Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Định nghĩa GTLN / GTNN của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D$.

$M = \max_{D} f(x) \Leftrightarrow$ $f(x) \leq M, \forall x \in D$ và tồn tại $x_0 \in D$ với $f(x_0) = M$.
$m = \min_{D} f(x) \Leftrightarrow$ $f(x) \geq m, \forall x \in D$ và tồn tại $x_0 \in D$ với $f(x_0) = m$.

Ghi chú. GTLN/GTNN ≠ cực trị: GTLN/GTNN là giá trị lớn/nhỏ nhất toàn cục trên $D$.

§2. Định lý(1)

2.1

Định lý Weierstrass (sự tồn tại GTLN/GTNN)

Hàm số $f$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ thì luôn đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

Ghi chú. Trên khoảng mở $(a;b)$ hoặc nửa đoạn không đảm bảo tồn tại GTLN/GTNN.

§3. Công thức(4)

3.1

AM-GM: $x + \dfrac{k}{x}$

Với $x > 0$ và $k > 0$: $$x + \dfrac{k}{x} \geq 2 \sqrt{k},$$ dấu $=$ khi $x = \sqrt{k}$. → GTNN $= 2\sqrt{k}$. Lưu ý: dấu $=$ chỉ áp dụng nếu $\sqrt{k}$ thuộc miền xác định (vd nếu yêu cầu $x \in [a; b]$, kiểm tra $\sqrt{k} \in [a; b]$, nếu không → so sánh tại biên).

3.2

Cửa sổ Norman (hình chữ nhật + nửa hình tròn)

Cửa sổ gồm hình chữ nhật rộng $x$, cao $h$ + nửa hình tròn đường kính $x$ bên trên. Chu vi cố định $P$: $$P = 2h + x + \dfrac{\pi x}{2}.$$ Diện tích $S = xh + \dfrac{\pi x^2}{8}$. Khi $S$ max (chu vi cho trước): $$x^ = \dfrac{2 P}{4 + \pi}, \quad h^ = \dfrac{x^*}{2}.$$ Tức chiều cao = nửa chiều ngang (bán kính nửa tròn = chiều cao hình chữ nhật).

3.3

Hộp không nắp từ tấm vuông cạnh $a$

Cắt 4 góc tấm vuông cạnh $a$ thành 4 hình vuông cạnh $x$, gấp lên → hộp: $$V(x) = x(a - 2x)^2, \quad 0 < x < a/2.$$ $V'(x) = (a-2x)(a-6x) \Rightarrow x = \dfrac{a}{6}$ (loại $x = a/2$). Kết quả:

Chiều cao tối ưu: $x^* = a/6$.
GTLN của $V$: $V_{\max} = \dfrac{a}{6} \cdot \left(\dfrac{2a}{3}\right)^2 = \dfrac{2 a^3}{27}$.

3.4

Hộp không nắp đáy vuông, thể tích $V$ cố định — min chi phí

Hộp đáy vuông cạnh $x$, cao $h$, không nắp. Thể tích $V = x^2 h$ cố định → $h = V/x^2$. Chi phí: đáy chi phí $c_d$/đv², thành bên $c_t$/đv²: $$C(x) = c_d x^2 + 4 c_t x h = c_d x^2 + \dfrac{4 c_t V}{x}.$$ $C'(x) = 0 \Rightarrow x^* = \sqrt[3]{\dfrac{2 c_t V}{c_d}}$. Tổng quát: đáy cố định + thành cộng chi phí → cạnh tối ưu theo căn bậc 3 của tỉ lệ chi phí.

§4. Phương pháp(4)

4.1

Phương pháp tìm GTLN, GTNN trên đoạn $[a;b]$

Bước 1. Tính $f'(x)$, tìm các điểm $x_i \in (a;b)$ mà $f'(x_i) = 0$ hoặc $f'(x_i)$ không xác định. Bước 2. Tính $f(a), f(b)$ và $f(x_i)$ cho mọi $i$. Bước 3. So sánh các giá trị trên:

Lớn nhất → GTLN.
Nhỏ nhất → GTNN.

4.2

Phương pháp giải bài toán tối ưu thực tế

Bước 1 — Đặt ẩn: chọn biến (vd $x$ = số sản phẩm, $x$ = chiều dài, ...). Xác định điều kiện ràng buộc.$x \in D$ (vd $D = (0; M]$). Bước 2 — Lập hàm mục tiêu $f(x)$ (lợi nhuận / chi phí / thể tích / diện tích ...) theo biến đã đặt. Bước 3 — Khảo sát $f$ trên $D$:

Tính $f'(x)$, giải $f'(x) = 0$.
Lập bảng biến thiên hoặc so sánh giá trị tại biên + điểm tới hạn.

Bước 4 — Kết luận giá trị tối ưu + giải thích bài toán thực tế.

4.3

GTLN/GTNN hàm phân thức lượng giác $y = \dfrac{a\sin x + b\cos x + c}{a'\sin x + b'\cos x + c'}$

Bước 1. Đặt $y = $ biểu thức, nhân chéo: $y(a'\sin x + b'\cos x + c') = a\sin x + b\cos x + c$. Bước 2. Gom các hệ số $\sin x, \cos x$ về 1 vế: $(y a' - a)\sin x + (y b' - b)\cos x = c - y c'$. Bước 3. Điều kiện có nghiệm (dạng $A\sin x + B\cos x = C$): $A^2 + B^2 \geq C^2$. Bước 4. Đó là bất phương trình bậc 2 theo $y$ → giải tìm khoảng $y$. Bước 5. GTLN = đầu phải, GTNN = đầu trái.

4.4

Dây nối 2 cột chạm đất min — phép phản chiếu

Hai cột chiều cao $h_1, h_2$ cách nhau $d$ trên mặt đất. Tìm điểm $M$ trên mặt đất giữa 2 cột để $h_1 M + M h_2$ (tổng dây) min. Phương pháp phản chiếu: lấy đối xứng đỉnh cột 2 qua mặt đất → khoảng cách min khi $M$ thẳng hàng giữa đỉnh cột 1 và ảnh phản chiếu cột 2. Vị trí tối ưu (tỉ lệ): $AM = \dfrac{d h_1}{h_1 + h_2}$. → Áp dụng cho dây cáp, bài 'người đi từ A qua sông đến B' (đường tia phản chiếu).

§5. Mẹo(1)

5.1

Mẹo: nhận diện hàm catenary + logistic

Catenary (dây võng): $y = a(e^{x/c} + e^{-x/c})$ — đối xứng, điểm thấp nhất tại $x = 0$.

$y' = (a/c)(e^{x/c} - e^{-x/c}) = 0 \Leftrightarrow x = 0$. Khác parabol — không phải $y = ax^2$.

Logistic growth: $f(t) = \dfrac{K}{1 + A e^{-kt}}$ — tốc độ $f'(t)$ đạt max tại điểm uốn:

$t^ = \dfrac{\ln A}{k}$, ứng với $f(t^) = K/2$. → Bài thực tế (dây điện, tăng trưởng vi khuẩn) — đừng giả định parabol / mũ đơn thuần.

§6. Lưu ý(1)

6.1!

Lưu ý: kiểm tra điểm tới hạn có thuộc miền không

Sau khi giải $f'(x) = 0$ tìm điểm tới hạn $x^*$:

Bắt buộc kiểm tra $x^* \in$ miền cho phép (đoạn / khoảng đề ra).
Nếu $x^*$ ngoài miền: bỏ qua, GTLN/GTNN đạt tại biên.
Nếu nhiều $x^*$: tính giá trị tại các điểm $\in$ miền + 2 biên, so sánh.

Nhiều bài bị sai vì dùng $x^*$ ngoài miền (vd $x = -3$ cho bài $x \geq 0$).

Bài tập

1. GTLN–GTNN của $|z|$ khi $z$ chạy trên đường tròn quỹ tích (ĐỌC HÌNH Argand)Trắc nghiệm`argand_circle_modulus_max_min_mc`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 1.Cho số phức $z$ thoả mãn $|z - 6 + 8i| = 1$. Gọi $M$ là điểm biểu diễn $z$ trên mặt phẳng toạ độ (hình vẽ). Tìm nhỏ nhất của $|z|$ (bằng độ dài $OM$).

Đường tròn quỹ tích |z-z0|=R trên mặt phẳng Argand

A.$\min |z| = 10$

B.$\min |z| = 9$

C.$\min |z| = 11$

D.$\min |z| = 101$

Câu 2.Cho số phức $z$ thoả mãn $|z - 5 + 12i| = 2$. Gọi $M$ là điểm biểu diễn $z$ trên mặt phẳng toạ độ (hình vẽ). Tìm lớn nhất của $|z|$ (bằng độ dài $OM$).

Đường tròn quỹ tích |z-z0|=R trên mặt phẳng Argand

A.$\max |z| = 15$

B.$\max |z| = 13$

C.$\max |z| = 171$

D.$\max |z| = 11$

Câu 3.Cho số phức $z$ thoả mãn $|z - 4 + 3i| = 1$. Gọi $M$ là điểm biểu diễn $z$ trên mặt phẳng toạ độ (hình vẽ). Tìm tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $|z|$ (bằng độ dài $OM$).

Đường tròn quỹ tích |z-z0|=R trên mặt phẳng Argand

A.$\max|z| + \min|z| = 5$

B.$\max|z| + \min|z| = 6$

C.$\max|z| + \min|z| = 26$

D.$\max|z| + \min|z| = 10$

2. Tìm GTLN/GTNN của hàm bậc 3 trên đoạn $[a; b]$Trắc nghiệm`cubic_max_min_on_interval`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = - x^{3} + 3 x + 1$ trên đoạn $[-2; 3]$.

A.$-16$

B.$-17$

C.$-18$

D.$3$

Câu 5.Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ trên đoạn $[-1; 4]$.

A.$0$

B.$21$

C.$19$

D.$20$

Câu 6.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ trên đoạn $[-1; 4]$.

A.$1$

B.$20$

C.$-1$

D.$0$

3. Cho $f(x) = x^3 - 3x + m$, tìm $m$ để GTLN trên $[0; 2]$ bằng $k$Trắc nghiệm`m_for_max_equals_value`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 3x + m$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng $6$.

A.$m = 2$

B.$m = 4$

C.$m = 6$

D.$m = -4$

Câu 8.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 3x + m$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng $8$.

A.$m = 8$

B.$m = -6$

C.$m = 4$

D.$m = 6$

Câu 9.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 3x + m$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng $9$.

A.$m = 7$

B.$m = -7$

C.$m = 9$

D.$m = 5$

4. ĐẢO NGƯỢC. Cho họ $f(x) = x^2 - 2a\,x + (m^2 - b)$ trên $\mathbb{R}$; tìm $m$ để GTNN trên $\mathbb{R}$ bằng giá trị $k$ cho trướcTrắc nghiệm`m_for_min_on_R_equals_value_reverse_mc`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^2 - 2x + m^2 - 2$ trên $\mathbb{R}$ bằng $13$.

A.$m = \pm \sqrt{13}$

B.$m = \pm 4$

C.$m = 4$

D.$m = -4$

Câu 11.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^2 - 4x + m^2 - 4$ trên $\mathbb{R}$ bằng $-4$.

A.$m = -2$

B.$m = \pm 2$

C.$m = 2$

D.Không tồn tại $m$

Câu 12.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^2 - 6x + m^2 - 1$ trên $\mathbb{R}$ bằng $15$.

A.$m = -5$

B.$m = 5$

C.$m = \pm 5$

D.$m = \pm \sqrt{15}$

5. Đọc BBT trên đoạn $[a; b]$ → tính $M - m$Trắc nghiệm`max_min_difference_from_graph`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-2; 2]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-2; 2]$. Giá trị $M - m$ bằng

Bảng biến thiên của f(x) liên tục trên đoạn [-2; 2]

A.$M - m = 9$

B.$M - m = -9$

C.$M - m = -1$

D.$M - m = 10$

Câu 14.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-3; 5]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-3; 5]$. Giá trị $M - m$ bằng

Bảng biến thiên của f(x) liên tục trên đoạn [-3; 5]

A.$M - m = -4$

B.$M - m = 5$

C.$M - m = 4$

D.$M - m = 0$

Câu 15.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1; 6]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-1; 6]$. Giá trị $M - m$ bằng

Bảng biến thiên của f(x) liên tục trên đoạn [-1; 6]

A.$M - m = 7$

B.$M - m = 8$

C.$M - m = -7$

D.$M - m = 1$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 16.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[0; 4]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0; 4]$. Giá trị $M - m$ bằng

Bảng biến thiên của f(x) liên tục trên đoạn [0; 4]

A.$M - m = 2$

B.$M - m = -10$

C.$M - m = 11$

D.$M - m = 10$

Câu 17.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[1; 5]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[1; 5]$. Giá trị $M - m$ bằng

Bảng biến thiên của f(x) liên tục trên đoạn [1; 5]

A.$M - m = 0$

B.$M - m = 7$

C.$M - m = -8$

D.$M - m = 8$

Câu 18.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-2; 2]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-2; 2]$. Giá trị $M - m$ bằng

Bảng biến thiên của f(x) liên tục trên đoạn [-2; 2]

A.$M - m = -3$

B.$M - m = 8$

C.$M - m = -7$

D.$M - m = 7$

6. VD-VDC THPT. Tìm GTLN, GTNN của hàm $y = \dfrac{\sin x + a}{b + \cos x}$ trên $\mathbb{R}$ (với $b > 1$)Trắc nghiệm`max_min_trig_rational_constraint`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 19.Cho hàm số $y = \dfrac{\sin x - 1}{5 + \cos x}$. Gọi $y_{\max}$, $y_{\min}$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$. Tính $y_{\max} + y_{\min}$.

