Hoán vị

Công thức

§1. Định nghĩa(3)

1.1

Chỉnh hợp

Chỉnh hợp chập $k$ của $n$ ($k \leq n$) là một cách chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử CÓ phân biệt thứ tự. Số chỉnh hợp: $$A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1).$$

1.2

Tổ hợp

Tổ hợp chập $k$ của $n$ là một cách chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử KHÔNG phân biệt thứ tự. Số tổ hợp: $$C_n^k = \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{A_n^k}{k!}.$$

1.3

Hoán vị của $n$ phần tử là mỗi cách sắp xếp thứ tự $n$ phần tử đó. Số hoán vị: $$P_n = n! = n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1.$$

§2. Công thức(1)

2.1

Tính chất của $C_n^k$

$C_n^0 = C_n^n = 1$.
$C_n^k = C_n^{n-k}$.
$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$ (Pascal).
$\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n$ (tổng hàng tam giác Pascal).

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo phân biệt: hoán vị / chỉnh hợp / tổ hợp

Hoán vị $P_n$: dùng HẾT $n$ phần tử + sắp xếp thứ tự.
Chỉnh hợp $A_n^k$: chọn $k$ + CÓ thứ tự.
Tổ hợp $C_n^k$: chọn $k$ + KHÔNG thứ tự.

Dấu hiệu:

Đổi thứ tự cho kết quả khác → chỉnh hợp (ban đại diện: chủ tịch + phó).
Đổi thứ tự cho kết quả như nhau → tổ hợp (chọn nhóm 3 người).

Bài tập

1. Số chỉnh hợp $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$Trắc nghiệm`arrangement_count_choose_k`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Số chỉnh hợp chập $4$ của $8$ phần tử là?

A.$A_{8}^{4} = 4096$

B.$A_{8}^{4} = 24$

C.$A_{8}^{4} = 70$

D.$A_{8}^{4} = 1680$

Câu 2.Số chỉnh hợp chập $3$ của $6$ phần tử là?

A.$A_{6}^{3} = 216$

B.$A_{6}^{3} = 20$

C.$A_{6}^{3} = 120$

D.$A_{6}^{3} = 6$

Câu 3.Số chỉnh hợp chập $4$ của $10$ phần tử là?

A.$A_{10}^{4} = 24$

B.$A_{10}^{4} = 5040$

C.$A_{10}^{4} = 10000$

D.$A_{10}^{4} = 210$

2. Quan sát sơ đồ ô và số lựa chọn cho từng ô → tính số chỉnh hợpTrắc nghiệm`arrangement_count_from_figure`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Quan sát sơ đồ $4$ ô trong hình với số lựa chọn ghi cho từng ô (chọn không lặp từ $6$ phần tử). Tính số chỉnh hợp $A_{6}^{4}$.

Sơ đồ chỉnh hợp 4 ô × 6 lựa chọn

A.$A_{6}^{4} = 720$

B.$A_{6}^{4} = 360$

C.$A_{6}^{4} = 15$

D.$A_{6}^{4} = 1296$

Câu 5.Quan sát sơ đồ $2$ ô trong hình với số lựa chọn ghi cho từng ô (chọn không lặp từ $7$ phần tử). Tính số chỉnh hợp $A_{7}^{2}$.

Sơ đồ chỉnh hợp 2 ô × 7 lựa chọn

A.$A_{7}^{2} = 21$

B.$A_{7}^{2} = 5040$

C.$A_{7}^{2} = 49$

D.$A_{7}^{2} = 42$

Câu 6.Quan sát sơ đồ $2$ ô trong hình với số lựa chọn ghi cho từng ô (chọn không lặp từ $5$ phần tử). Tính số chỉnh hợp $A_{5}^{2}$.

Sơ đồ chỉnh hợp 2 ô × 5 lựa chọn

A.$A_{5}^{2} = 10$

B.$A_{5}^{2} = 120$

C.$A_{5}^{2} = 25$

D.$A_{5}^{2} = 20$

3. Hoán vị tròn $n$ phần tử = $(n-1)!$Trắc nghiệm`circular_permutation_count`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Có bao nhiêu cách xếp $5$ người ngồi quanh một bàn tròn (hai cách xếp được coi là giống nhau nếu có thể nhận được từ nhau bằng cách quay bàn)?

