Chỉnh hợp, tổ hợp

Công thức

§1. Phương pháp(2)

1.1

Phương pháp chọn có điều kiện

Dạng 1 — Trong nhóm chọn có ÍT NHẤT 1 phần tử đặc biệt:

Chọn riêng phần tử đặc biệt + chọn phần còn lại từ phần tử còn lại.
Hoặc dùng phần bù: tổng cách − cách KHÔNG có phần tử đặc biệt.

Dạng 2 — Phải có đại diện từ nhiều nhóm:

Liệt kê các phân bố hợp lệ (số người mỗi nhóm) → tính từng phân bố → cộng tổng.

Dạng 3 — Số chia hết / mã không bắt đầu bằng 0:

Chọn vị trí đầu tiên trước (loại 0 đứng đầu).
Số chia hết: xác định điều kiện chia hết → chọn các chữ số phù hợp.

1.2

Phương pháp xếp có điều kiện

Dạng 1 — Các phần tử đặc biệt phải đứng cùng nhau (vd A và B kề nhau):

Coi A, B là 1 "khối" → tổng cộng $(n-1)$ phần tử → xếp $(n-1)!$ cách.
Bên trong khối A, B: $2!$ cách.
Tổng: $(n-1)! \cdot 2!$.

Dạng 2 — Các phần tử KHÔNG được kề nhau (vd A và B không kề):

Tổng cách xếp $n!$ − cách kề nhau = $n! - (n-1)! \cdot 2!$.

Dạng 3 — Xếp xen kẽ (nam-nữ xen kẽ):

Xác định số chỗ cho mỗi loại + sắp xếp riêng từng loại.

§2. Mẹo(1)

2.1

Hoán vị có lặp

Cho $n$ phần tử trong đó có $k_1$ phần tử loại A, $k_2$ phần tử loại B, ... $k_1 + k_2 + \dots = n$. Số cách xếp: $$\dfrac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots k_m!}.$$ Vd: số cách xếp chữ "MATHEMATICS" = $\dfrac{11!}{2! \cdot 2! \cdot 2!}$ (M=2, A=2, T=2).

Bài tập

1. VD cao: chọn $k$ người từ $m + w$, có ít nhất 1 nữTrắc nghiệm`combination_at_least_one_female`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 1.Một tổ có $6$ học sinh nam và $3$ học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên $4$ học sinh đi tham quan. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong $4$ học sinh được chọn có ít nhất 1 nữ?

A.$15$

B.$112$

C.$126$

D.$111$

Câu 2.Một tổ có $5$ học sinh nam và $5$ học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên $4$ học sinh đi tham quan. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong $4$ học sinh được chọn có ít nhất 1 nữ?

A.$5$

B.$210$

C.$206$

D.$205$

Câu 3.Một tổ có $7$ học sinh nam và $5$ học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên $4$ học sinh đi tham quan. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong $4$ học sinh được chọn có ít nhất 1 nữ?

A.$460$

B.$5$

C.$495$

D.$35$

2. Áp dụng $C_n^k = C_n^{n-k}$ — chuyển dạng tổ hợpTrắc nghiệm`combination_identity`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Biểu thức nào sau đây bằng $C_{9}^{3}$?

A.$C_{10}^{3}$

B.$C_{9}^{2}$

C.$C_{9}^{6}$

D.$A_{9}^{3}$

Câu 5.Biểu thức nào sau đây bằng $C_{6}^{2}$?

A.$C_{6}^{4}$

B.$A_{6}^{2}$

C.$C_{7}^{2}$

D.$C_{6}^{1}$

Câu 6.Biểu thức nào sau đây bằng $C_{13}^{6}$?

A.$C_{14}^{6}$

B.$C_{13}^{5}$

C.$A_{13}^{6}$

D.$C_{13}^{7}$

3. Tính giá trị $C_n^k = \binom{n}{k}$Trắc nghiệm`combination_value`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Tính $C_{8}^{4}$ (số tổ hợp chập $4$ của $8$).

A.$C_{8}^{4} = 70$

B.$C_{8}^{4} = 40320$

C.$C_{8}^{4} = 32$

D.$C_{8}^{4} = 1680$

Câu 8.Tính $C_{12}^{7}$ (số tổ hợp chập $7$ của $12$).

A.$C_{12}^{7} = 84$

B.$C_{12}^{7} = 479001600$

C.$C_{12}^{7} = 792$

D.$C_{12}^{7} = 3991680$

Câu 9.Tính $C_{6}^{4}$ (số tổ hợp chập $4$ của $6$).

A.$C_{6}^{4} = 15$

B.$C_{6}^{4} = 720$

C.$C_{6}^{4} = 360$

D.$C_{6}^{4} = 24$

4. Tính $A_n^k$Trắc nghiệm`permutation_value`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Tính $A_{6}^{4}$ (chỉnh hợp chập $4$ của $6$).

A.$A_{6}^{4} = 720$

B.$A_{6}^{4} = 24$

C.$A_{6}^{4} = 15$

D.$A_{6}^{4} = 360$

Câu 11.Tính $A_{7}^{4}$ (chỉnh hợp chập $4$ của $7$).

A.$A_{7}^{4} = 5040$

B.$A_{7}^{4} = 35$

C.$A_{7}^{4} = 840$

D.$A_{7}^{4} = 28$

Câu 12.Tính $A_{9}^{5}$ (chỉnh hợp chập $5$ của $9$).

A.$A_{9}^{5} = 126$

B.$A_{9}^{5} = 362880$

C.$A_{9}^{5} = 15120$

D.$A_{9}^{5} = 45$

5. Bài toán đếm: chọn $k$ học sinh từ $n$ → $C_n^k$Trắc nghiệm`word_choose_team`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Một nhóm có $9$ học sinh. Có bao nhiêu cách chọn $4$ học sinh để cử đi tham gia một hoạt động?

A.127

B.3024

C.36

D.126

Câu 14.Một nhóm có $10$ học sinh. Có bao nhiêu cách chọn $4$ học sinh để cử đi tham gia một hoạt động?

A.5040

B.211

C.40

D.210

Câu 15.Một nhóm có $11$ học sinh. Có bao nhiêu cách chọn $3$ học sinh để cử đi tham gia một hoạt động?

A.165

B.166

C.990

D.33

6. Chọn ban cán sự gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thư ký từ $n$ học sinh → $A_n^3$Trắc nghiệm`word_class_officers`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Một lớp có $21$ học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ban cán sự gồm $1$ lớp trưởng, $1$ lớp phó và $1$ thư ký (mỗi học sinh chỉ giữ một chức vụ)?