A.$y_{\max} + y_{\min} = - \dfrac{1}{5}$

B.$y_{\max} + y_{\min} = \dfrac{5}{12}$

C.$y_{\max} + y_{\min} = 0$

D.$y_{\max} + y_{\min} = - \dfrac{5}{12}$

Câu 20.Cho hàm số $y = \dfrac{\sin x + 5}{7 + \cos x}$. Gọi $y_{\max}$, $y_{\min}$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$. Tính $y_{\max} + y_{\min}$.

A.$y_{\max} + y_{\min} = - \dfrac{35}{24}$

B.$y_{\max} + y_{\min} = \dfrac{1}{2}$

C.$y_{\max} + y_{\min} = \dfrac{35}{24}$

D.$y_{\max} + y_{\min} = \dfrac{5}{7}$

Câu 21.Cho hàm số $y = \dfrac{\sin x - 1}{3 + \cos x}$. Gọi $y_{\max}$, $y_{\min}$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$. Tính $y_{\max} \cdot y_{\min}$.

A.$y_{\max} \cdot y_{\min} = - \dfrac{3}{4}$

B.$y_{\max} \cdot y_{\min} = - \dfrac{1}{2}$

C.$y_{\max} \cdot y_{\min} = 0$

D.$y_{\max} \cdot y_{\min} = - \dfrac{1}{3}$

7. Tìm GTNN của $y = ax^2 + bx + c$ trên $\mathbb{R}$ ($a > 0$): $y_{min} = c - b^2/(4a)$Trắc nghiệm`min_of_quadratic_on_R`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 4x^2 + 2x - 1$ trên $\mathbb{R}$.

A.$y_{min} = - \dfrac{5}{4}$

B.$y_{min} = - \dfrac{9}{4}$

C.$y_{min} = \dfrac{5}{4}$

D.$y_{min} = - \dfrac{1}{4}$

Câu 23.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 4x^2 - 2x + 7$ trên $\mathbb{R}$.

A.$y_{min} = \dfrac{31}{4}$

B.$y_{min} = - \dfrac{27}{4}$

C.$y_{min} = \dfrac{27}{4}$

D.$y_{min} = \dfrac{23}{4}$

Câu 24.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 4x^2 + 8x - 2$ trên $\mathbb{R}$.

A.$y_{min} = -5$

B.$y_{min} = -7$

C.$y_{min} = -6$

D.$y_{min} = 6$

8. Tìm GTNN của $f(x) = x + k/x$ với $x > 0$, dùng AM-GM: $\geq 2\sqrt{k}$Trắc nghiệm`min_sum_with_constraint`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 25.Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x) = x + \dfrac{16}{x}$ trên $(0; +\infty)$.

A.$f_{min} = 16$

B.$f_{min} = 9$

C.$f_{min} = 8$

D.$f_{min} = 7$

Câu 26.Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x) = x + \dfrac{16}{x}$ trên $(0; +\infty)$.

A.$f_{min} = 7$

B.$f_{min} = 8$

C.$f_{min} = 16$

D.$f_{min} = 9$

Câu 27.Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ trên $(0; +\infty)$.

A.$f_{min} = 2$

B.$f_{min} = 1$

C.$f_{min} = 0$

D.$f_{min} = 3$

9. Tìm GTLN/GTNN của tam thức $-ax^2 + bx + c$ (đỉnh nằm trong đoạn)Trắc nghiệm`quadratic_max_on_interval`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Tìm giá trị lớn nhất của $f(x) = - 4 x^{2} - 7 x - 3$ trên $[-2; 3]$.

A.$\dfrac{1}{16}$

B.$-5$

C.$\dfrac{17}{16}$

D.$-60$

Câu 29.Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x) = - 4 x^{2} - 9 x - 5$ trên $[-3; 2]$.

A.$-39$

B.$\dfrac{1}{16}$

C.$-14$

D.$-38$

Câu 30.Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x) = - 4 x^{2} - 6 x - 1$ trên $[-5; 2]$.

A.$-70$

B.$-71$

C.$\dfrac{5}{4}$

D.$-29$

10. Cho ĐỒ THỊ hàm bậc ba $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ trên đoạn $[\text{lo}; \text{hi}]$Trắc nghiệm`read_max_on_interval_from_cubic_graph`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Cho hàm số $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[-3; 3]$ bằng:

Đồ thị hàm bậc ba trên đoạn [-3;3]

A.$f(-2)$

B.$f(2)$

C.$f(3)$

D.$f(-3)$

Câu 32.Cho hàm số $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[-2; 4]$ bằng:

Đồ thị hàm bậc ba trên đoạn [-2;4]

A.$f(-2)$

B.$f(2)$

C.$f(4)$

D.$f(-1)$

Câu 33.Cho hàm số $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[-3; 3]$ bằng:

Đồ thị hàm bậc ba trên đoạn [-3;3]

A.$f(2)$

B.$f(-3)$

C.$f(3)$

D.$f(-1)$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 34.Cho hàm số $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[-2; 4]$ bằng:

Đồ thị hàm bậc ba trên đoạn [-2;4]

A.$f(-1)$

B.$f(4)$

C.$f(-2)$

D.$f(2)$

Câu 35.Cho hàm số $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[-3; 3]$ bằng:

Đồ thị hàm bậc ba trên đoạn [-3;3]

A.$f(-1)$

B.$f(-3)$

C.$f(2)$

D.$f(3)$

Câu 36.Cho hàm số $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[-3; 3]$ bằng:

Đồ thị hàm bậc ba trên đoạn [-3;3]

A.$f(2)$

B.$f(3)$

C.$f(-2)$

D.$f(-3)$

11. Đọc BBT trên đoạn $[a; b]$ → hỏi RIÊNG GTLN hoặc GTNNTrắc nghiệm`read_max_or_min_on_interval_from_figure`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 37.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[0; 5]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0; 5]$. Giá trị lớn nhất $M$ của hàm số bằng

Bảng biến thiên của f(x) liên tục trên đoạn [0; 5]

A.$M = 6$

B.$M = -6$

C.$M = 1$

D.$M = 3$

Câu 38.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-3; 2]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-3; 2]$. Giá trị lớn nhất $M$ của hàm số bằng

Bảng biến thiên của f(x) liên tục trên đoạn [-3; 2]

A.$M = 0$

B.$M = 4$

C.$M = -6$

D.$M = 6$

Câu 39.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-4; 0]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-4; 0]$. Giá trị lớn nhất $M$ của hàm số bằng

Bảng biến thiên của f(x) liên tục trên đoạn [-4; 0]

A.$M = 4$

B.$M = 5$

C.$M = -5$

D.$M = 6$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 40.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-4; 6]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-4; 6]$. Giá trị lớn nhất $M$ của hàm số bằng

Bảng biến thiên của f(x) liên tục trên đoạn [-4; 6]

A.$M = 5$

B.$M = 6$

C.$M = -3$

D.$M = -6$

Câu 41.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-3; 3]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-3; 3]$. Giá trị lớn nhất $M$ của hàm số bằng

Bảng biến thiên của f(x) liên tục trên đoạn [-3; 3]

A.$M = 5$

B.$M = 2$

C.$M = -4$

D.$M = -5$

Câu 42.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-4; 4]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-4; 4]$. Giá trị lớn nhất $M$ của hàm số bằng

Bảng biến thiên của f(x) liên tục trên đoạn [-4; 4]

A.$M = 1$

B.$M = -6$

C.$M = 6$

D.$M = 2$

12. Bài toán tối ưu: hình chữ nhật chu vi $P$ → diện tích max khi nào?Trắc nghiệm`rectangle_max_area`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 43.Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng $100$, hình nào có diện tích lớn nhất? Tìm diện tích lớn nhất đó.

A.$S_{\max} = 621$

B.$S_{\max} = 629$

C.$S_{\max} = 625$

D.$S_{\max} = 1250$

Câu 44.Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng $20$, hình nào có diện tích lớn nhất? Tìm diện tích lớn nhất đó.

A.$S_{\max} = 50$

B.$S_{\max} = 21$

C.$S_{\max} = 29$

D.$S_{\max} = 25$

Câu 45.Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng $80$, hình nào có diện tích lớn nhất? Tìm diện tích lớn nhất đó.

A.$S_{\max} = 396$

B.$S_{\max} = 400$

C.$S_{\max} = 404$

D.$S_{\max} = 800$

13. Đọc BBT trên đoạn $[a; b]$ → tính $M + m$Trắc nghiệm`sum_max_min_from_graph_on_interval`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 46.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[1; 6]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[1; 6]$. Giá trị $M + m$ bằng

Bảng biến thiên của f(x) liên tục trên đoạn [1; 6]

A.$M + m = -9$

B.$M + m = 1$

C.$M + m = -4$

D.$M + m = 9$

Câu 47.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1; 4]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-1; 4]$. Giá trị $M + m$ bằng

Bảng biến thiên của f(x) liên tục trên đoạn [-1; 4]

A.$M + m = -2$

B.$M + m = -7$

C.$M + m = 7$

D.$M + m = -3$

Câu 48.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-4; 3]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-4; 3]$. Giá trị $M + m$ bằng

Bảng biến thiên của f(x) liên tục trên đoạn [-4; 3]

A.$M + m = 7$

B.$M + m = 3$

C.$M + m = -7$

D.$M + m = 4$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 49.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[2; 6]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[2; 6]$. Giá trị $M + m$ bằng

Bảng biến thiên của f(x) liên tục trên đoạn [2; 6]

A.$M + m = 4$

B.$M + m = -4$

C.$M + m = 0$

D.$M + m = -1$

Câu 50.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[0; 6]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0; 6]$. Giá trị $M + m$ bằng

Bảng biến thiên của f(x) liên tục trên đoạn [0; 6]

A.$M + m = 0$

B.$M + m = -2$

C.$M + m = 8$

D.$M + m = -8$

Câu 51.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-4; 6]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-4; 6]$. Giá trị $M + m$ bằng

Bảng biến thiên của f(x) liên tục trên đoạn [-4; 6]

A.$M + m = 6$

B.$M + m = -5$

C.$M + m = 5$

D.$M + m = 7$

14. TF ĐỌC HÌNH + ĐA BIỂU DIỄN: từ BBT của $f$ liên tục trên $[a;b]$ đọc $M=\max f$, $m=\min f$, rồi SUY max–min của các phép biến đổi $g(x)=p\,f(x)+q$ và $h(x)=f(x)+c$ (tịnh tiến / co giãn / đổi dấu)Đúng / Sai`composite_max_from_graph_shift_scale_tf`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 52.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[2; 6]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Đặt $g(x) = 3f(x) + 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Bảng biến thiên của f(x) liên tục trên đoạn [2; 6]

a)Giá trị lớn nhất của $f$ trên đoạn $[2; 6]$ bằng $3$.

b)Giá trị lớn nhất của hàm $g_1(x) = f(x) + 2$ trên đoạn bằng $3$.

c)Hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $g(x) = 3f(x) + 2$ trên đoạn bằng $9$.

d)Vì $p = 3 > 0$ nên $g$ đạt giá trị lớn nhất tại đúng điểm mà $f$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 53.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1; 4]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Đặt $g(x) = -2f(x) - 5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Bảng biến thiên của f(x) liên tục trên đoạn [-1; 4]

a)Giá trị nhỏ nhất của $g(x) = -2f(x) - 5$ trên đoạn bằng $-9$.

b)Giá trị lớn nhất của $g(x) = -2f(x) - 5$ trên đoạn bằng $-9$.

c)Hàm $h(x) = f(x) + 1$ có giá trị lớn nhất bằng $3$ và giá trị nhỏ nhất bằng $-4$.

d)Hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $g(x) = -2f(x) - 5$ trên đoạn bằng $-14$.

Câu 54.Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-2; 3]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Đặt $g(x) = -3f(x) - 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Bảng biến thiên của f(x) liên tục trên đoạn [-2; 3]

a)Giá trị lớn nhất của $g(x) = -3f(x) - 4$ trên đoạn bằng $-22$.

b)Hàm $h(x) = f(x) - 4$ có giá trị lớn nhất bằng $2$ và giá trị nhỏ nhất bằng $-8$.

c)Giá trị lớn nhất của hàm $g_1(x) = f(x) - 4$ trên đoạn bằng $6$.

d)Giá trị nhỏ nhất của $g(x) = -3f(x) - 4$ trên đoạn bằng $-22$.

15. TF bậc ba trên đoạn — TÁI HIỆN câu II-1 đề thi thử TN THPT 2026 cụm trường THPT số 7 Ninh Bình: $f(x) = x^3 - 27x + 10$ trên $[-4; 4]$Đúng / Sai`cubic_27x_interval_endpoint_maxtrap_pdf_tf`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 55.Cho hàm số $f(x) = x^3 - 12x + 5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình $f'(x) = 0$ có tập nghiệm là $S = \{2\}$.

b)Hàm số đã cho có đạo hàm là $f'(x) = 3x^2 - 12$.

c)$f(2) = 37$.

d)Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-3; 3]$ bằng $14$.

Câu 56.Cho hàm số $f(x) = x^3 - 48x + 12$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f(4) = 268$.

b)Phương trình $f'(x) = 0$ có tập nghiệm là $S = \{4\}$.

c)Hàm số đã cho có đạo hàm là $f'(x) = 3x^2 - 48$.

d)Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-5; 5]$ bằng $127$.

Câu 57.Cho hàm số $f(x) = x^3 - 27x + 10$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình $f'(x) = 0$ có tập nghiệm là $S = \{3\}$.

b)$f(3) = 118$.

c)Hàm số đã cho có đạo hàm là $f'(x) = 3x^2 - 27$.

d)Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-4; 4]$ bằng $54$.

16. Bậc ba trên đoạn: 4 ý — đạo hàm, tập nghiệm $f'=0$ trên đoạn (bẫy), giá trị $f$ tại ĐẦU MÚT, GTNN trên đoạnĐúng / Sai`cubic_critical_points_interval_minmax_tf`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 58.Cho hàm số $f(x) = x^3 - 27x + 7$ trên đoạn $[-4; 4]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f'(x) = 3x^2 - 9$.

b)$f(4) = -37$.

c)Trên đoạn $[-4; 4]$, phương trình $f'(x) = 0$ chỉ có một nghiệm $x = 3$.

d)Giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $[-4; 4]$ bằng $-47$ (đạt tại $x = 3$).

