Xác suất có điều kiện

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Cho 2 biến cố $A, B$ với $P(B) > 0$. Xác suất của $A$ với điều kiện $B$: $$P(A | B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}.$$ Ý nghĩa: xác suất $A$ xảy ra khi biết $B$ đã xảy ra.

§2. Định lý(2)

2.1

Công thức Bayes

Cho hệ đầy đủ $B_1, \dots, B_n$ và biến cố $A$ với $P(A) > 0$: $$P(B_k | A) = \dfrac{P(B_k) \cdot P(A | B_k)}{P(A)} = \dfrac{P(B_k) \cdot P(A | B_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A | B_i)}.$$ Ý nghĩa: cập nhật xác suất "nguyên nhân $B_k$" sau khi biết "hậu quả $A$" đã xảy ra.

2.2

Công thức xác suất toàn phần

Cho các biến cố $B_1, B_2, \dots, B_n$ tạo thành hệ đầy đủ (đôi một xung khắc + tổng = $\Omega$). Với biến cố $A$ bất kỳ: $$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A | B_i).$$

§3. Công thức(1)

3.1

Quy tắc nhân tổng quát

$$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A | B) = P(A) \cdot P(B | A).$$ Tổng quát cho $n$ biến cố: $$P(A_1 \cap \dots \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdots P(A_n | A_1 \cap \dots \cap A_{n-1}).$$

§4. Phương pháp(1)

4.1

Quy trình giải bài toán có điều kiện

Bước 1. Liệt kê đầy đủ các biến cố + xác suất cho trước. Bước 2. Phân biệt:

"Biết $B$ xảy ra, tính xác suất $A$" → $P(A|B)$.
"$A$ và $B$ đều xảy ra" → $P(A \cap B)$.

Bước 3. Áp dụng công thức:

$P(A|B) = P(A \cap B) / P(B)$ (định nghĩa).
Bayes: tính $P(\text{nguyên nhân} | \text{hậu quả})$.
Toàn phần: tổng các nhánh trường hợp.

Bài tập

1. VDC: Bayes 3 nguồn — sản phẩm/bệnh phẩm/email lấy ngẫu nhiên có đặc điểm $L$ thuộc nguồn nào? Stem dài ≥ 6 dòng, lời giải có cây xác suất + công thức Bayes 3 tử sốTrắc nghiệm`bayes_three_sources_realistic`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 1.Một nhà máy lắp ráp linh kiện điện tử nhập nguyên liệu từ ba nhà cung cấp X, Y và Z với tỉ lệ lần lượt là $X: 50\%$, $Y: 30\%$, $Z: 20\%$ (tổng cộng $100\%$). Theo thống kê chất lượng, tỉ lệ linh kiện bị lỗi từ nhà cung cấp X, Y, Z tương ứng là $X: 1\%$, $Y: 2\%$, $Z: 4\%$. Lấy ngẫu nhiên một linh kiện từ kho thành phẩm và kiểm tra thì thấy linh kiện bị lỗi. Tính xác suất linh kiện đó đến từ nhà cung cấp $Z$ (viết kết quả dưới dạng phân số tối giản).

A.$P = \dfrac{8}{19}$

B.$P = \dfrac{5}{19}$

C.$P = \dfrac{1}{25}$

D.$P = \dfrac{1}{5}$

Câu 2.Một nhà máy lắp ráp linh kiện điện tử nhập nguyên liệu từ ba nhà cung cấp X, Y và Z với tỉ lệ lần lượt là $X: 30\%$, $Y: 45\%$, $Z: 25\%$ (tổng cộng $100\%$). Theo thống kê chất lượng, tỉ lệ linh kiện bị lỗi từ nhà cung cấp X, Y, Z tương ứng là $X: 1\%$, $Y: 2\%$, $Z: 3\%$. Lấy ngẫu nhiên một linh kiện từ kho thành phẩm và kiểm tra thì thấy linh kiện bị lỗi. Tính xác suất linh kiện đó đến từ nhà cung cấp $Y$ (viết kết quả dưới dạng phân số tối giản).

A.$P = \dfrac{6}{13}$

B.$P = \dfrac{5}{13}$

C.$P = \dfrac{9}{20}$

D.$P = \dfrac{1}{50}$

Câu 3.Một nhà máy lắp ráp linh kiện điện tử nhập nguyên liệu từ ba nhà cung cấp X, Y và Z với tỉ lệ lần lượt là $X: 40\%$, $Y: 35\%$, $Z: 25\%$ (tổng cộng $100\%$). Theo thống kê chất lượng, tỉ lệ linh kiện bị lỗi từ nhà cung cấp X, Y, Z tương ứng là $X: 2\%$, $Y: 3\%$, $Z: 5\%$. Lấy ngẫu nhiên một linh kiện từ kho thành phẩm và kiểm tra thì thấy linh kiện bị lỗi. Tính xác suất linh kiện đó đến từ nhà cung cấp $Z$ (viết kết quả dưới dạng phân số tối giản).

A.$P = \dfrac{8}{31}$

B.$P = \dfrac{1}{20}$

C.$P = \dfrac{25}{62}$

D.$P = \dfrac{1}{4}$

2. VD cao: Bayes — sản phẩm lỗi đến từ nhà máy nào?Trắc nghiệm`bayes_two_factories_defective`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Một xí nghiệp có hai nhà máy A, B sản xuất cùng loại sản phẩm. Nhà máy A sản xuất $40\%$ tổng sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm $3\%$; nhà máy B sản xuất phần còn lại với tỉ lệ phế phẩm $2\%.$ Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm và phát hiện nó bị lỗi. Tính xác suất sản phẩm đó do nhà máy A sản xuất.

A.$\dfrac{1}{2}$

B.$\dfrac{2}{5}$

C.$\dfrac{1}{50}$

D.$\dfrac{3}{100}$

Câu 5.Một xí nghiệp có hai nhà máy A, B sản xuất cùng loại sản phẩm. Nhà máy A sản xuất $60\%$ tổng sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm $2\%$; nhà máy B sản xuất phần còn lại với tỉ lệ phế phẩm $5\%.$ Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm và phát hiện nó bị lỗi. Tính xác suất sản phẩm đó do nhà máy A sản xuất.

A.$\dfrac{3}{5}$

B.$\dfrac{1}{50}$

C.$\dfrac{3}{8}$

D.$\dfrac{1}{20}$

Câu 6.Một xí nghiệp có hai nhà máy A, B sản xuất cùng loại sản phẩm. Nhà máy A sản xuất $40\%$ tổng sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm $3\%$; nhà máy B sản xuất phần còn lại với tỉ lệ phế phẩm $2\%.$ Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm và phát hiện nó bị lỗi. Tính xác suất sản phẩm đó do nhà máy A sản xuất.

A.$\dfrac{1}{2}$

B.$\dfrac{3}{100}$

C.$\dfrac{2}{5}$

D.$\dfrac{1}{50}$

3. VDC++ (MC): Xét nghiệm y khoa 2 lần độc lập đều dương tính — cập nhật posterior bằng Bayes 2 lần liên tiếpTrắc nghiệm`bayes_two_independent_tests_medical`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 7.Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, tỉ lệ người mắc bệnh X trong cộng đồng là $0,2\%$. Một bộ xét nghiệm nhanh có độ nhạy $100\%$ (mọi người mắc bệnh X đều cho kết quả dương tính) và độ đặc hiệu $94\%$ (có $6\%$ người không mắc bệnh X vẫn cho phản ứng dương tính giả). Một người được chọn ngẫu nhiên trong đợt kiểm tra và được xét nghiệm hai lần độc lập, cả hai lần đều cho kết quả dương tính. Tính xác suất người đó thực sự mắc bệnh X (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị phần trăm).

A.khoảng $64\%$

B.khoảng $36\%$

C.khoảng $72\%$

D.khoảng $3\%$

Câu 8.Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, tỉ lệ người mắc bệnh Y trong cộng đồng là $1\%$. Một bộ xét nghiệm nhanh có độ nhạy $100\%$ (mọi người mắc bệnh Y đều cho kết quả dương tính) và độ đặc hiệu $95\%$ (có $5\%$ người không mắc bệnh Y vẫn cho phản ứng dương tính giả). Một người được chọn ngẫu nhiên trong đợt kiểm tra và được xét nghiệm hai lần độc lập, cả hai lần đều cho kết quả dương tính. Tính xác suất người đó thực sự mắc bệnh Y (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị phần trăm).

A.khoảng $17\%$

B.khoảng $80\%$

C.khoảng $60\%$

D.khoảng $20\%$

Câu 9.Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, tỉ lệ người mắc bệnh Z trong cộng đồng là $0,5\%$. Một bộ xét nghiệm nhanh có độ nhạy $100\%$ (mọi người mắc bệnh Z đều cho kết quả dương tính) và độ đặc hiệu $90\%$ (có $10\%$ người không mắc bệnh Z vẫn cho phản ứng dương tính giả). Một người được chọn ngẫu nhiên trong đợt kiểm tra và được xét nghiệm hai lần độc lập, cả hai lần đều cho kết quả dương tính. Tính xác suất người đó thực sự mắc bệnh Z (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị phần trăm).

A.khoảng $67\%$

B.khoảng $28\%$

C.khoảng $5\%$

D.khoảng $33\%$

4. Quan sát sơ đồ cây xác suất 2 nhánh, đọc xác suất có điều kiệnTrắc nghiệm`conditional_from_tree`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Quan sát sơ đồ cây xác suất bốc 2 viên không hoàn lại trong hình. Đọc xác suất viên thứ hai là đỏ biết viên thứ nhất là đỏ.

Sơ đồ cây bốc 2 viên không hoàn lại (6 đỏ, 4 trắng)

A.$P = \dfrac{5}{9}$

B.$P = \dfrac{3}{5}$

C.$P = \dfrac{4}{9}$

D.$P = \dfrac{2}{3}$

Câu 11.Quan sát sơ đồ cây xác suất bốc 2 viên không hoàn lại trong hình. Đọc xác suất viên thứ hai là đỏ biết viên thứ nhất là đỏ.

Sơ đồ cây bốc 2 viên không hoàn lại (5 đỏ, 4 trắng)

A.$P = \dfrac{5}{9}$

B.$P = \dfrac{1}{2}$

C.$P = \dfrac{3}{2}$

D.$P = \dfrac{5}{8}$

Câu 12.Quan sát sơ đồ cây xác suất bốc 2 viên không hoàn lại trong hình. Đọc xác suất viên thứ hai là đỏ biết viên thứ nhất là đỏ.

Sơ đồ cây bốc 2 viên không hoàn lại (4 đỏ, 6 trắng)

A.$P = \dfrac{1}{3}$

B.$P = \dfrac{2}{5}$

C.$P = \dfrac{4}{9}$

D.$P = \dfrac{2}{3}$

5. Tính $P(A|B)$ cho bốc viên bi từ hộpTrắc nghiệm`conditional_probability_basic`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Hộp có $5$ viên đỏ và $8$ viên trắng. Bốc lần lượt 2 viên không hoàn lại. Tính xác suất viên thứ hai là đỏ, biết viên thứ nhất là đỏ.

A.$P = \dfrac{5}{12}$

B.$P = \dfrac{5}{13}$

C.$P = \dfrac{1}{3}$

D.$P = \dfrac{2}{3}$

Câu 14.Hộp có $6$ viên đỏ và $8$ viên trắng. Bốc lần lượt 2 viên không hoàn lại. Tính xác suất viên thứ hai là đỏ, biết viên thứ nhất là đỏ.

A.$P = \dfrac{6}{13}$

B.$P = \dfrac{3}{7}$

C.$P = \dfrac{8}{13}$

D.$P = \dfrac{5}{13}$

Câu 15.Hộp có $7$ viên đỏ và $6$ viên trắng. Bốc lần lượt 2 viên không hoàn lại. Tính xác suất viên thứ hai là đỏ, biết viên thứ nhất là đỏ.

A.$P = \dfrac{3}{2}$

B.$P = \dfrac{1}{2}$

C.$P = \dfrac{7}{13}$

D.$P = \dfrac{7}{12}$

6. Cho $P(B)$ và $P(A \cap B)$, tính $P(A|B) = P(A \cap B)/P(B)$Trắc nghiệm`conditional_via_formula`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho hai biến cố $A, B$ với $P(B) = \dfrac{3}{4}$ và $P(A \cap B) = \dfrac{2}{9}$. Tính $P(A|B)$.