A.420

B.1330

C.63

D.7980

Câu 17.Một lớp có $21$ học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ban cán sự gồm $1$ lớp trưởng, $1$ lớp phó và $1$ thư ký (mỗi học sinh chỉ giữ một chức vụ)?

A.420

B.7980

C.63

D.1330

Câu 18.Một lớp có $22$ học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ban cán sự gồm $1$ lớp trưởng, $1$ lớp phó và $1$ thư ký (mỗi học sinh chỉ giữ một chức vụ)?

A.462

B.66

C.1540

D.9240

7. Cho lớp có $n$ học sinh, chọn $k$ học sinh — xét chỉnh hợp / tổ hợpĐúng / Sai`perm_comb_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Một lớp học có $7$ học sinh. Xét bài toán chọn $3$ học sinh từ lớp đó. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$A_{7}^0 = 0$.

b)$A_{7}^{3} = 3! \cdot C_{7}^{3} = 6 \cdot 35 = 210$.

c)Số cách chọn 3 học sinh không phân biệt thứ tự là $C_{7}^{3} = 35$.

d)$C_{7}^{7} = 1$.

Câu 20.Một lớp học có $9$ học sinh. Xét bài toán chọn $3$ học sinh từ lớp đó. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số cách chọn 3 học sinh có phân biệt thứ tự là $A_{9}^{3} = 504$.

b)$A_{9}^0 = 0$.

c)$C_{9}^{3} = C_{9}^{6}$ (đối xứng).

d)$A_{9}^{3} = 3! \cdot C_{9}^{3} = 6 \cdot 84 = 504$.

Câu 21.Một lớp học có $10$ học sinh. Xét bài toán chọn $3$ học sinh từ lớp đó. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tổ hợp tính cả thứ tự, chỉnh hợp không tính thứ tự.

b)$A_{10}^0 = 0$.

c)Số cách chọn 3 học sinh không phân biệt thứ tự là $C_{10}^{3} = 120$.

d)Số cách chọn 3 học sinh có phân biệt thứ tự là $A_{10}^{3} = 720$.

8. Cho nhóm $n$ người, chọn ban gồm trưởng/phó/thư kí (chỉnh hợp) hoặc ban không phân biệt vai trò (tổ hợp)Đúng / Sai`perm_comb_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Một câu lạc bộ có $12$ thành viên. Xét bài toán chọn ban điều hành gồm $3$ người. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số cách chia 3 chiếc kẹo giống nhau cho 1 người là $C_{12}^{3}$.

b)$A_{12}^{3} = 6 \cdot C_{12}^{3}$.

c)$A_{12}^{3}$ luôn lớn hơn hoặc bằng $C_{12}^{3}$.

d)Số cách chọn ban 3 người không phân biệt vai trò là $C_{12}^{3} = 220$.

Câu 23.Một câu lạc bộ có $10$ thành viên. Xét bài toán chọn ban điều hành gồm $3$ người. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số cách chọn ban 3 người không phân biệt vai trò là $C_{10}^{3} = 120$.

b)Số cách chia 3 chiếc kẹo giống nhau cho 1 người là $C_{10}^{3}$.

c)$C_n^0 = 0$ (chọn không gì).

d)$C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.

Câu 24.Một câu lạc bộ có $10$ thành viên. Xét bài toán chọn ban điều hành gồm $3$ người. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số cách chia 3 chiếc kẹo giống nhau cho 1 người là $C_{10}^{3}$.

b)$C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.

c)$A_{10}^{3}$ luôn lớn hơn hoặc bằng $C_{10}^{3}$.

d)Số cách chọn ban gồm 1 trưởng, 1 phó, 1 thư kí là $A_{10}^3 = 720$.

9. Số tổ hợp $C_n^k$Trả lời ngắn`combination_only_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Số tổ hợp chập $5$ của $6$ phần tử.

Câu 26.Số tổ hợp chập $7$ của $10$ phần tử.

Câu 27.Số tổ hợp chập $6$ của $7$ phần tử.

10. Tính $C_n^k$ hoặc $A_n^k$Trả lời ngắn`compute_combination`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Tính $A_7^6$.

Câu 29.Tính $A_7^2$.

Câu 30.Tính $C_5^4$.

11. VDC++ (HSG): Đếm số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau lập từ tập $\{1, 2, \ldots, 9\}$, đồng thời chia hết cho $11$ và có tổng các chữ số chia hết cho $11$Trả lời ngắn`count_4digits_div11_and_sumdigits_div11`(1 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(1 câu)

Câu 31.Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số trong tập $\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}$. Hỏi có bao nhiêu số như vậy vừa chia hết cho $11$ vừa có tổng các chữ số chia hết cho $11$?

12. VDC++ (SA): Cho tập $S = \{1; 2; \ldots; 15\}$Trả lời ngắn`count_6tuples_log_int_symmetric_partition`(1 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(1 câu)

Câu 32.Cho tập $S = \{1; 2; 3; \ldots; 15\}$. Có bao nhiêu cách chọn $6$ số phân biệt từ $S$ và sắp xếp chúng thành một dãy $(a_1; a_2; a_3; a_4; a_5; a_6)$ thỏa mãn đồng thời: $\bullet$ $\log_3(a_1) + \log_3(a_2) + \log_3(a_3)$ là một số nguyên. $\bullet$ $a_1 + a_6 = a_2 + a_5 = a_3 + a_4$.

13. VDC: Đếm số tự nhiên có $7$ chữ số đôi một khác nhau, chẵn, và chứa các chữ số $2, 3, 4$ với thứ tự $2 \to 3 \to 4$Trả lời ngắn`count_7digit_even_with_ordered_234`(1 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(1 câu)

Câu 33.Gọi $X$ là tập hợp gồm các số tự nhiên có $7$ chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập $X$. Xác suất để lấy được một số chẵn chứa các chữ số $2, 3, 4$ sao cho chữ số $2$ đứng trước chữ số $3$ và chữ số $3$ đứng trước chữ số $4$ là $\dfrac{a}{b}$ (trong đó $a, b$ là hai số nguyên dương, $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?

14. Đếm số có 8 chữ số đôi một khác nhau từ tập {1..8} chia hết cho một số $D \in \{1111, 9999, 99\}$ — biến thể từ đề HSG Casio Thanh Hoá 2017Trả lời ngắn`count_8digits_divisible_1111`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 34.Một số tự nhiên được gọi là số đặc biệt nếu nó có $8$ chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập $\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}$ và chia hết cho $99$. Hỏi có bao nhiêu số đặc biệt?

Câu 35.Một số tự nhiên được gọi là số đặc biệt nếu nó có $8$ chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập $\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}$ và chia hết cho $9999$. Hỏi có bao nhiêu số đặc biệt?

