.$V = \dfrac{3 a^{3}}{4}$

D.$V = \dfrac{3 \sqrt{3} a^{3}}{4}$

Câu 9.Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ và $AA' = 3a\sqrt{2}$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là

A.$V = \dfrac{3 \sqrt{6} a^{3}}{4}$

B.$V = \dfrac{\sqrt{6} a^{3}}{4}$

C.$V = \dfrac{3 \sqrt{6} a^{3}}{2}$

D.$V = \dfrac{3 \sqrt{2} a^{3}}{4}$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ và $AA' = 3a\sqrt{3}$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là

A.$V = \dfrac{3 a^{3}}{4}$

B.$V = \dfrac{9 a^{3}}{2}$

C.$V = \dfrac{3 \sqrt{3} a^{3}}{4}$

D.$V = \dfrac{9 a^{3}}{4}$

Câu 11.Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ và $AA' = 2a$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là

A.$V = \dfrac{\sqrt{3} a^{3}}{2}$

B.$V = \dfrac{a^{3}}{2}$

C.$V = \sqrt{3} a^{3}$

D.$V = \dfrac{\sqrt{3} a^{3}}{6}$

Câu 12.Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ và $AA' = a\sqrt{2}$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là

A.$V = \dfrac{\sqrt{6} a^{3}}{12}$

B.$V = \dfrac{\sqrt{6} a^{3}}{4}$

C.$V = \dfrac{\sqrt{6} a^{3}}{2}$

D.$V = \dfrac{\sqrt{2} a^{3}}{4}$

4. Thể tích lăng trụ đứng/đều đáy tam giác đều cạnh $a$, chiều cao $H$Trắc nghiệm`vol_prism_regular_tri_compute`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $5$, chiều cao $AA' = 5$ (lăng trụ đều). Tính thể tích khối lăng trụ.

A.$V = \dfrac{125}{4}$

B.$V = \dfrac{125 \sqrt{3}}{12}$

C.$V = \dfrac{125 \sqrt{3}}{4}$

D.$V = \dfrac{125 \sqrt{3}}{2}$

Câu 14.Khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $3$, chiều cao $AA' = 3\sqrt{3}$. Tính thể tích khối lăng trụ.

A.$V = \dfrac{27}{4}$

B.$V = \dfrac{27 \sqrt{3}}{4}$

C.$V = \dfrac{81}{4}$

D.$V = \dfrac{81}{2}$

Câu 15.Khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $5$, chiều cao $AA' = 5\sqrt{3}$. Tính thể tích khối lăng trụ.

A.$V = \dfrac{125}{4}$

B.$V = \dfrac{375}{2}$

C.$V = \dfrac{375}{4}$

D.$V = \dfrac{125 \sqrt{3}}{4}$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 16.Khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $3$, chiều cao $AA' = 3$ (lăng trụ đều). Tính thể tích khối lăng trụ.

A.$V = \dfrac{27 \sqrt{3}}{2}$

B.$V = \dfrac{27 \sqrt{3}}{4}$

C.$V = \dfrac{9 \sqrt{3}}{4}$

D.$V = \dfrac{27}{4}$

Câu 17.Khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $2$, chiều cao $AA' = 2\sqrt{3}$. Tính thể tích khối lăng trụ.

A.$V = 2 \sqrt{3}$

B.$V = 12$

C.$V = 6$

D.$V = 2$

Câu 18.Khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $5$, chiều cao $AA' = 5\sqrt{3}$. Tính thể tích khối lăng trụ.

A.$V = \dfrac{375}{2}$

B.$V = \dfrac{375}{4}$

C.$V = \dfrac{125 \sqrt{3}}{4}$

D.$V = \dfrac{125}{4}$

5. Hỏi diện tích đáy (suy từ thể tích + chiều cao) — cùng số liệuTrắc nghiệm`vol_pyramid_perp_edge_base_area`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 19.Hình chóp $S.ABCD$ có cạnh bên $SD\perp(ABCD)$ và $SD = 5$. Biết thể tích khối chóp bằng $\dfrac{125}{3}$. Tính diện tích đáy $ABCD$.

A.$S_{đáy} = 25$

B.$S_{đáy} = \dfrac{25}{2}$

C.$S_{đáy} = 50$

D.$S_{đáy} = \dfrac{25}{3}$

Câu 20.Hình chóp $S.ABC$ có cạnh bên $SA\perp(ABC)$ và $SA = 3$. Biết thể tích khối chóp bằng $5$. Tính diện tích đáy $ABC$.

A.$S_{đáy} = 5$

B.$S_{đáy} = \dfrac{5}{2}$

C.$S_{đáy} = \dfrac{5}{3}$

D.$S_{đáy} = 10$

Câu 21.Hình chóp $S.ABC$ có cạnh bên $SB\perp(ABC)$ và $SB = 3$. Biết thể tích khối chóp bằng $9$. Tính diện tích đáy $ABC$.

A.$S_{đáy} = 18$

B.$S_{đáy} = 3$

C.$S_{đáy} = \dfrac{9}{2}$

D.$S_{đáy} = 9$

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Hình chóp $O.ABC$ có cạnh bên $OB\perp(ABC)$ và $OB = 4\sqrt{3}$. Biết thể tích khối chóp bằng $\dfrac{16 \sqrt{3}}{3}$. Tính diện tích đáy $ABC$.

A.$S_{đáy} = 2$

B.$S_{đáy} = 4$

C.$S_{đáy} = \dfrac{4}{3}$

D.$S_{đáy} = 8$

Câu 23.Hình chóp $S.ABC$ có cạnh bên $SB\perp(ABC)$ và $SB = 4\sqrt{3}$. Biết thể tích khối chóp bằng $10 \sqrt{3}$. Tính diện tích đáy $ABC$.

A.$S_{đáy} = 15$

B.$S_{đáy} = \dfrac{15}{2}$

C.$S_{đáy} = \dfrac{15}{4}$

D.$S_{đáy} = \dfrac{5}{2}$

Câu 24.Hình chóp $O.ABC$ có cạnh bên $OA\perp(ABC)$ và $OA = 3$. Biết thể tích khối chóp bằng $5$. Tính diện tích đáy $ABC$.