A.$P(A|B) = \dfrac{35}{36}$

B.$P(A|B) = \dfrac{8}{27}$

C.$P(A|B) = \dfrac{1}{6}$

D.$P(A|B) = \dfrac{27}{8}$

Câu 17.Cho hai biến cố $A, B$ với $P(B) = \dfrac{1}{3}$ và $P(A \cap B) = \dfrac{2}{7}$. Tính $P(A|B)$.

A.$P(A|B) = \dfrac{6}{7}$

B.$P(A|B) = \dfrac{2}{21}$

C.$P(A|B) = \dfrac{13}{21}$

D.$P(A|B) = \dfrac{7}{6}$

Câu 18.Cho hai biến cố $A, B$ với $P(B) = \dfrac{3}{4}$ và $P(A \cap B) = \dfrac{1}{5}$. Tính $P(A|B)$.

A.$P(A|B) = \dfrac{19}{20}$

B.$P(A|B) = \dfrac{3}{20}$

C.$P(A|B) = \dfrac{4}{15}$

D.$P(A|B) = \dfrac{15}{4}$

7. Tung 1 con xúc xắc — gọi $A$ = "ra số chẵn", $B$ = "ra số $\geq 4$"Đúng / Sai`cond_prob_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Tung một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Gọi $A$ là biến cố "số chấm xuất hiện là số chẵn" và $B$ là biến cố "số chấm xuất hiện không nhỏ hơn $4$". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(B) = \dfrac{1}{2}$.

b)$P(B | A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{2}{3}$.

c)$P(A | B) = P(A)$ vì $A, B$ độc lập.

d)$P(A | A) = 1$.

Câu 20.Tung một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Gọi $A$ là biến cố "số chấm xuất hiện là số chẵn" và $B$ là biến cố "số chấm xuất hiện không nhỏ hơn $4$". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(A | B) = P(A)$ vì $A, B$ độc lập.

b)$P(B) = \dfrac{1}{2}$.

c)$P(A | B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{2}{3}$.

d)$P(A) = \dfrac{1}{2}$.

Câu 21.Tung một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Gọi $A$ là biến cố "số chấm xuất hiện là số chẵn" và $B$ là biến cố "số chấm xuất hiện không nhỏ hơn $4$". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(A | A) = 1$.

b)$P(B) = \dfrac{1}{2}$.

c)$P(A | B) = P(A)$ vì $A, B$ độc lập.

d)$P(A | B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{2}{3}$.

8. Hộp có $n$ bi đỏ, $m$ bi xanh — rút 2 bi không hoàn lạiĐúng / Sai`cond_prob_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Một hộp có $3$ bi đỏ và $4$ bi xanh. Rút ngẫu nhiên 2 bi không hoàn lại. Gọi $A$ là biến cố "bi thứ nhất là đỏ" và $B$ là biến cố "bi thứ hai là đỏ". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(A|B) + P(\overline{A}|B) = 1$.

b)$P(A) = \dfrac{3}{7}$ với $A$ là biến cố "bi thứ nhất là đỏ".

c)Xác suất có điều kiện luôn lớn hơn xác suất không điều kiện.

d)$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B | A)$.

Câu 23.Một hộp có $5$ bi đỏ và $4$ bi xanh. Rút ngẫu nhiên 2 bi không hoàn lại. Gọi $A$ là biến cố "bi thứ nhất là đỏ" và $B$ là biến cố "bi thứ hai là đỏ". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Định lý Bayes: $P(A|B) = \dfrac{P(B|A) P(A)}{P(B)}$.

b)Khi $B$ chắc chắn xảy ra ($P(B) = 1$), $P(A|B) = P(A)$.

c)$P(A | B) = P(A)$ luôn đúng.

d)$P(A) = \dfrac{5}{9}$ với $A$ là biến cố "bi thứ nhất là đỏ".

Câu 24.Một hộp có $4$ bi đỏ và $4$ bi xanh. Rút ngẫu nhiên 2 bi không hoàn lại. Gọi $A$ là biến cố "bi thứ nhất là đỏ" và $B$ là biến cố "bi thứ hai là đỏ". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(A) = \dfrac{4}{8}$ với $A$ là biến cố "bi thứ nhất là đỏ".

b)Xác suất có điều kiện luôn lớn hơn xác suất không điều kiện.

c)$P(B | A) = \dfrac{3}{7}$.

d)$P(A | B) = P(A)$ luôn đúng.

9. TF: Hệ thống tự động \"đánh dấu\" một tỉ lệ $m$ số bài đăngĐúng / Sai`content_moderation_flag_violation_total_bayes_facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 25.Một mạng xã hội sử dụng hệ thống tự động để kiểm duyệt bài đăng. Hệ thống "đánh dấu" $40\%$ số bài đăng để chờ kiểm tra thủ công. Trong số các bài bị đánh dấu, có $8\%$ thực ra không vi phạm (bị đánh dấu nhầm). Trong số các bài KHÔNG bị đánh dấu, vẫn có $6\%$ là bài vi phạm (bị bỏ sót). Chọn ngẫu nhiên một bài đăng. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Xác suất chọn được bài đăng không bị hệ thống đánh dấu bằng $0,6$.

b)Xác suất chọn được bài đăng vi phạm, biết rằng nó không bị đánh dấu bằng $0,08$.

c)Xác suất chọn được bài đăng vi phạm bằng $0,404$.

d)Xác suất chọn được bài đăng bị đánh dấu, biết rằng nó là bài đăng vi phạm xấp xỉ bằng $0,91$.

Câu 26.Một mạng xã hội sử dụng hệ thống tự động để kiểm duyệt bài đăng. Hệ thống "đánh dấu" $30\%$ số bài đăng để chờ kiểm tra thủ công. Trong số các bài bị đánh dấu, có $10\%$ thực ra không vi phạm (bị đánh dấu nhầm). Trong số các bài KHÔNG bị đánh dấu, vẫn có $5\%$ là bài vi phạm (bị bỏ sót). Chọn ngẫu nhiên một bài đăng. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Xác suất chọn được bài đăng không bị hệ thống đánh dấu bằng $0,7$.

b)Xác suất chọn được bài đăng vi phạm, biết rằng nó không bị đánh dấu bằng $0,1$.

c)Xác suất chọn được bài đăng vi phạm bằng $0,305$.

d)Xác suất chọn được bài đăng bị đánh dấu, biết rằng nó là bài đăng vi phạm xấp xỉ bằng $0,89$.

Câu 27.Một mạng xã hội sử dụng hệ thống tự động để kiểm duyệt bài đăng. Hệ thống "đánh dấu" $25\%$ số bài đăng để chờ kiểm tra thủ công. Trong số các bài bị đánh dấu, có $12\%$ thực ra không vi phạm (bị đánh dấu nhầm). Trong số các bài KHÔNG bị đánh dấu, vẫn có $6\%$ là bài vi phạm (bị bỏ sót). Chọn ngẫu nhiên một bài đăng. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Xác suất chọn được bài đăng không bị hệ thống đánh dấu bằng $0,75$.

b)Xác suất chọn được bài đăng vi phạm, biết rằng nó không bị đánh dấu bằng $0,12$.

c)Xác suất chọn được bài đăng vi phạm bằng $0,265$.

d)Xác suất chọn được bài đăng bị đánh dấu, biết rằng nó là bài đăng vi phạm xấp xỉ bằng $0,83$.

10. TF: thêm mệnh đề kiểm tra $A, B$ độc lập (so $P(A\cap B)$ với $P(A)\cdot P(B)$, hoặc so $P(B\mid A)$ với $P(B)$)Đúng / Sai`crosstab_independence_check_facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 28.Khảo sát $1200$ học sinh, kết quả ghi trong bảng phân loại hai chiều sau (gọi $A$ là biến cố "học sinh ở trong câu lạc bộ thể thao", $B$ là biến cố "học sinh biết bơi"): | Câu lạc bộ \ Bơi lội | Biết bơi | Không biết bơi | Tổng | | --- | ---: | ---: | ---: | | Trong CLB | 180 | 360 | 540 | | Ngoài CLB | 264 | 396 | 660 | | Tổng | 444 | 756 | 1200 | Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$P(A) = \dfrac{9}{20}$.

b)$P(A\cap B) = P(A) + P(B) = \dfrac{41}{50}$.

c)$P(B) = \dfrac{37}{100}$.

d)$P(A\cap B) = \dfrac{3}{20}$.

Câu 29.Khảo sát $1200$ học sinh, kết quả ghi trong bảng phân loại hai chiều sau (gọi $A$ là biến cố "học sinh ở thành thị", $B$ là biến cố "học sinh có xe đạp"): | Khu vực \ Phương tiện | Có xe đạp | Không có xe đạp | Tổng | | --- | ---: | ---: | ---: | | Thành thị | 200 | 400 | 600 | | Nông thôn | 300 | 300 | 600 | | Tổng | 500 | 700 | 1200 | Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = \dfrac{5}{24}$.

b)$P(B\mid A) = P(B)$.

c)$P(B) = \dfrac{5}{12}$.

d)$P(A\cap B) = P(A) + P(B) = \dfrac{11}{12}$.

Câu 30.Khảo sát $1000$ học sinh, kết quả ghi trong bảng phân loại hai chiều sau (gọi $A$ là biến cố "học sinh thuộc ban KHTN", $B$ là biến cố "học sinh có học IELTS"): | Ban học \ IELTS | Học IELTS | Không học IELTS | Tổng | | --- | ---: | ---: | ---: | | Ban KHTN | 200 | 200 | 400 | | Ban KHXH | 240 | 360 | 600 | | Tổng | 440 | 560 | 1000 | Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$P(B) = \dfrac{11}{25}$.

b)Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập.

c)$P(A\cap B) = P(A) + P(B) = \dfrac{21}{25}$.

d)$P(A) = \dfrac{2}{5}$.

11. TF (đảo điều kiện): thêm mệnh đề $P(A\mid B)$; bẫy lẫn $P(A\mid B)$ với $P(B\mid A)$Đúng / Sai`crosstab_reverse_conditional_facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 31.Khảo sát $1000$ học sinh, kết quả ghi trong bảng phân loại hai chiều sau (gọi $A$ là biến cố "học sinh ở trong câu lạc bộ thể thao", $B$ là biến cố "học sinh biết bơi"): | Câu lạc bộ \ Bơi lội | Biết bơi | Không biết bơi | Tổng | | --- | ---: | ---: | ---: | | Trong CLB | 240 | 360 | 600 | | Ngoài CLB | 160 | 240 | 400 | | Tổng | 400 | 600 | 1000 | Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$P(B\mid A) = \dfrac{2}{5}$.

b)$P(A\mid B) = \dfrac{6}{25}$.

c)$P(A\mid B) = P(B\mid A)$ (xác suất có điều kiện đối xứng).

d)$P(A) = \dfrac{3}{5}$.

Câu 32.Khảo sát $1200$ học sinh, kết quả ghi trong bảng phân loại hai chiều sau (gọi $A$ là biến cố "học sinh ở thành thị", $B$ là biến cố "học sinh có xe đạp"): | Khu vực \ Phương tiện | Có xe đạp | Không có xe đạp | Tổng | | --- | ---: | ---: | ---: | | Thành thị | 240 | 480 | 720 | | Nông thôn | 240 | 240 | 480 | | Tổng | 480 | 720 | 1200 | Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$P(A\mid B) = \dfrac{1}{5}$.

b)$P(B\mid A) = \dfrac{1}{3}$.

c)$P(A\cap B) = \dfrac{1}{5}$.

d)$P(A\mid B) = \dfrac{1}{2}$.

Câu 33.Khảo sát $800$ học sinh, kết quả ghi trong bảng phân loại hai chiều sau (gọi $A$ là biến cố "học sinh là nam", $B$ là biến cố "học sinh đạt"): | Giới tính \ Kết quả | Đạt | Không đạt | Tổng | | --- | ---: | ---: | ---: | | Nam | 192 | 128 | 320 | | Nữ | 192 | 288 | 480 | | Tổng | 384 | 416 | 800 | Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$P(A\cap B) = \dfrac{6}{25}$.

b)$P(A\mid B) = \dfrac{3}{5}$.

c)$P(A\mid B) = \dfrac{6}{25}$.

d)$P(A\mid B) = \dfrac{1}{2}$.

