Biến cố độc lập

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Hai biến cố $A, B$ được gọi là độc lập nếu việc xảy ra (hay không) của $A$ KHÔNG ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của $B$ và ngược lại. Điều kiện đặc trưng: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).$$

§2. Công thức(1)

2.1

Xác suất "ít nhất một biến cố xảy ra"

Cho 2 biến cố độc lập $A, B$: $$P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}).$$ Tổng quát $n$ biến cố độc lập: $$P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = 1 - \prod_{i=1}^{n} P(\overline{A_i}) = 1 - \prod_{i=1}^{n} (1 - P(A_i)).$$

§3. Phương pháp(1)

3.1

Phương pháp giải bài toán với biến cố độc lập

Bước 1. Xác định các biến cố cơ bản $A_i$ và kiểm tra tính độc lập (các phép thử riêng biệt, không ảnh hưởng nhau). Bước 2. Tính $P(A_i)$ cho từng biến cố. Bước 3. Phân tích biến cố cần tính:

"Cả $A$ và $B$": $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
"Ít nhất một": dùng phần bù như trên.
"Đúng $k$ thành công trong $n$ phép thử": dùng phân phối nhị thức.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: "ít nhất một" dùng phần bù

Khi đề hỏi "ít nhất 1 thành công" với nhiều phép thử độc lập: dùng phần bù "không có thành công nào" sẽ nhanh hơn. $$P(\text{ít nhất 1}) = 1 - P(\text{tất cả thất bại}) = 1 - q^n$$ với $q$ là xác suất thất bại 1 phép thử.

Bài tập

1. Quan sát sơ đồ Venn có ghi $P(A)$, $P(B)$ — biết hai biến cố độc lập, tính $P(A \cap B)$Trắc nghiệm`independent_intersection_from_venn`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Quan sát sơ đồ Venn trong hình với xác suất hai biến cố $A$ và $B$ được ghi. Biết $A, B$ độc lập, tính $P(A \cap B)$.

Sơ đồ Venn xác suất hai biến cố A, B

A.$P(A \cap B) = \dfrac{7}{50}$

B.$P(A \cap B) = \dfrac{19}{25}$

C.$P(A \cap B) = \dfrac{1}{2}$

D.$P(A \cap B) = \dfrac{9}{10}$

Câu 2.Quan sát sơ đồ Venn trong hình với xác suất hai biến cố $A$ và $B$ được ghi. Biết $A, B$ độc lập, tính $P(A \cap B)$.

Sơ đồ Venn xác suất hai biến cố A, B

A.$P(A \cap B) = \dfrac{11}{25}$

B.$P(A \cap B) = \dfrac{1}{2}$

C.$P(A \cap B) = \dfrac{3}{50}$

D.$P(A \cap B) = - \dfrac{1}{10}$

Câu 3.Quan sát sơ đồ Venn trong hình với xác suất hai biến cố $A$ và $B$ được ghi. Biết $A, B$ độc lập, tính $P(A \cap B)$.

Sơ đồ Venn xác suất hai biến cố A, B

A.$P(A \cap B) = - \dfrac{3}{10}$

B.$P(A \cap B) = \dfrac{9}{50}$

C.$P(A \cap B) = \dfrac{18}{25}$

D.$P(A \cap B) = \dfrac{9}{10}$

2. VD cao: $P(\text{ít nhất 1 thành công}) = 1 - (1 - p)^n.$Trắc nghiệm`prob_at_least_one_success_n_trials`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Một xạ thủ bắn $4$ lần độc lập vào bia, mỗi lần xác suất trúng đích là $\dfrac{1}{2}.$ Tính xác suất xạ thủ trúng đích ít nhất 1 lần.

A.$2$

B.$\dfrac{1}{2}$

C.$\dfrac{1}{16}$

D.$\dfrac{15}{16}$

Câu 5.Một xạ thủ bắn $2$ lần độc lập vào bia, mỗi lần xác suất trúng đích là $\dfrac{2}{3}.$ Tính xác suất xạ thủ trúng đích ít nhất 1 lần.

A.$\dfrac{1}{9}$

B.$\dfrac{8}{9}$

C.$\dfrac{4}{3}$

D.$\dfrac{4}{9}$

Câu 6.Một xạ thủ bắn $4$ lần độc lập vào bia, mỗi lần xác suất trúng đích là $\dfrac{1}{2}.$ Tính xác suất xạ thủ trúng đích ít nhất 1 lần.