A.$S_{đáy} = \dfrac{5}{3}$

B.$S_{đáy} = \dfrac{5}{2}$

C.$S_{đáy} = 10$

D.$S_{đáy} = 5$

6. Thể tích khối chóp có 1 cạnh bên vuông góc đáy → cạnh đó là chiều caoTrắc nghiệm`vol_pyramid_perp_edge_compute`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 25.Hình chóp $O.ABCD$ có $OD\perp(ABCD)$, đáy ABCD là hình chữ nhật $AB = 2$, $AD = 4$, $OD = 3\sqrt{3}$. Tính thể tích khối chóp $O.ABCD$.

A.$V = 72$

B.$V = 24 \sqrt{3}$

C.$V = 16 \sqrt{3}$

D.$V = 8 \sqrt{3}$

Câu 26.Hình chóp $S.ABC$ có $SB\perp(ABC)$, đáy ABC là tam giác đều cạnh $4$, $SB = 5$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

A.$V = \dfrac{20 \sqrt{3}}{3}$

B.$V = \dfrac{40 \sqrt{3}}{3}$

C.$V = 20 \sqrt{3}$

D.$V = \dfrac{100 \sqrt{3}}{3}$

Câu 27.Hình chóp $O.ABC$ có $OB\perp(ABC)$, đáy ABC vuông tại B, $BA = 4$, $BC = 2$, $OB = 1\sqrt{3}$. Tính thể tích khối chóp $O.ABC$.

A.$V = \dfrac{4 \sqrt{3}}{3}$

B.$V = 4 \sqrt{3}$

C.$V = \dfrac{8 \sqrt{3}}{3}$

D.$V = 4$

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Hình chóp $O.ABC$ có $OB\perp(ABC)$, đáy ABC là tam giác đều cạnh $2$, $OB = 2\sqrt{3}$. Tính thể tích khối chóp $O.ABC$.

A.$V = 4$

B.$V = 4 \sqrt{3}$

C.$V = 2$

D.$V = 6$

Câu 29.Hình chóp $S.ABC$ có $SB\perp(ABC)$, đáy ABC là tam giác đều cạnh $2$, $SB = 6$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

A.$V = 4 \sqrt{3}$

B.$V = 6 \sqrt{3}$

C.$V = 2 \sqrt{3}$

D.$V = 12 \sqrt{3}$

Câu 30.Hình chóp $O.ABCD$ có $OD\perp(ABCD)$, đáy ABCD là hình vuông cạnh $5$, $OD = 5\sqrt{3}$. Tính thể tích khối chóp $O.ABCD$.

A.$V = \dfrac{250 \sqrt{3}}{3}$

B.$V = 625$

C.$V = 125 \sqrt{3}$

D.$V = \dfrac{125 \sqrt{3}}{3}$

7. Reverse: cho thể tích + diện tích đáy → tìm chiều cao (cạnh bên ⟂ đáy)Trắc nghiệm`vol_pyramid_perp_edge_find_height`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 31.Hình chóp $O.ABCD$ có cạnh bên $OA\perp(ABCD)$, đáy ABCD là hình vuông cạnh $5$. Biết thể tích khối chóp bằng $\dfrac{100}{3}$. Tính độ dài $OA$ (chiều cao của khối chóp).

A.$h = 2500$

B.$h = \dfrac{4}{9}$

C.$h = 4$

D.$h = \dfrac{4}{3}$

Câu 32.Hình chóp $S.ABC$ có cạnh bên $SA\perp(ABC)$, đáy ABC vuông tại A, $AB = 3$, $AC = 4$. Biết thể tích khối chóp bằng $6 \sqrt{3}$. Tính độ dài $SA$ (chiều cao của khối chóp).

A.$h = 108 \sqrt{3}$

B.$h = 3 \sqrt{3}$

C.$h = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

D.$h = \sqrt{3}$

Câu 33.Hình chóp $O.ABCD$ có cạnh bên $OD\perp(ABCD)$, đáy ABCD là hình chữ nhật $AB = 6$, $AD = 3$. Biết thể tích khối chóp bằng $30$. Tính độ dài $OD$ (chiều cao của khối chóp).

A.$h = 1620$

B.$h = \dfrac{5}{3}$

C.$h = 5$

D.$h = \dfrac{5}{9}$

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 34.Hình chóp $O.ABCD$ có cạnh bên $OA\perp(ABCD)$, đáy ABCD là hình vuông cạnh $6$. Biết thể tích khối chóp bằng $24 \sqrt{3}$. Tính độ dài $OA$ (chiều cao của khối chóp).

A.$h = \dfrac{2 \sqrt{3}}{9}$

B.$h = \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}$

C.$h = 2592 \sqrt{3}$

D.$h = 2 \sqrt{3}$

Câu 35.Hình chóp $O.ABC$ có cạnh bên $OA\perp(ABC)$, đáy ABC vuông tại A, $AB = 2$, $AC = 3$. Biết thể tích khối chóp bằng $5$. Tính độ dài $OA$ (chiều cao của khối chóp).

A.$h = \dfrac{5}{9}$

B.$h = 45$

C.$h = 5$

D.$h = \dfrac{5}{3}$

Câu 36.Hình chóp $S.ABC$ có cạnh bên $SA\perp(ABC)$, đáy ABC là tam giác đều cạnh $2$. Biết thể tích khối chóp bằng $2 \sqrt{3}$. Tính độ dài $SA$ (chiều cao của khối chóp).