12. TF: tỉ lệ mắc $q$, độ nhạy $se$, độ đặc hiệu $sp$Đúng / Sai`diagnostic_test_prevalence_sensitivity_specificity_facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 34.Trong một cộng đồng, tỉ lệ người mắc bệnh sốt rét là $2\%$. Một loại xét nghiệm test nhanh có độ nhạy $99\%$ (tức xác suất cho kết quả dương tính khi người đó thực sự mắc bệnh) và độ đặc hiệu $96\%$ (tức xác suất cho kết quả âm tính khi người đó không mắc bệnh). Chọn ngẫu nhiên một người trong cộng đồng để xét nghiệm. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Nếu một người có kết quả dương tính thì xác suất người đó thực sự mắc bệnh xấp xỉ $0,3356$.

b)Xác suất một người được chọn ngẫu nhiên KHÔNG mắc bệnh là $0,98$.

c)Xác suất một lần xét nghiệm cho kết quả dương tính là $0,059$.

d)Nếu xét nghiệm hai lần độc lập đều dương tính thì gần như chắc chắn (xác suất $\ge 0{,}95$) người đó mắc bệnh.

Câu 35.Trong một cộng đồng, tỉ lệ người mắc bệnh viêm gan B là $2\%$. Một loại xét nghiệm máu có độ nhạy $95\%$ (tức xác suất cho kết quả dương tính khi người đó thực sự mắc bệnh) và độ đặc hiệu $95\%$ (tức xác suất cho kết quả âm tính khi người đó không mắc bệnh). Chọn ngẫu nhiên một người trong cộng đồng để xét nghiệm. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Nếu xét nghiệm hai lần độc lập và cả hai lần đều dương tính thì xác suất người đó mắc bệnh xấp xỉ $0,8805$.

b)Xác suất một lần xét nghiệm cho kết quả dương tính là $0,068$.

c)Nếu xét nghiệm hai lần độc lập đều dương tính thì gần như chắc chắn (xác suất $\ge 0{,}95$) người đó mắc bệnh.

d)Nếu một người có kết quả dương tính thì xác suất người đó thực sự mắc bệnh bằng $0,95$.

Câu 36.Trong một cộng đồng, tỉ lệ người mắc bệnh ung thư là $2\%$. Một loại xét nghiệm tầm soát có độ nhạy $90\%$ (tức xác suất cho kết quả dương tính khi người đó thực sự mắc bệnh) và độ đặc hiệu $90\%$ (tức xác suất cho kết quả âm tính khi người đó không mắc bệnh). Chọn ngẫu nhiên một người trong cộng đồng để xét nghiệm. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Xác suất một người được chọn ngẫu nhiên KHÔNG mắc bệnh là $0,98$.

b)Nếu xét nghiệm hai lần độc lập đều dương tính thì gần như chắc chắn (xác suất $\ge 0{,}95$) người đó mắc bệnh.

c)Xác suất một lần xét nghiệm cho kết quả dương tính là $0,9$.

d)Nếu xét nghiệm hai lần độc lập và cả hai lần đều dương tính thì xác suất người đó mắc bệnh xấp xỉ $0,6231$.

13. TF: cho $P(A) = p_A$, $P(B) = p_B$ (biến cố chồng nhau) và $P(B\mid A) = r$Đúng / Sai`overlap_events_intersection_complement_facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 37.Một ứng dụng giao đồ ăn khảo sát hành vi đặt món của khách hàng. Mọi khách hàng đều đã đặt ít nhất một món. Trong số đó, có $70\%$ người dùng đặt món ăn vào buổi tối, $50\%$ người dùng sử dụng mã giảm giá. Ngoài ra, trong nhóm người dùng đặt món ăn vào buổi tối, có $40\%$ người sử dụng mã giảm giá. Gọi $A$ là biến cố "Người dùng đặt món ăn vào buổi tối", $B$ là biến cố "Người dùng sử dụng mã giảm giá". Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$P\left(\overline{A}\right) = 0,3$.

b)$P\left(B \mid A\right) = 0,4$.

c)$P\left(AB\right) > 0,3$.

d)Xác suất một người chỉ không (đặt món ăn vào buổi tối) và không sử dụng mã giảm giá lớn hơn $0,1$.

Câu 38.Một nền tảng học trực tuyến tiến hành khảo sát nhu cầu học tập của người dùng. Kết quả cho thấy tất cả người dùng đều tham gia ít nhất một khóa học. Trong số đó, có $68\%$ người dùng tham gia từ hai khóa học trở lên, $37\%$ người dùng tham gia khóa học tiếng Anh. Ngoài ra, trong nhóm người dùng tham gia từ hai khóa học trở lên, có $29\%$ người tham gia khóa học tiếng Anh. Gọi $A$ là biến cố "Người dùng tham gia từ hai khóa học trở lên", $B$ là biến cố "Người dùng tham gia khóa học tiếng Anh". Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$P\left(\overline{A}\right) = 0,32$.

b)$P\left(B \mid A\right) = 0,29$.

c)$P\left(AB\right) > 0,2$.

d)Xác suất một người chỉ tham gia đúng một khóa học và không tham gia khóa học tiếng Anh lớn hơn $0,15$.

Câu 39.Một ứng dụng giải trí khảo sát thói quen của người dùng. Mọi người dùng đều có ít nhất một hoạt động trên ứng dụng. Trong số đó, có $60\%$ người dùng đăng ký gói thành viên cao cấp, $40\%$ người dùng sử dụng tính năng livestream. Ngoài ra, trong nhóm người dùng đăng ký gói thành viên cao cấp, có $30\%$ người sử dụng tính năng livestream. Gọi $A$ là biến cố "Người dùng đăng ký gói thành viên cao cấp", $B$ là biến cố "Người dùng sử dụng tính năng livestream". Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$P\left(\overline{A}\right) = 0,4$.

b)$P\left(B \mid A\right) = 0,3$.

c)$P\left(AB\right) > 0,2$.

d)Xác suất một người chỉ không (đăng ký gói thành viên cao cấp) và không sử dụng tính năng livestream lớn hơn $0,2$.

14. TF (đảo / định tính): cho sẵn các hậu nghiệm; các mệnh đề định tính "hầu hết ca dương là dương giả" / "hai lần dương gần như chắc mắc" đúng-sai theo ngưỡng, kèm vài mệnh đề định lượng để cân bằngĐúng / Sai`repeat_positive_test_posterior_claim_facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 40.Bệnh ung thư có tỉ lệ mắc trong cộng đồng là $2\%$. Một loại xét nghiệm tầm soát có độ nhạy $99\%$ và độ đặc hiệu $96\%$; hai lần xét nghiệm trên cùng một người được xem là độc lập. Một người được chọn ngẫu nhiên đi xét nghiệm. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Xác suất mắc bệnh khi có một kết quả dương tính là $P(M\mid D)\approx 0,3356$.

b)Trong số những người có kết quả dương tính ở lần xét nghiệm đầu, phần lớn thực ra KHÔNG mắc bệnh (dương tính giả).

c)Một người có kết quả dương tính ở CẢ HAI lần xét nghiệm độc lập thì gần như chắc chắn mắc bệnh (xác suất $\ge 0{,}95$).

d)Khi có thêm một lần dương tính nữa, xác suất người đó mắc bệnh tăng lên so với khi chỉ có một lần dương tính.

Câu 41.Bệnh sốt rét có tỉ lệ mắc trong cộng đồng là $2\%$. Một loại xét nghiệm test nhanh có độ nhạy $95\%$ và độ đặc hiệu $90\%$; hai lần xét nghiệm trên cùng một người được xem là độc lập. Một người được chọn ngẫu nhiên đi xét nghiệm. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Một người có kết quả dương tính ở CẢ HAI lần xét nghiệm độc lập thì gần như chắc chắn mắc bệnh (xác suất $\ge 0{,}95$).

b)Xác suất mắc bệnh khi có một kết quả dương tính là $P(M\mid D)\approx 0,1624$.

c)Trong số những người có kết quả dương tính ở lần xét nghiệm đầu, phần lớn thực ra KHÔNG mắc bệnh (dương tính giả).

d)Xác suất mắc bệnh sau hai lần dương tính độc lập là $P(M\mid D_1 D_2)\approx 0,6481$.

Câu 42.Bệnh ung thư có tỉ lệ mắc trong cộng đồng là $5\%$. Một loại xét nghiệm tầm soát có độ nhạy $95\%$ và độ đặc hiệu $95\%$; hai lần xét nghiệm trên cùng một người được xem là độc lập. Một người được chọn ngẫu nhiên đi xét nghiệm. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Xác suất mắc bệnh sau hai lần dương tính độc lập là $P(M\mid D_1 D_2)\approx 0,95$.

b)Xác suất mắc bệnh sau hai lần dương tính bằng bình phương của xác suất sau một lần dương, tức $0,25$.

c)Khi có thêm một lần dương tính nữa, xác suất người đó mắc bệnh tăng lên so với khi chỉ có một lần dương tính.

d)Trong số những người có kết quả dương tính ở lần xét nghiệm đầu, phần lớn thực ra KHÔNG mắc bệnh (dương tính giả).

15. TF: tầm soát bệnh, tỉ lệ mắc $q$, độ nhạy $se$, độ đặc hiệu $sp$Đúng / Sai`screening_false_rates_total_ppv_facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 43.Một chiến dịch xét nghiệm tầm soát diện rộng được tổ chức để phát hiện sớm một căn bệnh truyền nhiễm. Theo thống kê y tế, tỉ lệ người mắc bệnh này trong cộng đồng là $2\%$. Loại test nhanh được sử dụng có độ nhạy là $99\%$ (cho kết quả dương tính với $99\%$ người bệnh) và độ đặc hiệu là $98\%$ (cho kết quả âm tính với $98\%$ người không mắc bệnh). Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Xác suất xét nghiệm cho kết quả âm tính của một người mắc bệnh là $0,01$.

b)Xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính của một người không mắc bệnh là $0,02$.

c)Xác suất để một người bất kỳ trong cộng đồng đi xét nghiệm nhận kết quả dương tính là $0,04$.

d)Biết rằng một người có kết quả test nhanh là dương tính, xác suất để người đó thực sự mắc bệnh là $50,3\%$.

Câu 44.Một chiến dịch xét nghiệm tầm soát diện rộng được tổ chức để phát hiện sớm một căn bệnh truyền nhiễm. Theo thống kê y tế, tỉ lệ người mắc bệnh này trong cộng đồng là $1\%$. Loại test nhanh được sử dụng có độ nhạy là $99\%$ (cho kết quả dương tính với $99\%$ người bệnh) và độ đặc hiệu là $96\%$ (cho kết quả âm tính với $96\%$ người không mắc bệnh). Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Xác suất xét nghiệm cho kết quả âm tính của một người mắc bệnh là $0,01$.

b)Xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính của một người không mắc bệnh là $0,04$.

c)Xác suất để một người bất kỳ trong cộng đồng đi xét nghiệm nhận kết quả dương tính là $0,05$.

d)Biết rằng một người có kết quả test nhanh là dương tính, xác suất để người đó thực sự mắc bệnh là $20\%$.

Câu 45.Một chiến dịch xét nghiệm tầm soát diện rộng được tổ chức để phát hiện sớm một căn bệnh truyền nhiễm. Theo thống kê y tế, tỉ lệ người mắc bệnh này trong cộng đồng là $5\%$. Loại test nhanh được sử dụng có độ nhạy là $95\%$ (cho kết quả dương tính với $95\%$ người bệnh) và độ đặc hiệu là $95\%$ (cho kết quả âm tính với $95\%$ người không mắc bệnh). Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Xác suất xét nghiệm cho kết quả âm tính của một người mắc bệnh là $0,05$.

b)Xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính của một người không mắc bệnh là $0,05$.

c)Xác suất để một người bất kỳ trong cộng đồng đi xét nghiệm nhận kết quả dương tính là $0,1$.

d)Biết rằng một người có kết quả test nhanh là dương tính, xác suất để người đó thực sự mắc bệnh là $50\%$.

16. TF (biến thể): cho dương tính giả / độ đặc hiệu trực tiếp; mệnh đề $P(\text{âm}\mid\text{mắc})=1-se$ và $P(\text{dương}\mid\text{không mắc})=1-sp$, cài bẫy nhầm với $1-se$Đúng / Sai`screening_test_false_negative_positive_bayes_facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 46.Một loại xét nghiệm sàng lọc dùng để sàng lọc bệnh HIV có tỉ lệ dương tính giả là $4\%$ (tức độ đặc hiệu $96\%$) và độ nhạy $99\%$. Trong cộng đồng, tỉ lệ người mắc bệnh là $2\%$. Chọn ngẫu nhiên một người để xét nghiệm. Gọi $M$ là biến cố "người đó mắc bệnh" và $D$ là biến cố "xét nghiệm cho kết quả dương tính". Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Tỉ lệ mẫu cho kết quả dương tính trong toàn cộng đồng là $0,059$.

b)Tỉ lệ mẫu cho kết quả dương tính trong toàn cộng đồng là $0,99$.

c)Xác suất xét nghiệm cho kết quả ÂM tính ở một người KHÔNG mắc bệnh bằng đúng độ đặc hiệu $0,96$.

d)Xác suất xét nghiệm cho kết quả ÂM tính ở một người thực sự mắc bệnh là $0,01$.