Câu 36.Một số tự nhiên được gọi là số đặc biệt nếu nó có $8$ chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập $\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}$ và chia hết cho $1111$. Hỏi có bao nhiêu số đặc biệt?

15. SA: Trên dãy $n$ ô, đặt khối P gồm $w$ ô liên tiếp, khối Q gồm $d$ ô sao cho không hai ô liền kề, khối R gồm $s$ ô tự do; ba khối đôi một rời nhauTrả lời ngắn`count_blocks_consecutive_and_nonadjacent_on_line`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 37.Một bãi đỗ có 12 ô đánh số từ $1$ đến $12$. Cần cấp cho nhóm xe tải $3$ ô LIÊN TIẾP nhau, cho nhóm xe con $2$ ô sao cho KHÔNG có hai ô nào liền kề nhau, và cho nhóm xe máy $2$ ô bất kỳ; ba nhóm dùng các ô đôi một khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cấp phát?

Câu 38.Một kệ hàng có 11 ngăn đánh số từ $1$ đến $11$. Cần cấp cho nhóm nhóm A $3$ ngăn LIÊN TIẾP nhau, cho nhóm nhóm B $3$ ngăn sao cho KHÔNG có hai ngăn nào liền kề nhau, và cho nhóm nhóm C $2$ ngăn bất kỳ; ba nhóm dùng các ngăn đôi một khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cấp phát?

Câu 39.Một kệ hàng có 14 ngăn đánh số từ $1$ đến $14$. Cần cấp cho nhóm nhóm A $4$ ngăn LIÊN TIẾP nhau, cho nhóm nhóm B $3$ ngăn sao cho KHÔNG có hai ngăn nào liền kề nhau, và cho nhóm nhóm C $1$ ngăn bất kỳ; ba nhóm dùng các ngăn đôi một khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cấp phát?

16. SA: như trên nhưng THÊM ràng buộc các ô của khối Q (không-liền-kề) không được nằm cạnh khối P (liên tiếp)Trả lời ngắn`count_blocks_with_separation_constraint`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 40.Có 14 địa chỉ IP đánh số từ $1$ đến $14$. Cần cấp cho nhóm Web $3$ địa chỉ LIÊN TIẾP nhau, cho nhóm Database $3$ địa chỉ sao cho KHÔNG có hai địa chỉ nào liền kề nhau, và cho nhóm Storage $1$ địa chỉ bất kỳ; ba nhóm dùng các địa chỉ đôi một khác nhau và nhóm Database KHÔNG được cạnh nhóm Web. Hỏi có bao nhiêu cách cấp phát?

Câu 41.Có 14 địa chỉ IP đánh số từ $1$ đến $14$. Cần cấp cho nhóm Web $3$ địa chỉ LIÊN TIẾP nhau, cho nhóm Database $2$ địa chỉ sao cho KHÔNG có hai địa chỉ nào liền kề nhau, và cho nhóm Storage $1$ địa chỉ bất kỳ; ba nhóm dùng các địa chỉ đôi một khác nhau và nhóm Database KHÔNG được cạnh nhóm Web. Hỏi có bao nhiêu cách cấp phát?

Câu 42.Có 14 địa chỉ IP đánh số từ $1$ đến $14$. Cần cấp cho nhóm Web $4$ địa chỉ LIÊN TIẾP nhau, cho nhóm Database $3$ địa chỉ sao cho KHÔNG có hai địa chỉ nào liền kề nhau, và cho nhóm Storage $2$ địa chỉ bất kỳ; ba nhóm dùng các địa chỉ đôi một khác nhau và nhóm Database KHÔNG được cạnh nhóm Web. Hỏi có bao nhiêu cách cấp phát?

17. SA (câu phụ dễ hơn): Đếm số cách chọn $d$ ô sao cho không có hai ô liền kề nhau trong một dãy $k$ ô liên tiếp $= C_{k-d+1}^{d}$Trả lời ngắn`count_nonadjacent_selection_in_k_slots`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 43.Một bãi đỗ có 8 ô đánh số từ $1$ đến $8$. Cần chọn $2$ ô để cấp cho nhóm xe con sao cho KHÔNG có hai ô nào liền kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Câu 44.Một kệ hàng có 10 ngăn đánh số từ $1$ đến $10$. Cần chọn $3$ ngăn để cấp cho nhóm nhóm B sao cho KHÔNG có hai ngăn nào liền kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Câu 45.Một bãi đỗ có 12 ô đánh số từ $1$ đến $12$. Cần chọn $3$ ô để cấp cho nhóm xe con sao cho KHÔNG có hai ô nào liền kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

18. SA: Xếp ngẫu nhiên $n = 2m$ người vào bàn dài có $n$ ghế chia thành $m$ cặp đối diệnTrả lời ngắn`facing_table_no_same_class_opposite_prob`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 46.Xếp ngẫu nhiên $6$ bạn của một nhóm học sinh (gồm $3$ bạn lớp 12A, $3$ bạn lớp 12B) vào một bàn dài có $6$ ghế chia thành $3$ cặp ghế đối diện nhau. Gọi $\dfrac{q}{p}$ (phân số tối giản) là xác suất để KHÔNG có hai bạn cùng lớp (cùng nhóm) nào ngồi ĐỐI DIỆN nhau. Tính $p + q$.

Câu 47.Xếp ngẫu nhiên $8$ nhân viên của một đoàn nhân viên (gồm $2$ nhân viên phòng Kinh doanh, $2$ nhân viên phòng Kỹ thuật, $2$ nhân viên phòng Nhân sự, $2$ nhân viên phòng Kế toán) vào một bàn dài có $8$ ghế chia thành $4$ cặp ghế đối diện nhau. Gọi $\dfrac{q}{p}$ (phân số tối giản) là xác suất để KHÔNG có hai nhân viên cùng lớp (cùng nhóm) nào ngồi ĐỐI DIỆN nhau. Tính $p + q$.

Câu 48.Xếp ngẫu nhiên $6$ khách của một đoàn khách (gồm $3$ khách đoàn A, $2$ khách đoàn B, $1$ khách đoàn C) vào một bàn dài có $6$ ghế chia thành $3$ cặp ghế đối diện nhau. Gọi $\dfrac{q}{p}$ (phân số tối giản) là xác suất để KHÔNG có hai khách cùng lớp (cùng nhóm) nào ngồi ĐỐI DIỆN nhau. Tính $p + q$.