A.$h = 18$

B.$h = 2$

C.$h = 6$

D.$h = \dfrac{2}{3}$

8. Chóp $S.ABCD$ đáy hình chữ nhật cạnh theo tham số $a$, một cạnh bên vuông góc với đáy ⇒ thể tích là BIỂU THỨC theo $a$Trắc nghiệm`vol_rectangle_pyramid_perp_edge_symbolic_mc`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 37.Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SD$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, $ABCD$ là hình chữ nhật và $AB=2a$, $BC=2a$, $SD=3a$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

A.$V = 12 a^{3}$

B.$V = 6 a^{3}$

C.$V = 2 a^{3}$

D.$V = 4 a^{3}$

Câu 38.Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SD$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, $ABCD$ là hình chữ nhật và $AB=2a$, $BC=2a$, $SD=3a$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

A.$V = 12 a^{3}$

B.$V = 2 a^{3}$

C.$V = 6 a^{3}$

D.$V = 4 a^{3}$

Câu 39.Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, $ABCD$ là hình chữ nhật và $AB=3a$, $BC=2a$, $SA=2a$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

A.$V = 12 a^{3}$

B.$V = 6 a^{3}$

C.$V = 4 a^{3}$

D.$V = 2 a^{3}$

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 40.Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, $ABCD$ là hình chữ nhật và $AB=2a$, $BC=3a$, $SA=3a$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

A.$V = 6 a^{3}$

B.$V = 18 a^{3}$

C.$V = 3 a^{3}$

D.$V = 9 a^{3}$

Câu 41.Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SD$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, $ABCD$ là hình chữ nhật và $AB=4a$, $BC=a$, $SD=2a$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

A.$V = 4 a^{3}$

B.$V = 8 a^{3}$

C.$V = \dfrac{4 a^{3}}{3}$

D.$V = \dfrac{8 a^{3}}{3}$

Câu 42.Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, $ABCD$ là hình chữ nhật và $AB=3a$, $BC=2a$, $SA=2a$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

A.$V = 12 a^{3}$

B.$V = 2 a^{3}$

C.$V = 6 a^{3}$

D.$V = 4 a^{3}$

9. Thể tích chóp đều cho cạnh đáy $a$ và góc giữa mặt bên & đáy $= \alpha$Trắc nghiệm`vol_reg_pyramid_from_face_dihedral`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 43.Khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $3$, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $60^\circ$. Tính thể tích khối chóp.

A.$V = \dfrac{9 \sqrt{3}}{2}$

B.$V = \dfrac{3 \sqrt{3}}{2}$

C.$V = 9 \sqrt{3}$

D.$V = \dfrac{27 \sqrt{3}}{2}$

Câu 44.Khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $5$, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $60^\circ$. Tính thể tích khối chóp.

A.$V = \dfrac{125 \sqrt{3}}{6}$

B.$V = \dfrac{125 \sqrt{3}}{18}$

C.$V = \dfrac{125 \sqrt{3}}{2}$

D.$V = \dfrac{125 \sqrt{3}}{3}$

Câu 45.Khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $2$, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $60^\circ$. Tính thể tích khối chóp.

A.$V = \dfrac{4 \sqrt{3}}{9}$

B.$V = \dfrac{8 \sqrt{3}}{3}$

C.$V = 4 \sqrt{3}$

D.$V = \dfrac{4 \sqrt{3}}{3}$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 46.Khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $3$, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $45^\circ$. Tính thể tích khối chóp.

A.$V = 9$

B.$V = \dfrac{9}{2}$

C.$V = \dfrac{9}{4}$

D.$V = \dfrac{27}{2}$

Câu 47.Khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $5$, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $60^\circ$. Tính thể tích khối chóp.

A.$V = \dfrac{125 \sqrt{3}}{2}$

B.$V = \dfrac{125 \sqrt{3}}{18}$

C.$V = \dfrac{125 \sqrt{3}}{3}$

D.$V = \dfrac{125 \sqrt{3}}{6}$

Câu 48.Khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $3$, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $60^\circ$. Tính thể tích khối chóp.

A.$V = \dfrac{3 \sqrt{3}}{2}$

B.$V = \dfrac{9 \sqrt{3}}{2}$

C.$V = \dfrac{27 \sqrt{3}}{2}$

D.$V = 9 \sqrt{3}$

10. Reverse: cho thể tích + cạnh đáy → tìm chiều cao của khối (lăng trụ/chóp)Trắc nghiệm`vol_reg_solid_reverse_param`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 49.Khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $3$ và thể tích bằng $\dfrac{9}{2}$. Tính chiều cao $SO$ của khối chóp ($O$ là tâm đáy).

A.$h = \dfrac{1}{6}$

B.$h = \dfrac{243}{2}$

C.$h = \dfrac{1}{2}$

D.$h = \dfrac{3}{2}$

Câu 50.Khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $5$ và thể tích bằng $\dfrac{375}{4}$. Tính chiều cao $AA'$ của lăng trụ.

A.$H = \dfrac{9375 \sqrt{3}}{16}$

B.$H = 15$

C.$H = 5 \sqrt{3}$

D.$H = 15 \sqrt{3}$

Câu 51.Khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $4$ và thể tích bằng $\dfrac{32}{3}$. Tính chiều cao $SO$ của khối chóp ($O$ là tâm đáy).

A.$h = \dfrac{2}{3}$

B.$h = 512$

C.$h = \dfrac{2}{9}$

D.$h = 2$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 52.Khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $3$ và thể tích bằng $\dfrac{9}{2}$. Tính chiều cao $SO$ của khối chóp ($O$ là tâm đáy).

A.$h = \dfrac{1}{2}$

B.$h = \dfrac{243}{2}$

C.$h = \dfrac{3}{2}$

D.$h = \dfrac{1}{6}$

Câu 53.Khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $2$ và thể tích bằng $\dfrac{4 \sqrt{3}}{3}$. Tính chiều cao $SO$ của khối chóp ($O$ là tâm đáy).

A.$h = \dfrac{\sqrt{3}}{9}$

B.$h = 16 \sqrt{3}$

C.$h = \sqrt{3}$

D.$h = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Câu 54.Khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $5$ và thể tích bằng $\dfrac{125 \sqrt{3}}{4}$. Tính chiều cao $AA'$ của lăng trụ.