Câu 59.Cho hàm số $f(x) = x^3 - 12x + 3$ trên đoạn $[-3; 0]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f(0) = 3$.

b)Giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $[-3; 0]$ bằng $3$ (đạt tại $x = 0$).

c)Trên đoạn $[-3; 0]$, phương trình $f'(x) = 0$ có tập nghiệm $S = \{-2; 2\}$.

d)Giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $[-3; 0]$ bằng $19$.

Câu 60.Cho hàm số $f(x) = x^3 - 48x + 5$ trên đoạn $[-5; 0]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f(0) = 5$.

b)Giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $[-5; 0]$ bằng $5$ (đạt tại $x = 0$).

c)Trên đoạn $[-5; 0]$, phương trình $f'(x) = 0$ có tập nghiệm $S = \{-4\}$.

d)Giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $[-5; 0]$ bằng $133$.

17. Bậc ba trên đoạn: 4 ý — đạo hàm, tập nghiệm $f'=0$ trên đoạn (bẫy thiếu nghiệm), giá trị $f$ tại điểm tới hạn, GTLN trên đoạnĐúng / Sai`cubic_derivative_maxmin_on_interval_tf`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 61.Cho hàm số $f(x) = x^3 - 48x$ trên đoạn $[-5; 0]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f(-4) = 64$.

b)Giá trị lớn nhất của $f$ trên $[-5; 0]$ bằng $128$ (đạt tại $x = -4$).

c)$f(-4) = 128$.

d)Giá trị lớn nhất của $f$ trên $[-5; 0]$ bằng $0$.

Câu 62.Cho hàm số $f(x) = x^3 - 27x + 2$ trên đoạn $[-4; 0]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f(-3) = 56$.

b)$f'(x) = 3x^2 - 27$.

c)Trên đoạn $[-4; 0]$, phương trình $f'(x) = 0$ có tập nghiệm $S = \{-3; 3\}$.

d)$f(-3) = 20$.

Câu 63.Cho hàm số $f(x) = x^3 - 12x + 7$ trên đoạn $[0; 3]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Giá trị lớn nhất của $f$ trên $[0; 3]$ bằng $-9$.

b)Trên đoạn $[0; 3]$, phương trình $f'(x) = 0$ có tập nghiệm $S = \{-2; 2\}$.

c)$f'(x) = 3x^2 - 12$.

d)Giá trị lớn nhất của $f$ trên $[0; 3]$ bằng $7$ (đạt tại $x = 0$).

18. TF (PDF Cụm 10 Đắk Lắk 2026 — TF1): hàm bậc ba CHO QUA BẢNG BIẾN THIÊN với cực tiểu $A(x_1;y_1)$, cực đại $B(x_2;y_2)$ và $a<0$Đúng / Sai`cubic_from_bbt_two_extrema_interval_min_tf`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 64.Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Bảng biến thiên hàm bậc ba với cực tiểu (0;1) và cực đại (2;5)

a)Đồ thị hàm số đi qua hai điểm $(0;1)$, $(2;5)$.

b)$f'(x) = 0$ tại các giá trị $x = 1$, $x = 3$.

c)Hàm số có hệ số $a < 0$.

d)Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[1;3]$ bằng $5$.

Câu 65.Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Bảng biến thiên hàm bậc ba với cực tiểu (1;2) và cực đại (3;4)

a)$f'(x) = 0$ tại các giá trị $x = 2$, $x = 4$.

b)Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[2;4]$ bằng $\dfrac{7}{2}$.

c)Hàm số có hệ số $a < 0$.

d)Đồ thị hàm số đi qua hai điểm $(1;2)$, $(3;4)$.

Câu 66.Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Bảng biến thiên hàm bậc ba với cực tiểu (0;1) và cực đại (2;5)

a)Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[1;3]$ bằng $5$.

b)$f'(x) = 0$ tại các giá trị $x = 1$, $x = 3$.

c)Đồ thị hàm số đi qua hai điểm $(0;1)$, $(2;5)$.

d)Hàm số có hệ số $a < 0$.

19. Bậc ba trên đoạn: 4 ý — đạo hàm, tập nghiệm $f'=0$ trên đoạn (bẫy), giá trị $f$ tại điểm tới hạn, và HIỆU GTLN - GTNN trên đoạnĐúng / Sai`cubic_interval_extremum_difference_tf`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 67.Cho hàm số $f(x) = x^3 - 27x + 9$ trên đoạn $[0; 4]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f'(x) = 3x^2 - 27$.

b)$f(3) = -45$.

c)Hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $[0; 4]$ bằng $54$.

d)$f'(x) = 3x^2 - 9$.

Câu 68.Cho hàm số $f(x) = x^3 - 48x + 9$ trên đoạn $[-5; 0]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f(-4) = 137$.

b)Hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $[-5; 0]$ bằng $146$.

c)Hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $[-5; 0]$ bằng $128$.

d)$f'(x) = 3x^2 - 16$.

Câu 69.Cho hàm số $f(x) = x^3 - 48x + 9$ trên đoạn $[0; 5]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f'(x) = 3x^2 - 48$.

b)Hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $[0; 5]$ bằng $-110$.

c)Trên đoạn $[0; 5]$, phương trình $f'(x) = 0$ có tập nghiệm $S = \{-4; 4\}$.

d)Trên đoạn $[0; 5]$, phương trình $f'(x) = 0$ có tập nghiệm $S = \{4\}$.

20. TF (PDF Chuyên Lê Hồng Phong Ninh Bình 2026 lần 3 — TF3): $y = e^{x}(\sin x - \cos x)$ trên $[0;\pi]$Đúng / Sai`exp_times_sin_minus_cos_increasing_max_tf`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 70.Cho hàm số $y = e^{x}(\sin x - \cos x)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Các nghiệm của phương trình $y' = 0$ là $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ với $k \in \mathbb{Z}$.

b)Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 0$.

c)Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0; \pi]$ bằng $e^{\pi}$.

d)Đạo hàm của hàm số đã cho là $y' = 2e^{x}\sin x$.

Câu 71.Cho hàm số $y = e^{x}(\sin x - \cos x)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 0$.

b)Các nghiệm của phương trình $y' = 0$ là $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ với $k \in \mathbb{Z}$.

c)Đạo hàm của hàm số đã cho là $y' = 2e^{x}\sin x$.

d)Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0; \pi]$ bằng $e^{\pi}$.

Câu 72.Cho hàm số $y = e^{x}(\sin x - \cos x)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0; \pi]$ bằng $e^{\pi}$.

b)Các nghiệm của phương trình $y' = 0$ là $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ với $k \in \mathbb{Z}$.

c)Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 0$.

d)Đạo hàm của hàm số đã cho là $y' = 2e^{x}\sin x$.

21. Hàm siêu việt trên đoạn: 4 ý — giá trị đầu mút, công thức $f'$, nghiệm $f'=0$, và GTLN trên đoạn (đạt tại đầu mút)Đúng / Sai`log_or_exp_minmax_facts_tf`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 73.Cho hàm số $f(x) = e^{x} - 2x$ trên đoạn $[0; 4]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f'(x) = e^{x} - 2$.

b)Giá trị lớn nhất của $f$ trên $[0; 4]$ đạt tại điểm dừng $x = \ln 2$.

c)Giá trị lớn nhất của $f$ trên $[0; 4]$ bằng $e^{4} - 8$, đạt tại $x = 4$.

d)Phương trình $f'(x) = 0$ có nghiệm $x = \ln 3$.

Câu 74.Cho hàm số $f(x) = x\ln x$ trên đoạn $[e^{-2}; e]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f(e^{-2}) = -2e^{-2}$ và $f(e) = e$.

b)$f'(x) = \ln x + 1$.

c)Phương trình $f'(x) = 0$ có nghiệm $x = e$.

d)$f'(x) = \ln x$.

Câu 75.Cho hàm số $f(x) = e^{x} - 5x$ trên đoạn $[0; 2]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình $f'(x) = 0$ có nghiệm $x = \ln 5$ thuộc đoạn $[0; 2]$.

b)Phương trình $f'(x) = 0$ có nghiệm $x = \ln 6$.

c)$f(0) = e^{2} - 10$ và $f(2) = 1$.

d)Giá trị lớn nhất của $f$ trên $[0; 2]$ bằng $1$, đạt tại $x = 0$.

22. Cho hàm $f(x) = x + \dfrac{k}{x}$ trên đoạn $[a; b]$ cụ thể với điểm tới hạn $\sqrt{k}$ thuộc đoạn — xét đúng/sai GTLN/GTNNĐúng / Sai`max_min_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 76.Cho hàm số $f(x) = x + \dfrac{16}{x}$ trên đoạn $[1; 8]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f'(x) = 0$ tại $x = 4$ (trên đoạn $[1; 8]$).

b)$f'(x) = 1 - \dfrac{16}{x^2}$.

c)$f$ đồng biến trên toàn đoạn $[1; 8]$.

d)Giá trị nhỏ nhất bằng $f(1) = 17$.

Câu 77.Cho hàm số $f(x) = x + \dfrac{4}{x}$ trên đoạn $[1; 5]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f'(x) = 1 - \dfrac{4}{x^2}$.

b)Giá trị nhỏ nhất bằng $f(1) = 5.0$.

c)GTLN/GTNN luôn tồn tại với hàm liên tục trên đoạn đóng.

d)$f$ đồng biến trên toàn đoạn $[1; 5]$.

Câu 78.Cho hàm số $f(x) = x + \dfrac{9}{x}$ trên đoạn $[2; 6]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f'(x) = 1 - \dfrac{9}{x^2}$.

b)Giá trị lớn nhất của $f$ trên $[2; 6]$ bằng $7.5$, đạt tại $x = 6$.

c)GTLN/GTNN luôn tồn tại với hàm liên tục trên đoạn đóng.

d)Giá trị nhỏ nhất bằng $f(2) = 6.5$.

23. TF: tối ưu số máy sản xuấtĐúng / Sai`max_min_machine_cost_production_lp`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 79.Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất $3000$ quả bóng pickleball. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất $30$ quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là $200$ nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát (người giám sát sẽ giám sát tất cả các máy). Số tiền phải trả cho người giám sát là $200$ nghìn đồng một giờ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a)Trong $1$ giờ, cần $100$ máy để sản xuất được $3000$ quả bóng pickleball.

b)Trong $2$ giờ, cần $50$ máy để sản xuất được $3000$ quả bóng pickleball.

c)Chi phí hoạt động thấp nhất là $4{,}1$ triệu đồng.

d)Để chi phí hoạt động thấp nhất, công ty cần sử dụng $10$ máy.

Câu 80.Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất $10000$ quả bóng pickleball. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất $25$ quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là $100$ nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát (người giám sát sẽ giám sát tất cả các máy). Số tiền phải trả cho người giám sát là $100$ nghìn đồng một giờ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a)Trong $1$ giờ, cần $400$ máy để sản xuất được $10000$ quả bóng pickleball.

b)Trong $4$ giờ, cần $100$ máy để sản xuất được $10000$ quả bóng pickleball.

c)Chi phí hoạt động thấp nhất là $4{,}1$ triệu đồng.

d)Để chi phí hoạt động thấp nhất, công ty cần sử dụng $20$ máy.

Câu 81.Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất $6400$ quả bóng pickleball. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất $16$ quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là $100$ nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát (người giám sát sẽ giám sát tất cả các máy). Số tiền phải trả cho người giám sát là $100$ nghìn đồng một giờ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a)Trong $1$ giờ, cần $400$ máy để sản xuất được $6400$ quả bóng pickleball.

b)Trong $5$ giờ, cần $80$ máy để sản xuất được $6400$ quả bóng pickleball.

c)Chi phí hoạt động thấp nhất là $4{,}1$ triệu đồng.

d)Để chi phí hoạt động thấp nhất, công ty cần sử dụng $20$ máy.

24. Cho hàm bậc 2 $f(x) = ax^2 + bx + c$ cụ thể trên đoạn $[m; n]$ — xét đúng/sai GTLN/GTNN, đỉnh parabolĐúng / Sai`maxmin_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 82.Cho hàm số $f(x) = x^2 + 2x + 4$ trên đoạn $[-2; 1]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Giá trị lớn nhất của $f$ trên $[-2; 1]$ bằng $7$, đạt tại $x = 1$.

b)$f'(x) = 2 \cdot 1 x + 2x$.

c)GTLN của $f$ trên $[-2; 1]$ đạt tại đỉnh.

d)Giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $[-2; 1]$ bằng $3$.

Câu 83.Cho hàm số $f(x) = 2x^2 + 8x + 5$ trên đoạn $[-4; -1]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Giá trị lớn nhất của $f$ trên $[-4; -1]$ bằng $5$, đạt tại $x = -4$.

b)GTNN của hàm bậc 2 mở lên trên $\mathbb{R}$ đạt tại đỉnh.

c)Đỉnh parabol có hoành độ $x = -2$.

d)GTLN của $f$ trên $[-4; -1]$ đạt tại đỉnh.

Câu 84.Cho hàm số $f(x) = 2x^2 + 4x + 6$ trên đoạn $[-3; 0]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)GTLN của $f$ trên $[-3; 0]$ đạt tại đỉnh.

b)GTNN của hàm bậc 2 mở lên trên $\mathbb{R}$ đạt tại đỉnh.

c)Đỉnh parabol có hoành độ $x = -1$.

d)Hàm số liên tục trên đoạn nên có GTLN và GTNN.

