Nhị thức Newton

Công thức

§1. Định lý(1)

1.1

Với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, $a, b \in \mathbb{R}$: $$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1} b + \dots + C_n^n b^n.$$

§2. Công thức(1)

2.1

Số hạng tổng quát $T_{k+1}$

Trong khai triển $(a + b)^n$, số hạng thứ $k+1$ (đánh số từ 0): $$T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k.$$ Có $n + 1$ số hạng trong khai triển.

§3. Phương pháp(1)

3.1

Tìm hệ số / số hạng chứa $x^m$

Cho khai triển $(a(x) + b(x))^n$, tìm hệ số / số hạng chứa $x^m$: Bước 1. Viết số hạng tổng quát: $T_{k+1} = C_n^k [a(x)]^{n-k} [b(x)]^k$. Bước 2. Rút gọn, tách phần phụ thuộc $x$ và hằng số. Bước 3. Cho lũy thừa $x$ bằng $m$ → giải tìm $k$. Bước 4. Nếu $k \in [0; n]$ và nguyên → tính hệ số tương ứng.

§4. Mẹo(2)

4.1

Mẹo: tam giác Pascal cho khai triển nhanh

Hệ số khai triển $(a+b)^n$ lấy từ hàng thứ $n$ tam giác Pascal: $n=0: 1$ $n=1: 1, 1$ $n=2: 1, 2, 1$ $n=3: 1, 3, 3, 1$ $n=4: 1, 4, 6, 4, 1$ $n=5: 1, 5, 10, 10, 5, 1$ Quy tắc: 2 số kề trên cộng nhau → số dưới.

4.2

Mẹo: tính tổng dạng $\sum C_n^k$

Thay $a, b$ phù hợp trong $(a+b)^n$:

$a = b = 1$: $\sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n$.
$a = 1, b = -1$: $\sum_{k=0}^n (-1)^k C_n^k = 0$.
$a = b = x$: $\sum C_n^k x^k \cdot x^{n-k} = (2x)^n / \dots$.

Đạo hàm $(1+x)^n$ → tổng $\sum k C_n^k x^{k-1}$, ...

Bài tập

1. Tìm hệ số của $x^k$ trong khai triển $(a + bx)^n$Trắc nghiệm`binomial_coefficient_in_expansion`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Tìm hệ số của $x^{3}$ trong khai triển nhị thức $(-3 + x)^{6}$.

A.$-540$

B.$-60$

C.$20$

D.$-27$

Câu 2.Tìm hệ số của $x^{4}$ trong khai triển nhị thức $(-2 - 2x)^{5}$.

A.$-32$

B.$-160$

C.$20$

D.$5$

Câu 3.Tìm hệ số của $x^{2}$ trong khai triển nhị thức $(1 - 3x)^{4}$.

A.$54$

B.$6$

C.$9$

D.$-18$

2. VD cao: tìm số hạng không chứa $x$ (hoặc chứa $x^m$) trong $(x^p+b/x^q)^n$Trắc nghiệm`binomial_general_term_solve_exponent`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển $\left(x^{3} + \dfrac{1}{x^{3}}\right)^{8}$.

A.$71$

B.$-70$

C.$140$

D.$70$

Câu 5.Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển $\left(x^{2} + \dfrac{3}{x^{3}}\right)^{10}$.

A.$-17010$

B.$153090$

C.$210$

D.$17010$

Câu 6.Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển $\left(x^{3} -\dfrac{2}{x}\right)^{8}$.

A.$112$

B.$1792$

C.$-1792$

D.$28$

3. Tìm hệ số của $x^k$ trong khai triển $(ax + b)^n$Trắc nghiệm`binomial_specific_term_coefficient_signed`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Tìm hệ số của $x^{6}$ trong khai triển nhị thức $(x - 2)^{7}$.

A.$-14$

B.$14$

C.$448$

D.$-13$

Câu 8.Tìm hệ số của $x^{3}$ trong khai triển nhị thức $(x + 2)^{7}$.

A.$561$

B.$280$

C.$-560$

D.$560$

Câu 9.Tìm hệ số của $x^{6}$ trong khai triển nhị thức $(x + 1)^{8}$.