A.$\dfrac{1}{2}$

B.$\dfrac{15}{16}$

C.$2$

D.$\dfrac{1}{16}$

3. Hai biến cố độc lập, tính $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$ (xác suất ít nhất một xảy ra)Trắc nghiệm`probability_at_least_one_of_two`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với $P(A) = \dfrac{1}{6}$, $P(B) = \dfrac{4}{9}$. Tính xác suất có ít nhất một trong hai biến cố xảy ra.

A.$P(A \cup B) = \dfrac{25}{27}$

B.$P(A \cup B) = \dfrac{2}{27}$

C.$P(A \cup B) = \dfrac{29}{54}$

D.$P(A \cup B) = \dfrac{11}{18}$

Câu 8.Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với $P(A) = \dfrac{1}{3}$, $P(B) = \dfrac{1}{6}$. Tính xác suất có ít nhất một trong hai biến cố xảy ra.

A.$P(A \cup B) = \dfrac{4}{9}$

B.$P(A \cup B) = \dfrac{1}{18}$

C.$P(A \cup B) = \dfrac{1}{2}$

D.$P(A \cup B) = \dfrac{17}{18}$

Câu 9.Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với $P(A) = \dfrac{4}{5}$, $P(B) = \dfrac{2}{9}$. Tính xác suất có ít nhất một trong hai biến cố xảy ra.

A.$P(A \cup B) = \dfrac{8}{45}$

B.$P(A \cup B) = \dfrac{37}{45}$

C.$P(A \cup B) = \dfrac{46}{45}$

D.$P(A \cup B) = \dfrac{38}{45}$

4. XS ít nhất một trong hai biến cố độc lập xảy raTrắc nghiệm`probability_at_least_one_two_independent_events`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Hai khẩu pháo cao xạ cùng bắn độc lập với nhau vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu của hai khẩu pháo cao xạ lần lượt là $\dfrac{3}{5}$ và $\dfrac{1}{4}$. Xác suất để mục tiêu bị bắn trúng đạn là

A.$\dfrac{7}{10}$

B.$\dfrac{3}{5}$

C.$\dfrac{3}{20}$

D.$\dfrac{17}{20}$

Câu 11.Hai khẩu pháo cao xạ cùng bắn độc lập với nhau vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu của hai khẩu pháo cao xạ lần lượt là $\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{1}{3}$. Xác suất để mục tiêu bị bắn trúng đạn là

A.$\dfrac{5}{6}$

B.$\dfrac{2}{3}$

C.$\dfrac{1}{6}$

D.$\dfrac{1}{2}$

Câu 12.Hai khẩu pháo cao xạ cùng bắn độc lập với nhau vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu của hai khẩu pháo cao xạ lần lượt là $\dfrac{1}{3}$ và $\dfrac{1}{5}$. Xác suất để mục tiêu bị bắn trúng đạn là

A.$\dfrac{8}{15}$

B.$\dfrac{1}{3}$

C.$\dfrac{1}{15}$

D.$\dfrac{7}{15}$

5. Tính $P(A \cap B)$ khi A, B độc lậpTrắc nghiệm`probability_two_independent_events`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với $P(A) = \dfrac{3}{5}$, $P(B) = \dfrac{9}{10}$. Tính $P(A \cap B)$.

A.$P(A \cap B) = \dfrac{24}{25}$

B.$P(A \cap B) = - \dfrac{3}{10}$

C.$P(A \cap B) = \dfrac{27}{50}$

D.$P(A \cap B) = \dfrac{3}{2}$

Câu 14.Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với $P(A) = \dfrac{2}{5}$, $P(B) = \dfrac{2}{5}$. Tính $P(A \cap B)$.

A.$P(A \cap B) = \dfrac{4}{25}$

B.$P(A \cap B) = 0$

C.$P(A \cap B) = \dfrac{16}{25}$

D.$P(A \cap B) = \dfrac{4}{5}$

Câu 15.Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với $P(A) = \dfrac{1}{10}$, $P(B) = \dfrac{2}{5}$. Tính $P(A \cap B)$.