25. Hàm siêu việt ($e^x-kx$ hoặc $x\ln x$) trên đoạn: 4 ý — giá trị đầu mút, công thức $f'$, nghiệm $f'=0$ thuộc đoạn, và GTNN trên đoạnĐúng / Sai`transcendental_extremum_on_interval_tf`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 85.Cho hàm số $f(x) = x\ln x$ trên đoạn $[e^{-3}; e^{2}]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $[e^{-3}; e^{2}]$ bằng $-\dfrac{1}{e}$.

b)$f(e^{-3}) = -3e^{-3}$ và $f(e^{2}) = 2e^{2}$.

c)$f'(x) = \ln x$.

d)Giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $[e^{-3}; e^{2}]$ bằng $-3e^{-3}$ (tại đầu mút $x = e^{-3}$).

Câu 86.Cho hàm số $f(x) = x\ln x$ trên đoạn $[e^{-2}; e^{2}]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình $f'(x) = 0$ có nghiệm $x = e$.

b)Giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $[e^{-2}; e^{2}]$ bằng $-\dfrac{1}{e}$.

c)Giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $[e^{-2}; e^{2}]$ bằng $-2e^{-2}$ (tại đầu mút $x = e^{-2}$).

d)$f(e^{-2}) = -2e^{-2}$ và $f(e^{2}) = 2e^{2}$.

Câu 87.Cho hàm số $f(x) = e^{x} - 3x$ trên đoạn $[0; 2]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f'(x) = e^{x} - 3$.

b)$f(0) = 1$ và $f(2) = e^{2} - 6$.

c)Giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $[0; 2]$ bằng $1$ (tại đầu mút $x = 0$).

d)$f'(x) = e^{x} - 2$.

26. Hàm siêu việt trên đoạn: 4 ý — như trên nhưng ý (d) hỏi TỔNG GTLN + GTNN trên đoạnĐúng / Sai`transcendental_sum_max_min_tf`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 88.Cho hàm số $f(x) = x\ln x$ trên đoạn $[e^{-2}; e^{2}]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình $f'(x) = 0$ có nghiệm $x = \dfrac{1}{e}$ thuộc đoạn $[e^{-2}; e^{2}]$.

b)$f'(x) = \ln x$.

c)Phương trình $f'(x) = 0$ có nghiệm $x = e$.

d)$f(e^{-2}) = -2e^{-2}$ và $f(e^{2}) = 2e^{2}$.

Câu 89.Cho hàm số $f(x) = e^{x} - 6x$ trên đoạn $[0; 4]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f(0) = 1$ và $f(4) = e^{4} - 24$.

b)$f'(x) = e^{x} - 5$.

c)Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $[0; 4]$ bằng $e^{4} - 24 + 6 - 6\ln 6$.

d)Phương trình $f'(x) = 0$ có nghiệm $x = \ln 7$.

Câu 90.Cho hàm số $f(x) = x\ln x$ trên đoạn $[e^{-2}; e]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$f'(x) = \ln x + 1$.

b)$f(e^{-2}) = e$ và $f(e) = -2e^{-2}$.

c)Phương trình $f'(x) = 0$ có nghiệm $x = e$.

d)Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $[e^{-2}; e]$ bằng $e - \dfrac{1}{e}$.

27. TF (PDF Cần Thơ 2026 lần 1 — TF2): $f(x)=A\sin(x+\varphi)-x$ trên đoạn $[0;\,b]$ với $\cos\varphi=1/A$ nên điểm dừng rơi vào $x=0$ và $f$ nghịch biến trên đoạn ⇒ GTLN $=f(0)=A\sin\varphi$Đúng / Sai`trig_sine_minus_linear_decreasing_max_tf`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 91.Cho hàm số $f(x)=2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)-x$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x)=2\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)-1$.

b)Nghiệm của phương trình $f'(x)=0$ trên đoạn $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ là $\dfrac{\pi}{3}$.

c)$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=- \dfrac{\pi}{2}$.

d)Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ là $\sqrt{3}$.

Câu 92.Cho hàm số $f(x)=2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)-x$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Nghiệm của phương trình $f'(x)=0$ trên đoạn $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ là $\dfrac{\pi}{3}$.

b)Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ là $1 - \dfrac{\pi}{2}$ (tại $x=\dfrac{\pi}{2}$).

c)Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ là $\sqrt{3}$.

d)$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=- \dfrac{\pi}{2}$.

Câu 93.Cho hàm số $f(x)=2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)-x$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ là $1 - \dfrac{\pi}{2}$ (tại $x=\dfrac{\pi}{2}$).

b)$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=- \dfrac{\pi}{2}$.

c)Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x)=2\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)-1$.

d)Nghiệm của phương trình $f'(x)=0$ trên đoạn $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ là $\dfrac{\pi}{3}$.

28. VDC: Dây điện vắt cong giữa 2 cột — đường cong catenary $y(x) = a (e^{x/c} + e^{-x/c}) - b$Trả lời ngắn`catenary_power_line_sag`(2 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(2 câu)

Câu 94.Hai cột điện $AC$, $BD$ có cùng chiều cao $B$ được dựng vuông góc với mặt đất và cách nhau $200$ mét ($AB = CD = 200$ mét). Một dây điện được treo từ đầu $A$ cột này đến đầu $B$ cột kia với $AC = BD$. Chọn hệ toạ độ $Oxy$ sao cho tia $Ox$ trùng với tia $OD$ ($O$ là trung điểm $CD$), tia $Oy$ cùng hướng với tia $CA$, mỗi đơn vị trên các trục toạ độ là $1$ mét. Khi đó, dây điện nằm trong mặt phẳng $Oxy$ và tạo thành một đường cong catenary có phương trình $y = 300\left(e^{x/600} + e^{-x/600}\right) - 580$, với $-100 \le x \le 100$. Gọi khoảng cách từ điểm thấp nhất trên dây điện đến đường thẳng nằm ngang $AB$ là độ võng của dây điện. Hỏi độ võng của dây điện bằng bao nhiêu mét? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Dây điện catenary d=200m

Câu 95.Hai cột điện $AC$, $BD$ có cùng chiều cao $B$ được dựng vuông góc với mặt đất và cách nhau $100$ mét ($AB = CD = 100$ mét). Một dây điện được treo từ đầu $A$ cột này đến đầu $B$ cột kia với $AC = BD$. Chọn hệ toạ độ $Oxy$ sao cho tia $Ox$ trùng với tia $OD$ ($O$ là trung điểm $CD$), tia $Oy$ cùng hướng với tia $CA$, mỗi đơn vị trên các trục toạ độ là $1$ mét. Khi đó, dây điện nằm trong mặt phẳng $Oxy$ và tạo thành một đường cong catenary có phương trình $y = 223,5\left(e^{x/447} + e^{-x/447}\right) - 430$, với $-50 \le x \le 50$. Gọi khoảng cách từ điểm thấp nhất trên dây điện đến đường thẳng nằm ngang $AB$ là độ võng của dây điện. Hỏi độ võng của dây điện bằng bao nhiêu mét? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Dây điện catenary d=100m

29. Đếm số nguyên $m$ để GTLN/GTNN trên $[0;2]$ của $f(x)=x^3-3x+m$ nằm trong cận cho trướcTrả lời ngắn`count_integer_m_for_max_le_bound_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 96.Cho hàm số $f(x) = x^3 - 3x + m$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồng thời giá trị lớn nhất của $f$ trên đoạn $[0; 2]$ không vượt quá $9$ và giá trị nhỏ nhất của $f$ trên đoạn $[0; 2]$ không nhỏ hơn $0$?

Câu 97.Cho hàm số $f(x) = x^3 - 3x + m$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồng thời giá trị lớn nhất của $f$ trên đoạn $[0; 2]$ không vượt quá $9$ và giá trị nhỏ nhất của $f$ trên đoạn $[0; 2]$ không nhỏ hơn $-1$?

Câu 98.Cho hàm số $f(x) = x^3 - 3x + m$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồng thời giá trị lớn nhất của $f$ trên đoạn $[0; 2]$ không vượt quá $4$ và giá trị nhỏ nhất của $f$ trên đoạn $[0; 2]$ không nhỏ hơn $-5$?

30. Bài toán hộp: cạnh ô vuông cắt là $a/6$ (số nguyên)Trả lời ngắn`cube_box_volume_max`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 99.Tấm bìa hình vuông cạnh $18$ cm. Cắt 4 ô vuông ở 4 góc rồi gập thành hộp không nắp. Cạnh ô vuông cắt là bao nhiêu cm để thể tích hộp lớn nhất?

Câu 100.Tấm bìa hình vuông cạnh $24$ cm. Cắt 4 ô vuông ở 4 góc rồi gập thành hộp không nắp. Cạnh ô vuông cắt là bao nhiêu cm để thể tích hộp lớn nhất?

Câu 101.Tấm bìa hình vuông cạnh $30$ cm. Cắt 4 ô vuông ở 4 góc rồi gập thành hộp không nắp. Cạnh ô vuông cắt là bao nhiêu cm để thể tích hộp lớn nhất?

31. cubic_profit_optimization_productionTrả lời ngắn(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 102.Một cơ sở sản xuất hương trầm thủ công sản xuất mỗi ngày được $x$ kg hương trầm (với $1 \le x \le 12$). Tổng chi phí sản xuất $x$ kg hương trầm (tính bằng nghìn đồng) cho bởi hàm số $C(x) = x^3 - 3x^2 - 5x + 200$. Giả sử cơ sở sản xuất hương trầm thủ công này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá $67$ nghìn đồng/kg. Hỏi cơ sở sản xuất hương trầm thủ công cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu kg hương trầm để thu được lợi nhuận tối đa?

Câu 103.Một hợp tác xã sản xuất nón lá truyền thống sản xuất mỗi ngày được $x$ chiếc nón lá (với $1 \le x \le 15$). Tổng chi phí sản xuất $x$ chiếc nón lá (tính bằng nghìn đồng) cho bởi hàm số $C(x) = x^3 - 3x^2 - 10x + 300$. Giả sử hợp tác xã sản xuất nón lá truyền thống này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá $134$ nghìn đồng/chiếc. Hỏi hợp tác xã sản xuất nón lá truyền thống cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu chiếc nón lá để thu được lợi nhuận tối đa?

Câu 104.Một hộ làm nghề dệt vải thổ cẩm ở làng Mỹ Nghiệp sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải thổ cẩm (với $1 \le x \le 18$). Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải thổ cẩm (tính bằng nghìn đồng) cho bởi hàm số $C(x) = x^3 - 3x^2 - 20x + 500$. Giả sử hộ làm nghề dệt vải thổ cẩm ở làng Mỹ Nghiệp này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá $220$ nghìn đồng/mét. Hỏi hộ làm nghề dệt vải thổ cẩm ở làng Mỹ Nghiệp cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu mét vải thổ cẩm để thu được lợi nhuận tối đa?

32. VDC: Nhà máy cung cấp sản phẩm cho đối tác, giá bán $p(x) = a - b x^2$ (giá giảm khi sản lượng tăng — quy luật cầu), chi phí $C(x) = c + d x$, thuế VAT $t\%$ trên doanh thuTrả lời ngắn`factory_supply_profit_after_tax`(1 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(1 câu)

Câu 105.Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B. Hai nhà máy thoả thuận rằng, hàng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy B (tối đa $68$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $p(x) = 80 - 0,015\,x^2$ (đơn vị: triệu đồng). Chi phí để nhà máy A sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x) = 100 + 7,2\,x$ (đơn vị: triệu đồng), thuế giá trị gia tăng mà nhà máy A phải đóng cho nhà nước là $10\%$ tổng doanh thu hằng tháng. Hỏi mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng (sau khi đã trừ thuế giá trị gia tăng)?

33. VDC: Tối ưu giá thuê phòng/dịch vụ — mô hình cầu tuyến tínhTrả lời ngắn`hotel_room_pricing_threshold`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 106.Một khách sạn công nghệ cao có $50$ phòng cho thuê. Nếu khách sạn đặt giá thuê mỗi phòng là $2$ triệu đồng/ngày thì toàn bộ các phòng đều được thuê hết. Nghiên cứu thị trường cho thấy, cứ mỗi lần tăng giá thuê thêm $100$ nghìn đồng/ngày thì sẽ có thêm $1$ phòng bị bỏ trống. Biết chi phí vận hành, dọn dẹp cho mỗi phòng được thuê là $200$ nghìn đồng/ngày (phòng trống không tốn chi phí). Để lợi nhuận thu được trong ngày từ việc cho thuê phòng đạt từ $115$ triệu đồng trở lên, khách sạn có thể thiết lập mức giá thuê cao nhất là bao nhiêu triệu đồng/ngày? (làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 107.Một khách sạn công nghệ cao có $50$ phòng cho thuê. Nếu khách sạn đặt giá thuê mỗi phòng là $2$ triệu đồng/ngày thì toàn bộ các phòng đều được thuê hết. Nghiên cứu thị trường cho thấy, cứ mỗi lần tăng giá thuê thêm $100$ nghìn đồng/ngày thì sẽ có thêm $1$ phòng bị bỏ trống. Biết chi phí vận hành, dọn dẹp cho mỗi phòng được thuê là $200$ nghìn đồng/ngày (phòng trống không tốn chi phí). Để lợi nhuận thu được trong ngày từ việc cho thuê phòng đạt từ $110$ triệu đồng trở lên, khách sạn có thể thiết lập mức giá thuê cao nhất là bao nhiêu triệu đồng/ngày? (làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 108.Một khách sạn công nghệ cao có $50$ phòng cho thuê. Nếu khách sạn đặt giá thuê mỗi phòng là $2$ triệu đồng/ngày thì toàn bộ các phòng đều được thuê hết. Nghiên cứu thị trường cho thấy, cứ mỗi lần tăng giá thuê thêm $100$ nghìn đồng/ngày thì sẽ có thêm $1$ phòng bị bỏ trống. Biết chi phí vận hành, dọn dẹp cho mỗi phòng được thuê là $200$ nghìn đồng/ngày (phòng trống không tốn chi phí). Để lợi nhuận thu được trong ngày từ việc cho thuê phòng đạt từ $90$ triệu đồng trở lên, khách sạn có thể thiết lập mức giá thuê cao nhất là bao nhiêu triệu đồng/ngày? (làm tròn đến hàng phần mười)

