Quy tắc cộng và quy tắc nhân

Công thức

§1. Tính chất(2)

1.1

Quy tắc cộng

Một công việc có thể thực hiện bằng $k$ phương án (loại trừ lẫn nhau). Phương án thứ $i$ có $n_i$ cách thực hiện. Khi đó số cách hoàn thành công việc: $$n_1 + n_2 + \dots + n_k.$$ Áp dụng: khi đề xuất hiện "hoặc" (xung khắc).

1.2

Quy tắc nhân

Một công việc gồm $k$ bước liên tiếp. Bước $i$ có $n_i$ cách thực hiện (độc lập với các bước trước). Khi đó số cách hoàn thành công việc: $$n_1 \cdot n_2 \cdots n_k.$$ Áp dụng: khi đề xuất hiện "và" / "sau đó" (liên tiếp).

§2. Phương pháp(1)

2.1

Quy trình áp dụng 2 quy tắc đếm

Bước 1. Đọc đề, xác định công việc / sự kiện cần đếm. Bước 2. Phân biệt phương án vs giai đoạn:

Phương án: "hoặc" → quy tắc cộng.
Giai đoạn: "và" → quy tắc nhân.

Bước 3. Đếm số cách cho mỗi nhánh / bước. Bước 4. Tổng hợp theo quy tắc đã chọn.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: dùng phần bù

Khi đếm "ít nhất" hoặc "có" khó: tính phần bù (số cách KHÔNG thoả) rồi lấy tổng trừ đi. Ví dụ: số cách xếp 5 người sao cho A và B không ngồi cạnh nhau = $5! - $ (số cách A, B cạnh nhau) = $120 - 2 \cdot 4! = 72$.

Bài tập

1. VD cao: xếp $m$ nam + $w$ nữ thành hàng xen kẽTrắc nghiệm`count_alternate_arrangement_men_women`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 1.Có $3$ học sinh nam và $2$ học sinh nữ. Có bao nhiêu cách xếp các học sinh đó thành một hàng dọc sao cho nam, nữ đứng xen kẽ?

A.$24$

B.$12$

C.$120$

D.$6$

Câu 2.Có $3$ học sinh nam và $2$ học sinh nữ. Có bao nhiêu cách xếp các học sinh đó thành một hàng dọc sao cho nam, nữ đứng xen kẽ?

A.$120$

B.$24$

C.$6$

D.$12$

Câu 3.Có $2$ học sinh nam và $2$ học sinh nữ. Có bao nhiêu cách xếp các học sinh đó thành một hàng dọc sao cho nam, nữ đứng xen kẽ?

A.$4$

B.$24$

C.$8$

D.$16$

2. Quy tắc cộng đếm số trường hợpTrắc nghiệm`counting_addition_rule`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Một cửa hàng có $3$ loại bánh và $3$ loại kẹo. Có bao nhiêu cách chọn 1 món (bánh hoặc kẹo)?

A.10

B.9

C.0

D.6

Câu 5.Một cửa hàng có $5$ loại bánh và $3$ loại kẹo. Có bao nhiêu cách chọn 1 món (bánh hoặc kẹo)?

A.2

B.15

C.16

D.8

Câu 6.Một cửa hàng có $5$ loại bánh và $3$ loại kẹo. Có bao nhiêu cách chọn 1 món (bánh hoặc kẹo)?

A.2

B.16

C.15

D.8

3. Quy tắc nhân đếm số trường hợpTrắc nghiệm`counting_multiplication_rule`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Một bộ quần áo gồm 1 áo và 1 quần. Có $5$ áo và $4$ quần. Có bao nhiêu cách chọn một bộ?

A.9

B.20

C.21

D.18

Câu 8.Một bộ quần áo gồm 1 áo và 1 quần. Có $5$ áo và $2$ quần. Có bao nhiêu cách chọn một bộ?

A.10

B.7

C.11

D.8

Câu 9.Một bộ quần áo gồm 1 áo và 1 quần. Có $5$ áo và $2$ quần. Có bao nhiêu cách chọn một bộ?

A.11

B.8

C.7

D.10

4. VD: xếp $n$ học sinh thành hàng với một ràng buộc (nhiều bước)Trắc nghiệm`counting_row_arrangement_with_constraint`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Xếp $7$ học sinh (trong đó có bạn Bình) thành một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp sao cho Bình đứng đầu hàng?

A.$4320$

B.$1440$

C.$5040$

D.$720$

Câu 11.Xếp $6$ học sinh (trong đó có bạn Minh) thành một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp sao cho Minh đứng đầu hàng?

A.$720$

B.$120$

C.$240$

D.$600$

Câu 12.Xếp $6$ học sinh (trong đó có hai bạn Dũng và Hà) thành một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp sao cho Dũng và Hà KHÔNG đứng cạnh nhau?