A.$H = 15$

B.$H = 5 \sqrt{3}$

C.$H = \dfrac{9375}{16}$

D.$H = 5$

11. Chóp tứ giác đều cạnh đáy KÝ HIỆU $a$, góc mặt bên–đáy $=\alpha$Trắc nghiệm`vol_square_pyramid_dihedral_symbolic_mc`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 55.Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $60^\circ$. Thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ bằng:

A.$V = \dfrac{\sqrt{3} a^{3}}{6}$

B.$V = \dfrac{\sqrt{2} a^{3}}{2}$

C.$V = \dfrac{\sqrt{3} a^{3}}{2}$

D.$V = \dfrac{\sqrt{2} a^{3}}{6}$

Câu 56.Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $45^\circ$. Thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ bằng:

A.$V = \dfrac{a^{3}}{2}$

B.$V = \dfrac{\sqrt{2} a^{3}}{6}$

C.$V = \dfrac{a^{3}}{6}$

D.$V = \dfrac{\sqrt{2} a^{3}}{2}$

Câu 57.Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $45^\circ$. Thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ bằng:

A.$V = \dfrac{\sqrt{2} a^{3}}{2}$

B.$V = \dfrac{\sqrt{2} a^{3}}{6}$

C.$V = \dfrac{a^{3}}{2}$

D.$V = \dfrac{a^{3}}{6}$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 58.Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $45^\circ$. Thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ bằng:

A.$V = \dfrac{a^{3}}{2}$

B.$V = \dfrac{a^{3}}{6}$

C.$V = \dfrac{\sqrt{2} a^{3}}{6}$

D.$V = \dfrac{\sqrt{2} a^{3}}{2}$

Câu 59.Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $45^\circ$. Thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ bằng:

A.$V = \dfrac{a^{3}}{6}$

B.$V = \dfrac{\sqrt{2} a^{3}}{2}$

C.$V = \dfrac{a^{3}}{2}$

D.$V = \dfrac{\sqrt{2} a^{3}}{6}$

Câu 60.Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $45^\circ$. Thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ bằng:

A.$V = \dfrac{\sqrt{2} a^{3}}{6}$

B.$V = \dfrac{a^{3}}{2}$

C.$V = \dfrac{\sqrt{2} a^{3}}{2}$

D.$V = \dfrac{a^{3}}{6}$

12. Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$ — xét chiều cao, thể tích, số mặt, cạnhĐúng / Sai`reg_pyramid_tet_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 61.Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tứ diện đều và hình lập phương có cùng số mặt.

b)Chiều cao của tứ diện đều bằng $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$ với $a$ là cạnh.

c)Đường cao tứ diện đều hạ từ một đỉnh đi qua trọng tâm của mặt đối diện.

d)Hai cạnh đối nhau của tứ diện đều vuông góc với nhau.

Câu 62.Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tứ diện đều có chân đường cao trùng tâm đáy.

b)Đường cao tứ diện đều hạ từ một đỉnh đi qua trọng tâm của mặt đối diện.

c)Tứ diện đều và hình lập phương có cùng số mặt.

d)Chiều cao của tứ diện đều bằng $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$ với $a$ là cạnh.

Câu 63.Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai cạnh đối nhau của tứ diện đều vuông góc với nhau.

b)Thể tích tứ diện đều cạnh $3$ bằng $\dfrac{27\sqrt{2}}{12}$.

c)Tứ diện đều và hình lập phương có cùng số mặt.

d)Tứ diện $ABCD$ có 4 mặt là 4 tam giác đều cạnh $3$.

13. Chóp cụt tứ giác đều cạnh đáy $a>b$, đường chéo $AC'$ nối đỉnh đáy lớn với đỉnh đối diện của đáy nhỏ bằng $d$ ⇒ thể tíchTrả lời ngắn`frustum_max_volume_constrained_sa`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 64.Cho hình chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh đáy lớn $AB=6$, cạnh đáy nhỏ $A'B'=5$. Biết đoạn nối đỉnh $A$ của đáy lớn với đỉnh $C'$ của đáy nhỏ (chéo nhau) có độ dài $AC'=13$. Tính thể tích khối chóp cụt. (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Câu 65.Cho hình chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh đáy lớn $AB=8$, cạnh đáy nhỏ $A'B'=4$. Biết đoạn nối đỉnh $A$ của đáy lớn với đỉnh $C'$ của đáy nhỏ (chéo nhau) có độ dài $AC'=12$. Tính thể tích khối chóp cụt. (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Câu 66.Cho hình chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh đáy lớn $AB=10$, cạnh đáy nhỏ $A'B'=5$. Biết đoạn nối đỉnh $A$ của đáy lớn với đỉnh $C'$ của đáy nhỏ (chéo nhau) có độ dài $AC'=12$. Tính thể tích khối chóp cụt. (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 67.Cho hình chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh đáy lớn $AB=6$, cạnh đáy nhỏ $A'B'=2$. Biết đoạn nối đỉnh $A$ của đáy lớn với đỉnh $C'$ của đáy nhỏ (chéo nhau) có độ dài $AC'=14$. Tính thể tích khối chóp cụt. (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Câu 68.Cho hình chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh đáy lớn $AB=6$, cạnh đáy nhỏ $A'B'=4$. Biết đoạn nối đỉnh $A$ của đáy lớn với đỉnh $C'$ của đáy nhỏ (chéo nhau) có độ dài $AC'=11$. Tính thể tích khối chóp cụt. (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Câu 69.Cho hình chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh đáy lớn $AB=8$, cạnh đáy nhỏ $A'B'=3$. Biết đoạn nối đỉnh $A$ của đáy lớn với đỉnh $C'$ của đáy nhỏ (chéo nhau) có độ dài $AC'=17$. Tính thể tích khối chóp cụt. (Làm tròn đến hàng đơn vị)

14. Chóp cụt tứ giác đều: TỔNG diện tích hai đáy $=S$, đường chéo $AC'=d$ cho trước; cạnh hai đáy THAY ĐỔI ⇒ tìm thể tích LỚN NHẤTTrả lời ngắn`frustum_max_volume_total_base_area_diagonal_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 70.Cho khối chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A'B'C'D'$. Biết tổng diện tích của hai mặt đáy bằng $24$ và độ dài đường chéo $AC'=6$ (đoạn nối đỉnh $A$ của đáy lớn với đỉnh $C'$ của đáy nhỏ). Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp cụt đã cho. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 71.Cho khối chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A'B'C'D'$. Biết tổng diện tích của hai mặt đáy bằng $96$ và độ dài đường chéo $AC'=12$ (đoạn nối đỉnh $A$ của đáy lớn với đỉnh $C'$ của đáy nhỏ). Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp cụt đã cho. (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Câu 72.Cho khối chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A'B'C'D'$. Biết tổng diện tích của hai mặt đáy bằng $148$ và độ dài đường chéo $AC'=13$ (đoạn nối đỉnh $A$ của đáy lớn với đỉnh $C'$ của đáy nhỏ). Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp cụt đã cho.