A.$P(A \cap B) = \dfrac{1}{2}$

B.$P(A \cap B) = - \dfrac{3}{10}$

C.$P(A \cap B) = \dfrac{23}{50}$

D.$P(A \cap B) = \dfrac{1}{25}$

6. Hai cung thủ độc lập, xác suất bắn trúng lần lượt là $p$, $q$ — tính các xác suất tổ hợpĐúng / Sai`indep_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Hai cung thủ A, B bắn vào bia một cách độc lập với xác suất trúng lần lượt là $P(A) = 0,7$ và $P(B) = 0,6$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

b)Hai biến cố xung khắc luôn độc lập.

c)$A, B$ độc lập ⇔ $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

d)Xác suất có ít nhất 1 cung thủ bắn trúng là $0,88$.

Câu 17.Hai cung thủ A, B bắn vào bia một cách độc lập với xác suất trúng lần lượt là $P(A) = 0,8$ và $P(B) = 0,7$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$A, B$ độc lập ⇔ $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

b)$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

c)$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,8 \cdot 0,7 = 0,56$.

d)Hai biến cố xung khắc luôn độc lập.

Câu 18.Hai cung thủ A, B bắn vào bia một cách độc lập với xác suất trúng lần lượt là $P(A) = 0,8$ và $P(B) = 0,7$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Xác suất cả hai cung thủ đều bắn trúng là $0,56$.

b)$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

c)$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,8 \cdot 0,7 = 0,56$.

d)Nếu $A, B$ độc lập thì $\bar A, \bar B$ cũng độc lập.

7. Tung 2 đồng xu cân đối — biến cố $A$ = "đồng thứ nhất ngửa", $B$ = "đồng thứ hai ngửa"Đúng / Sai`independent_events_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Tung đồng thời 2 đồng xu cân đối, đồng chất. Gọi $A$ là biến cố "đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt ngửa" và $B$ là biến cố "đồng xu thứ hai xuất hiện mặt ngửa". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai biến cố độc lập là xung khắc.

b)$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B) = \dfrac{3}{4}$.

c)$P(A \cap B) = \dfrac{1}{4}$.

d)$A, B$ độc lập ⇔ $P(A | B) = P(A)$.

Câu 20.Tung đồng thời 2 đồng xu cân đối, đồng chất. Gọi $A$ là biến cố "đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt ngửa" và $B$ là biến cố "đồng xu thứ hai xuất hiện mặt ngửa". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B) = \dfrac{3}{4}$.

b)$A, B$ độc lập vì $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \dfrac{1}{4}$.

c)$A, B$ độc lập ⇔ $P(A | B) = P(A)$.

d)Hai biến cố độc lập là xung khắc.

Câu 21.Tung đồng thời 2 đồng xu cân đối, đồng chất. Gọi $A$ là biến cố "đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt ngửa" và $B$ là biến cố "đồng xu thứ hai xuất hiện mặt ngửa". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(B) = \dfrac{1}{2}$.

b)$P(\bar A \cap \bar B) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = \dfrac{1}{4}$.

c)Hai biến cố độc lập là xung khắc.

d)$P(A) = \dfrac{1}{2}$.

8. Đảo: cho $a, b$ và $P(\text{không cái nào})$ → tìm $c$ rồi tính $a + b + 5c$Trả lời ngắn`back_solve_third_indep_prob_given_two`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 22.Ba cầu thủ $X, Y, Z$ ghi bàn một cách độc lập với xác suất lần lượt $0,6, 0,3, c$. Biết xác suất không cầu thủ nào ghi bàn là $0,028$. Tính $a + b + 5c$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 23.Ba cầu thủ $X, Y, Z$ ghi bàn một cách độc lập với xác suất lần lượt $0,8, 0,6, c$. Biết xác suất không cầu thủ nào ghi bàn là $0,04$. Tính $a + b + 5c$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 24.Ba cầu thủ $X, Y, Z$ ghi bàn một cách độc lập với xác suất lần lượt $0,3, 0,2, c$. Biết xác suất không cầu thủ nào ghi bàn là $0,224$. Tính $a + b + 5c$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

9. Biến cố đối ($p=1/2$): $P(\text{bên bị dẫn lội ngược}) = a/b$ → tính $6a+8b+1$Trả lời ngắn`best_of_series_comeback_prob`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 25.Hai game thủ esports ngang sức thi đấu, ai thắng đủ $5$ ván trước sẽ thắng chung cuộc (mỗi ván luôn có người thắng). Hiện tỉ số là $3\text{–}2$ nghiêng về $A$, tức $B$ đang bị dẫn. Gọi $\dfrac{a}{b}$ là xác suất $B$ lội ngược dòng thắng chung cuộc (phân số tối giản). Tính $6a + 8b + 1$.