A.$720$

B.$480$

C.$240$

D.$120$

5. Bài toán đi từ $A$ tới $C$ qua $B$: từ $A$ tới $B$ có $p$ con đường, từ $B$ tới $C$ có $q$ con đường — tổng số cách điĐúng / Sai`counting_rules_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ có $4$ con đường, từ $B$ đến $C$ có $4$ con đường. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khi tập $A$ và $B$ giao nhau, $|A \cup B| = |A| + |B|$.

b)Số cách chọn 1 con đường từ $A$ đến $B$ HOẶC từ $B$ đến $C$ là $8$.

c)Số cách viết một số có 2 chữ số khác nhau từ $\{1, 2, ..., 9\}$ là $9 \cdot 8 = 72$.

d)Quy tắc nhân áp dụng cho các công đoạn liên tiếp.

Câu 14.Từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ có $5$ con đường, từ $B$ đến $C$ có $3$ con đường. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khi tập $A$ và $B$ giao nhau, $|A \cup B| = |A| + |B|$.

b)Số cách đi là $5 + 3$.

c)Số cách viết một số có 2 chữ số khác nhau từ $\{1, 2, ..., 9\}$ là $9 \cdot 8 = 72$.

d)Số cách chọn 1 con đường từ $A$ đến $B$ HOẶC từ $B$ đến $C$ là $8$.

Câu 15.Từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ có $3$ con đường, từ $B$ đến $C$ có $3$ con đường. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khi tập $A$ và $B$ giao nhau, $|A \cup B| = |A| + |B|$.

b)Quy tắc nhân áp dụng cho các công đoạn liên tiếp.

c)Quy tắc nhân tổng quát hóa cho $n$ công đoạn liên tiếp.

d)Số cách chọn 1 con đường từ $A$ đến $B$ HOẶC từ $B$ đến $C$ là $6$.

6. Bài toán chọn trang phục: $m$ áo, $n$ quần — số bộ trang phụcĐúng / Sai`counting_rules_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Một bạn có $5$ chiếc áo và $4$ chiếc quần khác nhau. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Quy tắc cộng và quy tắc nhân là tương đương.

b)Số bộ trang phục khác nhau là $5 \cdot 4 = 20$.

c)Có $3$ áo và $4$ quần thì có $3 + 4 = 7$ bộ trang phục.

d)Quy tắc cộng áp dụng khi các trường hợp loại trừ nhau (chọn 1 trong các loại).

Câu 17.Một bạn có $4$ chiếc áo và $5$ chiếc quần khác nhau. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Quy tắc cộng áp dụng khi các trường hợp loại trừ nhau (chọn 1 trong các loại).

b)Có $3$ áo và $4$ quần thì có $3 + 4 = 7$ bộ trang phục.

c)Số bộ trang phục khác nhau là $4 \cdot 5 = 20$.

d)Số cách chọn 1 áo HOẶC 1 quần là $9$.

Câu 18.Một bạn có $6$ chiếc áo và $4$ chiếc quần khác nhau. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Quy tắc cộng áp dụng khi các trường hợp loại trừ nhau (chọn 1 trong các loại).

b)Quy tắc nhân áp dụng khi các công đoạn diễn ra liên tiếp.

c)Quy tắc cộng và quy tắc nhân là tương đương.

d)Số bộ trang phục khác nhau là $6 \cdot 4 = 24$.

7. Bài toán đếm bộ áo + quần + giàyTrả lời ngắn`counting_combo_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Có $4$ áo, $3$ quần, $3$ đôi giày. Số cách chọn một bộ trang phục là?

Câu 20.Có $5$ áo, $3$ quần, $2$ đôi giày. Số cách chọn một bộ trang phục là?

Câu 21.Có $3$ áo, $4$ quần, $3$ đôi giày. Số cách chọn một bộ trang phục là?

8. Quy tắc cộng: $a$ cách hoặc $b$ cáchTrả lời ngắn`counting_or_either`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 22.Một học sinh có thể đi xe buýt ($10$ tuyến khác nhau) hoặc xe đạp ($4$ con đường khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách di chuyển?

Câu 23.Một học sinh có thể đi xe buýt ($7$ tuyến khác nhau) hoặc xe đạp ($4$ con đường khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách di chuyển?

Câu 24.Một học sinh có thể đi xe buýt ($12$ tuyến khác nhau) hoặc xe đạp ($5$ con đường khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách di chuyển?

9. Đếm số cách tô cạnh lưới ô vuông bằng 3 màu (mỗi ô 2 màu, mỗi màu 2 cạnh)Trả lời ngắn`grid_edge_three_coloring_count_sa`(2 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(2 câu)

Câu 25.Một bảng chữ nhật gồm $6$ hình vuông đơn vị xếp thành lưới $2\times3$ (cố định, không xoay). Dùng $3$ màu để tô tất cả các cạnh của các hình vuông đơn vị, mỗi cạnh tô đúng một lần, sao cho mỗi hình vuông đơn vị được tô bởi đúng $2$ màu, trong đó mỗi màu tô đúng $2$ cạnh. Gọi $T$ là số cách tô. Tính $\dfrac{T}{4}$.