15. Reverse: cho chiều cao + độ dốc ⇒ tìm cạnh đáyTrả lời ngắn`pyramid_base_edge_from_lateral_area_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 73.Một tháp dạng chóp tứ giác đều có chiều cao $11,25\ \text{m}$, độ dốc của mỗi mặt bên (tang góc nghiêng so với mặt đáy) bằng $\dfrac{15}{8}$. Tính độ dài cạnh đáy của tháp.

Câu 74.Một tháp dạng chóp tứ giác đều có chiều cao $7,5\ \text{m}$, độ dốc của mỗi mặt bên (tang góc nghiêng so với mặt đáy) bằng $\dfrac{15}{8}$. Tính độ dài cạnh đáy của tháp.

Câu 75.Một kim tự tháp dạng chóp tứ giác đều có chiều cao $7,5\ \text{m}$, độ dốc của mỗi mặt bên (tang góc nghiêng so với mặt đáy) bằng $\dfrac{15}{8}$. Tính độ dài cạnh đáy của kim tự tháp.

16. Forward: cho tổng diện tích mặt bên + độ dốc (tang) ⇒ chiều caoTrả lời ngắn`pyramid_height_from_lateral_area_slope_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 76.Một kim tự tháp dạng chóp tứ giác đều có tổng diện tích các mặt bên là $34\ \text{m}^2$, độ dốc của mỗi mặt bên (tang góc nghiêng so với mặt đáy) bằng $\dfrac{15}{8}$. Tính chiều cao của kim tự tháp. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 77.Một chóp mái nhà dạng chóp tứ giác đều có tổng diện tích các mặt bên là $39\ \text{m}^2$, độ dốc của mỗi mặt bên (tang góc nghiêng so với mặt đáy) bằng $\dfrac{5}{12}$. Tính chiều cao của chóp mái nhà. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 78.Một chóp mái nhà dạng chóp tứ giác đều có tổng diện tích các mặt bên là $260\ \text{m}^2$, độ dốc của mỗi mặt bên (tang góc nghiêng so với mặt đáy) bằng $\dfrac{12}{5}$. Tính chiều cao của chóp mái nhà.

17. Cùng dữ kiện nhưng hỏi thể tích kim tự thápTrả lời ngắn`pyramid_volume_from_lateral_area_slope_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 79.Một khối chóp đá dạng chóp tứ giác đều có tổng diện tích các mặt bên là $80\ \text{m}^2$, độ dốc của mỗi mặt bên (tang góc nghiêng so với mặt đáy) bằng $\dfrac{3}{4}$. Tính thể tích của khối chóp đá.

Câu 80.Một khối chóp đá dạng chóp tứ giác đều có tổng diện tích các mặt bên là $260\ \text{m}^2$, độ dốc của mỗi mặt bên (tang góc nghiêng so với mặt đáy) bằng $\dfrac{12}{5}$. Tính thể tích của khối chóp đá.

Câu 81.Một tháp trang trí dạng chóp tứ giác đều có tổng diện tích các mặt bên là $156\ \text{m}^2$, độ dốc của mỗi mặt bên (tang góc nghiêng so với mặt đáy) bằng $\dfrac{5}{12}$. Tính thể tích của tháp trang trí.

18. Đáy vuông cân tại $B$, $AB=BC=c$, $SA\perp$ đáy, $SA=h$; $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$Trả lời ngắn`subpyramid_volume_foot_on_lateral_edge_sa`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 82.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=4$, $SA\perp(ABC)$, $SA=2$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$. Tính thể tích khối chóp $B.AHC$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 83.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=3$, $SA\perp(ABC)$, $SA=4$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$. Tính thể tích khối chóp $B.AHC$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 84.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=3$, $SA\perp(ABC)$, $SA=2$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$. Tính thể tích khối chóp $B.AHC$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 85.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=4$, $SA\perp(ABC)$, $SA=3$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$. Tính thể tích khối chóp $B.AHC$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 86.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=4$, $SA\perp(ABC)$, $SA=3\sqrt3$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$. Tính thể tích khối chóp $B.AHC$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 87.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=4$, $SA\perp(ABC)$, $SA=4$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$. Tính thể tích khối chóp $B.AHC$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

19. Cùng cấu hình nhưng hỏi độ dài $AH$ (đường cao trong tam giác $SAB$ vuông tại $A$)Trả lời ngắn`subpyramid_volume_or_AH_reverse_sa`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 88.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=4$, $SA\perp(ABC)$, $SA=3$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$. Tính độ dài đoạn $AH$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 89.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=6$, $SA\perp(ABC)$, $SA=6$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$. Tính độ dài đoạn $AH$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 90.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=3$, $SA\perp(ABC)$, $SA=4$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$. Tính độ dài đoạn $AH$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 91.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=4$, $SA\perp(ABC)$, $SA=2\sqrt3$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$. Tính độ dài đoạn $AH$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 92.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=4$, $SA\perp(ABC)$, $SA=3$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$. Tính độ dài đoạn $AH$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 93.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=6$, $SA\perp(ABC)$, $SA=3\sqrt3$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$. Tính độ dài đoạn $AH$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

20. Số mặt/đỉnh/cạnh của tứ diện đềuTrả lời ngắn`tet_count_features_sa`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 94.Tứ diện đều có bao nhiêu đỉnh?