Câu 47.Một loại xét nghiệm tầm soát dùng để sàng lọc bệnh ung thư có tỉ lệ dương tính giả là $4\%$ (tức độ đặc hiệu $96\%$) và độ nhạy $99\%$. Trong cộng đồng, tỉ lệ người mắc bệnh là $2\%$. Chọn ngẫu nhiên một người để xét nghiệm. Gọi $M$ là biến cố "người đó mắc bệnh" và $D$ là biến cố "xét nghiệm cho kết quả dương tính". Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Xác suất xét nghiệm cho kết quả DƯƠNG tính ở một người KHÔNG mắc bệnh là $0,04$.

b)Trong số những người có kết quả dương tính, tỉ lệ thực sự mắc bệnh xấp xỉ $0,3356$.

c)Xác suất xét nghiệm cho kết quả ÂM tính ở một người thực sự mắc bệnh là $0,01$.

d)Xác suất xét nghiệm cho kết quả DƯƠNG tính ở một người KHÔNG mắc bệnh là $0,01$.

Câu 48.Một loại xét nghiệm máu dùng để sàng lọc bệnh viêm gan B có tỉ lệ dương tính giả là $4\%$ (tức độ đặc hiệu $96\%$) và độ nhạy $99\%$. Trong cộng đồng, tỉ lệ người mắc bệnh là $5\%$. Chọn ngẫu nhiên một người để xét nghiệm. Gọi $M$ là biến cố "người đó mắc bệnh" và $D$ là biến cố "xét nghiệm cho kết quả dương tính". Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Xác suất xét nghiệm cho kết quả DƯƠNG tính ở một người KHÔNG mắc bệnh là $0,01$.

b)Tỉ lệ mẫu cho kết quả dương tính trong toàn cộng đồng là $0,0875$.

c)Xác suất xét nghiệm cho kết quả DƯƠNG tính ở một người KHÔNG mắc bệnh là $0,04$.

d)Xác suất xét nghiệm cho kết quả ÂM tính ở một người thực sự mắc bệnh là $0,01$.

17. TF: Khảo sát ý định (ví dụ "sẽ xét tuyển bằng học bạ")Đúng / Sai`survey_declared_vs_actual_total_prob_bayes_facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 49.Một trường THPT khảo sát $500$ học sinh lớp 12 về ý định đăng ký nguyện vọng sớm. Trong số đó có $300$ học sinh thực sự đăng ký nguyện vọng sớm. Khảo sát cho thấy: trong nhóm học sinh thực sự đăng ký nguyện vọng sớm, có $85\%$ trả lời "sẽ đăng ký nguyện vọng sớm"; còn trong nhóm không đăng ký nguyện vọng sớm, vẫn có $20\%$ trả lời "sẽ đăng ký nguyện vọng sớm". Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Gọi $A$ là biến cố "học sinh trả lời sẽ đăng ký nguyện vọng sớm", $B$ là biến cố "học sinh thực sự đăng ký nguyện vọng sớm". Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Trong số những học sinh thực sự đăng ký nguyện vọng sớm, xác suất học sinh đó trả lời “sẽ đăng ký nguyện vọng sớm” nhỏ hơn $90\%$.

b)Xác suất $P(B) = 0,6$ và $P(\overline{B}) = 0,4$.

c)Xác suất $P(A) = 0,59$.

d)Xác suất có điều kiện $P\big(A \mid \overline{B}\big) = 0,4$.

Câu 50.Một trường THPT khảo sát $560$ học sinh lớp 12 về ý định xét tuyển bằng học bạ. Trong số đó có $392$ học sinh thực sự xét tuyển bằng học bạ. Khảo sát cho thấy: trong nhóm học sinh thực sự xét tuyển bằng học bạ, có $80\%$ trả lời "sẽ xét tuyển bằng học bạ"; còn trong nhóm không xét tuyển bằng học bạ, vẫn có $10\%$ trả lời "sẽ xét tuyển bằng học bạ". Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Gọi $A$ là biến cố "học sinh trả lời sẽ xét tuyển bằng học bạ", $B$ là biến cố "học sinh thực sự xét tuyển bằng học bạ". Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Trong số những học sinh thực sự xét tuyển bằng học bạ, xác suất học sinh đó trả lời “sẽ xét tuyển bằng học bạ” nhỏ hơn $90\%$.

b)Xác suất $P(B) = 0,7$ và $P(\overline{B}) = 0,3$.

c)Xác suất $P(A) = 0,59$.

d)Xác suất có điều kiện $P\big(A \mid \overline{B}\big) = 0,2$.

Câu 51.Một trường THPT khảo sát $400$ học sinh lớp 12 về ý định tham gia kỳ thi đánh giá năng lực. Trong số đó có $240$ học sinh thực sự tham gia kỳ thi đánh giá năng lực. Khảo sát cho thấy: trong nhóm học sinh thực sự tham gia kỳ thi đánh giá năng lực, có $75\%$ trả lời "sẽ tham gia kỳ thi đánh giá năng lực"; còn trong nhóm không tham gia kỳ thi đánh giá năng lực, vẫn có $25\%$ trả lời "sẽ tham gia kỳ thi đánh giá năng lực". Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Gọi $A$ là biến cố "học sinh trả lời sẽ tham gia kỳ thi đánh giá năng lực", $B$ là biến cố "học sinh thực sự tham gia kỳ thi đánh giá năng lực". Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Trong số những học sinh thực sự tham gia kỳ thi đánh giá năng lực, xác suất học sinh đó trả lời “sẽ tham gia kỳ thi đánh giá năng lực” nhỏ hơn $90\%$.

b)Xác suất $P(B) = 0,6$ và $P(\overline{B}) = 0,4$.

c)Xác suất $P(A) = 0,55$.

d)Xác suất có điều kiện $P\big(A \mid \overline{B}\big) = 0,5$.

18. VDC (TF): Hộp có $blue$ bi xanh và $red$ bi đỏ (cùng kích thước, đánh số khác nhau)Đúng / Sai`tf_two_draws_balls_conditional_prob`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 52.Một hộp có chứa $5$ viên bi màu xanh và $8$ viên bi màu đỏ (các viên bi có cùng kích thước và khối lượng, được đánh số khác nhau). Bạn Nam lấy ngẫu nhiên $1$ viên bi từ trong hộp và không hoàn lại, tiếp đó bạn Minh lấy ngẫu nhiên $2$ viên bi từ trong hộp. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Xác suất để bạn Nam lấy được $1$ viên bi màu đỏ là $\dfrac{8}{13}$.

b)Xác suất bạn Minh lấy được $2$ viên bi màu đỏ, biết rằng bạn Nam đã lấy được $1$ viên bi màu xanh là $\dfrac{1}{3}$.

c)Xác suất để bạn Nam lấy được $1$ viên bi màu xanh và bạn Minh lấy được $1$ viên bi màu xanh và $1$ viên bi màu đỏ là $\dfrac{5}{24}$.

d)Biết rằng bạn Minh lấy được ít nhất một viên bi màu đỏ, xác suất bạn Nam lấy được một viên bi màu đỏ là $\dfrac{112}{187}$.

Câu 53.Một hộp có chứa $4$ viên bi màu xanh và $6$ viên bi màu đỏ (các viên bi có cùng kích thước và khối lượng, được đánh số khác nhau). Bạn Nam lấy ngẫu nhiên $1$ viên bi từ trong hộp và không hoàn lại, tiếp đó bạn Minh lấy ngẫu nhiên $2$ viên bi từ trong hộp. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Xác suất để bạn Nam lấy được $1$ viên bi màu đỏ là $\dfrac{3}{5}$.

b)Xác suất bạn Minh lấy được $2$ viên bi màu đỏ, biết rằng bạn Nam đã lấy được $1$ viên bi màu xanh là $\dfrac{1}{3}$.

c)Xác suất để bạn Nam lấy được $1$ viên bi màu xanh và bạn Minh lấy được $1$ viên bi màu xanh và $1$ viên bi màu đỏ là $\dfrac{2}{9}$.

d)Biết rằng bạn Minh lấy được ít nhất một viên bi màu đỏ, xác suất bạn Nam lấy được một viên bi màu đỏ là $\dfrac{15}{26}$.

Câu 54.Một hộp có chứa $6$ viên bi màu xanh và $7$ viên bi màu đỏ (các viên bi có cùng kích thước và khối lượng, được đánh số khác nhau). Bạn Nam lấy ngẫu nhiên $1$ viên bi từ trong hộp và không hoàn lại, tiếp đó bạn Minh lấy ngẫu nhiên $2$ viên bi từ trong hộp. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Xác suất để bạn Nam lấy được $1$ viên bi màu đỏ là $\dfrac{7}{13}$.

b)Xác suất bạn Minh lấy được $2$ viên bi màu đỏ, biết rằng bạn Nam đã lấy được $1$ viên bi màu xanh là $\dfrac{7}{24}$.

c)Xác suất để bạn Nam lấy được $1$ viên bi màu xanh và bạn Minh lấy được $1$ viên bi màu xanh và $1$ viên bi màu đỏ là $\dfrac{1}{4}$.

d)Biết rằng bạn Minh lấy được ít nhất một viên bi màu đỏ, xác suất bạn Nam lấy được một viên bi màu đỏ là $\dfrac{17}{33}$.

19. TF: Lô hàng có $n_A$ sản phẩm nhà máy $A$ và $n_B$ của nhà máy $B$; tỉ lệ phế phẩm $d_A\%$ và $d_B\%$Đúng / Sai`two_factories_good_product_bayes_compare_facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 55.Một sản phẩm do hai nhà máy $A$ và $B$ sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của nhà máy $A$ là $5\%$, của nhà máy $B$ là $2\%$. Trong một lô hàng có: $100$ sản phẩm của nhà máy $A$; $100$ sản phẩm của nhà máy $B$. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

a)Xác suất lấy được sản phẩm do nhà máy $A$ sản xuất là $0,5$.

b)Xác suất lấy được sản phẩm tốt biết rằng sản phẩm đó thuộc nhà máy $A$ bằng $0,95$.

c)Xác suất lấy được sản phẩm tốt là $0,931$.

d)Biết sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt, xác suất sản phẩm đó do nhà máy $B$ sản xuất lớn hơn xác suất do nhà máy $A$ sản xuất.

Câu 56.Một sản phẩm do hai nhà máy $A$ và $B$ sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của nhà máy $A$ là $4\%$, của nhà máy $B$ là $1\%$. Trong một lô hàng có: $120$ sản phẩm của nhà máy $A$; $80$ sản phẩm của nhà máy $B$. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

a)Xác suất lấy được sản phẩm do nhà máy $A$ sản xuất là $0,6$.

b)Xác suất lấy được sản phẩm tốt biết rằng sản phẩm đó thuộc nhà máy $A$ bằng $0,96$.

c)Xác suất lấy được sản phẩm tốt là $0,975$.

d)Biết sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt, xác suất sản phẩm đó do nhà máy $B$ sản xuất lớn hơn xác suất do nhà máy $A$ sản xuất.

Câu 57.Một sản phẩm do hai nhà máy $A$ và $B$ sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của nhà máy $A$ là $3\%$, của nhà máy $B$ là $2\%$. Trong một lô hàng có: $150$ sản phẩm của nhà máy $A$; $100$ sản phẩm của nhà máy $B$. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

a)Xác suất lấy được sản phẩm do nhà máy $A$ sản xuất là $0,6$.

b)Xác suất lấy được sản phẩm tốt biết rằng sản phẩm đó thuộc nhà máy $A$ bằng $0,97$.

c)Xác suất lấy được sản phẩm tốt là $0,975$.

d)Biết sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt, xác suất sản phẩm đó do nhà máy $B$ sản xuất lớn hơn xác suất do nhà máy $A$ sản xuất.