34. VDC++ (SA): Cánh diều hình tứ giác với 4 cạnh viền $a, a, b, b$ (đôi cạnh kề bằng nhau, $a < b$)Trả lời ngắn`kite_max_area_diagonal_sum`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 109.Khi chế tạo cánh diều hình tứ giác, người ta tạo khung trước. Một khung cánh diều sẽ được tạo từ hai thanh chéo làm bằng gỗ và bốn sợi dây cước viền. Lấy bốn sợi dây tạo thành viền ngoài đã được cắt đúng độ dài với kích thước là $20$, $20$, $48$, $48$ (theo đơn vị $cm$) và lắp hai thanh gỗ làm đường chéo. Tính tổng độ dài hai thanh chéo gỗ khi diện tích cánh diều lớn nhất (đơn vị $cm$, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Cánh diều tứ giác với cạnh 20, 20, 48, 48

Câu 110.Khi chế tạo cánh diều hình tứ giác, người ta tạo khung trước. Một khung cánh diều sẽ được tạo từ hai thanh chéo làm bằng gỗ và bốn sợi dây cước viền. Lấy bốn sợi dây tạo thành viền ngoài đã được cắt đúng độ dài với kích thước là $12$, $12$, $16$, $16$ (theo đơn vị $cm$) và lắp hai thanh gỗ làm đường chéo. Tính tổng độ dài hai thanh chéo gỗ khi diện tích cánh diều lớn nhất (đơn vị $cm$, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Cánh diều tứ giác với cạnh 12, 12, 16, 16

Câu 111.Khi chế tạo cánh diều hình tứ giác, người ta tạo khung trước. Một khung cánh diều sẽ được tạo từ hai thanh chéo làm bằng gỗ và bốn sợi dây cước viền. Lấy bốn sợi dây tạo thành viền ngoài đã được cắt đúng độ dài với kích thước là $30$, $30$, $40$, $40$ (theo đơn vị $cm$) và lắp hai thanh gỗ làm đường chéo. Tính tổng độ dài hai thanh chéo gỗ khi diện tích cánh diều lớn nhất (đơn vị $cm$, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Cánh diều tứ giác với cạnh 30, 30, 40, 40

35. VDC: Cửa hàng bán một mặt hàng với giá $p_0$, bán được $q_0$ sản phẩmTrả lời ngắn`linear_demand_optimal_selling_price`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 112.Một cửa hàng chuyên bán khăn tắm với giá $50$ nghìn đồng mỗi tắm. Với mức giá này, mỗi tháng cửa hàng bán được $1000$ chiếc khăn tắm. Nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu cứ giảm giá bán đi $1$ nghìn đồng cho mỗi tắm thì số lượng bán ra trong một tháng sẽ tăng thêm $100$ chiếc khăn tắm. Biết giá nhập kho của mỗi tắm là $30$ nghìn đồng. Hỏi cửa hàng phải định giá bán mỗi tắm là bao nhiêu nghìn đồng để thu được lợi nhuận trong tháng là lớn nhất?

Câu 113.Một cửa hàng bán bình giữ nhiệt với giá $40$ nghìn đồng mỗi nhiệt. Với mức giá này, mỗi tháng cửa hàng bán được $400$ bình giữ nhiệt. Nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu cứ giảm giá bán đi $1$ nghìn đồng cho mỗi nhiệt thì số lượng bán ra trong một tháng sẽ tăng thêm $40$ bình giữ nhiệt. Biết giá nhập kho của mỗi nhiệt là $20$ nghìn đồng. Hỏi cửa hàng phải định giá bán mỗi nhiệt là bao nhiêu nghìn đồng để thu được lợi nhuận trong tháng là lớn nhất?

Câu 114.Một tiệm bánh bán mỗi ngày hộp bánh ngọt với giá $40$ nghìn đồng mỗi bánh. Với mức giá này, mỗi tháng cửa hàng bán được $300$ hộp bánh. Nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu cứ giảm giá bán đi $1$ nghìn đồng cho mỗi bánh thì số lượng bán ra trong một tháng sẽ tăng thêm $50$ hộp bánh. Biết giá nhập kho của mỗi bánh là $20$ nghìn đồng. Hỏi cửa hàng phải định giá bán mỗi bánh là bao nhiêu nghìn đồng để thu được lợi nhuận trong tháng là lớn nhất?

36. VDC: Xí nghiệp có hàm giá $p(x) = a - x$ (cầu tuyến tính) và hàm chi phí $C(x) = x^2 + b x + c$, mỗi sản phẩm bán ra chịu thêm thuế $t$ (cùng đơn vị triệu đồng)Trả lời ngắn`linear_demand_quadratic_cost_max_profit`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 115.Một xí nghiệp sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm. Giả sử hàm giá và hàm chi phí của loại sản phẩm này lần lượt là $p(x) = 52 - x$ (triệu đồng) và $C(x) = x^2 + 4x + 24$ (triệu đồng), trong đó $x$ ($1 \le x \le 22$) là số lượng sản phẩm được sản xuất. Hãy tính lợi nhuận tối đa của xí nghiệp, biết rằng mỗi sản phẩm bán ra phải chịu thêm mức thuế là $4$ triệu đồng.

Câu 116.Một xí nghiệp sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm. Giả sử hàm giá và hàm chi phí của loại sản phẩm này lần lượt là $p(x) = 48 - x$ (triệu đồng) và $C(x) = x^2 + 6x + 20$ (triệu đồng), trong đó $x$ ($1 \le x \le 20$) là số lượng sản phẩm được sản xuất. Hãy tính lợi nhuận tối đa của xí nghiệp, biết rằng mỗi sản phẩm bán ra phải chịu thêm mức thuế là $2$ triệu đồng.

Câu 117.Một xí nghiệp sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm. Giả sử hàm giá và hàm chi phí của loại sản phẩm này lần lượt là $p(x) = 40 - x$ (triệu đồng) và $C(x) = x^2 + 4x + 10$ (triệu đồng), trong đó $x$ ($1 \le x \le 18$) là số lượng sản phẩm được sản xuất. Hãy tính lợi nhuận tối đa của xí nghiệp, biết rằng mỗi sản phẩm bán ra phải chịu thêm mức thuế là $0$ triệu đồng.

37. SA (VDC): Hàm cầu là hàm bậc nhất liên hệ GIÁ BÁN $p$ với SỐ LƯỢNG bán được $x$, xác định qua hai điểm $(p_1, q_1)$ và $(p_2, q_2)$Trả lời ngắn`linear_demand_two_points_optimal_price_avg_cost_sa`(1 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(1 câu)

Câu 118.Một cửa hàng kinh doanh máy lọc nước. Hàm cầu biểu thị liên hệ giữa giá bán mỗi chiếc máy với số lượng bán được trong một tháng là hàm bậc nhất. Khi giá bán là $5$ triệu đồng một chiếc máy thì một tháng bán được $100$ chiếc máy; khi giá bán là $4,5$ triệu đồng một chiếc máy thì bán được $120$ chiếc máy. Biết chi phí trung bình cho một chiếc máy khi bán được $x$ chiếc máy là $\dfrac{3x + 50}{x}$. Hỏi cửa hàng cần bán với giá bao nhiêu triệu đồng một chiếc máy để lợi nhuận trong tháng lớn nhất? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

38. VDC: Mô hình tăng trưởng logistic (S-curve) $f(t) = \dfrac{K}{1 + A \cdot e^{-kt}}$Trả lời ngắn`logistic_growth_peak_rate_time`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 119.Để hỗ trợ phát triển mô hình lan truyền tin tức mới trên mạng xã hội, số lượng lượt chia sẻ sau $t$ tháng kể từ thời điểm phát hành được mô hình hoá bởi hàm số $f(t) = \dfrac{8000}{1 + 9\, e^{-\dfrac{t}{3}}}$ (với $t \ge 0$). Biết rằng hàm số $f'(t)$ biểu thị tốc độ tăng trưởng lượt chia sẻ mới. Hỏi sau bao nhiêu tháng kể từ khi phát hành thì tốc độ tăng trưởng đạt giá trị lớn nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị: tháng).

Câu 120.Để hỗ trợ phát triển loại sản phẩm mới ra mắt thị trường, số lượng khách mua sau $t$ tháng kể từ thời điểm phát hành được mô hình hoá bởi hàm số $f(t) = \dfrac{5000}{1 + 24\, e^{-t}}$ (với $t \ge 0$). Biết rằng hàm số $f'(t)$ biểu thị tốc độ tăng trưởng khách mua mới. Hỏi sau bao nhiêu tháng kể từ khi phát hành thì tốc độ tăng trưởng đạt giá trị lớn nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị: tháng).

Câu 121.Để hỗ trợ phát triển vaccine phòng dịch tại địa phương, số lượng người được tiêm sau $t$ tháng kể từ thời điểm phát hành được mô hình hoá bởi hàm số $f(t) = \dfrac{20000}{1 + 99\, e^{-\dfrac{t}{2}}}$ (với $t \ge 0$). Biết rằng hàm số $f'(t)$ biểu thị tốc độ tăng trưởng người được tiêm mới. Hỏi sau bao nhiêu tháng kể từ khi phát hành thì tốc độ tăng trưởng đạt giá trị lớn nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị: tháng).

39. LP 2 biến (sản phẩm A, B) + 2 ràng buộc giờ máy (I, II), max lợi nhuậnTrả lời ngắn`lp_2var_2constraint_max_profit_machines`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 122.Một phân xưởng có hai máy chuyên dụng I và II để sản xuất hai loại sản phẩm A, B theo đơn đặt hàng. Nếu sản xuất một tấn sản phẩm A thì phân xưởng phải dùng máy I trong $4$ giờ, máy II trong $1$ giờ và thu được lãi $3$ triệu đồng. Nếu sản xuất một tấn sản phẩm B thì phân xưởng phải dùng máy I trong $1$ giờ, máy II trong $1$ giờ và thu được lãi $1$ triệu đồng. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy I làm việc không quá $8$ giờ một ngày, máy II làm việc không quá $3$ giờ một ngày. Hỏi số tiền lãi lớn nhất mà phân xưởng có thể thu được trong một ngày là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 123.Một phân xưởng có hai máy chuyên dụng I và II để sản xuất hai loại sản phẩm A, B theo đơn đặt hàng. Nếu sản xuất một tấn sản phẩm A thì phân xưởng phải dùng máy I trong $2$ giờ, máy II trong $1$ giờ và thu được lãi $3$ triệu đồng. Nếu sản xuất một tấn sản phẩm B thì phân xưởng phải dùng máy I trong $1$ giờ, máy II trong $2$ giờ và thu được lãi $2$ triệu đồng. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy I làm việc không quá $8$ giờ một ngày, máy II làm việc không quá $6$ giờ một ngày. Hỏi số tiền lãi lớn nhất mà phân xưởng có thể thu được trong một ngày là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 124.Một phân xưởng có hai máy chuyên dụng I và II để sản xuất hai loại sản phẩm A, B theo đơn đặt hàng. Nếu sản xuất một tấn sản phẩm A thì phân xưởng phải dùng máy I trong $4$ giờ, máy II trong $1$ giờ và thu được lãi $3$ triệu đồng. Nếu sản xuất một tấn sản phẩm B thì phân xưởng phải dùng máy I trong $1$ giờ, máy II trong $2$ giờ và thu được lãi $2$ triệu đồng. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy I làm việc không quá $8$ giờ một ngày, máy II làm việc không quá $5$ giờ một ngày. Hỏi số tiền lãi lớn nhất mà phân xưởng có thể thu được trong một ngày là bao nhiêu triệu đồng?

40. SA (VDC): Doanh nghiệp vay vốn, tối ưu lợi nhuận sau thuế còn lại sau khi trả nợTrả lời ngắn`max_after_tax_profit_minus_loan_sa`(1 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(1 câu)

Câu 125.Để sản xuất một mặt hàng, một doanh nghiệp vay ngắn hạn số tiền $150$ triệu đồng trong vòng một kỳ, với lãi suất $4\%$/kỳ. Tổng chi phí để sản xuất và kinh doanh $x$ sản phẩm là $V(x) = 1,4x - 600 + \dfrac{50000}{x}$ (đơn vị: triệu đồng), với $x$ nguyên dương. Biết giá bán một sản phẩm là $1,2$ triệu đồng; doanh nghiệp chịu thuế thu nhập $17\%$ trên tổng lợi nhuận sau khi bán hết $x$ sản phẩm. Hỏi sau một kỳ, doanh nghiệp trả hết nợ vay thì còn số tiền lợi nhuận nhiều nhất là bao nhiêu triệu đồng?

41. SA (VDC): Nhà máy có vốn đầu tư ban đầu $K$Trả lời ngắn`max_after_tax_profit_recover_capital_years_sa`(1 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(1 câu)

Câu 126.Chi phí đầu tư ban đầu để xây dựng một nhà máy là $840$ tỷ đồng. Lượng cầu của sản phẩm phụ thuộc giá bán theo hàm số $x = 100 - 2p$, trong đó $p$ (triệu đồng) là giá bán mỗi sản phẩm và $x$ (nghìn sản phẩm) là số lượng bán ra trong một năm. Chi phí sản xuất $x$ (không gồm vốn đầu tư) là $C(x) = 0,5x^2 + 10x + 50$ (tỷ đồng). Nhà máy đóng thuế thu nhập doanh nghiệp $20\%$ trên lợi nhuận hằng năm (doanh thu trừ chi phí sản xuất). Giả sử nhà máy luôn định giá $p$ để lợi nhuận sau thuế đạt cao nhất. Với chiến lược đó, nhà máy thu hồi được toàn bộ vốn đầu tư ban đầu sau bao nhiêu năm hoạt động?