Câu 95.Tứ diện đều có bao nhiêu mặt?

Câu 96.Tứ diện đều có bao nhiêu cạnh?

21. Chiều cao tứ diện đều cạnh $a$: $h = a\sqrt{6}/3$ (số thập phân)Trả lời ngắn`tet_height_from_side`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 97.Tứ diện đều cạnh $9$. Tính chiều cao của tứ diện. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 98.Tứ diện đều cạnh $12$. Tính chiều cao của tứ diện. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 99.Tứ diện đều cạnh $6$. Tính chiều cao của tứ diện. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

22. Lăng trụ $ABC.A'B'C'$ mà $A'.ABC$ là tứ diện đều cạnh $m$ — tính thể tích khối $A'BCC'B'$ (phần còn lại sau khi bỏ tứ diện $A'.ABC$)Trả lời ngắn`vol_lateral_solid_from_regular_tetra_prism_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 100.Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ biết $A'.ABC$ là tứ diện đều cạnh bằng $6$. Tính thể tích khối $A'BCC'B'$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 101.Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ biết $A'.ABC$ là tứ diện đều cạnh bằng $3\sqrt2$. Tính thể tích khối $A'BCC'B'$.

Câu 102.Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ biết $A'.ABC$ là tứ diện đều cạnh bằng $6\sqrt2$. Tính thể tích khối $A'BCC'B'$.

23. Chóp $S.ABCD$ đáy vuông cạnh $a$, $SA\perp$đáy, $SA=a\sqrt3$Trả lời ngắn`vol_square_pyramid_apex_proj_angle_fold_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 103.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$ và $SA=2a\sqrt3$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SAB$, $A'$ là hình chiếu song song của $G$ lên đường thẳng $SA$ theo phương chiếu $AB$. Trên các cạnh $BC$ và $CD$ lần lượt lấy các điểm $E$ và $F$ sao cho $\widehat{EAF}=45^\circ$. Đặt $BE=x$, $DF=y$ $(x,y>0)$, gọi $V$ là thể tích khối chóp $A'.AEF$. Biết $V=\dfrac{(2a)^2(x+y)\sqrt3}{m}$, tìm $m$.

Câu 104.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$ và $SA=a\sqrt3$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SAB$, $A'$ là hình chiếu song song của $G$ lên đường thẳng $SA$ theo phương chiếu $AB$. Trên các cạnh $BC$ và $CD$ lần lượt lấy các điểm $E$ và $F$ sao cho $\widehat{EAF}=45^\circ$. Đặt $BE=x$, $DF=y$ $(x,y>0)$, gọi $V$ là thể tích khối chóp $A'.AEF$. Biết $V=\dfrac{(a)^2(x+y)\sqrt3}{m}$, tìm $m$.

Câu 105.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\sqrt2$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$ và $SA=a\sqrt2\sqrt3$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SAB$, $A'$ là hình chiếu song song của $G$ lên đường thẳng $SA$ theo phương chiếu $AB$. Trên các cạnh $BC$ và $CD$ lần lượt lấy các điểm $E$ và $F$ sao cho $\widehat{EAF}=45^\circ$. Đặt $BE=x$, $DF=y$ $(x,y>0)$, gọi $V$ là thể tích khối chóp $A'.AEF$. Biết $V=\dfrac{(a\sqrt2)^2(x+y)\sqrt3}{m}$, tìm $m$.

24. Reverse: cho thể tích + cạnh đáy ⇒ tìm cạnh bên $SC$ (làm tròn)Trả lời ngắn`vol_square_pyramid_find_lateral_edge_sa`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 106.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $3$, $SA\perp(ABCD)$. Biết thể tích khối chóp bằng $18$. Tính độ dài cạnh bên $SC$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 107.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $3$, $SA\perp(ABCD)$. Biết thể tích khối chóp bằng $27$. Tính độ dài cạnh bên $SC$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 108.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $3$, $SA\perp(ABCD)$. Biết thể tích khối chóp bằng $36$. Tính độ dài cạnh bên $SC$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 109.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $3$, $SA\perp(ABCD)$. Biết thể tích khối chóp bằng $36$. Tính độ dài cạnh bên $SC$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 110.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $6$, $SA\perp(ABCD)$. Biết thể tích khối chóp bằng $96$. Tính độ dài cạnh bên $SC$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 111.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $4$, $SA\perp(ABCD)$. Biết thể tích khối chóp bằng $21,33$. Tính độ dài cạnh bên $SC$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

25. Đáy vuông cạnh $a$, $SA\perp$ đáy, biết $SC$ ⇒ thể tích (làm tròn)Trả lời ngắn`vol_square_pyramid_from_diagonal_edge_sa`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 112.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $6$, $SA\perp(ABCD)$ và $SC=17$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$. (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Câu 113.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $4$, $SA\perp(ABCD)$ và $SC=13$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 114.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $3$, $SA\perp(ABCD)$ và $SC=9$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 115.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $4$, $SA\perp(ABCD)$ và $SC=13$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 116.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $3$, $SA\perp(ABCD)$ và $SC=6$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 117.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $3$, $SA\perp(ABCD)$ và $SC=11$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

26. Hai mặt bên $SAB$, $SAC$ là tam giác đều cạnh $m$ chung $SA$, góc $BAC=\beta$Trả lời ngắn`vol_two_equilateral_faces_pyramid_sa`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 118.Cho hình chóp $S.ABC$ có hai mặt bên $SAB$ và $SAC$ là hai tam giác đều cạnh $3$ (chung cạnh $SA$), góc $\widehat{BAC}=60^\circ$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 119.Cho hình chóp $S.ABC$ có hai mặt bên $SAB$ và $SAC$ là hai tam giác đều cạnh $3\sqrt2$ (chung cạnh $SA$), góc $\widehat{BAC}=60^\circ$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