A.$29$

B.$27$

C.$28$

D.$-28$

4. Số số hạng trong khai triển $(a + b)^n$ là $n + 1$Trắc nghiệm`number_of_terms_in_expansion`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Số số hạng trong khai triển nhị thức $(a + b)^{9}$ là?

A.9

B.10

C.18

D.8

Câu 11.Số số hạng trong khai triển nhị thức $(a + b)^{9}$ là?

A.8

B.18

C.10

D.9

Câu 12.Số số hạng trong khai triển nhị thức $(a + b)^{8}$ là?

A.16

B.8

C.7

D.9

5. Tổng hệ số của $(1 - x)^n$ tại $x = 1$ → 0Trắc nghiệm`sum_of_alternating_coefficients`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Tính tổng tất cả các hệ số trong khai triển nhị thức $(1 - x)^{6}$.

A.$64$

B.$0$

C.$-1$

D.$1$

Câu 14.Tính tổng tất cả các hệ số trong khai triển nhị thức $(1 - x)^{7}$.

A.$128$

B.$-1$

C.$1$

D.$0$

Câu 15.Tính tổng tất cả các hệ số trong khai triển nhị thức $(1 - x)^{5}$.

A.$1$

B.$0$

C.$-1$

D.$32$

6. Tổng hệ số nhị thức $\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n$Trắc nghiệm`sum_of_binomial_coefficients`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Tính tổng $S = C_{3}^0 + C_{3}^1 + C_{3}^2 + \cdots + C_{3}^{3}$.

A.3

B.8

C.4

D.6

Câu 17.Tính tổng $S = C_{8}^0 + C_{8}^1 + C_{8}^2 + \cdots + C_{8}^{8}$.

A.8

B.9

C.256

D.16

Câu 18.Tính tổng $S = C_{7}^0 + C_{7}^1 + C_{7}^2 + \cdots + C_{7}^{7}$.

A.8

B.128

C.7

D.14

7. Cho khai triển $(1 + x)^n$ — xét số hạng, hệ số, tổng các hệ sốĐúng / Sai`binomial_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho khai triển $(1 + x)^{4}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số hạng đầu tiên của khai triển $(1+x)^{4}$ là $1$.

b)Hệ số của $x^{2}$ là $C_{4}^{1}$.

c)Khai triển có $5$ số hạng.

d)Hệ số của $x^{2}$ là $C_{4}^{2} = 6$.

Câu 20.Cho khai triển $(1 + x)^{5}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khai triển có $6$ số hạng.

b)Tổng tất cả các hệ số trong khai triển bằng $32$.

c)Hệ số của $x^{3}$ là $C_{5}^{2}$.

d)$C_{5}^0 = 1$ và $C_{5}^{5} = 1$.

Câu 21.Cho khai triển $(1 + x)^{4}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tổng tất cả các hệ số trong khai triển bằng $16$.

b)Số hạng tổng quát là $T_{k+1} = C_{4}^k x^k$.

c)$C_{4}^0 = 1$ và $C_{4}^{4} = 1$.

d)Hệ số của $x^{2}$ là $C_{4}^{1}$.

8. Cho khai triển $(a + b)^n$ với $n$ cụ thể — xét hệ số tổng quátĐúng / Sai`binomial_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho khai triển $(a + b)^{6}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$(a + b)^{6} = \sum_{k=0}^{6} C_{6}^k a^{6-k} b^k$.

b)$C_{6}^0 = 0$ (chọn không gì).

c)Số hạng tổng quát thứ $k+1$ là $T_{k+1} = C_{6}^k a^{6-k} b^k$.

d)Hệ số của $a^{3} b^{3}$ bằng $C_{6}^{3} = 20$.

Câu 23.Cho khai triển $(a + b)^{5}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$C_{5}^0 = 0$ (chọn không gì).

b)Khai triển có $n + 1 = 6$ số hạng.

c)Số hạng tổng quát thứ $k+1$ là $T_{k+1} = C_{5}^k a^{5-k} b^k$.

d)$C_{5}^{2} = C_{5}^{3}$.

Câu 24.Cho khai triển $(a + b)^{5}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$C_{5}^{2} = C_{5}^{3}$.

b)$C_{5}^0 = 0$ (chọn không gì).

c)Khai triển có $n + 1 = 6$ số hạng.

d)Hệ số của $a^{3} b^{2}$ bằng $C_{5}^{2} = 10$.