19. SA: xếp $n=2m$ người vào bàn dài $m$ cặp ghế đối diệnTrả lời ngắn`facing_table_no_same_class_opposite_prob_value`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 49.Xếp ngẫu nhiên $6$ khách của một đoàn khách (gồm $2$ khách lớp 12A, $2$ khách lớp 12B, $1$ khách lớp 12C, $1$ khách lớp 12D) vào một bàn dài có $6$ ghế chia thành $3$ cặp ghế đối diện nhau (mỗi bên $3$ ghế). Tính xác suất để KHÔNG có hai khách cùng lớp (cùng nhóm) nào ngồi ĐỐI DIỆN nhau. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục.)

Câu 50.Xếp ngẫu nhiên $8$ khách của một đoàn khách (gồm $2$ khách lớp 12A, $2$ khách lớp 12B, $2$ khách lớp 12C, $2$ khách lớp 12D) vào một bàn dài có $8$ ghế chia thành $4$ cặp ghế đối diện nhau (mỗi bên $4$ ghế). Tính xác suất để KHÔNG có hai khách cùng lớp (cùng nhóm) nào ngồi ĐỐI DIỆN nhau. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục.)

Câu 51.Xếp ngẫu nhiên $8$ bạn của một nhóm học sinh (gồm $2$ bạn lớp 12A, $2$ bạn lớp 12B, $2$ bạn lớp 12C, $2$ bạn lớp 12D) vào một bàn dài có $8$ ghế chia thành $4$ cặp ghế đối diện nhau (mỗi bên $4$ ghế). Tính xác suất để KHÔNG có hai bạn cùng lớp (cùng nhóm) nào ngồi ĐỐI DIỆN nhau. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục.)

20. SA (chu trình Hamilton / TSP): xuất phát từ một điểm gốc, thăm bốn đỉnh còn lại MỖI đỉnh đúng một lần rồi quay về gốc; tìm tổng độ dài quãng đường NGẮN NHẤTTrả lời ngắn`hamiltonian_min_round_trip_four_nodes_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 52.Một nhân viên của thư viện tỉnh muốn lập kế hoạch giới thiệu nội dung chương trình “Kết nối bạn đọc yêu sách” đến bốn trường học trong khu vực lân cận. Độ dài quãng đường (đơn vị: kilômét) giữa các địa điểm như sau: thư viện – trường A: $4$; thư viện – trường B: $3$; thư viện – trường D: $6$; trường A – trường B: $6$; trường A – trường C: $7$; trường B – trường C: $2$; trường B – trường D: $5$; trường C – trường D: $6$. Người đó xuất phát từ thư viện và phải đi thăm cả bốn địa điểm còn lại, mỗi địa điểm chỉ đến đúng một lần, rồi quay trở về thư viện. Tổng độ dài quãng đường đi nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên là bao nhiêu kilômét?

Câu 53.Một hướng dẫn viên du lịch khởi hành từ khách sạn, dự định đưa khách tham quan bốn địa điểm nổi tiếng. Độ dài quãng đường (đơn vị: kilômét) giữa các địa điểm như sau: khách sạn – địa điểm I: $3$; khách sạn – địa điểm II: $7$; khách sạn – địa điểm IV: $5$; địa điểm I – địa điểm II: $4$; địa điểm I – địa điểm III: $6$; địa điểm II – địa điểm III: $2$; địa điểm II – địa điểm IV: $8$; địa điểm III – địa điểm IV: $4$. Người đó xuất phát từ khách sạn và phải đi thăm cả bốn địa điểm còn lại, mỗi địa điểm chỉ đến đúng một lần, rồi quay trở về khách sạn. Tổng độ dài quãng đường đi nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên là bao nhiêu kilômét?

Câu 54.Một nhân viên giao hàng xuất phát từ kho trung tâm cần giao bưu kiện đến bốn điểm tập kết trong thành phố. Độ dài quãng đường (đơn vị: kilômét) giữa các địa điểm như sau: kho – điểm P: $5$; kho – điểm Q: $8$; kho – điểm R: $4$; kho – điểm S: $7$; điểm P – điểm Q: $3$; điểm P – điểm R: $6$; điểm P – điểm S: $9$; điểm Q – điểm R: $5$; điểm Q – điểm S: $2$; điểm R – điểm S: $8$. Người đó xuất phát từ kho và phải đi thăm cả bốn địa điểm còn lại, mỗi địa điểm chỉ đến đúng một lần, rồi quay trở về kho. Tổng độ dài quãng đường đi nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên là bao nhiêu kilômét?

21. SA: $n$ nam (gồm $H$) và $n$ nữ (gồm $L$) xếp xen kẽ, $H, L$ không liền nhauTrả lời ngắn`permutation_alternating_with_restriction`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 55.Một nhóm học sinh gồm $5$ học sinh nam trong đó có Hoàng và $5$ học sinh nữ trong đó có Lan được xếp thành một hàng dọc. Gọi $m$ là số cách xếp thỏa mãn các học sinh nam nữ đứng xen kẽ nhau sao cho Hoàng và Lan không đứng liên tiếp nhau. Giá trị $\dfrac{m}{32}$ bằng bao nhiêu?

Câu 56.Một nhóm học sinh gồm $4$ học sinh nam trong đó có Hoàng và $4$ học sinh nữ trong đó có Lan được xếp thành một hàng dọc. Gọi $m$ là số cách xếp thỏa mãn các học sinh nam nữ đứng xen kẽ nhau sao cho Hoàng và Lan không đứng liên tiếp nhau. Giá trị $\dfrac{m}{18}$ bằng bao nhiêu?

Câu 57.Một nhóm học sinh gồm $4$ học sinh nam trong đó có Hoàng và $4$ học sinh nữ trong đó có Lan được xếp thành một hàng dọc. Gọi $m$ là số cách xếp thỏa mãn các học sinh nam nữ đứng xen kẽ nhau sao cho Hoàng và Lan không đứng liên tiếp nhau. Giá trị $\dfrac{m}{8}$ bằng bao nhiêu?