20. VDC (TF): Cửa hàng có $n_1$ hạt loại 1 (nảy mầm $p_1$) và $n_2$ hạt loại 2 (nảy mầm $p_2$)Đúng / Sai`two_seed_types_germination_xray_facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 58.Một cửa hàng có $200$ hạt giống hoa hướng dương và $300$ hạt giống hoa cúc. Tỉ lệ nảy mầm của hạt giống hoa hướng dương là $80\%$, của hạt giống hoa cúc là $90\%$. Một chuyên gia nông nghiệp chọn ngẫu nhiên một hạt giống. Chuyên gia sử dụng máy quét tia $X$ để dự đoán khả năng nảy mầm. Nếu hạt giống có khả năng nảy mầm, máy quét báo "Đạt" với xác suất $90\%$. Nếu hạt giống không có khả năng nảy mầm, máy quét vẫn có thể báo "Đạt" với xác suất $10\%$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Một hạt giống sau khi quét, máy đã báo \"Đạt\". Xác suất để hạt giống đó thực sự KHÔNG nảy mầm nhỏ hơn $0{,}02$.

b)Xác suất chuyên gia chọn được hạt giống nảy mầm là $0,86$.

c)Xác suất chuyên gia chọn được hạt giống nảy mầm là $0,84$.

d)Xác suất chuyên gia chọn được hạt giống hoa cúc là $0,6$.

Câu 59.Một cửa hàng có $200$ hạt giống hoa hướng dương và $300$ hạt giống hoa cúc. Tỉ lệ nảy mầm của hạt giống hoa hướng dương là $80\%$, của hạt giống hoa cúc là $90\%$. Một chuyên gia nông nghiệp chọn ngẫu nhiên một hạt giống. Chuyên gia sử dụng máy quét tia $X$ để dự đoán khả năng nảy mầm. Nếu hạt giống có khả năng nảy mầm, máy quét báo "Đạt" với xác suất $90\%$. Nếu hạt giống không có khả năng nảy mầm, máy quét vẫn có thể báo "Đạt" với xác suất $10\%$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Biết rằng chuyên gia đã chọn được hạt giống hoa cúc, xác suất để hạt giống đó KHÔNG nảy mầm là $0,1$.

b)Xác suất chuyên gia chọn được hạt giống nảy mầm là $0,86$.

c)Xác suất chuyên gia chọn được hạt giống nảy mầm là $0,84$.

d)Một hạt giống sau khi quét, máy đã báo \"Đạt\". Xác suất để hạt giống đó thực sự KHÔNG nảy mầm nhỏ hơn $0{,}02$.

Câu 60.Một cửa hàng có $200$ hạt giống hoa hướng dương và $300$ hạt giống hoa cúc. Tỉ lệ nảy mầm của hạt giống hoa hướng dương là $80\%$, của hạt giống hoa cúc là $90\%$. Một chuyên gia nông nghiệp chọn ngẫu nhiên một hạt giống. Chuyên gia sử dụng máy quét tia $X$ để dự đoán khả năng nảy mầm. Nếu hạt giống có khả năng nảy mầm, máy quét báo "Đạt" với xác suất $90\%$. Nếu hạt giống không có khả năng nảy mầm, máy quét vẫn có thể báo "Đạt" với xác suất $10\%$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Biết rằng chuyên gia đã chọn được hạt giống hoa cúc, xác suất để hạt giống đó KHÔNG nảy mầm là $0,1$.

b)Xác suất chuyên gia chọn được hạt giống nảy mầm là $0,84$.

c)Xác suất chuyên gia chọn được hạt giống hoa cúc là $0,6$.

d)Xác suất chuyên gia chọn được hạt giống nảy mầm là $0,86$.

21. VDC (TF): Hộp có $n_1$ câu loại 1 (tự nhiên) và $n_2$ câu loại 2 (xã hội)Đúng / Sai`two_students_draw_questions_no_replacement_facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 61.Hai bạn An và Bình tham gia một buổi phỏng vấn tuyển cộng tác viên cho câu lạc bộ của nhà trường. Ban xét tuyển có một hộp đựng $10$ câu hỏi thuộc lĩnh vực tự nhiên và $20$ câu hỏi thuộc lĩnh vực xã hội. An rút ngẫu nhiên $1$ câu hỏi (không bỏ lại vào hộp), sau đó Bình rút ngẫu nhiên $1$ câu hỏi. Gọi $A$ là biến cố "An rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực tự nhiên", $B$ là biến cố "Bình rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực xã hội". Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Biết rằng Bình rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực xã hội, xác suất để An rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực tự nhiên là $\dfrac{10}{29}$.

b)Nếu An rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực xã hội, xác suất Bình cũng rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực xã hội là $\dfrac{19}{29}$.

c)Biết rằng Bình rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực xã hội, xác suất để An rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực tự nhiên là $\dfrac{19}{29}$.

d)Biết rằng An rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực tự nhiên, xác suất Bình rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực xã hội là $\dfrac{2}{3}$.

Câu 62.Hai bạn An và Bình tham gia một buổi phỏng vấn tuyển cộng tác viên cho câu lạc bộ của nhà trường. Ban xét tuyển có một hộp đựng $10$ câu hỏi thuộc lĩnh vực tự nhiên và $20$ câu hỏi thuộc lĩnh vực xã hội. An rút ngẫu nhiên $1$ câu hỏi (không bỏ lại vào hộp), sau đó Bình rút ngẫu nhiên $1$ câu hỏi. Gọi $A$ là biến cố "An rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực tự nhiên", $B$ là biến cố "Bình rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực xã hội". Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Biết rằng Bình rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực xã hội, xác suất để An rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực tự nhiên là $\dfrac{10}{29}$.

b)Hai biến cố \"An rút tự nhiên\" và \"Bình rút xã hội\" độc lập.

c)Biết rằng Bình rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực xã hội, xác suất để An rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực tự nhiên là $\dfrac{19}{29}$.

d)Xác suất An rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực tự nhiên là $\dfrac{1}{3}$.

Câu 63.Hai bạn An và Bình tham gia một buổi phỏng vấn tuyển cộng tác viên cho câu lạc bộ của nhà trường. Ban xét tuyển có một hộp đựng $8$ câu hỏi thuộc lĩnh vực lịch sử và $16$ câu hỏi thuộc lĩnh vực địa lý. An rút ngẫu nhiên $1$ câu hỏi (không bỏ lại vào hộp), sau đó Bình rút ngẫu nhiên $1$ câu hỏi. Gọi $A$ là biến cố "An rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực lịch sử", $B$ là biến cố "Bình rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực địa lý". Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Biết rằng Bình rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực địa lý, xác suất để An rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực lịch sử là $\dfrac{15}{23}$.

b)Xác suất Bình rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực địa lý là $\dfrac{2}{3}$.

c)Xác suất An rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực lịch sử là $\dfrac{1}{3}$.

d)Nếu An rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực địa lý, xác suất Bình cũng rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực địa lý là $\dfrac{15}{23}$.

22. TF: đọc $P(A)$, $P(B\mid A)$, $P(B)$, $P(A\cap B)$ từ bảng 2 chiềuĐúng / Sai`two_way_table_conditional_prob_facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 64.Khảo sát $800$ học sinh, kết quả ghi trong bảng phân loại hai chiều sau (gọi $A$ là biến cố "học sinh thuộc ban KHTN", $B$ là biến cố "học sinh có học IELTS"): | Ban học \ IELTS | Học IELTS | Không học IELTS | Tổng | | --- | ---: | ---: | ---: | | Ban KHTN | 200 | 200 | 400 | | Ban KHXH | 240 | 160 | 400 | | Tổng | 440 | 360 | 800 | Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$P(B\mid A) = \dfrac{1}{2}$.

b)$P(B\mid A) = \dfrac{5}{11}$.

c)$P(A\cap B) = \dfrac{1}{4}$.

d)$P(B\mid A) = \dfrac{1}{4}$.

Câu 65.Khảo sát $1500$ học sinh, kết quả ghi trong bảng phân loại hai chiều sau (gọi $A$ là biến cố "học sinh thuộc ban KHTN", $B$ là biến cố "học sinh có học IELTS"): | Ban học \ IELTS | Học IELTS | Không học IELTS | Tổng | | --- | ---: | ---: | ---: | | Ban KHTN | 360 | 540 | 900 | | Ban KHXH | 240 | 360 | 600 | | Tổng | 600 | 900 | 1500 | Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$P(A\cap B) = \dfrac{6}{25}$.

b)$P(A) = \dfrac{3}{5}$, với $A$ là biến cố \"học sinh thuộc ban KHTN\".

c)$P(B) = \dfrac{2}{5}$, với $B$ là biến cố \"học sinh có học IELTS\".

d)$P(B\mid A) = \dfrac{6}{25}$.

Câu 66.Khảo sát $1200$ học sinh, kết quả ghi trong bảng phân loại hai chiều sau (gọi $A$ là biến cố "học sinh ở trong câu lạc bộ thể thao", $B$ là biến cố "học sinh biết bơi"): | Câu lạc bộ \ Bơi lội | Biết bơi | Không biết bơi | Tổng | | --- | ---: | ---: | ---: | | Trong CLB | 240 | 360 | 600 | | Ngoài CLB | 360 | 240 | 600 | | Tổng | 600 | 600 | 1200 | Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$P(B) = \dfrac{1}{2}$, với $B$ là biến cố \"học sinh biết bơi\".

b)$P(B\mid A) = \dfrac{2}{5}$.

c)$P(B\mid A) = \dfrac{1}{5}$.

d)$P(A\cap B) = \dfrac{1}{5}$.

23. TF: Công ty có hai phân xưởng $I$ (chiếm $w_1\%$) và $II$ (chiếm $w_2\%$) cùng sản xuất một loại linh kiện; tỉ lệ lỗi lần lượt $d_1\%$ và $d_2\%$Đúng / Sai`two_workshops_defect_total_prob_bayes_facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 67.Một công ty điện tử có hai phân xưởng $I$ và $II$ cùng sản xuất một loại linh kiện. Biết rằng phân xưởng $I$ sản xuất $80\%$ tổng số lượng linh kiện của công ty, phân xưởng $II$ sản xuất $20\%$ còn lại. Tỉ lệ linh kiện bị lỗi của phân xưởng $I$ và phân xưởng $II$ lần lượt là $3\%$ và $2\%$. Chọn ngẫu nhiên một linh kiện trong kho của công ty để kiểm tra. Gọi $A$ là biến cố "linh kiện do phân xưởng $I$ sản xuất" và $C$ là biến cố "linh kiện bị lỗi". Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Xác suất để linh kiện được chọn bị lỗi và do phân xưởng $I$ sản xuất là $0,024$.

b)Nếu linh kiện được chọn do phân xưởng $I$ sản xuất thì xác suất để linh kiện đó không bị lỗi là $0,98$.

c)Xác suất để linh kiện được chọn bị lỗi là $0,028$.

d)Nếu linh kiện được chọn bị lỗi thì xác suất để linh kiện đó do phân xưởng $I$ sản xuất là $\dfrac{1}{7}$.

Câu 68.Một công ty điện tử có hai phân xưởng $I$ và $II$ cùng sản xuất một loại linh kiện. Biết rằng phân xưởng $I$ sản xuất $60\%$ tổng số lượng linh kiện của công ty, phân xưởng $II$ sản xuất $40\%$ còn lại. Tỉ lệ linh kiện bị lỗi của phân xưởng $I$ và phân xưởng $II$ lần lượt là $5\%$ và $3\%$. Chọn ngẫu nhiên một linh kiện trong kho của công ty để kiểm tra. Gọi $A$ là biến cố "linh kiện do phân xưởng $I$ sản xuất" và $C$ là biến cố "linh kiện bị lỗi". Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Xác suất để linh kiện được chọn bị lỗi và do phân xưởng $I$ sản xuất là $0,03$.

b)Nếu linh kiện được chọn do phân xưởng $I$ sản xuất thì xác suất để linh kiện đó không bị lỗi là $0,97$.

c)Xác suất để linh kiện được chọn bị lỗi là $0,042$.

d)Nếu linh kiện được chọn bị lỗi thì xác suất để linh kiện đó do phân xưởng $I$ sản xuất là $\dfrac{2}{7}$.

Câu 69.Một công ty điện tử có hai phân xưởng $I$ và $II$ cùng sản xuất một loại linh kiện. Biết rằng phân xưởng $I$ sản xuất $75\%$ tổng số lượng linh kiện của công ty, phân xưởng $II$ sản xuất $25\%$ còn lại. Tỉ lệ linh kiện bị lỗi của phân xưởng $I$ và phân xưởng $II$ lần lượt là $4\%$ và $2\%$. Chọn ngẫu nhiên một linh kiện trong kho của công ty để kiểm tra. Gọi $A$ là biến cố "linh kiện do phân xưởng $I$ sản xuất" và $C$ là biến cố "linh kiện bị lỗi". Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Xác suất để linh kiện được chọn bị lỗi và do phân xưởng $I$ sản xuất là $0,03$.

b)Nếu linh kiện được chọn do phân xưởng $I$ sản xuất thì xác suất để linh kiện đó không bị lỗi là $0,98$.

c)Xác suất để linh kiện được chọn bị lỗi là $0,035$.

d)Nếu linh kiện được chọn bị lỗi thì xác suất để linh kiện đó do phân xưởng $I$ sản xuất là $\dfrac{1}{7}$.