Câu 26.Hai đội bóng bàn ngang sức thi đấu, ai thắng đủ $5$ set trước sẽ thắng chung cuộc (mỗi set luôn có người thắng). Hiện tỉ số là $1\text{–}0$ nghiêng về $A$, tức $B$ đang bị dẫn. Gọi $\dfrac{a}{b}$ là xác suất $B$ lội ngược dòng thắng chung cuộc (phân số tối giản). Tính $6a + 8b + 1$.

Câu 27.Hai game thủ esports ngang sức thi đấu, ai thắng đủ $4$ ván trước sẽ thắng chung cuộc (mỗi ván luôn có người thắng). Hiện tỉ số là $3\text{–}1$ nghiêng về $A$, tức $B$ đang bị dẫn. Gọi $\dfrac{a}{b}$ là xác suất $B$ lội ngược dòng thắng chung cuộc (phân số tối giản). Tính $6a + 8b + 1$.

10. Bước ngẫu nhiên 2 rào hấp thụ: tính $P(\text{dừng sau đúng } m \text{ ván} \text{ và thắng}) = p$, trả lời $\text{scale}\cdot p$ (số nguyên)Trả lời ngắn`bounded_random_walk_win_after_exact_games_scaled`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 28.Một trò chơi mô phỏng có luật: điểm khởi đầu của kỳ thủ cờ vây là $1$; mỗi ván cờ nếu thắng được cộng $1$ điểm, hòa giữ nguyên, thua bị trừ $1$ điểm. Trận đấu kết thúc ngay khi kỳ thủ cờ vây đạt $4$ điểm (thắng) hoặc $0$ điểm (thua). Xác suất mỗi ván cờ thắng, hòa, thua lần lượt là $\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{2}$ và các ván cờ độc lập. Xác suất trận đấu kết thúc sau đúng $4$ ván cờ và kỳ thủ cờ vây là người giành chiến thắng là $p$. Tính $256p$.

Câu 29.Một trò chơi mô phỏng có luật: điểm khởi đầu của kỳ thủ cờ vây là $3$; mỗi ván cờ nếu thắng được cộng $1$ điểm, hòa giữ nguyên, thua bị trừ $1$ điểm. Trận đấu kết thúc ngay khi kỳ thủ cờ vây đạt $4$ điểm (thắng) hoặc $0$ điểm (thua). Xác suất mỗi ván cờ thắng, hòa, thua lần lượt là $\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{2}$ và các ván cờ độc lập. Xác suất trận đấu kết thúc sau đúng $5$ ván cờ và kỳ thủ cờ vây là người giành chiến thắng là $p$. Tính $1024p$.

Câu 30.Một trò chơi mô phỏng có luật: điểm khởi đầu của kỳ thủ cờ vây là $2$; mỗi ván cờ nếu thắng được cộng $1$ điểm, hòa giữ nguyên, thua bị trừ $1$ điểm. Trận đấu kết thúc ngay khi kỳ thủ cờ vây đạt $4$ điểm (thắng) hoặc $0$ điểm (thua). Xác suất mỗi ván cờ thắng, hòa, thua lần lượt là $\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{2}$ và các ván cờ độc lập. Xác suất trận đấu kết thúc sau đúng $5$ ván cờ và kỳ thủ cờ vây là người giành chiến thắng là $p$. Tính $256p$.

11. Chung kết cờ ngang sức ($p=1/2$): vô địch = người đầu tiên thắng đủ $n$ vánTrả lời ngắn`chess_first_to_n_leader_wins_title_prob`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 31.Hai kỳ thủ có trình độ ngang nhau bước vào trận chung kết của một giải cờ tướng. Người giành chức vô địch là người đầu tiên thắng được $4$ ván. Tại thời điểm người thứ nhất đã thắng $2$ ván và người thứ hai thắng $0$ ván, xác suất để người thứ nhất giành chiến thắng chung cuộc là $P = \dfrac{a}{b}$ ($a, b \in \mathbb{N}^*$ và $a, b$ nguyên tố cùng nhau). Tính $6a + 8b + 1$.