A.$48$

B.$6$

C.$24$

D.$120$

Câu 8.Có bao nhiêu cách xếp $6$ người ngồi quanh một bàn tròn (hai cách xếp được coi là giống nhau nếu có thể nhận được từ nhau bằng cách quay bàn)?

A.$120$

B.$720$

C.$24$

D.$240$

Câu 9.Có bao nhiêu cách xếp $4$ người ngồi quanh một bàn tròn (hai cách xếp được coi là giống nhau nếu có thể nhận được từ nhau bằng cách quay bàn)?

A.$2$

B.$24$

C.$12$

D.$6$

4. VD cao: $n$ người ngồi quanh bàn tròn, $A, B$ ngồi cạnh nhau: số cách = $2 \cdot (n-2)!.$Trắc nghiệm`circular_permutation_two_adjacent`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 10.Có $9$ người ngồi quanh một bàn tròn. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho hai người $A$ và $B$ ngồi cạnh nhau?

A.$5040$

B.$10080$

C.$40320$

D.$362880$

Câu 11.Có $9$ người ngồi quanh một bàn tròn. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho hai người $A$ và $B$ ngồi cạnh nhau?

A.$10080$

B.$40320$

C.$5040$

D.$362880$

Câu 12.Có $9$ người ngồi quanh một bàn tròn. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho hai người $A$ và $B$ ngồi cạnh nhau?

A.$10080$

B.$362880$

C.$5040$

D.$40320$

5. Tính $n!$ với $n$ nhỏTrắc nghiệm`factorial_value`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 13.Tính $5!$ (giai thừa).

A.$5! = 121$

B.$5! = 20$

C.$5! = 120$

D.$5! = 25$

Câu 14.Tính $3!$ (giai thừa).

A.$3! = 7$

B.$3! = 5$

C.$3! = 6$

D.$3! = 9$

Câu 15.Tính $4!$ (giai thừa).

A.$4! = 25$

B.$4! = 12$

C.$4! = 24$

D.$4! = 16$

6. Tính số hoán vị $P_n = n!$Trắc nghiệm`permutation_count`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Tính số hoán vị của $6$ phần tử.

A.$P_{6} = 36$

B.$P_{6} = 720$

C.$P_{6} = 120$

D.$P_{6} = 64$

Câu 17.Tính số hoán vị của $8$ phần tử.

A.$P_{8} = 40320$

B.$P_{8} = 5040$

C.$P_{8} = 64$

D.$P_{8} = 256$

Câu 18.Tính số hoán vị của $6$ phần tử.

A.$P_{6} = 64$

B.$P_{6} = 36$

C.$P_{6} = 720$

D.$P_{6} = 120$

7. Bài toán xếp $n$ học sinh vào $n$ ghế: $n!$ cáchTrắc nghiệm`permutation_practical`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Có bao nhiêu cách xếp $5$ học sinh ngồi vào $5$ ghế khác nhau?

A.$120$

B.$10$

C.$25$

D.$121$

Câu 20.Có bao nhiêu cách xếp $6$ học sinh ngồi vào $6$ ghế khác nhau?

A.$721$

B.$36$

C.$12$

D.$720$

Câu 21.Có bao nhiêu cách xếp $7$ học sinh ngồi vào $7$ ghế khác nhau?

A.$5040$

B.$49$

C.$14$

D.$5041$

8. Xếp $n$ người vào hàng — 2 người $A, B$ đứng cạnh nhau: $2 \cdot (n-1)!$Trắc nghiệm`seating_with_constraint_two_together`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 22.Có bao nhiêu cách xếp $5$ học sinh thành một hàng dọc, trong đó hai học sinh $A$ và $B$ luôn đứng cạnh nhau?

A.$72$

B.$24$

C.$120$

D.$48$

Câu 23.Có bao nhiêu cách xếp $4$ học sinh thành một hàng dọc, trong đó hai học sinh $A$ và $B$ luôn đứng cạnh nhau?

A.$6$

B.$12$

C.$16$

D.$24$

Câu 24.Có bao nhiêu cách xếp $5$ học sinh thành một hàng dọc, trong đó hai học sinh $A$ và $B$ luôn đứng cạnh nhau?