24. VDC (TF): $P(A) = p_A$ — học sinh chọn tổ hợp A00Đúng / Sai`university_entrance_combo_A00_bayes_facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 70.Một học sinh chuẩn bị thi đại học. Xác suất em chọn tổ hợp A00 (Toán — Lý — Hóa) là $0,4$. Nếu chọn tổ hợp A00, xác suất em đỗ vào trường yêu thích là $0,75$; nếu chọn tổ hợp khác, xác suất em đỗ là $0,5$. Gọi $A$ là biến cố "học sinh chọn tổ hợp A00", $B$ là biến cố "học sinh đỗ vào trường yêu thích". Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$P(\bar{A}) = 0,6$.

b)$P(B \mid A) = 0,45$.

c)Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập.

d)$P(B) = 0,6$.

Câu 71.Một học sinh chuẩn bị thi đại học. Xác suất em chọn tổ hợp A00 (Toán — Lý — Hóa) là $0,5$. Nếu chọn tổ hợp A00, xác suất em đỗ vào trường yêu thích là $0,7$; nếu chọn tổ hợp khác, xác suất em đỗ là $0,6$. Gọi $A$ là biến cố "học sinh chọn tổ hợp A00", $B$ là biến cố "học sinh đỗ vào trường yêu thích". Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập.

b)$\dfrac{P(A \mid B)}{P(B \mid A)} > 1$.

c)Nếu biết học sinh đó đã đỗ, xác suất em chọn tổ hợp A00 là $P(A \mid B) = \dfrac{7}{13}$.

d)$P(B \mid \bar{A}) \in (0{,}4;\, 0{,}9)$.

Câu 72.Một học sinh chuẩn bị thi đại học. Xác suất em chọn tổ hợp A00 (Toán — Lý — Hóa) là $0,5$. Nếu chọn tổ hợp A00, xác suất em đỗ vào trường yêu thích là $0,7$; nếu chọn tổ hợp khác, xác suất em đỗ là $0,6$. Gọi $A$ là biến cố "học sinh chọn tổ hợp A00", $B$ là biến cố "học sinh đỗ vào trường yêu thích". Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$\dfrac{P(A \mid B)}{P(B \mid A)} > 1$.

b)Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập.

c)$P(B \mid A) = 0,4$.

d)$P(\bar{A}) = 0,5$.

25. TF: Kho hàng trộn linh kiện từ hai nguồn; $A$ = "linh kiện loại I", $B$ = "linh kiện tốt (không hỏng)"Đúng / Sai`warehouse_two_lots_good_part_total_prob_facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 73.Một kho hàng chứa linh kiện được nhập từ hai nguồn: loại I và loại II. Trong kho, tỉ lệ linh kiện thuộc loại I là $80\%$. Tỉ lệ linh kiện tốt (không hỏng) của loại I là $98\%$, của loại II là $95\%$. Lấy ngẫu nhiên một linh kiện trong kho. Gọi $A$ là biến cố "linh kiện thuộc loại I" và $B$ là biến cố "linh kiện tốt (không hỏng)". Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$P(A \mid B) = 0,98$.

b)$P(B) = 0,974$.

c)$P(B \mid A) = 0,98$.

d)$P(A) = 0,8$.

Câu 74.Một kho hàng chứa linh kiện được nhập từ hai nguồn: loại I và loại II. Trong kho, tỉ lệ linh kiện thuộc loại I là $60\%$. Tỉ lệ linh kiện tốt (không hỏng) của loại I là $97\%$, của loại II là $90\%$. Lấy ngẫu nhiên một linh kiện trong kho. Gọi $A$ là biến cố "linh kiện thuộc loại I" và $B$ là biến cố "linh kiện tốt (không hỏng)". Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$P(A \mid B) = 0,97$.

b)$P(B) = 0,942$.

c)$P(B \mid A) = 0,97$.

d)$P(A) = 0,6$.

Câu 75.Một kho hàng chứa linh kiện được nhập từ hai nguồn: loại I và loại II. Trong kho, tỉ lệ linh kiện thuộc loại I là $85\%$. Tỉ lệ linh kiện tốt (không hỏng) của loại I là $99\%$, của loại II là $96\%$. Lấy ngẫu nhiên một linh kiện trong kho. Gọi $A$ là biến cố "linh kiện thuộc loại I" và $B$ là biến cố "linh kiện tốt (không hỏng)". Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$P(A \mid B) = 0,99$.

b)$P(B) = 0,9855$.

c)$P(B \mid A) = 0,99$.

d)$P(A) = 0,85$.

26. Cho $P(A \cap B)$ và $P(B)$, tính $P(A|B)$ (số thập phân)Trả lời ngắn`conditional_compute`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 76.Cho hai biến cố $A, B$ với $P(A \cap B) = \dfrac{3}{10}$ và $P(B) = \dfrac{8}{10}$. Tính $P(A | B)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 77.Cho hai biến cố $A, B$ với $P(A \cap B) = \dfrac{3}{10}$ và $P(B) = \dfrac{4}{10}$. Tính $P(A | B)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 78.Cho hai biến cố $A, B$ với $P(A \cap B) = \dfrac{4}{10}$ và $P(B) = \dfrac{9}{10}$. Tính $P(A | B)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

27. SA (xác suất có điều kiện — gieo xúc xắc phân phối bóng vào 3 hộp)Trả lời ngắn`dice_distribute_balls_three_boxes_conditional_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 79.Có ba hộp rỗng được ký hiệu là $A$, $B$ và $C$. Người ta thực hiện một phép thử như sau: gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất, gọi $k$ là số chấm xuất hiện. Mỗi lần gieo, người ta lấy đúng $2$ quả bóng để cho vào các hộp theo quy tắc: nếu $k \le 3$ thì cho cả $2$ quả bóng vào hộp $A$; nếu $3 \le k \le 4$ thì cho $1$ quả bóng vào hộp $A$ và $1$ quả bóng vào hộp $B$; nếu $k = 6$ thì cho $1$ quả bóng vào hộp $B$ và $1$ quả bóng vào hộp $C$. Thực hiện lặp lại phép thử trên $2$ lần. Biết rằng sau $2$ lần gieo, số bóng có trong hộp $A$ là một số chẵn, tính xác suất để số bóng trong hộp $B$ nhiều hơn số bóng trong hộp $C$. (Làm tròn đến hàng phần trăm.)

Câu 80.Có ba hộp rỗng được ký hiệu là $A$, $B$ và $C$. Người ta thực hiện một phép thử như sau: gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất, gọi $k$ là số chấm xuất hiện. Mỗi lần gieo, người ta lấy đúng $2$ quả bóng để cho vào các hộp theo quy tắc: nếu $k \le 2$ thì cho cả $2$ quả bóng vào hộp $A$; nếu $2 \le k \le 5$ thì cho $1$ quả bóng vào hộp $A$ và $1$ quả bóng vào hộp $B$; nếu $k = 6$ thì cho $1$ quả bóng vào hộp $B$ và $1$ quả bóng vào hộp $C$. Thực hiện lặp lại phép thử trên $2$ lần. Biết rằng sau $2$ lần gieo, số bóng có trong hộp $A$ là một số chẵn, tính xác suất để số bóng trong hộp $B$ nhiều hơn số bóng trong hộp $C$. (Làm tròn đến hàng phần trăm.)

Câu 81.Có ba hộp rỗng được ký hiệu là $A$, $B$ và $C$. Người ta thực hiện một phép thử như sau: gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất, gọi $k$ là số chấm xuất hiện. Mỗi lần gieo, người ta lấy đúng $2$ quả bóng để cho vào các hộp theo quy tắc: nếu $k \le 3$ thì cho cả $2$ quả bóng vào hộp $A$; nếu $3 \le k \le 5$ thì cho $1$ quả bóng vào hộp $A$ và $1$ quả bóng vào hộp $B$; nếu $k = 6$ thì cho $1$ quả bóng vào hộp $B$ và $1$ quả bóng vào hộp $C$. Thực hiện lặp lại phép thử trên $2$ lần. Biết rằng sau $2$ lần gieo, số bóng có trong hộp $A$ là một số chẵn, tính xác suất để số bóng trong hộp $B$ nhiều hơn số bóng trong hộp $C$. (Làm tròn đến hàng phần trăm.)

28. SA (đếm xác suất xúc xắc + điều kiện hàm nghịch biến)Trả lời ngắn`dice_params_rational_decreasing_count_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 82.Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x^2 + a x + 4}{x - b}$ với $a, b$ lần lượt là số chấm trên mặt xuất hiện của hai lần gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Biết xác suất để hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(2; 4)$ là $\dfrac{m}{n}$ ($m, n \in \mathbb{N}^*$, $\dfrac{m}{n}$ tối giản). Tính $m^2 + n^2$.

Câu 83.Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x^2 + a x + 4}{x - b}$ với $a, b$ lần lượt là số chấm trên mặt xuất hiện của hai lần gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Biết xác suất để hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(1; 4)$ là $\dfrac{m}{n}$ ($m, n \in \mathbb{N}^*$, $\dfrac{m}{n}$ tối giản). Tính $m^2 + n^2$.

Câu 84.Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x^2 + a x + 4}{x - b}$ với $a, b$ lần lượt là số chấm trên mặt xuất hiện của hai lần gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Biết xác suất để hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$ là $\dfrac{m}{n}$ ($m, n \in \mathbb{N}^*$, $\dfrac{m}{n}$ tối giản). Tính $m^2 + n^2$.

29. Xác suất xếp chỗ trong LƯỚI 2D + khoảng cách Euclid (điều kiện/Bayes)Trả lời ngắn`grid_seating_infection_distance_sa`(1 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(1 câu)

Câu 85.Trong một phòng thi, một bạn bị nhiễm cúm A nhưng không hay biết. Khả năng lây nhiễm với người ngồi trong vòng bán kính $1,8$ m là $80\%$ và với người ngồi cách hơn $1,8$ m là $5\%$. Phòng thi có $4$ dãy, mỗi dãy $6$ chỗ ngồi xếp thành lưới chữ nhật; khoảng cách giữa hai chỗ theo hàng ngang là $1,4$ m, theo hàng dọc là $1,0$ m. Các thí sinh được xếp ngẫu nhiên. Một bạn cùng phòng sau khi dự thi đi kiểm tra thì KHÔNG bị nhiễm. Xác suất để bạn đó ngồi trong vòng bán kính $1,8$ m so với người bị bệnh là phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$ ($a,b \in \mathbb{N}^*$). Tính $S = a + 2b$.

30. VDC++ (SA): Trận đấu giả lập Lee Sedol vs AlphaGoTrả lời ngắn`lee_sedol_alphago_random_walk_6games`(1 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(1 câu)

Câu 86.Năm $2016$, trong chiến dịch mang tên "Niềm tự hào cuối cùng của loài người", kỳ thủ cờ vây số một thế giới Lee Sedol đã có trận đấu lịch sử với trí tuệ nhân tạo AlphaGo. Một trò chơi mô phỏng trận đấu này có luật như sau: Điểm khởi đầu của kỳ thủ là $2$. Trong mỗi ván đấu, nếu thắng kỳ thủ được cộng $1$ điểm, nếu hòa điểm số không thay đổi, nếu thua bị trừ $1$ điểm. Trận đấu kết thúc ngay khi kỳ thủ đạt $3$ điểm (giành chiến thắng) hoặc $0$ điểm (thất bại). Giả sử xác suất mỗi ván thắng, hòa, thua của kỳ thủ lần lượt là $\dfrac{1}{4},\, \dfrac{1}{4},\, \dfrac{1}{2}$ và kết quả các ván đấu là độc lập với nhau. Xác suất để trận đấu kết thúc sau đúng $6$ ván và kỳ thủ là người giành chiến thắng là $p$. Tính $4096\, p$.