Câu 32.Hai kỳ thủ có trình độ ngang nhau bước vào trận chung kết của một giải cờ vua. Người giành chức vô địch là người đầu tiên thắng được $4$ ván. Tại thời điểm người thứ nhất đã thắng $3$ ván và người thứ hai thắng $0$ ván, xác suất để người thứ nhất giành chiến thắng chung cuộc là $P = \dfrac{a}{b}$ ($a, b \in \mathbb{N}^*$ và $a, b$ nguyên tố cùng nhau). Tính $6a + 8b + 1$.

Câu 33.Hai kỳ thủ có trình độ ngang nhau bước vào trận chung kết của một giải cờ vua. Người giành chức vô địch là người đầu tiên thắng được $3$ ván. Tại thời điểm người thứ nhất đã thắng $2$ ván và người thứ hai thắng $1$ ván, xác suất để người thứ nhất giành chiến thắng chung cuộc là $P = \dfrac{a}{b}$ ($a, b \in \mathbb{N}^*$ và $a, b$ nguyên tố cùng nhau). Tính $6a + 8b + 1$.

12. Cho $P(\text{không cái nào})$, $P(\text{cả ba})$ và $c$ → giải $a, b$ rồi tính $3a+2b$Trả lời ngắn`find_indep_probs_from_none_and_all`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 34.Ba dự án $X, Y, Z$ trúng thầu một cách độc lập với xác suất lần lượt $a, b, 0,2$ (với $a > b$). Biết xác suất không dự án nào trúng thầu là $0,448$ và xác suất cả ba cùng trúng thầu là $0,012$. Tính $3a + 2b$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 35.Ba ứng viên $A, B, C$ trúng tuyển một cách độc lập với xác suất lần lượt $a, b, 0,3$ (với $a > b$). Biết xác suất không ứng viên nào trúng tuyển là $0,105$ và xác suất cả ba cùng trúng tuyển là $0,105$. Tính $3a + 2b$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 36.Ba cầu thủ $X, Y, Z$ ghi bàn một cách độc lập với xác suất lần lượt $a, b, 0,5$ (với $a > b$). Biết xác suất không cầu thủ nào ghi bàn là $0,08$ và xác suất cả ba cùng ghi bàn là $0,08$. Tính $3a + 2b$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

13. Ngang sức ($p=1/2$): $P(\text{bên dẫn thắng}) = a/b$ tối giản → tính $6a+8b+1$Trả lời ngắn`first_to_n_wins_from_lead_prob`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 37.Hai vận động viên cầu lông ngang sức thi đấu, ai thắng đủ $3$ set trước sẽ thắng chung cuộc (mỗi set luôn có người thắng). Hiện tỉ số là $1\text{–}0$ nghiêng về $A$. Gọi $\dfrac{a}{b}$ là xác suất $A$ thắng chung cuộc (phân số tối giản). Tính $6a + 8b + 1$.

Câu 38.Hai đội bóng bàn ngang sức thi đấu, ai thắng đủ $3$ set trước sẽ thắng chung cuộc (mỗi set luôn có người thắng). Hiện tỉ số là $1\text{–}0$ nghiêng về $A$. Gọi $\dfrac{a}{b}$ là xác suất $A$ thắng chung cuộc (phân số tối giản). Tính $6a + 8b + 1$.

Câu 39.Hai game thủ esports ngang sức thi đấu, ai thắng đủ $4$ ván trước sẽ thắng chung cuộc (mỗi ván luôn có người thắng). Hiện tỉ số là $3\text{–}2$ nghiêng về $A$. Gọi $\dfrac{a}{b}$ là xác suất $A$ thắng chung cuộc (phân số tối giản). Tính $6a + 8b + 1$.