Câu 120.Cho hình chóp $S.ABC$ có hai mặt bên $SAB$ và $SAC$ là hai tam giác đều cạnh $2$ (chung cạnh $SA$), góc $\widehat{BAC}=60^\circ$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 121.Cho hình chóp $S.ABC$ có hai mặt bên $SAB$ và $SAC$ là hai tam giác đều cạnh $2$ (chung cạnh $SA$), góc $\widehat{BAC}=60^\circ$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 122.Cho hình chóp $S.ABC$ có hai mặt bên $SAB$ và $SAC$ là hai tam giác đều cạnh $3\sqrt2$ (chung cạnh $SA$), góc $\widehat{BAC}=60^\circ$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

Câu 123.Cho hình chóp $S.ABC$ có hai mặt bên $SAB$ và $SAC$ là hai tam giác đều cạnh $3$ (chung cạnh $SA$), góc $\widehat{BAC}=90^\circ$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

§2. Tính chất(2)

§3. Công thức(2)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Đếm số đỉnh và số cạnh của tứ diện đều / hình chóp đều đáy n-giácTrắc nghiệmpyramid_vertex_edge_count(3 câu)

2. Phát biểu đúng về hình chóp đều / tứ diện đềuTrắc nghiệmregular_pyramid_concept(3 câu)

3. Lăng trụ đứng đáy tam giác đều cạnh KÝ HIỆU $a$, cạnh bên $AA'=c\,a\sqrt{d}$Trắc nghiệmvol_prism_equilateral_tri_symbolic_mc(6 câu)

4. Thể tích lăng trụ đứng/đều đáy tam giác đều cạnh $a$, chiều cao $H$Trắc nghiệmvol_prism_regular_tri_compute(6 câu)

5. Hỏi diện tích đáy (suy từ thể tích + chiều cao) — cùng số liệuTrắc nghiệmvol_pyramid_perp_edge_base_area(6 câu)

6. Thể tích khối chóp có 1 cạnh bên vuông góc đáy → cạnh đó là chiều caoTrắc nghiệmvol_pyramid_perp_edge_compute(6 câu)

7. Reverse: cho thể tích + diện tích đáy → tìm chiều cao (cạnh bên ⟂ đáy)Trắc nghiệmvol_pyramid_perp_edge_find_height(6 câu)

8. Chóp $S.ABCD$ đáy hình chữ nhật cạnh theo tham số $a$, một cạnh bên vuông góc với đáy ⇒ thể tích là BIỂU THỨC theo $a$Trắc nghiệmvol_rectangle_pyramid_perp_edge_symbolic_mc(6 câu)

9. Thể tích chóp đều cho cạnh đáy $a$ và góc giữa mặt bên & đáy $= \alpha$Trắc nghiệmvol_reg_pyramid_from_face_dihedral(6 câu)

10. Reverse: cho thể tích + cạnh đáy → tìm chiều cao của khối (lăng trụ/chóp)Trắc nghiệmvol_reg_solid_reverse_param(6 câu)

11. Chóp tứ giác đều cạnh đáy KÝ HIỆU $a$, góc mặt bên–đáy $=\alpha$Trắc nghiệmvol_square_pyramid_dihedral_symbolic_mc(6 câu)

12. Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$ — xét chiều cao, thể tích, số mặt, cạnhĐúng / Saireg_pyramid_tet_facts(3 câu)

13. Chóp cụt tứ giác đều cạnh đáy $a>b$, đường chéo $AC'$ nối đỉnh đáy lớn với đỉnh đối diện của đáy nhỏ bằng $d$ ⇒ thể tíchTrả lời ngắnfrustum_max_volume_constrained_sa(6 câu)

14. Chóp cụt tứ giác đều: TỔNG diện tích hai đáy $=S$, đường chéo $AC'=d$ cho trước; cạnh hai đáy THAY ĐỔI ⇒ tìm thể tích LỚN NHẤTTrả lời ngắnfrustum_max_volume_total_base_area_diagonal_sa(3 câu)

15. Reverse: cho chiều cao + độ dốc ⇒ tìm cạnh đáyTrả lời ngắnpyramid_base_edge_from_lateral_area_sa(3 câu)

16. Forward: cho tổng diện tích mặt bên + độ dốc (tang) ⇒ chiều caoTrả lời ngắnpyramid_height_from_lateral_area_slope_sa(3 câu)

17. Cùng dữ kiện nhưng hỏi thể tích kim tự thápTrả lời ngắnpyramid_volume_from_lateral_area_slope_sa(3 câu)

18. Đáy vuông cân tại $B$, $AB=BC=c$, $SA\perp$ đáy, $SA=h$; $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$Trả lời ngắnsubpyramid_volume_foot_on_lateral_edge_sa(6 câu)

19. Cùng cấu hình nhưng hỏi độ dài $AH$ (đường cao trong tam giác $SAB$ vuông tại $A$)Trả lời ngắnsubpyramid_volume_or_AH_reverse_sa(6 câu)

20. Số mặt/đỉnh/cạnh của tứ diện đềuTrả lời ngắntet_count_features_sa(3 câu)

21. Chiều cao tứ diện đều cạnh $a$: $h = a\sqrt{6}/3$ (số thập phân)Trả lời ngắntet_height_from_side(3 câu)

22. Lăng trụ $ABC.A'B'C'$ mà $A'.ABC$ là tứ diện đều cạnh $m$ — tính thể tích khối $A'BCC'B'$ (phần còn lại sau khi bỏ tứ diện $A'.ABC$)Trả lời ngắnvol_lateral_solid_from_regular_tetra_prism_sa(3 câu)

23. Chóp $S.ABCD$ đáy vuông cạnh $a$, $SA\perp$đáy, $SA=a\sqrt3$Trả lời ngắnvol_square_pyramid_apex_proj_angle_fold_sa(3 câu)

24. Reverse: cho thể tích + cạnh đáy ⇒ tìm cạnh bên $SC$ (làm tròn)Trả lời ngắnvol_square_pyramid_find_lateral_edge_sa(6 câu)