42. SA: diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp dưới parabol $y = a - x^2$, đáy trên $Ox$, đối xứng qua $Oy$Trả lời ngắn`max_area_rectangle_under_curve_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 127.Cho parabol $(P): y = 27 - x^2$. Một hình chữ nhật $ABCD$ có cạnh $CD$ nằm trên trục hoành, hai đỉnh $A$, $B$ nằm trên $(P)$ và hình chữ nhật nhận trục tung làm trục đối xứng. Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật đó.

Câu 128.Cho parabol $(P): y = 3 - x^2$. Một hình chữ nhật $ABCD$ có cạnh $CD$ nằm trên trục hoành, hai đỉnh $A$, $B$ nằm trên $(P)$ và hình chữ nhật nhận trục tung làm trục đối xứng. Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật đó.

Câu 129.Cho parabol $(P): y = 12 - x^2$. Một hình chữ nhật $ABCD$ có cạnh $CD$ nằm trên trục hoành, hai đỉnh $A$, $B$ nằm trên $(P)$ và hình chữ nhật nhận trục tung làm trục đối xứng. Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật đó.

43. SA: cùng cấu hình hình chữ nhật nội tiếp dưới parabol $y = a - x^2$, nhưng hỏi hoành độ đỉnh phía phải khi diện tích lớn nhất (đáp án $x^* = k$)Trả lời ngắn`max_area_rectangle_xcoord_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 130.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một mảnh vườn được giới hạn bởi trục hoành và parabol $y = 147 - x^2$. Người ta muốn đặt một luống rau hình chữ nhật có cạnh dưới nằm trên trục hoành, hai đỉnh phía trên nằm trên parabol và hình chữ nhật đối xứng qua trục tung. Để diện tích hình chữ nhật lớn nhất, hoành độ đỉnh phía bên phải bằng bao nhiêu?

Câu 131.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một khung cổng dạng parabol được giới hạn bởi trục hoành và parabol $y = 12 - x^2$. Người ta muốn treo một tấm biển hình chữ nhật có cạnh dưới nằm trên trục hoành, hai đỉnh phía trên nằm trên parabol và hình chữ nhật đối xứng qua trục tung. Để diện tích hình chữ nhật lớn nhất, hoành độ đỉnh phía bên phải bằng bao nhiêu?

Câu 132.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một khung cổng dạng parabol được giới hạn bởi trục hoành và parabol $y = 108 - x^2$. Người ta muốn treo một tấm biển hình chữ nhật có cạnh dưới nằm trên trục hoành, hai đỉnh phía trên nằm trên parabol và hình chữ nhật đối xứng qua trục tung. Để diện tích hình chữ nhật lớn nhất, hoành độ đỉnh phía bên phải bằng bao nhiêu?

44. GTLN/GTNN của $f(x) = ax^2 + bx + c$ trên $\mathbb{R}$ (số thập phân)Trả lời ngắn`max_min_quadratic`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 133.Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x) = 3x^2 - 5x + 3$ trên $\mathbb{R}$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 134.Tìm giá trị lớn nhất của $f(x) = -x^2 - 6x - 6$ trên $\mathbb{R}$.

Câu 135.Tìm giá trị lớn nhất của $f(x) = -3x^2 + 2x + 3$ trên $\mathbb{R}$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

45. SA: chi phí trung bình $AC(x) = a x + b + \dfrac{k}{x}$ (có số hạng nghịch đảo $k/x$)Trả lời ngắn`max_profit_inverse_cost_term_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 136.Khi sản xuất $x$ con giống ($x > 0$), chi phí trung bình trên mỗi con giống của một trại chăn nuôi (đơn vị: nghìn đồng) là $AC(x) = x + 50 + \dfrac{36}{x}$. Hỏi chi phí trung bình nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Câu 137.Khi sản xuất $x$ tạ thóc ($x > 0$), chi phí trung bình trên mỗi tạ thóc của một hợp tác xã nông nghiệp (đơn vị: nghìn đồng) là $AC(x) = x + 20 + \dfrac{49}{x}$. Hỏi sản lượng nào làm chi phí trung bình nhỏ nhất?

Câu 138.Khi sản xuất $x$ cuộn vải ($x > 0$), chi phí trung bình trên mỗi cuộn vải của một xưởng dệt (đơn vị: nghìn đồng) là $AC(x) = 4x + 20 + \dfrac{36}{x}$. Hỏi chi phí trung bình nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

46. SA (VDC): Tối ưu sản lượng khi cho DOANH THU dạng đa thức bậc 3 (có thể kèm số hạng $k\ln x$) và CHI PHÍ BÌNH QUÂN mỗi sản phẩm $G(x) = x + g_1 + \dfrac{g_0}{x}$Trả lời ngắn`max_profit_qty_revenue_cubic_avg_cost_sa`(2 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(2 câu)

Câu 139.Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu sản xuất $x$ sản phẩm ($x \in \mathbb{Z}$, $1 \le x \le 500$) thì doanh thu khi bán hết là $F(x) = x^3 - 1999x^2 + 1001000x + 250000$ (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $G(x) = x + 1000 + \dfrac{250000}{x}$ (đồng). Giả sử sản phẩm làm ra luôn được bán hết, lợi nhuận lớn nhất khi doanh nghiệp sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Câu 140.Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 100 sản phẩm. Nếu sản xuất $x$ sản phẩm ($x \in \mathbb{Z}$, $1 \le x \le 100$) thì doanh thu khi bán hết là $R(x) = x^3 - 396x^2 + 80000\ln x + 38800x + 500$ (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $G(x) = x + 400 + \dfrac{2500}{x}$ (nghìn đồng). Giả sử sản phẩm làm ra luôn được bán hết, lợi nhuận lớn nhất khi doanh nghiệp sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

47. SA: cầu dạng căn $S(x) = \sqrt{a-x}$, lợi nhuận $P(x) = x\,S(x) - C_0 - c\,S(x)^2$Trả lời ngắn`max_profit_sqrt_demand_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 141.Khi cung cấp $x$ đầu xe, sản lượng hữu ích của một hãng taxi công nghệ được mô tả bởi $S(x) = \sqrt{33 - x}$ (với $0 \le x < 33$). Lợi nhuận thu được là $P(x) = x\,S(x) - 5 - S(x)^2$ (đơn vị: triệu đồng). Tìm $x$ (với $0 \le x < 33$) để lợi nhuận lớn nhất.

Câu 142.Khi cung cấp $x$ lô hàng, sản lượng hữu ích của một xưởng may gia công được mô tả bởi $S(x) = \sqrt{28 - x}$ (với $0 \le x < 28$). Lợi nhuận thu được là $P(x) = x\,S(x) - 20 - 4\,S(x)^2$ (đơn vị: triệu đồng). Hỏi lợi nhuận lớn nhất mà cơ sở đạt được bằng bao nhiêu (cùng đơn vị tiền)?

Câu 143.Khi cung cấp $x$ gói cước, sản lượng hữu ích của một nhà mạng viễn thông được mô tả bởi $S(x) = \sqrt{45 - x}$ (với $0 \le x < 45$). Lợi nhuận thu được là $P(x) = x\,S(x) - 10 - 3\,S(x)^2$ (đơn vị: triệu đồng). Hỏi lợi nhuận lớn nhất mà cơ sở đạt được bằng bao nhiêu (cùng đơn vị tiền)?

48. SA (VDC): Tối ưu giá trị lợi nhuận lớn nhất với chi phí bậc 3Trả lời ngắn`max_profit_value_cubic_cost_sa`(2 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(2 câu)

Câu 144.Một xưởng gia công đồ mỹ nghệ mỗi tháng sản xuất $x$ sản phẩm với tổng chi phí sản xuất cho bởi hàm $C(x) = 0,004x^3 - 3,6x^2 + 800x + 5000$ (đơn vị: nghìn đồng), với $x$ thoả $ 1 \le x \le 150$. Sản phẩm làm ra được bán hết với giá bán mỗi sản phẩm là $p(x) = 2000 - 9x$ (nghìn đồng). Hỏi lợi nhuận tối đa thu được là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 145.Một hộ kinh doanh mỗi ngày sản xuất được $x$ kg sản phẩm với tổng chi phí sản xuất cho bởi hàm $C(x) = x^3 - 3x^2 - 19x + 200$ (đơn vị: nghìn đồng), với $x$ thoả $ 1 \le x \le 14$. Sản phẩm làm ra được bán hết với giá $170$ nghìn đồng/kg. Hỏi lợi nhuận tối đa thu được là bao nhiêu nghìn đồng?

49. SA (VDC): Hình chữ nhật $ABCD$ với cạnh $CD$ trên trục hoành, hai đỉnh $A, B$ nằm trên một phần đồ thị hàm hữu tỉ $f(x) = \dfrac{-x^2 + b x - c}{x} = -x + b - \dfrac{c}{x}$ (phần $f>0$ giữa hai nghiệm)Trả lời ngắn`max_rect_area_under_rational_curve_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 146.Một mảnh đất có một phía giáp đường thẳng, phần còn lại giáp hồ nước là đường cong mô hình hoá bởi một phần đồ thị hàm số $f(x) = \dfrac{-x^2 + 9x - 8}{x}$, đơn vị trên mỗi trục toạ độ là $10$ mét. Người ta rào một khu hình chữ nhật $ABCD$ với hai đỉnh $A, B$ nằm trên đồ thị $f(x)$ (phần giáp hồ) và cạnh $CD$ nằm trên trục hoành (phần giáp đường). Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu $\text{m}^2$?

Câu 147.Một mảnh đất có một phía giáp đường thẳng, phần còn lại giáp hồ nước là đường cong mô hình hoá bởi một phần đồ thị hàm số $f(x) = \dfrac{-x^2 + 7x - 6}{x}$, đơn vị trên mỗi trục toạ độ là $10$ mét. Người ta rào một khu hình chữ nhật $ABCD$ với hai đỉnh $A, B$ nằm trên đồ thị $f(x)$ (phần giáp hồ) và cạnh $CD$ nằm trên trục hoành (phần giáp đường). Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu $\text{m}^2$?

Câu 148.Một mảnh đất có một phía giáp đường thẳng, phần còn lại giáp hồ nước là đường cong mô hình hoá bởi một phần đồ thị hàm số $f(x) = \dfrac{-x^2 + 5x - 4}{x}$, đơn vị trên mỗi trục toạ độ là $10$ mét. Người ta rào một khu hình chữ nhật $ABCD$ với hai đỉnh $A, B$ nằm trên đồ thị $f(x)$ (phần giáp hồ) và cạnh $CD$ nằm trên trục hoành (phần giáp đường). Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu $\text{m}^2$?

50. SA: chi phí tăng theo hàm mũ $C(x) = k\,e^{x/d}$Trả lời ngắn`min_quantity_exp_cost_threshold_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 149.Tổng chi phí (triệu đồng) của một trung tâm dữ liệu khi sử dụng $x$ máy chủ được cho bởi $C(x) = 200\,e^{\dfrac{x}{10}}$. Hỏi $x$ nguyên nhỏ nhất bằng bao nhiêu để tổng chi phí đạt từ $1600$ triệu đồng trở lên?

Câu 150.Tổng chi phí (triệu đồng) của một hệ thống tưới tiêu thông minh khi sử dụng $x$ khu vực được cho bởi $C(x) = 200\,e^{\dfrac{x}{5}}$. Hỏi $x$ nguyên nhỏ nhất bằng bao nhiêu để tổng chi phí đạt từ $800$ triệu đồng trở lên?

Câu 151.Tổng chi phí (triệu đồng) của một lò nung gốm công nghiệp khi sử dụng $x$ mẻ nung được cho bởi $C(x) = 50\,e^{\dfrac{x}{8}}$. Hỏi $x$ nguyên nhỏ nhất bằng bao nhiêu để tổng chi phí đạt từ $200$ triệu đồng trở lên?

51. SA: GTNN của hàm số $y = x - k\sqrt{x}$ trên đoạn $[0; n]$Trả lời ngắn`min_x_minus_k_sqrt_x_on_interval`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 152.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - 10\sqrt{x}$ trên đoạn $[0; 30]$.

Câu 153.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - 8\sqrt{x}$ trên đoạn $[0; 20]$.

Câu 154.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - 2\sqrt{x}$ trên đoạn $[0; 4]$.

52. VDC: Doanh nghiệp ĐỘC QUYỀN sản xuất $x$ (nghìn) sản phẩmTrả lời ngắn`monopoly_cubic_profit_per_unit_tax`(1 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(1 câu)

Câu 155.Doanh nghiệp $A$ độc quyền sản xuất một loại máy tính bảng. Gọi $x$ (nghìn sản phẩm, $0 \le x \le 50$, $x \in \mathbb{N}$) là số lượng sản phẩm bán ra. Giá bán mỗi sản phẩm phụ thuộc số lượng bán ra theo công thức $p(x) = 497 - 2x$ (nghìn đồng/sản phẩm). Tổng chi phí để sản xuất $x$ nghìn sản phẩm là $C(x) = 1000 + 300x - 10x^2 + \dfrac{1}{3}x^3$ (triệu đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu nghìn sản phẩm máy tính bảng để thu được lợi nhuận lớn nhất, biết chi phí đánh thuế mỗi sản phẩm bán ra là $36$ nghìn đồng?

53. VDC: Bể hình hộp chữ nhật không nắp , chiều cao $h$ cố định, thể tích $V$ cố địnhTrả lời ngắn`open_box_tank_min_total_cost`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 156.Để đóng một thùng chứa hàng có dạng hình hộp chữ nhật không nắp có chiều cao $2$ m (tức $200$ cm) và thể tích chứa $800$ m³. Biết giá thành để làm mặt bên là $3$ triệu đồng/m² và làm mặt đáy là $5$ triệu đồng/m². Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành thùng (đơn vị: triệu đồng).