14. Không ngang sức ($p \ne 1/2$): tính $P(\text{bên dẫn thắng})$ (số thập phân)Trả lời ngắn`first_to_n_wins_uneven_skill_prob`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 40.Hai vận động viên cầu lông thi đấu, ai thắng đủ $4$ set trước sẽ thắng chung cuộc (mỗi set luôn có người thắng). Ở mỗi set, $A$ thắng với xác suất $\dfrac{2}{3}$. Hiện tỉ số là $3\text{–}1$ nghiêng về $A$. Tính xác suất $A$ thắng chung cuộc. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 41.Hai vận động viên cầu lông thi đấu, ai thắng đủ $4$ set trước sẽ thắng chung cuộc (mỗi set luôn có người thắng). Ở mỗi set, $A$ thắng với xác suất $\dfrac{3}{5}$. Hiện tỉ số là $3\text{–}1$ nghiêng về $A$. Tính xác suất $A$ thắng chung cuộc. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 42.Hai game thủ esports thi đấu, ai thắng đủ $5$ ván trước sẽ thắng chung cuộc (mỗi ván luôn có người thắng). Ở mỗi ván, $A$ thắng với xác suất $\dfrac{2}{3}$. Hiện tỉ số là $4\text{–}0$ nghiêng về $A$. Tính xác suất $A$ thắng chung cuộc. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

15. SA (đa thức — đúng MỘT cá thể của mỗi thuộc tính hiếm)Trả lời ngắn`multinomial_exactly_one_each_attribute_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 43.Ở một vườn ươm có tỉ lệ cây giống nhóm I và cây giống nhóm II là $7 : 3$. Trong đó, tỉ lệ cây giống nhóm I bị nhiễm bệnh là $11\%$, tỉ lệ cây giống nhóm II bị nhiễm bệnh là $9\%$. Chọn ngẫu nhiên $5$ cây giống của một vườn ươm (việc bị nhiễm bệnh của các cây giống là độc lập). Xác suất để trong đó có đúng $1$ cây giống nhóm I và đúng $1$ cây giống nhóm II cùng bị nhiễm bệnh là bao nhiêu phần trăm? (Làm tròn đến hàng phần trăm.)

Câu 44.Ở một lô linh kiện có tỉ lệ linh kiện hãng X và linh kiện hãng Y là $3 : 5$. Trong đó, tỉ lệ linh kiện hãng X đạt chuẩn cao là $10\%$, tỉ lệ linh kiện hãng Y đạt chuẩn cao là $8\%$. Chọn ngẫu nhiên $6$ linh kiện của một lô linh kiện (việc đạt chuẩn cao của các linh kiện là độc lập). Xác suất để trong đó có đúng $1$ linh kiện hãng X và đúng $1$ linh kiện hãng Y cùng đạt chuẩn cao là bao nhiêu phần trăm? (Làm tròn đến hàng phần trăm.)

Câu 45.Ở một lô linh kiện có tỉ lệ linh kiện hãng X và linh kiện hãng Y là $7 : 4$. Trong đó, tỉ lệ linh kiện hãng X đạt chuẩn cao là $11\%$, tỉ lệ linh kiện hãng Y đạt chuẩn cao là $7\%$. Chọn ngẫu nhiên $6$ linh kiện của một lô linh kiện (việc đạt chuẩn cao của các linh kiện là độc lập). Xác suất để trong đó có đúng $1$ linh kiện hãng X và đúng $1$ linh kiện hãng Y cùng đạt chuẩn cao là bao nhiêu phần trăm? (Làm tròn đến hàng phần trăm.)

16. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$ (số thập phân)Trả lời ngắn`prob_at_least_one_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 46.Hai biến cố $A, B$ độc lập với $P(A) = \dfrac{4}{9}$, $P(B) = \dfrac{2}{5}$. Tính xác suất ít nhất một biến cố xảy ra. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 47.Hai biến cố $A, B$ độc lập với $P(A) = \dfrac{2}{9}$, $P(B) = \dfrac{3}{8}$. Tính xác suất ít nhất một biến cố xảy ra. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 48.Hai biến cố $A, B$ độc lập với $P(A) = \dfrac{3}{8}$, $P(B) = \dfrac{3}{10}$. Tính xác suất ít nhất một biến cố xảy ra. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

17. Cho $P(A), P(B)$ và $A, B$ độc lập, tính $P(A \cap B)$ (số thập phân)Trả lời ngắn`prob_intersection_independent`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 49.Hai biến cố $A, B$ độc lập với $P(A) = \dfrac{3}{10}$, $P(B) = \dfrac{8}{10}$. Tính $P(A \cap B)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 50.Hai biến cố $A, B$ độc lập với $P(A) = \dfrac{4}{10}$, $P(B) = \dfrac{9}{10}$. Tính $P(A \cap B)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 51.Hai biến cố $A, B$ độc lập với $P(A) = \dfrac{8}{10}$, $P(B) = \dfrac{7}{10}$. Tính $P(A \cap B)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