9. Hệ số của $x^k$ trong $(x + a)^n$Trả lời ngắn`binomial_coefficient`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Trong khai triển $(x - 3)^6$, hệ số của $x^2$ bằng?

Câu 26.Trong khai triển $(x + 3)^6$, hệ số của $x^4$ bằng?

Câu 27.Trong khai triển $(x + 3)^8$, hệ số của $x^2$ bằng? (Kết quả chia cho 10, làm tròn đến hàng đơn vị)

10. Số số hạng trong khai triển $(a + b)^n$ là $n + 1$Trả lời ngắn`number_of_terms_sa`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 28.Số số hạng trong khai triển nhị thức $(a + b)^{9}$ là?

Câu 29.Số số hạng trong khai triển nhị thức $(a + b)^{6}$ là?

Câu 30.Số số hạng trong khai triển nhị thức $(a + b)^{5}$ là?

Nhị thức Newton

Công thức

§1. Định lý(1)

§2. Công thức(1)

§3. Phương pháp(1)

§4. Mẹo(2)

Bài tập

1. Tìm hệ số của $x^k$ trong khai triển $(a + bx)^n$Trắc nghiệmbinomial_coefficient_in_expansion(3 câu)

2. VD cao: tìm số hạng không chứa $x$ (hoặc chứa $x^m$) trong $(x^p+b/x^q)^n$Trắc nghiệmbinomial_general_term_solve_exponent(3 câu)

3. Tìm hệ số của $x^k$ trong khai triển $(ax + b)^n$Trắc nghiệmbinomial_specific_term_coefficient_signed(3 câu)

4. Số số hạng trong khai triển $(a + b)^n$ là $n + 1$Trắc nghiệmnumber_of_terms_in_expansion(3 câu)

5. Tổng hệ số của $(1 - x)^n$ tại $x = 1$ → 0Trắc nghiệmsum_of_alternating_coefficients(3 câu)

6. Tổng hệ số nhị thức $\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n$Trắc nghiệmsum_of_binomial_coefficients(3 câu)

7. Cho khai triển $(1 + x)^n$ — xét số hạng, hệ số, tổng các hệ sốĐúng / Saibinomial_facts(3 câu)

8. Cho khai triển $(a + b)^n$ với $n$ cụ thể — xét hệ số tổng quátĐúng / Saibinomial_facts2(3 câu)

9. Hệ số của $x^k$ trong $(x + a)^n$Trả lời ngắnbinomial_coefficient(3 câu)

10. Số số hạng trong khai triển $(a + b)^n$ là $n + 1$Trả lời ngắnnumber_of_terms_sa(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tìm hệ số của $x^k$ trong khai triển $(a + bx)^n$Trắc nghiệm`binomial_coefficient_in_expansion`(3 câu)

2. VD cao: tìm số hạng không chứa $x$ (hoặc chứa $x^m$) trong $(x^p+b/x^q)^n$Trắc nghiệm`binomial_general_term_solve_exponent`(3 câu)

3. Tìm hệ số của $x^k$ trong khai triển $(ax + b)^n$Trắc nghiệm`binomial_specific_term_coefficient_signed`(3 câu)

4. Số số hạng trong khai triển $(a + b)^n$ là $n + 1$Trắc nghiệm`number_of_terms_in_expansion`(3 câu)

5. Tổng hệ số của $(1 - x)^n$ tại $x = 1$ → 0Trắc nghiệm`sum_of_alternating_coefficients`(3 câu)

6. Tổng hệ số nhị thức $\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n$Trắc nghiệm`sum_of_binomial_coefficients`(3 câu)

7. Cho khai triển $(1 + x)^n$ — xét số hạng, hệ số, tổng các hệ sốĐúng / Sai`binomial_facts`(3 câu)

8. Cho khai triển $(a + b)^n$ với $n$ cụ thể — xét hệ số tổng quátĐúng / Sai`binomial_facts2`(3 câu)

9. Hệ số của $x^k$ trong $(x + a)^n$Trả lời ngắn`binomial_coefficient`(3 câu)

10. Số số hạng trong khai triển $(a + b)^n$ là $n + 1$Trả lời ngắn`number_of_terms_sa`(3 câu)