Câu 157.Để thiết kế một chiếc bể nuôi cá Koi trong sân vườn có dạng hình hộp chữ nhật không nắp có chiều cao $1,5$ m (tức $150$ cm) và thể tích chứa $900$ m³. Biết giá thành để làm mặt bên là $2,8$ triệu đồng/m² và làm mặt đáy là $4$ triệu đồng/m². Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể (đơn vị: triệu đồng). (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Câu 158.Để thiết kế một bể cảnh ngoài trời có dạng hình hộp chữ nhật không nắp có chiều cao $1,2$ m (tức $120$ cm) và thể tích chứa $600$ m³. Biết giá thành để làm mặt bên là $2,5$ triệu đồng/m² và làm mặt đáy là $4,5$ triệu đồng/m². Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể (đơn vị: triệu đồng). (Làm tròn đến hàng đơn vị)

54. SA: $x$ nguyên nhỏ nhất để lợi nhuận vượt mức $T$ (nghìn đồng)Trả lời ngắn`quadratic_profit_min_production_threshold`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 159.Nếu một doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm trong một tháng $(x \in \mathbb{N}^*; 1 \leq x \leq 3000)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x) = -0{,}015x^2 + 350x$ (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là $G(x) = \dfrac{2500}{x} + 150$ (nghìn đồng). Giả sử số sản phẩm sản xuất ra luôn được bán hết. Trong một tháng, doanh nghiệp đó cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được lớn hơn $60$ triệu đồng?

Câu 160.Nếu một doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm trong một tháng $(x \in \mathbb{N}^*; 1 \leq x \leq 3000)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x) = -0{,}03x^2 + 400x$ (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là $G(x) = \dfrac{3000}{x} + 250$ (nghìn đồng). Giả sử số sản phẩm sản xuất ra luôn được bán hết. Trong một tháng, doanh nghiệp đó cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được lớn hơn $100$ triệu đồng?

Câu 161.Nếu một doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm trong một tháng $(x \in \mathbb{N}^*; 1 \leq x \leq 3000)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x) = -0{,}02x^2 + 300x$ (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là $G(x) = \dfrac{2000}{x} + 200$ (nghìn đồng). Giả sử số sản phẩm sản xuất ra luôn được bán hết. Trong một tháng, doanh nghiệp đó cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được lớn hơn $50$ triệu đồng?

55. VDC: Bể chứa / thùng gỗ hình hộp chữ nhật không nắp, thể tích $V$ cố định, chiều dài $= k \cdot$ chiều rộngTrả lời ngắn`rectangular_tank_min_material_cost`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 162.Một hộ gia đình muốn xây dựng một thùng gỗ vận chuyển hàng nông sản có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, có thể tích cố định $V = 18$ m³. Theo bản thiết kế, chiều dài đáy gấp $3$ lần chiều rộng. Giả sử chi phí vật liệu để xây đáy và bốn mặt bên đều cùng một đơn giá (tính trên mỗi mét vuông). Tính chiều rộng $x$ (đơn vị: mét) của thùng để chi phí xây dựng vật liệu là nhỏ nhất.

Hộp chữ nhật không nắp 6×2×1.5

Câu 163.Một hộ gia đình muốn xây dựng một bể chứa nước mưa cho hộ gia đình có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, có thể tích cố định $V = 36$ m³. Theo bản thiết kế, chiều dài đáy gấp $2$ lần chiều rộng. Giả sử chi phí vật liệu để xây đáy và bốn mặt bên đều cùng một đơn giá (tính trên mỗi mét vuông). Tính chiều rộng $x$ (đơn vị: mét) của bể để chi phí xây dựng vật liệu là nhỏ nhất.

Hộp chữ nhật không nắp 6×3×2.0

Câu 164.Một hộ gia đình muốn xây dựng một thùng container nhỏ kho hàng có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, có thể tích cố định $V = 400$ m³. Theo bản thiết kế, chiều dài đáy gấp $4$ lần chiều rộng. Giả sử chi phí vật liệu để xây đáy và bốn mặt bên đều cùng một đơn giá (tính trên mỗi mét vuông). Tính chiều rộng $x$ (đơn vị: mét) của thùng để chi phí xây dựng vật liệu là nhỏ nhất.

Hộp chữ nhật không nắp 20×5×4.0

56. Đảo bài hộp: biết cạnh ô vuông cắt TỐI ƯU $x_0$ → tìm cạnh tấm bìa $a$ (hoặc thể tích lớn nhất $V_{max}$)Trả lời ngắn`reverse_box_find_volume_given_optimal_cut_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 165.Từ một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ 4 ô vuông bằng nhau ở 4 góc rồi gập phần còn lại thành một hộp không nắp. Biết rằng khi cạnh mỗi ô vuông cắt đi bằng $1$ cm thì thể tích hộp đạt giá trị lớn nhất. Tính thể tích lớn nhất của hộp (cm³).

Câu 166.Từ một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ 4 ô vuông bằng nhau ở 4 góc rồi gập phần còn lại thành một hộp không nắp. Biết rằng khi cạnh mỗi ô vuông cắt đi bằng $2$ cm thì thể tích hộp đạt giá trị lớn nhất. Tính độ dài cạnh tấm bìa ban đầu (cm).

Câu 167.Từ một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ 4 ô vuông bằng nhau ở 4 góc rồi gập phần còn lại thành một hộp không nắp. Biết rằng khi cạnh mỗi ô vuông cắt đi bằng $3$ cm thì thể tích hộp đạt giá trị lớn nhất. Tính độ dài cạnh tấm bìa ban đầu (cm).

57. SA — Quy hoạch tuyến tính 2 biến (số trụ sạc X, Y), 2 ràng buộc tài nguyên (diện tích bãi + nguồn điện) cộng trần số trụ XTrả lời ngắn`sa_lp_charging_station_max_profit`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 168.Để hưởng ứng chiến dịch "Giao thông xanh", một đơn vị vận tải dự định lắp đặt hai loại trụ sạc cho đội xe điện: Trụ sạc nhanh (Loại X) và Trụ sạc siêu cấp (Loại Y). Diện tích bãi đỗ dành cho việc lắp đặt này là $14$ m² và tổng nguồn điện khả dụng là $18$ kW. Mỗi trụ loại X cần $1$ m² diện tích và tiêu thụ $3$ kW điện. Mỗi trụ loại Y cần $2$ m² diện tích và tiêu thụ $2$ kW điện. Do yêu cầu kỹ thuật, số lượng trụ sạc nhanh (Loại X) không được vượt quá $4$ trụ. Biết rằng mỗi trụ loại X mang lại lợi nhuận $3$ triệu đồng/tháng và mỗi trụ loại Y mang lại lợi nhuận $5$ triệu đồng/tháng. Hỏi tổng lợi nhuận lớn nhất có thể đạt được trong mỗi tháng là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 169.Để hưởng ứng chiến dịch "Giao thông xanh", một đơn vị vận tải dự định lắp đặt hai loại trụ sạc cho đội xe điện: Trụ sạc nhanh (Loại X) và Trụ sạc siêu cấp (Loại Y). Diện tích bãi đỗ dành cho việc lắp đặt này là $18$ m² và tổng nguồn điện khả dụng là $21$ kW. Mỗi trụ loại X cần $2$ m² diện tích và tiêu thụ $3$ kW điện. Mỗi trụ loại Y cần $2$ m² diện tích và tiêu thụ $2$ kW điện. Do yêu cầu kỹ thuật, số lượng trụ sạc nhanh (Loại X) không được vượt quá $4$ trụ. Biết rằng mỗi trụ loại X mang lại lợi nhuận $4$ triệu đồng/tháng và mỗi trụ loại Y mang lại lợi nhuận $3$ triệu đồng/tháng. Hỏi tổng lợi nhuận lớn nhất có thể đạt được trong mỗi tháng là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 170.Để hưởng ứng chiến dịch "Giao thông xanh", một đơn vị vận tải dự định lắp đặt hai loại trụ sạc cho đội xe điện: Trụ sạc nhanh (Loại X) và Trụ sạc siêu cấp (Loại Y). Diện tích bãi đỗ dành cho việc lắp đặt này là $12$ m² và tổng nguồn điện khả dụng là $18$ kW. Mỗi trụ loại X cần $2$ m² diện tích và tiêu thụ $2$ kW điện. Mỗi trụ loại Y cần $1$ m² diện tích và tiêu thụ $3$ kW điện. Do yêu cầu kỹ thuật, số lượng trụ sạc nhanh (Loại X) không được vượt quá $4$ trụ. Biết rằng mỗi trụ loại X mang lại lợi nhuận $3$ triệu đồng/tháng và mỗi trụ loại Y mang lại lợi nhuận $4$ triệu đồng/tháng. Hỏi tổng lợi nhuận lớn nhất có thể đạt được trong mỗi tháng là bao nhiêu triệu đồng?

58. SA: Phân bổ $N$ ngày cho 2 kênh để TỔNG lượt tiếp cận lớn nhấtTrả lời ngắn`sa_two_channel_reach_optimization`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 171.Để quảng bá hình ảnh du lịch Quảng Ninh trong mùa cao điểm, một nhóm bạn trẻ dự định thực hiện chiến dịch nội dung trên hai nền tảng: TikTok (Kênh A) và YouTube Short (Kênh B). Do đặc thù sản xuất video, mỗi ngày nhóm chỉ tập trung đăng tải và tương tác trên một nền tảng duy nhất. Nếu dành $x$ ngày cho Kênh A, số lượt tiếp cận thu về là $P_A = x^2 + 2x$ (nghìn lượt). Nếu dành $y$ ngày cho Kênh B, số lượt tiếp cận thu về là $P_B = 326y - 27y^2$ (nghìn lượt). Biết rằng nhóm thực hiện chiến dịch trong đúng $10$ ngày và do thuật toán của nền tảng, nhóm quyết định dành cho Kênh B không quá $6$ ngày. Hỏi nhóm bạn trẻ nên phân bổ bao nhiêu ngày cho Kênh A để tổng số lượt tiếp cận trên cả hai nền tảng là lớn nhất?

Câu 172.Để giới thiệu nông sản OCOP của địa phương, một nhóm bạn trẻ dự định thực hiện chiến dịch nội dung trên hai nền tảng: Facebook (Kênh A) và TikTok (Kênh B). Do đặc thù sản xuất video, mỗi ngày nhóm chỉ tập trung đăng tải và tương tác trên một nền tảng duy nhất. Nếu dành $x$ ngày cho Kênh A, số lượt tiếp cận thu về là $P_A = x^2 + 2x$ (nghìn lượt). Nếu dành $y$ ngày cho Kênh B, số lượt tiếp cận thu về là $P_B = 220y - 14y^2$ (nghìn lượt). Biết rằng nhóm thực hiện chiến dịch trong đúng $12$ ngày và do thuật toán của nền tảng, nhóm quyết định dành cho Kênh B không quá $7$ ngày. Hỏi nhóm bạn trẻ nên phân bổ bao nhiêu ngày cho Kênh A để tổng số lượt tiếp cận trên cả hai nền tảng là lớn nhất?

Câu 173.Để lan toả chiến dịch "Sống xanh" trong cộng đồng, một nhóm bạn trẻ dự định thực hiện chiến dịch nội dung trên hai nền tảng: Instagram (Kênh A) và YouTube Short (Kênh B). Do đặc thù sản xuất video, mỗi ngày nhóm chỉ tập trung đăng tải và tương tác trên một nền tảng duy nhất. Nếu dành $x$ ngày cho Kênh A, số lượt tiếp cận thu về là $P_A = x^2 + 2x$ (nghìn lượt). Nếu dành $y$ ngày cho Kênh B, số lượt tiếp cận thu về là $P_B = 180y - 13y^2$ (nghìn lượt). Biết rằng nhóm thực hiện chiến dịch trong đúng $9$ ngày và do thuật toán của nền tảng, nhóm quyết định dành cho Kênh B không quá $5$ ngày. Hỏi nhóm bạn trẻ nên phân bổ bao nhiêu ngày cho Kênh A để tổng số lượt tiếp cận trên cả hai nền tảng là lớn nhất?

59. Tổng GTLN + GTNN của hàm bậc 3 trên đoạn (số thập phân)Trả lời ngắn`sum_max_min_on_interval`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 174.Cho $y = x^3 - 3x^2 + 4$. Tính tổng GTLN và GTNN trên $[-1; 3]$.

Câu 175.Cho $y = -x^3 + 3x + 1$. Tính tổng GTLN và GTNN trên $[-2; 2]$.

Câu 176.Cho $y = x^3 - 3x + 2$. Tính tổng GTLN và GTNN trên $[-2; 2]$.

60. VDC: Tàu cao tốc chạy quãng đường $d$ km với vận tốc $v$ không đổiTrả lời ngắn`transport_speed_min_cost_ticket_price`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 177.Một công ty khai thác tuyến tàu cao tốc chở khách du lịch từ đất liền ra đảo với khoảng cách $60$ km. Giả sử tàu di chuyển với vận tốc $v$ không đổi (km/h) trên suốt tuyến đường. Chi phí vận hành cho mỗi giờ hoạt động của tàu gồm: chi phí nhiên liệu $100v^3$ (đồng) và chi phí cố định $4\,000\,000$ đồng. Thời gian di chuyển mỗi chuyến không vượt quá $1 giờ 30 phút$ và vì lý do an toàn, tàu không chạy quá $55$ km/h. Tàu có sức chứa tối đa $150$ hành khách và luôn đạt mức tối đa. Ban giám đốc đặt mục tiêu lợi nhuận mỗi chuyến bằng $25\%$ tổng chi phí vận hành của chuyến đó. Để đạt mục tiêu này trong điều kiện vận hành với tổng chi phí thấp nhất, giá vé mỗi hành khách là bao nhiêu nghìn đồng?