18. Cho $P(\text{ít nhất một})$, $P(\text{cả ba})$ và $c$ → giải $a, b$ rồi tính $3a+2b$Trả lời ngắn`solve_indep_probs_from_union_and_all`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 52.Ba dự án $X, Y, Z$ trúng thầu một cách độc lập với xác suất lần lượt $a, b, 0,3$ (với $a > b$). Biết xác suất có ít nhất một dự án trúng thầu là $0,608$ và xác suất cả ba cùng trúng thầu là $0,018$. Tính $3a + 2b$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 53.Ba máy $M_1, M_2, M_3$ hoạt động tốt một cách độc lập với xác suất lần lượt $a, b, 0,4$ (với $a > b$). Biết xác suất có ít nhất một máy hoạt động tốt là $0,988$ và xác suất cả ba cùng hoạt động tốt là $0,288$. Tính $3a + 2b$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 54.Ba ứng viên $A, B, C$ trúng tuyển một cách độc lập với xác suất lần lượt $a, b, 0,5$ (với $a > b$). Biết xác suất có ít nhất một ứng viên trúng tuyển là $0,72$ và xác suất cả ba cùng trúng tuyển là $0,03$. Tính $3a + 2b$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Biến cố độc lập

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Công thức(1)

§3. Phương pháp(1)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Quan sát sơ đồ Venn có ghi $P(A)$, $P(B)$ — biết hai biến cố độc lập, tính $P(A \cap B)$Trắc nghiệmindependent_intersection_from_venn(3 câu)

2. VD cao: $P(\text{ít nhất 1 thành công}) = 1 - (1 - p)^n.$Trắc nghiệmprob_at_least_one_success_n_trials(3 câu)

3. Hai biến cố độc lập, tính $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$ (xác suất ít nhất một xảy ra)Trắc nghiệmprobability_at_least_one_of_two(3 câu)

4. XS ít nhất một trong hai biến cố độc lập xảy raTrắc nghiệmprobability_at_least_one_two_independent_events(3 câu)

5. Tính $P(A \cap B)$ khi A, B độc lậpTrắc nghiệmprobability_two_independent_events(3 câu)

6. Hai cung thủ độc lập, xác suất bắn trúng lần lượt là $p$, $q$ — tính các xác suất tổ hợpĐúng / Saiindep_facts2(3 câu)

7. Tung 2 đồng xu cân đối — biến cố $A$ = "đồng thứ nhất ngửa", $B$ = "đồng thứ hai ngửa"Đúng / Saiindependent_events_facts(3 câu)

8. Đảo: cho $a, b$ và $P(\text{không cái nào})$ → tìm $c$ rồi tính $a + b + 5c$Trả lời ngắnback_solve_third_indep_prob_given_two(3 câu)

9. Biến cố đối ($p=1/2$): $P(\text{bên bị dẫn lội ngược}) = a/b$ → tính $6a+8b+1$Trả lời ngắnbest_of_series_comeback_prob(3 câu)

10. Bước ngẫu nhiên 2 rào hấp thụ: tính $P(\text{dừng sau đúng } m \text{ ván} \text{ và thắng}) = p$, trả lời $\text{scale}\cdot p$ (số nguyên)Trả lời ngắnbounded_random_walk_win_after_exact_games_scaled(3 câu)

11. Chung kết cờ ngang sức ($p=1/2$): vô địch = người đầu tiên thắng đủ $n$ vánTrả lời ngắnchess_first_to_n_leader_wins_title_prob(3 câu)

12. Cho $P(\text{không cái nào})$, $P(\text{cả ba})$ và $c$ → giải $a, b$ rồi tính $3a+2b$Trả lời ngắnfind_indep_probs_from_none_and_all(3 câu)

13. Ngang sức ($p=1/2$): $P(\text{bên dẫn thắng}) = a/b$ tối giản → tính $6a+8b+1$Trả lời ngắnfirst_to_n_wins_from_lead_prob(3 câu)

14. Không ngang sức ($p \ne 1/2$): tính $P(\text{bên dẫn thắng})$ (số thập phân)Trả lời ngắnfirst_to_n_wins_uneven_skill_prob(3 câu)