22. SA: xếp $5$ số phân biệt từ $\{1;\ldots;N\}$ vào $A,B,C,D,E$ với $(A,B,C),(C,D,E)$ là cấp số cộng và $(A,C,E)$ là cấp số nhânTrả lời ngắn`place_five_numbers_ap_ap_gp_probability`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 58.Trong một trò chơi xếp số, người ta chọn ngẫu nhiên $5$ số khác nhau từ tập $S = \{1; 2; 3; \ldots; 30\}$ và đặt mỗi số vào đúng một vị trí trong $5$ vị trí $A, B, C, D, E$ như hình vẽ, sao cho bên trong mỗi vị trí chỉ được xếp một số. Trò chơi kết thúc khi các điều kiện sau được thỏa mãn: $\bullet$ Những bộ ba vị trí $(A, B, C)$, $(C, D, E)$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. $\bullet$ Bộ ba vị trí $(A, C, E)$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Xác suất kết thúc trò chơi ở một lần chọn và sắp xếp là $a$. Tính $\dfrac{1}{2026a}$ (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

Câu 59.Trong một trò chơi xếp số, người ta chọn ngẫu nhiên $5$ số khác nhau từ tập $S = \{1; 2; 3; \ldots; 27\}$ và đặt mỗi số vào đúng một vị trí trong $5$ vị trí $A, B, C, D, E$ như hình vẽ, sao cho bên trong mỗi vị trí chỉ được xếp một số. Trò chơi kết thúc khi các điều kiện sau được thỏa mãn: $\bullet$ Những bộ ba vị trí $(A, B, C)$, $(C, D, E)$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. $\bullet$ Bộ ba vị trí $(A, C, E)$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Xác suất kết thúc trò chơi ở một lần chọn và sắp xếp là $a$. Tính $\dfrac{1}{1500a}$ (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

Câu 60.Trong một trò chơi xếp số, người ta chọn ngẫu nhiên $5$ số khác nhau từ tập $S = \{1; 2; 3; \ldots; 20\}$ và đặt mỗi số vào đúng một vị trí trong $5$ vị trí $A, B, C, D, E$ như hình vẽ, sao cho bên trong mỗi vị trí chỉ được xếp một số. Trò chơi kết thúc khi các điều kiện sau được thỏa mãn: $\bullet$ Những bộ ba vị trí $(A, B, C)$, $(C, D, E)$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. $\bullet$ Bộ ba vị trí $(A, C, E)$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Xác suất kết thúc trò chơi ở một lần chọn và sắp xếp là $a$. Tính $\dfrac{1}{500a}$ (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

23. SA: con châu chấu nhảy $O \to C(a;b;c)$ theo $\vec i, \vec j, \vec k$, không nhảy hai lần liên tiếp theo $\vec k$Trả lời ngắn`sa_grasshopper_lattice_paths_no_consec_k`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 61.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị dài trên các trục tính bằng mét), một con châu chấu đang ở vị trí $O(0; 0; 0)$ và dự định nhảy đến $C(6; 6; 5)$. Con châu chấu chỉ có thể nhảy theo ba hướng $\vec i = (1; 0; 0)$, $\vec j = (0; 1; 0)$, $\vec k = (0; 0; 1)$ và điều đặc biệt là nó không thể nhảy hai lần liên tiếp theo hướng $\vec k = (0; 0; 1)$. Mỗi lần nhảy con châu chấu chỉ nhảy được quãng đường bằng $1\text{ m}$. Gọi $T$ là số cách con châu chấu di chuyển từ $O$ đến $C$. Bốn chữ số đầu tiên của $T$ là bao nhiêu?

Câu 62.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị dài trên các trục tính bằng mét), một con châu chấu đang ở vị trí $O(0; 0; 0)$ và dự định nhảy đến $C(7; 5; 5)$. Con châu chấu chỉ có thể nhảy theo ba hướng $\vec i = (1; 0; 0)$, $\vec j = (0; 1; 0)$, $\vec k = (0; 0; 1)$ và điều đặc biệt là nó không thể nhảy hai lần liên tiếp theo hướng $\vec k = (0; 0; 1)$. Mỗi lần nhảy con châu chấu chỉ nhảy được quãng đường bằng $1\text{ m}$. Gọi $T$ là số cách con châu chấu di chuyển từ $O$ đến $C$. Bốn chữ số đầu tiên của $T$ là bao nhiêu?

Câu 63.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị dài trên các trục tính bằng mét), một con châu chấu đang ở vị trí $O(0; 0; 0)$ và dự định nhảy đến $C(5; 5; 4)$. Con châu chấu chỉ có thể nhảy theo ba hướng $\vec i = (1; 0; 0)$, $\vec j = (0; 1; 0)$, $\vec k = (0; 0; 1)$ và điều đặc biệt là nó không thể nhảy hai lần liên tiếp theo hướng $\vec k = (0; 0; 1)$. Mỗi lần nhảy con châu chấu chỉ nhảy được quãng đường bằng $1\text{ m}$. Gọi $T$ là số cách con châu chấu di chuyển từ $O$ đến $C$. Bốn chữ số đầu tiên của $T$ là bao nhiêu?

24. SA (biến cố bù): Xếp ngẫu nhiên $n$ người vào hàng/bànTrả lời ngắn`seating_at_least_one_same_class_adjacent_prob`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 64.Xếp ngẫu nhiên $6$ khách của một đoàn khách (gồm $2$ khách đoàn A, $2$ khách đoàn B, $1$ khách đoàn C, $1$ khách đoàn D) vào một hàng gồm $6$ ghế kê liền nhau. Gọi $\dfrac{q}{p}$ (phân số tối giản) là xác suất để CÓ ÍT NHẤT MỘT cặp khách cùng lớp (cùng nhóm) ngồi cạnh nhau. Tính $p + q$.

Câu 65.Xếp ngẫu nhiên $6$ khách của một đoàn khách (gồm $2$ khách đoàn A, $2$ khách đoàn B, $2$ khách đoàn C) vào một hàng gồm $6$ ghế kê liền nhau. Gọi $\dfrac{q}{p}$ (phân số tối giản) là xác suất để CÓ ÍT NHẤT MỘT cặp khách cùng lớp (cùng nhóm) ngồi cạnh nhau. Tính $p + q$.

Câu 66.Xếp ngẫu nhiên $6$ nhân viên của một đoàn nhân viên (gồm $2$ nhân viên phòng Kinh doanh, $2$ nhân viên phòng Kỹ thuật, $2$ nhân viên phòng Nhân sự) vào một hàng gồm $6$ ghế kê liền nhau. Gọi $\dfrac{q}{p}$ (phân số tối giản) là xác suất để CÓ ÍT NHẤT MỘT cặp nhân viên cùng lớp (cùng nhóm) ngồi cạnh nhau. Tính $p + q$.

25. SA (đếm thuần): Có bao nhiêu CÁCH xếp $n$ người phân biệt (gồm vài nhóm cùng lớp) vào hàng/bàn sao cho không có hai người cùng lớp ngồi cạnh / đối diện nhau? Đáp số = số cách (người phân biệt)Trả lời ngắn`seating_no_same_class_count`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 67.Có bao nhiêu cách xếp $6$ khách của một đoàn khách (gồm $3$ khách đoàn A, $3$ khách đoàn B) vào một bàn dài có $6$ ghế chia thành $3$ cặp ghế đối diện sao cho KHÔNG có hai khách cùng lớp (cùng nhóm) nào ngồi đối diện nhau?