Câu 26.Một bảng chữ nhật gồm $3$ hình vuông đơn vị xếp thành lưới $1\times3$ (cố định, không xoay). Dùng $3$ màu để tô tất cả các cạnh của các hình vuông đơn vị, mỗi cạnh tô đúng một lần, sao cho mỗi hình vuông đơn vị được tô bởi đúng $2$ màu, trong đó mỗi màu tô đúng $2$ cạnh. Gọi $T$ là số cách tô. Tính $\dfrac{T}{4}$.

10. Xác suất 3 điểm trên cạnh tứ diện đều tạo mặt phẳng song song đúng 1 cạnhTrả lời ngắn`tetrahedron_edge_points_parallel_plane_sa`(2 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(2 câu)

Câu 27.Một khung kim loại hình tứ diện đều. Trên mỗi cạnh người ta đánh dấu $3$ điểm chia cạnh thành bốn đoạn bằng nhau (tổng cộng $18$ điểm). Chọn ngẫu nhiên $3$ điểm trong $18$ điểm đó. Tính xác suất để $3$ điểm được chọn tạo nên một mặt phẳng song song với đúng một cạnh của tứ diện (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 28.Một chiếc đèn lồng có mô hình là một tứ diện đều. Trên mỗi cạnh của tứ diện có $3$ bóng đèn nằm ở $3$ vị trí chia cạnh thành bốn đoạn bằng nhau (tổng cộng $18$ điểm). Chọn ngẫu nhiên $3$ điểm trong $18$ điểm đó. Tính xác suất để $3$ điểm được chọn tạo nên một mặt phẳng song song với đúng một cạnh của tứ diện (làm tròn đến hàng phần trăm).

Công thức

§1. Tính chất(2)

§2. Phương pháp(1)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. VD cao: xếp $m$ nam + $w$ nữ thành hàng xen kẽTrắc nghiệmcount_alternate_arrangement_men_women(3 câu)

2. Quy tắc cộng đếm số trường hợpTrắc nghiệmcounting_addition_rule(3 câu)

3. Quy tắc nhân đếm số trường hợpTrắc nghiệmcounting_multiplication_rule(3 câu)

4. VD: xếp $n$ học sinh thành hàng với một ràng buộc (nhiều bước)Trắc nghiệmcounting_row_arrangement_with_constraint(3 câu)

5. Bài toán đi từ $A$ tới $C$ qua $B$: từ $A$ tới $B$ có $p$ con đường, từ $B$ tới $C$ có $q$ con đường — tổng số cách điĐúng / Saicounting_rules_examples(3 câu)

6. Bài toán chọn trang phục: $m$ áo, $n$ quần — số bộ trang phụcĐúng / Saicounting_rules_facts(3 câu)

7. Bài toán đếm bộ áo + quần + giàyTrả lời ngắncounting_combo_sa(3 câu)

8. Quy tắc cộng: $a$ cách hoặc $b$ cáchTrả lời ngắncounting_or_either(3 câu)

9. Đếm số cách tô cạnh lưới ô vuông bằng 3 màu (mỗi ô 2 màu, mỗi màu 2 cạnh)Trả lời ngắngrid_edge_three_coloring_count_sa(2 câu)

10. Xác suất 3 điểm trên cạnh tứ diện đều tạo mặt phẳng song song đúng 1 cạnhTrả lời ngắntetrahedron_edge_points_parallel_plane_sa(2 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. VD cao: xếp $m$ nam + $w$ nữ thành hàng xen kẽTrắc nghiệm`count_alternate_arrangement_men_women`(3 câu)

2. Quy tắc cộng đếm số trường hợpTrắc nghiệm`counting_addition_rule`(3 câu)

3. Quy tắc nhân đếm số trường hợpTrắc nghiệm`counting_multiplication_rule`(3 câu)

4. VD: xếp $n$ học sinh thành hàng với một ràng buộc (nhiều bước)Trắc nghiệm`counting_row_arrangement_with_constraint`(3 câu)

5. Bài toán đi từ $A$ tới $C$ qua $B$: từ $A$ tới $B$ có $p$ con đường, từ $B$ tới $C$ có $q$ con đường — tổng số cách điĐúng / Sai`counting_rules_examples`(3 câu)

6. Bài toán chọn trang phục: $m$ áo, $n$ quần — số bộ trang phụcĐúng / Sai`counting_rules_facts`(3 câu)

7. Bài toán đếm bộ áo + quần + giàyTrả lời ngắn`counting_combo_sa`(3 câu)

8. Quy tắc cộng: $a$ cách hoặc $b$ cáchTrả lời ngắn`counting_or_either`(3 câu)

9. Đếm số cách tô cạnh lưới ô vuông bằng 3 màu (mỗi ô 2 màu, mỗi màu 2 cạnh)Trả lời ngắn`grid_edge_three_coloring_count_sa`(2 câu)

10. Xác suất 3 điểm trên cạnh tứ diện đều tạo mặt phẳng song song đúng 1 cạnhTrả lời ngắn`tetrahedron_edge_points_parallel_plane_sa`(2 câu)