15. SA (đa thức — đúng MỘT cá thể của mỗi thuộc tính hiếm)Trả lời ngắnmultinomial_exactly_one_each_attribute_sa(3 câu)

16. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$ (số thập phân)Trả lời ngắnprob_at_least_one_sa(3 câu)

17. Cho $P(A), P(B)$ và $A, B$ độc lập, tính $P(A \cap B)$ (số thập phân)Trả lời ngắnprob_intersection_independent(3 câu)

18. Cho $P(\text{ít nhất một})$, $P(\text{cả ba})$ và $c$ → giải $a, b$ rồi tính $3a+2b$Trả lời ngắnsolve_indep_probs_from_union_and_all(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Quan sát sơ đồ Venn có ghi $P(A)$, $P(B)$ — biết hai biến cố độc lập, tính $P(A \cap B)$Trắc nghiệm`independent_intersection_from_venn`(3 câu)

2. VD cao: $P(\text{ít nhất 1 thành công}) = 1 - (1 - p)^n.$Trắc nghiệm`prob_at_least_one_success_n_trials`(3 câu)

3. Hai biến cố độc lập, tính $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$ (xác suất ít nhất một xảy ra)Trắc nghiệm`probability_at_least_one_of_two`(3 câu)

4. XS ít nhất một trong hai biến cố độc lập xảy raTrắc nghiệm`probability_at_least_one_two_independent_events`(3 câu)

5. Tính $P(A \cap B)$ khi A, B độc lậpTrắc nghiệm`probability_two_independent_events`(3 câu)

6. Hai cung thủ độc lập, xác suất bắn trúng lần lượt là $p$, $q$ — tính các xác suất tổ hợpĐúng / Sai`indep_facts2`(3 câu)

7. Tung 2 đồng xu cân đối — biến cố $A$ = "đồng thứ nhất ngửa", $B$ = "đồng thứ hai ngửa"Đúng / Sai`independent_events_facts`(3 câu)

8. Đảo: cho $a, b$ và $P(\text{không cái nào})$ → tìm $c$ rồi tính $a + b + 5c$Trả lời ngắn`back_solve_third_indep_prob_given_two`(3 câu)

9. Biến cố đối ($p=1/2$): $P(\text{bên bị dẫn lội ngược}) = a/b$ → tính $6a+8b+1$Trả lời ngắn`best_of_series_comeback_prob`(3 câu)

10. Bước ngẫu nhiên 2 rào hấp thụ: tính $P(\text{dừng sau đúng } m \text{ ván} \text{ và thắng}) = p$, trả lời $\text{scale}\cdot p$ (số nguyên)Trả lời ngắn`bounded_random_walk_win_after_exact_games_scaled`(3 câu)

11. Chung kết cờ ngang sức ($p=1/2$): vô địch = người đầu tiên thắng đủ $n$ vánTrả lời ngắn`chess_first_to_n_leader_wins_title_prob`(3 câu)

12. Cho $P(\text{không cái nào})$, $P(\text{cả ba})$ và $c$ → giải $a, b$ rồi tính $3a+2b$Trả lời ngắn`find_indep_probs_from_none_and_all`(3 câu)

13. Ngang sức ($p=1/2$): $P(\text{bên dẫn thắng}) = a/b$ tối giản → tính $6a+8b+1$Trả lời ngắn`first_to_n_wins_from_lead_prob`(3 câu)

14. Không ngang sức ($p \ne 1/2$): tính $P(\text{bên dẫn thắng})$ (số thập phân)Trả lời ngắn`first_to_n_wins_uneven_skill_prob`(3 câu)

15. SA (đa thức — đúng MỘT cá thể của mỗi thuộc tính hiếm)Trả lời ngắn`multinomial_exactly_one_each_attribute_sa`(3 câu)

16. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$ (số thập phân)Trả lời ngắn`prob_at_least_one_sa`(3 câu)

17. Cho $P(A), P(B)$ và $A, B$ độc lập, tính $P(A \cap B)$ (số thập phân)Trả lời ngắn`prob_intersection_independent`(3 câu)

18. Cho $P(\text{ít nhất một})$, $P(\text{cả ba})$ và $c$ → giải $a, b$ rồi tính $3a+2b$Trả lời ngắn`solve_indep_probs_from_union_and_all`(3 câu)