A.$72$

B.$120$

C.$48$

D.$24$

9. Sắp xếp $n$ chữ cái phân biệt thành các từ — kiểm tra $P_n$ và truy hồiĐúng / Sai`perm_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Cho $5$ chữ cái khác nhau. Xét bài toán sắp xếp $5$ chữ cái này thành một dãy. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P_3 = 9$.

b)$P_{5} = 5!$.

c)Hoán vị tính cả thứ tự, do đó $P_n = n!$.

d)$P_{5}$ là số hoán vị của $5$ phần tử phân biệt.

Câu 26.Cho $3$ chữ cái khác nhau. Xét bài toán sắp xếp $3$ chữ cái này thành một dãy. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P_n = (n-1)!$ với $n \geq 1$.

b)$P_{3} = 3!$.

c)$P_3 = 6$.

d)Hoán vị tính cả thứ tự, do đó $P_n = n!$.

Câu 27.Cho $5$ chữ cái khác nhau. Xét bài toán sắp xếp $5$ chữ cái này thành một dãy. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P_n = (n-1)!$ với $n \geq 1$.

b)Số cách sắp xếp $5$ chữ cái khác nhau là $P_{5} = 120$.

c)$P_3 = 6$.

d)$P_3 = 9$.

10. Cho $n$ học sinh xếp thành hàng — số cách $P_n = n!$Đúng / Sai`permutation_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Một nhóm có $5$ học sinh phân biệt được xếp thành một hàng. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hoán vị quan tâm thứ tự sắp xếp.

b)Hai cách xếp khác thứ tự nhau được tính là 1.

c)$P_{5} = 5 \cdot P_{4} = 5 \cdot 24 = 120$.

d)$P_{5} = 5^{5}$.

Câu 29.Một nhóm có $4$ học sinh phân biệt được xếp thành một hàng. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số cách xếp $4$ học sinh sao cho 2 học sinh A, B đứng cạnh nhau là $2! \cdot 3! = 12$.

b)Số cách xếp $4$ học sinh thành hàng là $P_{4} = 4! = 24$.

c)Hoán vị quan tâm thứ tự sắp xếp.

d)Hai cách xếp khác thứ tự nhau được tính là 1.

Câu 30.Một nhóm có $4$ học sinh phân biệt được xếp thành một hàng. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P_{3} = 6$.

b)Số cách xếp $4$ học sinh sao cho 2 học sinh A, B đứng cạnh nhau là $2! \cdot 3! = 12$.

c)Hoán vị quan tâm thứ tự sắp xếp.

d)$P_{4} = 4^{4}$.

11. Biến thể xác suất: xếp NGẪU NHIÊN n phần tử phân biệt (3 loại) thành hàng, tính P(không hai phần tử cùng loại liền kề) = q/p (tối giản), trả lời p + qTrả lời ngắn`arrange_no_same_type_adjacent_probability`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 31.Xếp ngẫu nhiên 10 quyển sách phân biệt gồm 3 quyển sách loại Toán, 3 quyển sách loại Lí và 4 quyển sách loại Hoá thành một hàng ngang (mỗi cách xếp là một hoán vị của 10 quyển sách phân biệt). Gọi xác suất để không có hai quyển sách cùng loại nào đứng liền kề nhau là $P=\dfrac{q}{p}$ (phân số tối giản). Tính $p+q$.

Câu 32.Xếp ngẫu nhiên 11 lá cờ gồm 2 lá cờ loại đỏ, 4 lá cờ loại vàng và 5 lá cờ loại xanh thành một hàng ngang (mỗi cách xếp là một hoán vị của 11 lá cờ phân biệt). Gọi xác suất để không có hai lá cờ cùng loại nào đứng liền kề nhau là $P=\dfrac{q}{p}$ (phân số tối giản). Tính $p+q$.

Câu 33.Xếp ngẫu nhiên 10 tệp tin phân biệt gồm 2 tệp tin loại văn bản, 4 tệp tin loại âm thanh và 4 tệp tin loại video thành một hàng ngang (mỗi cách xếp là một hoán vị của 10 tệp tin phân biệt). Gọi xác suất để không có hai tệp tin cùng loại nào đứng liền kề nhau là $P=\dfrac{q}{p}$ (phân số tối giản). Tính $p+q$.