31. Cho $P(A)$ và $P(B|A)$, tính $P(A \cap B)$ (số thập phân)Trả lời ngắn`multiplication_rule_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 87.Cho $P(A) = \dfrac{1}{3}$, $P(B|A) = \dfrac{1}{3}$. Tính $P(A \cap B)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 88.Cho $P(A) = \dfrac{1}{3}$, $P(B|A) = \dfrac{1}{5}$. Tính $P(A \cap B)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 89.Cho $P(A) = \dfrac{1}{5}$, $P(B|A) = \dfrac{1}{4}$. Tính $P(A \cap B)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

32. SA (Bayes hậu nghiệm): Một công ty gồm hai xí nghiệp I, II cùng sản xuấtTrả lời ngắn`sa_bayes_factory_defect_detection`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 90.Một công ty giao cho hai xí nghiệp I và II sản xuất $24000$ sản phẩm. Xí nghiệp I sản xuất $15000$ sản phẩm và có tỉ lệ phế phẩm là $3\%$, xí nghiệp II sản xuất $9000$ sản phẩm và có tỉ lệ phế phẩm là $6\%$. Công ty có một hệ thống dùng để phát hiện phế phẩm cho các sản phẩm của hai xí nghiệp trên. Biết rằng nếu một phế phẩm đi qua hệ thống thì nó phát hiện đúng được $94\%$, và hệ thống dự đoán đúng được $93\%$ nếu một sản phẩm không là phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm trong toàn bộ $24000$ sản phẩm rồi cho đi qua hệ thống. Biết rằng sản phẩm đó bị hệ thống báo là phế phẩm, tính xác suất để sản phẩm được chọn là của xí nghiệp $I$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 91.Một công ty giao cho hai xí nghiệp I và II sản xuất $24000$ sản phẩm. Xí nghiệp I sản xuất $17000$ sản phẩm và có tỉ lệ phế phẩm là $5\%$, xí nghiệp II sản xuất $7000$ sản phẩm và có tỉ lệ phế phẩm là $5\%$. Công ty có một hệ thống dùng để phát hiện phế phẩm cho các sản phẩm của hai xí nghiệp trên. Biết rằng nếu một phế phẩm đi qua hệ thống thì nó phát hiện đúng được $93\%$, và hệ thống dự đoán đúng được $92\%$ nếu một sản phẩm không là phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm trong toàn bộ $24000$ sản phẩm rồi cho đi qua hệ thống. Biết rằng sản phẩm đó bị hệ thống báo là phế phẩm, tính xác suất để sản phẩm được chọn là của xí nghiệp $I$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 92.Một công ty giao cho hai xí nghiệp I và II sản xuất $24000$ sản phẩm. Xí nghiệp I sản xuất $17000$ sản phẩm và có tỉ lệ phế phẩm là $5\%$, xí nghiệp II sản xuất $7000$ sản phẩm và có tỉ lệ phế phẩm là $5\%$. Công ty có một hệ thống dùng để phát hiện phế phẩm cho các sản phẩm của hai xí nghiệp trên. Biết rằng nếu một phế phẩm đi qua hệ thống thì nó phát hiện đúng được $96\%$, và hệ thống dự đoán đúng được $93\%$ nếu một sản phẩm không là phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm trong toàn bộ $24000$ sản phẩm rồi cho đi qua hệ thống. Biết rằng sản phẩm đó bị hệ thống báo là phế phẩm, tính xác suất để sản phẩm được chọn là của xí nghiệp $I$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

33. SA (Bayes hậu nghiệm — BA phân xưởng, đáp số THẬP PHÂN làm tròn)Trả lời ngắn`sa_bayes_three_workshops_defect_posterior`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 93.Một công ty có ba phân xưởng sản xuất $M$, $N$, $P$. Xưởng $M$ sản xuất $60\%$ tổng số sản phẩm, xác suất sản phẩm bị lỗi là $3\%$. Xưởng $N$ sản xuất $20\%$ tổng số sản phẩm và xác suất sản phẩm bị lỗi là $2\%$. Xưởng $P$ sản xuất $20\%$ tổng số sản phẩm, xác suất sản phẩm bị lỗi là $1\%$. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm bị lỗi, hỏi xác suất sản phẩm đó do xưởng $N$ sản xuất là bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Câu 94.Một công ty có ba phân xưởng sản xuất $A$, $B$, $C$. Xưởng $A$ sản xuất $45\%$ tổng số sản phẩm, xác suất sản phẩm bị lỗi là $2\%$. Xưởng $B$ sản xuất $15\%$ tổng số sản phẩm và xác suất sản phẩm bị lỗi là $6\%$. Xưởng $C$ sản xuất $40\%$ tổng số sản phẩm, xác suất sản phẩm bị lỗi là $8\%$. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm bị lỗi, hỏi xác suất sản phẩm đó do xưởng $C$ sản xuất là bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Câu 95.Một công ty có ba phân xưởng sản xuất $M$, $N$, $P$. Xưởng $M$ sản xuất $45\%$ tổng số sản phẩm, xác suất sản phẩm bị lỗi là $8\%$. Xưởng $N$ sản xuất $15\%$ tổng số sản phẩm và xác suất sản phẩm bị lỗi là $2\%$. Xưởng $P$ sản xuất $40\%$ tổng số sản phẩm, xác suất sản phẩm bị lỗi là $3\%$. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm bị lỗi, hỏi xác suất sản phẩm đó do xưởng $P$ sản xuất là bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

34. SA (câu phụ dễ hơn — xác suất KHÔNG điều kiện): cùng bối cảnh hai túi rút có hoàn lại 2 lần, tính xác suất THUẦN $P(S_A > S_B)$ (không cho biết trước điều kiện nào)Trả lời ngắn`two_bags_sum_a_greater_b_unconditional_prob`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 96.Hai hộp $I$ và $II$, mỗi hộp chứa $4$ tấm thẻ được đánh số $1, 2, 3, 4$. Từ mỗi hộp rút có hoàn lại $2$ lần và tính tổng số ghi trên các tấm thẻ rút được. Gọi $\dfrac{q}{p}$ (tối giản) là xác suất để tổng của hộp $I$ lớn hơn tổng của hộp $II$. Tính $p + q$.

Câu 97.Hai hộp $I$ và $II$, mỗi hộp chứa $3$ tấm thẻ được đánh số $1, 2, 3$. Từ mỗi hộp rút có hoàn lại $2$ lần và tính tổng số ghi trên các tấm thẻ rút được. Gọi $\dfrac{q}{p}$ (tối giản) là xác suất để tổng của hộp $I$ lớn hơn tổng của hộp $II$. Tính $p + q$.

Câu 98.Hai túi $A$ và $B$, mỗi túi chứa $3$ quả bóng được đánh số $1, 2, 3$. Từ mỗi túi lấy có hoàn lại $2$ lần và tính tổng số ghi trên các quả bóng lấy được. Gọi $\dfrac{q}{p}$ (tối giản) là xác suất để tổng của túi $A$ lớn hơn tổng của túi $B$. Tính $p + q$.

35. SA (xác suất có điều kiện, liệt kê đầy đủ): Hai túi A, B mỗi túi chứa các quả/thẻ đánh số (dải liên tiếp ngắn)Trả lời ngắn`two_bags_sum_target_given_a_beats_b_prob`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 99.Hai túi $A$ và $B$, mỗi túi chứa $4$ quả bóng được đánh số $1, 2, 3, 4$. Từ mỗi túi lấy có hoàn lại $2$ lần và tính tổng số ghi trên các quả bóng lấy được. Biết tổng của túi $A$ lớn hơn tổng của túi $B$, gọi $\dfrac{q}{p}$ (tối giản) là xác suất tổng của túi $A$ bằng $7$. Tính $p + q$.

Câu 100.Hai thùng $M$ và $N$, mỗi thùng chứa $4$ lá phiếu được đánh số $2, 3, 4, 5$. Từ mỗi thùng rút có hoàn lại $2$ lần và tính tổng số ghi trên các lá phiếu rút được. Biết tổng của thùng $M$ lớn hơn tổng của thùng $N$, gọi $\dfrac{q}{p}$ (tối giản) là xác suất tổng của thùng $M$ bằng $5$. Tính $p + q$.

Câu 101.Hai hộp $I$ và $II$, mỗi hộp chứa $4$ tấm thẻ được đánh số $2, 3, 4, 5$. Từ mỗi hộp rút có hoàn lại $2$ lần và tính tổng số ghi trên các tấm thẻ rút được. Biết tổng của hộp $I$ lớn hơn tổng của hộp $II$, gọi $\dfrac{q}{p}$ (tối giản) là xác suất tổng của hộp $I$ bằng $8$. Tính $p + q$.

36. SA (đảo điều kiện): cùng bối cảnh hai túi rút có hoàn lại 2 lầnTrả lời ngắn`two_bags_sum_target_given_equal_prob`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 102.Hai rổ $X$ và $Y$, mỗi rổ chứa $3$ viên bi được đánh số $1, 2, 3$. Từ mỗi rổ bốc có hoàn lại $2$ lần và tính tổng số ghi trên các viên bi bốc được. Biết tổng của rổ $X$ bằng tổng của rổ $Y$, gọi $\dfrac{q}{p}$ (tối giản) là xác suất tổng của rổ $X$ bằng $5$. Tính $p + q$.

Câu 103.Hai hộp $I$ và $II$, mỗi hộp chứa $4$ tấm thẻ được đánh số $1, 2, 3, 4$. Từ mỗi hộp rút có hoàn lại $2$ lần và tính tổng số ghi trên các tấm thẻ rút được. Biết tổng của hộp $I$ bằng tổng của hộp $II$, gọi $\dfrac{q}{p}$ (tối giản) là xác suất tổng của hộp $I$ bằng $3$. Tính $p + q$.

Câu 104.Hai túi $A$ và $B$, mỗi túi chứa $3$ quả bóng được đánh số $2, 3, 4$. Từ mỗi túi lấy có hoàn lại $2$ lần và tính tổng số ghi trên các quả bóng lấy được. Biết tổng của túi $A$ bằng tổng của túi $B$, gọi $\dfrac{q}{p}$ (tối giản) là xác suất tổng của túi $A$ bằng $6$. Tính $p + q$.

Xác suất có điều kiện

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Định lý(2)

§3. Công thức(1)

§4. Phương pháp(1)

Bài tập

1. VDC: Bayes 3 nguồn — sản phẩm/bệnh phẩm/email lấy ngẫu nhiên có đặc điểm $L$ thuộc nguồn nào? Stem dài ≥ 6 dòng, lời giải có cây xác suất + công thức Bayes 3 tử sốTrắc nghiệmbayes_three_sources_realistic(3 câu)

2. VD cao: Bayes — sản phẩm lỗi đến từ nhà máy nào?Trắc nghiệmbayes_two_factories_defective(3 câu)

3. VDC++ (MC): Xét nghiệm y khoa 2 lần độc lập đều dương tính — cập nhật posterior bằng Bayes 2 lần liên tiếpTrắc nghiệmbayes_two_independent_tests_medical(3 câu)

4. Quan sát sơ đồ cây xác suất 2 nhánh, đọc xác suất có điều kiệnTrắc nghiệmconditional_from_tree(3 câu)

5. Tính $P(A|B)$ cho bốc viên bi từ hộpTrắc nghiệmconditional_probability_basic(3 câu)

6. Cho $P(B)$ và $P(A \cap B)$, tính $P(A|B) = P(A \cap B)/P(B)$Trắc nghiệmconditional_via_formula(3 câu)

7. Tung 1 con xúc xắc — gọi $A$ = "ra số chẵn", $B$ = "ra số $\geq 4$"Đúng / Saicond_prob_facts(3 câu)

8. Hộp có $n$ bi đỏ, $m$ bi xanh — rút 2 bi không hoàn lạiĐúng / Saicond_prob_facts2(3 câu)

9. TF: Hệ thống tự động \"đánh dấu\" một tỉ lệ $m$ số bài đăngĐúng / Saicontent_moderation_flag_violation_total_bayes_facts(3 câu)

10. TF: thêm mệnh đề kiểm tra $A, B$ độc lập (so $P(A\cap B)$ với $P(A)\cdot P(B)$, hoặc so $P(B\mid A)$ với $P(B)$)Đúng / Saicrosstab_independence_check_facts(3 câu)

11. TF (đảo điều kiện): thêm mệnh đề $P(A\mid B)$; bẫy lẫn $P(A\mid B)$ với $P(B\mid A)$Đúng / Saicrosstab_reverse_conditional_facts(3 câu)

12. TF: tỉ lệ mắc $q$, độ nhạy $se$, độ đặc hiệu $sp$Đúng / Saidiagnostic_test_prevalence_sensitivity_specificity_facts(3 câu)

13. TF: cho $P(A) = p_A$, $P(B) = p_B$ (biến cố chồng nhau) và $P(B\mid A) = r$Đúng / Saioverlap_events_intersection_complement_facts(3 câu)