25. Đáy vuông cạnh $a$, $SA\perp$ đáy, biết $SC$ ⇒ thể tích (làm tròn)Trả lời ngắnvol_square_pyramid_from_diagonal_edge_sa(6 câu)

26. Hai mặt bên $SAB$, $SAC$ là tam giác đều cạnh $m$ chung $SA$, góc $BAC=\beta$Trả lời ngắnvol_two_equilateral_faces_pyramid_sa(6 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Đếm số đỉnh và số cạnh của tứ diện đều / hình chóp đều đáy n-giácTrắc nghiệm`pyramid_vertex_edge_count`(3 câu)

2. Phát biểu đúng về hình chóp đều / tứ diện đềuTrắc nghiệm`regular_pyramid_concept`(3 câu)

3. Lăng trụ đứng đáy tam giác đều cạnh KÝ HIỆU $a$, cạnh bên $AA'=c\,a\sqrt{d}$Trắc nghiệm`vol_prism_equilateral_tri_symbolic_mc`(6 câu)

4. Thể tích lăng trụ đứng/đều đáy tam giác đều cạnh $a$, chiều cao $H$Trắc nghiệm`vol_prism_regular_tri_compute`(6 câu)

5. Hỏi diện tích đáy (suy từ thể tích + chiều cao) — cùng số liệuTrắc nghiệm`vol_pyramid_perp_edge_base_area`(6 câu)

6. Thể tích khối chóp có 1 cạnh bên vuông góc đáy → cạnh đó là chiều caoTrắc nghiệm`vol_pyramid_perp_edge_compute`(6 câu)

7. Reverse: cho thể tích + diện tích đáy → tìm chiều cao (cạnh bên ⟂ đáy)Trắc nghiệm`vol_pyramid_perp_edge_find_height`(6 câu)

8. Chóp $S.ABCD$ đáy hình chữ nhật cạnh theo tham số $a$, một cạnh bên vuông góc với đáy ⇒ thể tích là BIỂU THỨC theo $a$Trắc nghiệm`vol_rectangle_pyramid_perp_edge_symbolic_mc`(6 câu)

9. Thể tích chóp đều cho cạnh đáy $a$ và góc giữa mặt bên & đáy $= \alpha$Trắc nghiệm`vol_reg_pyramid_from_face_dihedral`(6 câu)

10. Reverse: cho thể tích + cạnh đáy → tìm chiều cao của khối (lăng trụ/chóp)Trắc nghiệm`vol_reg_solid_reverse_param`(6 câu)

11. Chóp tứ giác đều cạnh đáy KÝ HIỆU $a$, góc mặt bên–đáy $=\alpha$Trắc nghiệm`vol_square_pyramid_dihedral_symbolic_mc`(6 câu)

12. Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$ — xét chiều cao, thể tích, số mặt, cạnhĐúng / Sai`reg_pyramid_tet_facts`(3 câu)

13. Chóp cụt tứ giác đều cạnh đáy $a>b$, đường chéo $AC'$ nối đỉnh đáy lớn với đỉnh đối diện của đáy nhỏ bằng $d$ ⇒ thể tíchTrả lời ngắn`frustum_max_volume_constrained_sa`(6 câu)

14. Chóp cụt tứ giác đều: TỔNG diện tích hai đáy $=S$, đường chéo $AC'=d$ cho trước; cạnh hai đáy THAY ĐỔI ⇒ tìm thể tích LỚN NHẤTTrả lời ngắn`frustum_max_volume_total_base_area_diagonal_sa`(3 câu)

15. Reverse: cho chiều cao + độ dốc ⇒ tìm cạnh đáyTrả lời ngắn`pyramid_base_edge_from_lateral_area_sa`(3 câu)

16. Forward: cho tổng diện tích mặt bên + độ dốc (tang) ⇒ chiều caoTrả lời ngắn`pyramid_height_from_lateral_area_slope_sa`(3 câu)

17. Cùng dữ kiện nhưng hỏi thể tích kim tự thápTrả lời ngắn`pyramid_volume_from_lateral_area_slope_sa`(3 câu)

18. Đáy vuông cân tại $B$, $AB=BC=c$, $SA\perp$ đáy, $SA=h$; $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$Trả lời ngắn`subpyramid_volume_foot_on_lateral_edge_sa`(6 câu)

19. Cùng cấu hình nhưng hỏi độ dài $AH$ (đường cao trong tam giác $SAB$ vuông tại $A$)Trả lời ngắn`subpyramid_volume_or_AH_reverse_sa`(6 câu)

20. Số mặt/đỉnh/cạnh của tứ diện đềuTrả lời ngắn`tet_count_features_sa`(3 câu)

21. Chiều cao tứ diện đều cạnh $a$: $h = a\sqrt{6}/3$ (số thập phân)Trả lời ngắn`tet_height_from_side`(3 câu)

22. Lăng trụ $ABC.A'B'C'$ mà $A'.ABC$ là tứ diện đều cạnh $m$ — tính thể tích khối $A'BCC'B'$ (phần còn lại sau khi bỏ tứ diện $A'.ABC$)Trả lời ngắn`vol_lateral_solid_from_regular_tetra_prism_sa`(3 câu)

23. Chóp $S.ABCD$ đáy vuông cạnh $a$, $SA\perp$đáy, $SA=a\sqrt3$Trả lời ngắn`vol_square_pyramid_apex_proj_angle_fold_sa`(3 câu)

24. Reverse: cho thể tích + cạnh đáy ⇒ tìm cạnh bên $SC$ (làm tròn)Trả lời ngắn`vol_square_pyramid_find_lateral_edge_sa`(6 câu)

25. Đáy vuông cạnh $a$, $SA\perp$ đáy, biết $SC$ ⇒ thể tích (làm tròn)Trả lời ngắn`vol_square_pyramid_from_diagonal_edge_sa`(6 câu)

26. Hai mặt bên $SAB$, $SAC$ là tam giác đều cạnh $m$ chung $SA$, góc $BAC=\beta$Trả lời ngắn`vol_two_equilateral_faces_pyramid_sa`(6 câu)