Câu 68.Có bao nhiêu cách xếp $5$ nhân viên của một đoàn nhân viên (gồm $2$ nhân viên phòng Kinh doanh, $1$ nhân viên phòng Kỹ thuật, $1$ nhân viên phòng Nhân sự, $1$ nhân viên phòng Kế toán) vào một hàng gồm $5$ ghế kê liền nhau sao cho KHÔNG có hai nhân viên cùng lớp (cùng nhóm) nào ngồi cạnh nhau?

Câu 69.Có bao nhiêu cách xếp $5$ khách của một đoàn khách (gồm $2$ khách đoàn A, $1$ khách đoàn B, $1$ khách đoàn C, $1$ khách đoàn D) vào một hàng gồm $5$ ghế kê liền nhau sao cho KHÔNG có hai khách cùng lớp (cùng nhóm) nào ngồi cạnh nhau?

26. SA: Xếp ngẫu nhiên $n$ người (gồm vài nhóm cùng lớp) vào một hàng $n$ ghếTrả lời ngắn`seating_row_no_same_class_adjacent_prob`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 70.Xếp ngẫu nhiên $6$ khách của một đoàn khách (gồm $3$ khách đoàn A, $2$ khách đoàn B, $1$ khách đoàn C) vào một hàng gồm $6$ ghế kê liền nhau. Gọi $\dfrac{q}{p}$ (phân số tối giản) là xác suất để KHÔNG có hai khách cùng lớp (cùng nhóm) nào ngồi cạnh nhau. Tính $p + q$.

Câu 71.Xếp ngẫu nhiên $6$ khách của một đoàn khách (gồm $2$ khách đoàn A, $2$ khách đoàn B, $1$ khách đoàn C, $1$ khách đoàn D) vào một hàng gồm $6$ ghế kê liền nhau. Gọi $\dfrac{q}{p}$ (phân số tối giản) là xác suất để KHÔNG có hai khách cùng lớp (cùng nhóm) nào ngồi cạnh nhau. Tính $p + q$.

Câu 72.Xếp ngẫu nhiên $6$ nhân viên của một đoàn nhân viên (gồm $3$ nhân viên phòng Kinh doanh, $3$ nhân viên phòng Kỹ thuật) vào một hàng gồm $6$ ghế kê liền nhau. Gọi $\dfrac{q}{p}$ (phân số tối giản) là xác suất để KHÔNG có hai nhân viên cùng lớp (cùng nhóm) nào ngồi cạnh nhau. Tính $p + q$.

27. VDC: Phân phối $N$ vật giống nhau cho $k$ đối tượng (nhóm), mỗi đối tượng $i$ phải nhận ít nhất $m_i$ vậtTrả lời ngắn`stars_and_bars_distribution_with_min`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 73.Cần chia sách giáo khoa cho 3 thư viện cơ sở: phân phối $18$ thùng sách (các thùng sách giống hệt nhau) cho $3$ thư viện A, B và C. Theo quy định: thư viện $A$ phải nhận ít nhất $5$ thùng sách; thư viện $B$ phải nhận ít nhất $2$ thùng sách; thư viện $C$ phải nhận ít nhất $3$ thùng sách. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách phân bổ $18$ thùng sách này để thỏa mãn các yêu cầu trên?

Câu 74.Cần phân bổ vật tư y tế cho 3 trạm: phân phối $15$ thùng vật tư (các thùng vật tư giống hệt nhau) cho $3$ trạm A, B và C. Theo quy định: trạm $A$ phải nhận ít nhất $4$ thùng vật tư; trạm $B$ phải nhận ít nhất $3$ thùng vật tư; trạm $C$ phải nhận ít nhất $1$ thùng vật tư. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách phân bổ $15$ thùng vật tư này để thỏa mãn các yêu cầu trên?

Câu 75.Cần chia bánh trung thu cho 3 nhóm thiếu nhi: phân phối $12$ hộp bánh (các hộp bánh giống hệt nhau) cho $3$ nhóm A, B và C. Theo quy định: nhóm $A$ phải nhận ít nhất $2$ hộp bánh; nhóm $B$ phải nhận ít nhất $2$ hộp bánh; nhóm $C$ phải nhận ít nhất $2$ hộp bánh. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách phân bổ $12$ hộp bánh này để thỏa mãn các yêu cầu trên?

28. VDC: Phân phối $N$ vật giống nhau cho $k$ nhóm (mỗi nhóm $\ge 1$)Trả lời ngắn`stars_and_bars_probability_one_group`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 76.Một hệ thống tự động chia bộ tài liệu cho 3 phòng ban (các bộ tài liệu giống hệt nhau): phân phối ngẫu nhiên $6$ bộ tài liệu cho $3$ phòng ban (đánh số $1, 2, \ldots, 3$). Hệ thống đảm bảo mỗi phòng ban đều nhận được ít nhất $1$ bộ tài liệu. Tính xác suất để phòng ban số $1$ nhận được đúng $2$ bộ tài liệu (viết kết quả dưới dạng số thập phân). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 77.Một hệ thống tự động phân công đề tài cho 5 nhóm sinh viên (các đề tài giống hệt nhau): phân phối ngẫu nhiên $10$ đề tài cho $5$ nhóm (đánh số $1, 2, \ldots, 5$). Hệ thống đảm bảo mỗi nhóm đều nhận được ít nhất $1$ đề tài. Tính xác suất để nhóm số $1$ nhận được đúng $2$ đề tài (viết kết quả dưới dạng số thập phân). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 78.Một hệ thống tự động phân phối gói dữ liệu cho máy chủ (các gói dữ liệu giống hệt nhau): phân phối ngẫu nhiên $7$ gói dữ liệu cho $4$ máy chủ (đánh số $1, 2, \ldots, 4$). Hệ thống đảm bảo mỗi máy chủ đều nhận được ít nhất $1$ gói dữ liệu. Tính xác suất để máy chủ số $1$ nhận được đúng $2$ gói dữ liệu (viết kết quả dưới dạng số thập phân). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

29. SA: chọn $10$ số từ $\{1;\ldots;N\}$ gán vào bậc thang $2$ hàng (mỗi hàng $5$ ô) với mọi số hàng trên $<$ mọi số hàng dưới, mỗi hàng tăng trái→phải, và $A, B, C, D$ lập cấp số cộngTrả lời ngắn`young_tableau_two_rows_abcd_arithmetic_count`(2 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(2 câu)

Câu 79.Từ tập hợp các số tự nhiên liên tiếp $\{1; 2; 3; \ldots; 25; 26\}$ cần chọn ra $10$ số phân biệt để gán vào $10$ ô vuông đơn vị xếp thành một bảng bậc thang gồm $2$ hàng, mỗi hàng $5$ ô (như hình vẽ), trong đó $A$ là ô thứ $1$ hàng trên, $B$ là ô thứ $3$ hàng trên, $C$ là ô thứ $1$ hàng dưới, $D$ là ô thứ $5$ hàng dưới. Gọi $T$ là số cách chọn số sao cho mọi số ở hàng trên luôn nhỏ hơn mọi số ở hàng dưới, mọi số bên trái luôn nhỏ hơn mọi số bên phải cùng hàng, đồng thời các số thuộc các ô $A$, $B$, $C$, $D$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị $\dfrac{T}{8}$ bằng bao nhiêu?