15. TF: tầm soát bệnh, tỉ lệ mắc $q$, độ nhạy $se$, độ đặc hiệu $sp$Đúng / Saiscreening_false_rates_total_ppv_facts(3 câu)

16. TF (biến thể): cho dương tính giả / độ đặc hiệu trực tiếp; mệnh đề $P(\text{âm}\mid\text{mắc})=1-se$ và $P(\text{dương}\mid\text{không mắc})=1-sp$, cài bẫy nhầm với $1-se$Đúng / Saiscreening_test_false_negative_positive_bayes_facts(3 câu)

17. TF: Khảo sát ý định (ví dụ "sẽ xét tuyển bằng học bạ")Đúng / Saisurvey_declared_vs_actual_total_prob_bayes_facts(3 câu)

18. VDC (TF): Hộp có $blue$ bi xanh và $red$ bi đỏ (cùng kích thước, đánh số khác nhau)Đúng / Saitf_two_draws_balls_conditional_prob(3 câu)

19. TF: Lô hàng có $n_A$ sản phẩm nhà máy $A$ và $n_B$ của nhà máy $B$; tỉ lệ phế phẩm $d_A\%$ và $d_B\%$Đúng / Saitwo_factories_good_product_bayes_compare_facts(3 câu)

20. VDC (TF): Cửa hàng có $n_1$ hạt loại 1 (nảy mầm $p_1$) và $n_2$ hạt loại 2 (nảy mầm $p_2$)Đúng / Saitwo_seed_types_germination_xray_facts(3 câu)

21. VDC (TF): Hộp có $n_1$ câu loại 1 (tự nhiên) và $n_2$ câu loại 2 (xã hội)Đúng / Saitwo_students_draw_questions_no_replacement_facts(3 câu)

22. TF: đọc $P(A)$, $P(B\mid A)$, $P(B)$, $P(A\cap B)$ từ bảng 2 chiềuĐúng / Saitwo_way_table_conditional_prob_facts(3 câu)

23. TF: Công ty có hai phân xưởng $I$ (chiếm $w_1\%$) và $II$ (chiếm $w_2\%$) cùng sản xuất một loại linh kiện; tỉ lệ lỗi lần lượt $d_1\%$ và $d_2\%$Đúng / Saitwo_workshops_defect_total_prob_bayes_facts(3 câu)

24. VDC (TF): $P(A) = p_A$ — học sinh chọn tổ hợp A00Đúng / Saiuniversity_entrance_combo_A00_bayes_facts(3 câu)

25. TF: Kho hàng trộn linh kiện từ hai nguồn; $A$ = "linh kiện loại I", $B$ = "linh kiện tốt (không hỏng)"Đúng / Saiwarehouse_two_lots_good_part_total_prob_facts(3 câu)

26. Cho $P(A \cap B)$ và $P(B)$, tính $P(A|B)$ (số thập phân)Trả lời ngắnconditional_compute(3 câu)

27. SA (xác suất có điều kiện — gieo xúc xắc phân phối bóng vào 3 hộp)Trả lời ngắndice_distribute_balls_three_boxes_conditional_sa(3 câu)

28. SA (đếm xác suất xúc xắc + điều kiện hàm nghịch biến)Trả lời ngắndice_params_rational_decreasing_count_sa(3 câu)

29. Xác suất xếp chỗ trong LƯỚI 2D + khoảng cách Euclid (điều kiện/Bayes)Trả lời ngắngrid_seating_infection_distance_sa(1 câu)

30. VDC++ (SA): Trận đấu giả lập Lee Sedol vs AlphaGoTrả lời ngắnlee_sedol_alphago_random_walk_6games(1 câu)

31. Cho $P(A)$ và $P(B|A)$, tính $P(A \cap B)$ (số thập phân)Trả lời ngắnmultiplication_rule_sa(3 câu)

32. SA (Bayes hậu nghiệm): Một công ty gồm hai xí nghiệp I, II cùng sản xuấtTrả lời ngắnsa_bayes_factory_defect_detection(3 câu)

33. SA (Bayes hậu nghiệm — BA phân xưởng, đáp số THẬP PHÂN làm tròn)Trả lời ngắnsa_bayes_three_workshops_defect_posterior(3 câu)

34. SA (câu phụ dễ hơn — xác suất KHÔNG điều kiện): cùng bối cảnh hai túi rút có hoàn lại 2 lần, tính xác suất THUẦN $P(S_A > S_B)$ (không cho biết trước điều kiện nào)Trả lời ngắntwo_bags_sum_a_greater_b_unconditional_prob(3 câu)

35. SA (xác suất có điều kiện, liệt kê đầy đủ): Hai túi A, B mỗi túi chứa các quả/thẻ đánh số (dải liên tiếp ngắn)Trả lời ngắntwo_bags_sum_target_given_a_beats_b_prob(3 câu)

36. SA (đảo điều kiện): cùng bối cảnh hai túi rút có hoàn lại 2 lầnTrả lời ngắntwo_bags_sum_target_given_equal_prob(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. VDC: Bayes 3 nguồn — sản phẩm/bệnh phẩm/email lấy ngẫu nhiên có đặc điểm $L$ thuộc nguồn nào? Stem dài ≥ 6 dòng, lời giải có cây xác suất + công thức Bayes 3 tử sốTrắc nghiệm`bayes_three_sources_realistic`(3 câu)

2. VD cao: Bayes — sản phẩm lỗi đến từ nhà máy nào?Trắc nghiệm`bayes_two_factories_defective`(3 câu)

3. VDC++ (MC): Xét nghiệm y khoa 2 lần độc lập đều dương tính — cập nhật posterior bằng Bayes 2 lần liên tiếpTrắc nghiệm`bayes_two_independent_tests_medical`(3 câu)

4. Quan sát sơ đồ cây xác suất 2 nhánh, đọc xác suất có điều kiệnTrắc nghiệm`conditional_from_tree`(3 câu)

5. Tính $P(A|B)$ cho bốc viên bi từ hộpTrắc nghiệm`conditional_probability_basic`(3 câu)

6. Cho $P(B)$ và $P(A \cap B)$, tính $P(A|B) = P(A \cap B)/P(B)$Trắc nghiệm`conditional_via_formula`(3 câu)

7. Tung 1 con xúc xắc — gọi $A$ = "ra số chẵn", $B$ = "ra số $\geq 4$"Đúng / Sai`cond_prob_facts`(3 câu)

8. Hộp có $n$ bi đỏ, $m$ bi xanh — rút 2 bi không hoàn lạiĐúng / Sai`cond_prob_facts2`(3 câu)

9. TF: Hệ thống tự động \"đánh dấu\" một tỉ lệ $m$ số bài đăngĐúng / Sai`content_moderation_flag_violation_total_bayes_facts`(3 câu)

10. TF: thêm mệnh đề kiểm tra $A, B$ độc lập (so $P(A\cap B)$ với $P(A)\cdot P(B)$, hoặc so $P(B\mid A)$ với $P(B)$)Đúng / Sai`crosstab_independence_check_facts`(3 câu)

11. TF (đảo điều kiện): thêm mệnh đề $P(A\mid B)$; bẫy lẫn $P(A\mid B)$ với $P(B\mid A)$Đúng / Sai`crosstab_reverse_conditional_facts`(3 câu)

12. TF: tỉ lệ mắc $q$, độ nhạy $se$, độ đặc hiệu $sp$Đúng / Sai`diagnostic_test_prevalence_sensitivity_specificity_facts`(3 câu)

13. TF: cho $P(A) = p_A$, $P(B) = p_B$ (biến cố chồng nhau) và $P(B\mid A) = r$Đúng / Sai`overlap_events_intersection_complement_facts`(3 câu)

15. TF: tầm soát bệnh, tỉ lệ mắc $q$, độ nhạy $se$, độ đặc hiệu $sp$Đúng / Sai`screening_false_rates_total_ppv_facts`(3 câu)

16. TF (biến thể): cho dương tính giả / độ đặc hiệu trực tiếp; mệnh đề $P(\text{âm}\mid\text{mắc})=1-se$ và $P(\text{dương}\mid\text{không mắc})=1-sp$, cài bẫy nhầm với $1-se$Đúng / Sai`screening_test_false_negative_positive_bayes_facts`(3 câu)

17. TF: Khảo sát ý định (ví dụ "sẽ xét tuyển bằng học bạ")Đúng / Sai`survey_declared_vs_actual_total_prob_bayes_facts`(3 câu)

18. VDC (TF): Hộp có $blue$ bi xanh và $red$ bi đỏ (cùng kích thước, đánh số khác nhau)Đúng / Sai`tf_two_draws_balls_conditional_prob`(3 câu)

19. TF: Lô hàng có $n_A$ sản phẩm nhà máy $A$ và $n_B$ của nhà máy $B$; tỉ lệ phế phẩm $d_A\%$ và $d_B\%$Đúng / Sai`two_factories_good_product_bayes_compare_facts`(3 câu)

20. VDC (TF): Cửa hàng có $n_1$ hạt loại 1 (nảy mầm $p_1$) và $n_2$ hạt loại 2 (nảy mầm $p_2$)Đúng / Sai`two_seed_types_germination_xray_facts`(3 câu)

21. VDC (TF): Hộp có $n_1$ câu loại 1 (tự nhiên) và $n_2$ câu loại 2 (xã hội)Đúng / Sai`two_students_draw_questions_no_replacement_facts`(3 câu)

22. TF: đọc $P(A)$, $P(B\mid A)$, $P(B)$, $P(A\cap B)$ từ bảng 2 chiềuĐúng / Sai`two_way_table_conditional_prob_facts`(3 câu)

23. TF: Công ty có hai phân xưởng $I$ (chiếm $w_1\%$) và $II$ (chiếm $w_2\%$) cùng sản xuất một loại linh kiện; tỉ lệ lỗi lần lượt $d_1\%$ và $d_2\%$Đúng / Sai`two_workshops_defect_total_prob_bayes_facts`(3 câu)

24. VDC (TF): $P(A) = p_A$ — học sinh chọn tổ hợp A00Đúng / Sai`university_entrance_combo_A00_bayes_facts`(3 câu)

25. TF: Kho hàng trộn linh kiện từ hai nguồn; $A$ = "linh kiện loại I", $B$ = "linh kiện tốt (không hỏng)"Đúng / Sai`warehouse_two_lots_good_part_total_prob_facts`(3 câu)

26. Cho $P(A \cap B)$ và $P(B)$, tính $P(A|B)$ (số thập phân)Trả lời ngắn`conditional_compute`(3 câu)

27. SA (xác suất có điều kiện — gieo xúc xắc phân phối bóng vào 3 hộp)Trả lời ngắn`dice_distribute_balls_three_boxes_conditional_sa`(3 câu)

28. SA (đếm xác suất xúc xắc + điều kiện hàm nghịch biến)Trả lời ngắn`dice_params_rational_decreasing_count_sa`(3 câu)

29. Xác suất xếp chỗ trong LƯỚI 2D + khoảng cách Euclid (điều kiện/Bayes)Trả lời ngắn`grid_seating_infection_distance_sa`(1 câu)

30. VDC++ (SA): Trận đấu giả lập Lee Sedol vs AlphaGoTrả lời ngắn`lee_sedol_alphago_random_walk_6games`(1 câu)

31. Cho $P(A)$ và $P(B|A)$, tính $P(A \cap B)$ (số thập phân)Trả lời ngắn`multiplication_rule_sa`(3 câu)

32. SA (Bayes hậu nghiệm): Một công ty gồm hai xí nghiệp I, II cùng sản xuấtTrả lời ngắn`sa_bayes_factory_defect_detection`(3 câu)

33. SA (Bayes hậu nghiệm — BA phân xưởng, đáp số THẬP PHÂN làm tròn)Trả lời ngắn`sa_bayes_three_workshops_defect_posterior`(3 câu)

34. SA (câu phụ dễ hơn — xác suất KHÔNG điều kiện): cùng bối cảnh hai túi rút có hoàn lại 2 lần, tính xác suất THUẦN $P(S_A > S_B)$ (không cho biết trước điều kiện nào)Trả lời ngắn`two_bags_sum_a_greater_b_unconditional_prob`(3 câu)

35. SA (xác suất có điều kiện, liệt kê đầy đủ): Hai túi A, B mỗi túi chứa các quả/thẻ đánh số (dải liên tiếp ngắn)Trả lời ngắn`two_bags_sum_target_given_a_beats_b_prob`(3 câu)

36. SA (đảo điều kiện): cùng bối cảnh hai túi rút có hoàn lại 2 lầnTrả lời ngắn`two_bags_sum_target_given_equal_prob`(3 câu)