12. Đếm trực tiếp S = số CẤU HÌNH xếp 3 loại phần tử (cùng loại GIỐNG NHAU) thành hàng sao cho không hai phần tử cùng loại liền kềTrả lời ngắn`arrange_no_two_same_type_adjacent_count`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 34.Xếp 11 viên bi gồm 2 viên bi loại xanh, 4 viên bi loại đỏ và 5 viên bi loại vàng thành một hàng ngang sao cho không có hai viên bi cùng loại nào đứng liền kề nhau (các viên bi cùng loại được coi là như nhau). Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

Câu 35.Xếp 9 lá cờ gồm 2 lá cờ loại đỏ, 3 lá cờ loại vàng và 4 lá cờ loại xanh thành một hàng ngang sao cho không có hai lá cờ cùng loại nào đứng liền kề nhau (các lá cờ cùng loại được coi là như nhau). Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

Câu 36.Xếp 8 tệp tin gồm 2 tệp tin loại văn bản, 3 tệp tin loại âm thanh và 3 tệp tin loại video thành một hàng ngang sao cho không có hai tệp tin cùng loại nào đứng liền kề nhau (các tệp tin cùng loại được coi là như nhau). Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

13. Đếm S = số cách xếp 3 loại phần tử (cùng loại PHÂN BIỆT) thành hàng sao cho không hai phần tử cùng loại liền kề, rồi trả lời TỔNG CÁC CHỮ SỐ của STrả lời ngắn`arrange_no_two_same_type_adjacent_digitsum`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 37.Có 10 viên bi gồm 2 viên bi loại xanh, 4 viên bi loại đỏ và 4 viên bi loại vàng, được sắp thành một hàng theo thứ tự sao cho không có hai viên bi cùng loại nào đứng liền kề nhau. Gọi $S$ là số cách sắp xếp. Tính tổng các chữ số của $S$.

Câu 38.Có 13 cây giống phân biệt gồm 2 cây giống loại xoài, 5 cây giống loại ổi và 6 cây giống loại mít, được sắp thành một hàng theo thứ tự sao cho không có hai cây giống cùng loại nào đứng liền kề nhau. Gọi $S$ là số cách sắp xếp. Tính tổng các chữ số của $S$.

Câu 39.Có 9 viên bi gồm 2 viên bi loại xanh, 3 viên bi loại đỏ và 4 viên bi loại vàng, được sắp thành một hàng theo thứ tự sao cho không có hai viên bi cùng loại nào đứng liền kề nhau. Gọi $S$ là số cách sắp xếp. Tính tổng các chữ số của $S$.

14. Số chỉnh hợp $A_n^k$Trả lời ngắn`arrangement_count_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 40.Tính số chỉnh hợp chập $2$ của $4$ phần tử.

Câu 41.Tính số chỉnh hợp chập $2$ của $7$ phần tử.

Câu 42.Tính số chỉnh hợp chập $2$ của $5$ phần tử.

15. Tính $P_n$ cho $n$ nhỏTrả lời ngắn`compute_permutation`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 43.Tính số hoán vị của $5$ phần tử.

Câu 44.Tính số hoán vị của $6$ phần tử.

Câu 45.Tính số hoán vị của $4$ phần tử.

Hoán vị

Công thức

§1. Định nghĩa(3)

§2. Công thức(1)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Số chỉnh hợp $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$Trắc nghiệmarrangement_count_choose_k(3 câu)

2. Quan sát sơ đồ ô và số lựa chọn cho từng ô → tính số chỉnh hợpTrắc nghiệmarrangement_count_from_figure(3 câu)

3. Hoán vị tròn $n$ phần tử = $(n-1)!$Trắc nghiệmcircular_permutation_count(3 câu)

4. VD cao: $n$ người ngồi quanh bàn tròn, $A, B$ ngồi cạnh nhau: số cách = $2 \cdot (n-2)!.$Trắc nghiệmcircular_permutation_two_adjacent(3 câu)

5. Tính $n!$ với $n$ nhỏTrắc nghiệmfactorial_value(3 câu)

6. Tính số hoán vị $P_n = n!$Trắc nghiệmpermutation_count(3 câu)

7. Bài toán xếp $n$ học sinh vào $n$ ghế: $n!$ cáchTrắc nghiệmpermutation_practical(3 câu)

8. Xếp $n$ người vào hàng — 2 người $A, B$ đứng cạnh nhau: $2 \cdot (n-1)!$Trắc nghiệmseating_with_constraint_two_together(3 câu)