Câu 80.Từ tập hợp các số tự nhiên liên tiếp $\{1; 2; 3; \ldots; 23; 24\}$ cần chọn ra $10$ số phân biệt để gán vào $10$ ô vuông đơn vị xếp thành một bảng bậc thang gồm $2$ hàng, mỗi hàng $5$ ô (như hình vẽ), trong đó $A$ là ô thứ $1$ hàng trên, $B$ là ô thứ $3$ hàng trên, $C$ là ô thứ $1$ hàng dưới, $D$ là ô thứ $5$ hàng dưới. Gọi $T$ là số cách chọn số sao cho mọi số ở hàng trên luôn nhỏ hơn mọi số ở hàng dưới, mọi số bên trái luôn nhỏ hơn mọi số bên phải cùng hàng, đồng thời các số thuộc các ô $A$, $B$, $C$, $D$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị $\dfrac{T}{6}$ bằng bao nhiêu?

Công thức

§1. Phương pháp(2)

§2. Mẹo(1)

Bài tập

1. VD cao: chọn $k$ người từ $m + w$, có ít nhất 1 nữTrắc nghiệmcombination_at_least_one_female(3 câu)

2. Áp dụng $C_n^k = C_n^{n-k}$ — chuyển dạng tổ hợpTrắc nghiệmcombination_identity(3 câu)

3. Tính giá trị $C_n^k = \binom{n}{k}$Trắc nghiệmcombination_value(3 câu)

4. Tính $A_n^k$Trắc nghiệmpermutation_value(3 câu)

5. Bài toán đếm: chọn $k$ học sinh từ $n$ → $C_n^k$Trắc nghiệmword_choose_team(3 câu)

6. Chọn ban cán sự gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thư ký từ $n$ học sinh → $A_n^3$Trắc nghiệmword_class_officers(3 câu)

7. Cho lớp có $n$ học sinh, chọn $k$ học sinh — xét chỉnh hợp / tổ hợpĐúng / Saiperm_comb_facts(3 câu)

8. Cho nhóm $n$ người, chọn ban gồm trưởng/phó/thư kí (chỉnh hợp) hoặc ban không phân biệt vai trò (tổ hợp)Đúng / Saiperm_comb_facts2(3 câu)

9. Số tổ hợp $C_n^k$Trả lời ngắncombination_only_sa(3 câu)

10. Tính $C_n^k$ hoặc $A_n^k$Trả lời ngắncompute_combination(3 câu)

11. VDC++ (HSG): Đếm số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau lập từ tập $\{1, 2, \ldots, 9\}$, đồng thời chia hết cho $11$ và có tổng các chữ số chia hết cho $11$Trả lời ngắncount_4digits_div11_and_sumdigits_div11(1 câu)

12. VDC++ (SA): Cho tập $S = \{1; 2; \ldots; 15\}$Trả lời ngắncount_6tuples_log_int_symmetric_partition(1 câu)

13. VDC: Đếm số tự nhiên có $7$ chữ số đôi một khác nhau, chẵn, và chứa các chữ số $2, 3, 4$ với thứ tự $2 \to 3 \to 4$Trả lời ngắncount_7digit_even_with_ordered_234(1 câu)

14. Đếm số có 8 chữ số đôi một khác nhau từ tập {1..8} chia hết cho một số $D \in \{1111, 9999, 99\}$ — biến thể từ đề HSG Casio Thanh Hoá 2017Trả lời ngắncount_8digits_divisible_1111(3 câu)

15. SA: Trên dãy $n$ ô, đặt khối P gồm $w$ ô liên tiếp, khối Q gồm $d$ ô sao cho không hai ô liền kề, khối R gồm $s$ ô tự do; ba khối đôi một rời nhauTrả lời ngắncount_blocks_consecutive_and_nonadjacent_on_line(3 câu)

16. SA: như trên nhưng THÊM ràng buộc các ô của khối Q (không-liền-kề) không được nằm cạnh khối P (liên tiếp)Trả lời ngắncount_blocks_with_separation_constraint(3 câu)

17. SA (câu phụ dễ hơn): Đếm số cách chọn $d$ ô sao cho không có hai ô liền kề nhau trong một dãy $k$ ô liên tiếp $= C_{k-d+1}^{d}$Trả lời ngắncount_nonadjacent_selection_in_k_slots(3 câu)

18. SA: Xếp ngẫu nhiên $n = 2m$ người vào bàn dài có $n$ ghế chia thành $m$ cặp đối diệnTrả lời ngắnfacing_table_no_same_class_opposite_prob(3 câu)

19. SA: xếp $n=2m$ người vào bàn dài $m$ cặp ghế đối diệnTrả lời ngắnfacing_table_no_same_class_opposite_prob_value(3 câu)

20. SA (chu trình Hamilton / TSP): xuất phát từ một điểm gốc, thăm bốn đỉnh còn lại MỖI đỉnh đúng một lần rồi quay về gốc; tìm tổng độ dài quãng đường NGẮN NHẤTTrả lời ngắnhamiltonian_min_round_trip_four_nodes_sa(3 câu)

21. SA: $n$ nam (gồm $H$) và $n$ nữ (gồm $L$) xếp xen kẽ, $H, L$ không liền nhauTrả lời ngắnpermutation_alternating_with_restriction(3 câu)

22. SA: xếp $5$ số phân biệt từ $\{1;\ldots;N\}$ vào $A,B,C,D,E$ với $(A,B,C),(C,D,E)$ là cấp số cộng và $(A,C,E)$ là cấp số nhânTrả lời ngắnplace_five_numbers_ap_ap_gp_probability(3 câu)

23. SA: con châu chấu nhảy $O \to C(a;b;c)$ theo $\vec i, \vec j, \vec k$, không nhảy hai lần liên tiếp theo $\vec k$Trả lời ngắnsa_grasshopper_lattice_paths_no_consec_k(3 câu)

24. SA (biến cố bù): Xếp ngẫu nhiên $n$ người vào hàng/bànTrả lời ngắnseating_at_least_one_same_class_adjacent_prob(3 câu)

26. SA: Xếp ngẫu nhiên $n$ người (gồm vài nhóm cùng lớp) vào một hàng $n$ ghếTrả lời ngắnseating_row_no_same_class_adjacent_prob(3 câu)

27. VDC: Phân phối $N$ vật giống nhau cho $k$ đối tượng (nhóm), mỗi đối tượng $i$ phải nhận ít nhất $m_i$ vậtTrả lời ngắnstars_and_bars_distribution_with_min(3 câu)

28. VDC: Phân phối $N$ vật giống nhau cho $k$ nhóm (mỗi nhóm $\ge 1$)Trả lời ngắnstars_and_bars_probability_one_group(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. VD cao: chọn $k$ người từ $m + w$, có ít nhất 1 nữTrắc nghiệm`combination_at_least_one_female`(3 câu)

2. Áp dụng $C_n^k = C_n^{n-k}$ — chuyển dạng tổ hợpTrắc nghiệm`combination_identity`(3 câu)

3. Tính giá trị $C_n^k = \binom{n}{k}$Trắc nghiệm`combination_value`(3 câu)

4. Tính $A_n^k$Trắc nghiệm`permutation_value`(3 câu)

5. Bài toán đếm: chọn $k$ học sinh từ $n$ → $C_n^k$Trắc nghiệm`word_choose_team`(3 câu)

6. Chọn ban cán sự gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thư ký từ $n$ học sinh → $A_n^3$Trắc nghiệm`word_class_officers`(3 câu)

7. Cho lớp có $n$ học sinh, chọn $k$ học sinh — xét chỉnh hợp / tổ hợpĐúng / Sai`perm_comb_facts`(3 câu)

8. Cho nhóm $n$ người, chọn ban gồm trưởng/phó/thư kí (chỉnh hợp) hoặc ban không phân biệt vai trò (tổ hợp)Đúng / Sai`perm_comb_facts2`(3 câu)

9. Số tổ hợp $C_n^k$Trả lời ngắn`combination_only_sa`(3 câu)

10. Tính $C_n^k$ hoặc $A_n^k$Trả lời ngắn`compute_combination`(3 câu)

11. VDC++ (HSG): Đếm số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau lập từ tập $\{1, 2, \ldots, 9\}$, đồng thời chia hết cho $11$ và có tổng các chữ số chia hết cho $11$Trả lời ngắn`count_4digits_div11_and_sumdigits_div11`(1 câu)

12. VDC++ (SA): Cho tập $S = \{1; 2; \ldots; 15\}$Trả lời ngắn`count_6tuples_log_int_symmetric_partition`(1 câu)

13. VDC: Đếm số tự nhiên có $7$ chữ số đôi một khác nhau, chẵn, và chứa các chữ số $2, 3, 4$ với thứ tự $2 \to 3 \to 4$Trả lời ngắn`count_7digit_even_with_ordered_234`(1 câu)

14. Đếm số có 8 chữ số đôi một khác nhau từ tập {1..8} chia hết cho một số $D \in \{1111, 9999, 99\}$ — biến thể từ đề HSG Casio Thanh Hoá 2017Trả lời ngắn`count_8digits_divisible_1111`(3 câu)

15. SA: Trên dãy $n$ ô, đặt khối P gồm $w$ ô liên tiếp, khối Q gồm $d$ ô sao cho không hai ô liền kề, khối R gồm $s$ ô tự do; ba khối đôi một rời nhauTrả lời ngắn`count_blocks_consecutive_and_nonadjacent_on_line`(3 câu)

16. SA: như trên nhưng THÊM ràng buộc các ô của khối Q (không-liền-kề) không được nằm cạnh khối P (liên tiếp)Trả lời ngắn`count_blocks_with_separation_constraint`(3 câu)

17. SA (câu phụ dễ hơn): Đếm số cách chọn $d$ ô sao cho không có hai ô liền kề nhau trong một dãy $k$ ô liên tiếp $= C_{k-d+1}^{d}$Trả lời ngắn`count_nonadjacent_selection_in_k_slots`(3 câu)

18. SA: Xếp ngẫu nhiên $n = 2m$ người vào bàn dài có $n$ ghế chia thành $m$ cặp đối diệnTrả lời ngắn`facing_table_no_same_class_opposite_prob`(3 câu)

19. SA: xếp $n=2m$ người vào bàn dài $m$ cặp ghế đối diệnTrả lời ngắn`facing_table_no_same_class_opposite_prob_value`(3 câu)

20. SA (chu trình Hamilton / TSP): xuất phát từ một điểm gốc, thăm bốn đỉnh còn lại MỖI đỉnh đúng một lần rồi quay về gốc; tìm tổng độ dài quãng đường NGẮN NHẤTTrả lời ngắn`hamiltonian_min_round_trip_four_nodes_sa`(3 câu)

21. SA: $n$ nam (gồm $H$) và $n$ nữ (gồm $L$) xếp xen kẽ, $H, L$ không liền nhauTrả lời ngắn`permutation_alternating_with_restriction`(3 câu)

22. SA: xếp $5$ số phân biệt từ $\{1;\ldots;N\}$ vào $A,B,C,D,E$ với $(A,B,C),(C,D,E)$ là cấp số cộng và $(A,C,E)$ là cấp số nhânTrả lời ngắn`place_five_numbers_ap_ap_gp_probability`(3 câu)

23. SA: con châu chấu nhảy $O \to C(a;b;c)$ theo $\vec i, \vec j, \vec k$, không nhảy hai lần liên tiếp theo $\vec k$Trả lời ngắn`sa_grasshopper_lattice_paths_no_consec_k`(3 câu)

24. SA (biến cố bù): Xếp ngẫu nhiên $n$ người vào hàng/bànTrả lời ngắn`seating_at_least_one_same_class_adjacent_prob`(3 câu)

26. SA: Xếp ngẫu nhiên $n$ người (gồm vài nhóm cùng lớp) vào một hàng $n$ ghếTrả lời ngắn`seating_row_no_same_class_adjacent_prob`(3 câu)

27. VDC: Phân phối $N$ vật giống nhau cho $k$ đối tượng (nhóm), mỗi đối tượng $i$ phải nhận ít nhất $m_i$ vậtTrả lời ngắn`stars_and_bars_distribution_with_min`(3 câu)

28. VDC: Phân phối $N$ vật giống nhau cho $k$ nhóm (mỗi nhóm $\ge 1$)Trả lời ngắn`stars_and_bars_probability_one_group`(3 câu)