9. Sắp xếp $n$ chữ cái phân biệt thành các từ — kiểm tra $P_n$ và truy hồiĐúng / Saiperm_facts2(3 câu)

10. Cho $n$ học sinh xếp thành hàng — số cách $P_n = n!$Đúng / Saipermutation_facts(3 câu)

11. Biến thể xác suất: xếp NGẪU NHIÊN n phần tử phân biệt (3 loại) thành hàng, tính P(không hai phần tử cùng loại liền kề) = q/p (tối giản), trả lời p + qTrả lời ngắnarrange_no_same_type_adjacent_probability(3 câu)

12. Đếm trực tiếp S = số CẤU HÌNH xếp 3 loại phần tử (cùng loại GIỐNG NHAU) thành hàng sao cho không hai phần tử cùng loại liền kềTrả lời ngắnarrange_no_two_same_type_adjacent_count(3 câu)

13. Đếm S = số cách xếp 3 loại phần tử (cùng loại PHÂN BIỆT) thành hàng sao cho không hai phần tử cùng loại liền kề, rồi trả lời TỔNG CÁC CHỮ SỐ của STrả lời ngắnarrange_no_two_same_type_adjacent_digitsum(3 câu)

14. Số chỉnh hợp $A_n^k$Trả lời ngắnarrangement_count_sa(3 câu)

15. Tính $P_n$ cho $n$ nhỏTrả lời ngắncompute_permutation(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Số chỉnh hợp $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$Trắc nghiệm`arrangement_count_choose_k`(3 câu)

2. Quan sát sơ đồ ô và số lựa chọn cho từng ô → tính số chỉnh hợpTrắc nghiệm`arrangement_count_from_figure`(3 câu)

3. Hoán vị tròn $n$ phần tử = $(n-1)!$Trắc nghiệm`circular_permutation_count`(3 câu)

4. VD cao: $n$ người ngồi quanh bàn tròn, $A, B$ ngồi cạnh nhau: số cách = $2 \cdot (n-2)!.$Trắc nghiệm`circular_permutation_two_adjacent`(3 câu)

5. Tính $n!$ với $n$ nhỏTrắc nghiệm`factorial_value`(3 câu)

6. Tính số hoán vị $P_n = n!$Trắc nghiệm`permutation_count`(3 câu)

7. Bài toán xếp $n$ học sinh vào $n$ ghế: $n!$ cáchTrắc nghiệm`permutation_practical`(3 câu)

8. Xếp $n$ người vào hàng — 2 người $A, B$ đứng cạnh nhau: $2 \cdot (n-1)!$Trắc nghiệm`seating_with_constraint_two_together`(3 câu)

9. Sắp xếp $n$ chữ cái phân biệt thành các từ — kiểm tra $P_n$ và truy hồiĐúng / Sai`perm_facts2`(3 câu)

10. Cho $n$ học sinh xếp thành hàng — số cách $P_n = n!$Đúng / Sai`permutation_facts`(3 câu)

11. Biến thể xác suất: xếp NGẪU NHIÊN n phần tử phân biệt (3 loại) thành hàng, tính P(không hai phần tử cùng loại liền kề) = q/p (tối giản), trả lời p + qTrả lời ngắn`arrange_no_same_type_adjacent_probability`(3 câu)

12. Đếm trực tiếp S = số CẤU HÌNH xếp 3 loại phần tử (cùng loại GIỐNG NHAU) thành hàng sao cho không hai phần tử cùng loại liền kềTrả lời ngắn`arrange_no_two_same_type_adjacent_count`(3 câu)

13. Đếm S = số cách xếp 3 loại phần tử (cùng loại PHÂN BIỆT) thành hàng sao cho không hai phần tử cùng loại liền kề, rồi trả lời TỔNG CÁC CHỮ SỐ của STrả lời ngắn`arrange_no_two_same_type_adjacent_digitsum`(3 câu)

14. Số chỉnh hợp $A_n^k$Trả lời ngắn`arrangement_count_sa`(3 câu)

15. Tính $P_n$ cho $n$ nhỏTrả lời ngắn`compute_permutation`(3 câu)