Câu 178.Một công ty khai thác tuyến tàu cao tốc chở khách du lịch từ đất liền ra đảo với khoảng cách $30$ km. Giả sử tàu di chuyển với vận tốc $v$ không đổi (km/h) trên suốt tuyến đường. Chi phí vận hành cho mỗi giờ hoạt động của tàu gồm: chi phí nhiên liệu $80v^3$ (đồng) và chi phí cố định $2\,000\,000$ đồng. Thời gian di chuyển mỗi chuyến không vượt quá $1 giờ$ và vì lý do an toàn, tàu không chạy quá $50$ km/h. Tàu có sức chứa tối đa $100$ hành khách và luôn đạt mức tối đa. Ban giám đốc đặt mục tiêu lợi nhuận mỗi chuyến bằng $25\%$ tổng chi phí vận hành của chuyến đó. Để đạt mục tiêu này trong điều kiện vận hành với tổng chi phí thấp nhất, giá vé mỗi hành khách là bao nhiêu nghìn đồng?

Câu 179.Một công ty khai thác tuyến tàu cao tốc chở khách du lịch từ đất liền ra đảo với khoảng cách $40$ km. Giả sử tàu di chuyển với vận tốc $v$ không đổi (km/h) trên suốt tuyến đường. Chi phí vận hành cho mỗi giờ hoạt động của tàu gồm: chi phí nhiên liệu $80v^3$ (đồng) và chi phí cố định $2\,000\,000$ đồng. Thời gian di chuyển mỗi chuyến không vượt quá $1 giờ$ và vì lý do an toàn, tàu không chạy quá $55$ km/h. Tàu có sức chứa tối đa $100$ hành khách và luôn đạt mức tối đa. Ban giám đốc đặt mục tiêu lợi nhuận mỗi chuyến bằng $25\%$ tổng chi phí vận hành của chuyến đó. Để đạt mục tiêu này trong điều kiện vận hành với tổng chi phí thấp nhất, giá vé mỗi hành khách là bao nhiêu nghìn đồng?

61. SA (VDC): Tối ưu HAI TẦNG — doanh nghiệp độc quyền với giá bán $P(x) = p_0 - p_1 x$ và chi phí bậc 3 $C(x) = \tfrac13 x^3 + c_2 x^2 + c_1 x + c_0$Trả lời ngắn`two_stage_per_unit_tax_optimal_rate_cubic_cost_sa`(1 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(1 câu)

Câu 180.Một doanh nghiệp độc quyền trên thị trường luôn bán hết sản phẩm sản xuất ra. Với $x$ là số lượng sản phẩm ($0 < x < 3520$), giá bán mỗi sản phẩm là $P(x) = 1760 - 0,5x$ (USD) và tổng chi phí sản xuất $x$ sản phẩm là $C(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 10x^2 + 200x + 1000$ (USD). Chính phủ dự định thu của doanh nghiệp một khoản thuế là $t$ (USD) trên mỗi sản phẩm bán ra; doanh nghiệp sẽ điều chỉnh sản lượng $x$ để đạt lợi nhuận tối đa ứng với mức thuế $t$. Xác định mức thuế $t$ (USD) mà chính phủ nên áp đặt để tổng số tiền thuế thu được là lớn nhất.

62. SA (VDC): tối ưu hai tầng — nhà nước chọn mức thuế $t$ để tổng thuế thu được lớn nhấtTrả lời ngắn`two_stage_tax_max_revenue`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 181.Khi sản xuất và bán $x$ tấn sản phẩm, một xí nghiệp chế biến thuỷ sản đông lạnh có giá bán mỗi đơn vị là $P(x) = 288 - x$ và tổng chi phí $C(x) = 2x^2 + 120x + 600$ (mọi giá trị tính theo cùng một đơn vị tiền). Nhà nước đánh thuế $t$ trên mỗi tấn sản phẩm bán ra. Với mỗi mức thuế $t$ cho trước, doanh nghiệp chọn sản lượng $x$ để lợi nhuận lớn nhất. Hỏi nhà nước nên đặt mức thuế $t$ bằng bao nhiêu để tổng số thuế thu được là lớn nhất?

Câu 182.Khi sản xuất và bán $x$ nghìn lít, một doanh nghiệp khai thác nước khoáng có giá bán mỗi đơn vị là $P(x) = 450 - x$ và tổng chi phí $C(x) = 4x^2 + 50x + 900$ (mọi giá trị tính theo cùng một đơn vị tiền). Nhà nước đánh thuế $t$ trên mỗi nghìn lít bán ra. Với mỗi mức thuế $t$ cho trước, doanh nghiệp chọn sản lượng $x$ để lợi nhuận lớn nhất. Hỏi nhà nước nên đặt mức thuế $t$ bằng bao nhiêu để tổng số thuế thu được là lớn nhất?

Câu 183.Khi sản xuất và bán $x$ chiếc xe, một công ty sản xuất xe đạp điện có giá bán mỗi đơn vị là $P(x) = 320 - x$ và tổng chi phí $C(x) = 5x^2 + 200x + 800$ (mọi giá trị tính theo cùng một đơn vị tiền). Nhà nước đánh thuế $t$ trên mỗi chiếc xe bán ra. Với mỗi mức thuế $t$ cho trước, doanh nghiệp chọn sản lượng $x$ để lợi nhuận lớn nhất. Hỏi nhà nước nên đặt mức thuế $t$ bằng bao nhiêu để tổng số thuế thu được là lớn nhất?

63. SA (VDC): tối ưu hai tầng — tại mức thuế tối ưu $t^* = A/2$, hỏi sản lượng $x^(t^) = A/(2B)$ hoặc tổng thuế $T(t^*) = A^2/(4B)$Trả lời ngắn`two_stage_tax_optimal_quantity`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 184.Khi sản xuất và bán $x$ chiếc xe, một công ty sản xuất xe đạp điện có giá bán mỗi đơn vị là $P(x) = 320 - x$ và tổng chi phí $C(x) = 5x^2 + 200x + 800$. Nhà nước đánh thuế $t$ trên mỗi chiếc xe bán ra; ứng với mỗi $t$, doanh nghiệp chọn sản lượng $x$ để lợi nhuận lớn nhất. Nhà nước chọn mức thuế $t$ sao cho tổng thuế thu được lớn nhất. Hỏi tại mức thuế tối ưu đó, doanh nghiệp sản xuất bao nhiêu chiếc xe mỗi kỳ?

Câu 185.Khi sản xuất và bán $x$ tấn phân bón, một nhà máy sản xuất phân bón hữu cơ có giá bán mỗi đơn vị là $P(x) = 520 - 2x$ và tổng chi phí $C(x) = 2x^2 + 200x + 1000$. Nhà nước đánh thuế $t$ trên mỗi tấn phân bón bán ra; ứng với mỗi $t$, doanh nghiệp chọn sản lượng $x$ để lợi nhuận lớn nhất. Nhà nước chọn mức thuế $t$ sao cho tổng thuế thu được lớn nhất. Hỏi tại mức thuế tối ưu đó, doanh nghiệp sản xuất bao nhiêu tấn phân bón mỗi kỳ?

Câu 186.Khi sản xuất và bán $x$ nghìn lít, một doanh nghiệp khai thác nước khoáng có giá bán mỗi đơn vị là $P(x) = 450 - x$ và tổng chi phí $C(x) = 4x^2 + 50x + 900$. Nhà nước đánh thuế $t$ trên mỗi nghìn lít bán ra; ứng với mỗi $t$, doanh nghiệp chọn sản lượng $x$ để lợi nhuận lớn nhất. Nhà nước chọn mức thuế $t$ sao cho tổng thuế thu được lớn nhất. Hỏi khi đó tổng số thuế lớn nhất mà nhà nước thu được bằng bao nhiêu (theo cùng đơn vị tiền)?

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Định lý(1)

§3. Công thức(4)

§4. Phương pháp(4)

§5. Mẹo(1)

§6. Lưu ý(1)

Bài tập

1. GTLN–GTNN của $|z|$ khi $z$ chạy trên đường tròn quỹ tích (ĐỌC HÌNH Argand)Trắc nghiệmargand_circle_modulus_max_min_mc(3 câu)

2. Tìm GTLN/GTNN của hàm bậc 3 trên đoạn $[a; b]$Trắc nghiệmcubic_max_min_on_interval(3 câu)

3. Cho $f(x) = x^3 - 3x + m$, tìm $m$ để GTLN trên $[0; 2]$ bằng $k$Trắc nghiệmm_for_max_equals_value(3 câu)

4. ĐẢO NGƯỢC. Cho họ $f(x) = x^2 - 2a\,x + (m^2 - b)$ trên $\mathbb{R}$; tìm $m$ để GTNN trên $\mathbb{R}$ bằng giá trị $k$ cho trướcTrắc nghiệmm_for_min_on_R_equals_value_reverse_mc(3 câu)

5. Đọc BBT trên đoạn $[a; b]$ → tính $M - m$Trắc nghiệmmax_min_difference_from_graph(6 câu)

6. VD-VDC THPT. Tìm GTLN, GTNN của hàm $y = \dfrac{\sin x + a}{b + \cos x}$ trên $\mathbb{R}$ (với $b > 1$)Trắc nghiệmmax_min_trig_rational_constraint(3 câu)

7. Tìm GTNN của $y = ax^2 + bx + c$ trên $\mathbb{R}$ ($a > 0$): $y_{min} = c - b^2/(4a)$Trắc nghiệmmin_of_quadratic_on_R(3 câu)

8. Tìm GTNN của $f(x) = x + k/x$ với $x > 0$, dùng AM-GM: $\geq 2\sqrt{k}$Trắc nghiệmmin_sum_with_constraint(3 câu)

9. Tìm GTLN/GTNN của tam thức $-ax^2 + bx + c$ (đỉnh nằm trong đoạn)Trắc nghiệmquadratic_max_on_interval(3 câu)

10. Cho ĐỒ THỊ hàm bậc ba $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ trên đoạn $[\text{lo}; \text{hi}]$Trắc nghiệmread_max_on_interval_from_cubic_graph(6 câu)

11. Đọc BBT trên đoạn $[a; b]$ → hỏi RIÊNG GTLN hoặc GTNNTrắc nghiệmread_max_or_min_on_interval_from_figure(6 câu)

12. Bài toán tối ưu: hình chữ nhật chu vi $P$ → diện tích max khi nào?Trắc nghiệmrectangle_max_area(3 câu)

13. Đọc BBT trên đoạn $[a; b]$ → tính $M + m$Trắc nghiệmsum_max_min_from_graph_on_interval(6 câu)

15. TF bậc ba trên đoạn — TÁI HIỆN câu II-1 đề thi thử TN THPT 2026 cụm trường THPT số 7 Ninh Bình: $f(x) = x^3 - 27x + 10$ trên $[-4; 4]$Đúng / Saicubic_27x_interval_endpoint_maxtrap_pdf_tf(3 câu)

16. Bậc ba trên đoạn: 4 ý — đạo hàm, tập nghiệm $f'=0$ trên đoạn (bẫy), giá trị $f$ tại ĐẦU MÚT, GTNN trên đoạnĐúng / Saicubic_critical_points_interval_minmax_tf(3 câu)

17. Bậc ba trên đoạn: 4 ý — đạo hàm, tập nghiệm $f'=0$ trên đoạn (bẫy thiếu nghiệm), giá trị $f$ tại điểm tới hạn, GTLN trên đoạnĐúng / Saicubic_derivative_maxmin_on_interval_tf(3 câu)

18. TF (PDF Cụm 10 Đắk Lắk 2026 — TF1): hàm bậc ba CHO QUA BẢNG BIẾN THIÊN với cực tiểu $A(x_1;y_1)$, cực đại $B(x_2;y_2)$ và $a<0$Đúng / Saicubic_from_bbt_two_extrema_interval_min_tf(3 câu)

19. Bậc ba trên đoạn: 4 ý — đạo hàm, tập nghiệm $f'=0$ trên đoạn (bẫy), giá trị $f$ tại điểm tới hạn, và HIỆU GTLN - GTNN trên đoạnĐúng / Saicubic_interval_extremum_difference_tf(3 câu)

20. TF (PDF Chuyên Lê Hồng Phong Ninh Bình 2026 lần 3 — TF3): $y = e^{x}(\sin x - \cos x)$ trên $[0;\pi]$Đúng / Saiexp_times_sin_minus_cos_increasing_max_tf(3 câu)

21. Hàm siêu việt trên đoạn: 4 ý — giá trị đầu mút, công thức $f'$, nghiệm $f'=0$, và GTLN trên đoạn (đạt tại đầu mút)Đúng / Sailog_or_exp_minmax_facts_tf(3 câu)

22. Cho hàm $f(x) = x + \dfrac{k}{x}$ trên đoạn $[a; b]$ cụ thể với điểm tới hạn $\sqrt{k}$ thuộc đoạn — xét đúng/sai GTLN/GTNNĐúng / Saimax_min_facts(3 câu)

23. TF: tối ưu số máy sản xuấtĐúng / Saimax_min_machine_cost_production_lp(3 câu)

24. Cho hàm bậc 2 $f(x) = ax^2 + bx + c$ cụ thể trên đoạn $[m; n]$ — xét đúng/sai GTLN/GTNN, đỉnh parabolĐúng / Saimaxmin_facts2(3 câu)

25. Hàm siêu việt ($e^x-kx$ hoặc $x\ln x$) trên đoạn: 4 ý — giá trị đầu mút, công thức $f'$, nghiệm $f'=0$ thuộc đoạn, và GTNN trên đoạnĐúng / Saitranscendental_extremum_on_interval_tf(3 câu)

26. Hàm siêu việt trên đoạn: 4 ý — như trên nhưng ý (d) hỏi TỔNG GTLN + GTNN trên đoạnĐúng / Saitranscendental_sum_max_min_tf(3 câu)

27. TF (PDF Cần Thơ 2026 lần 1 — TF2): $f(x)=A\sin(x+\varphi)-x$ trên đoạn $[0;\,b]$ với $\cos\varphi=1/A$ nên điểm dừng rơi vào $x=0$ và $f$ nghịch biến trên đoạn ⇒ GTLN $=f(0)=A\sin\varphi$Đúng / Saitrig_sine_minus_linear_decreasing_max_tf(3 câu)

28. VDC: Dây điện vắt cong giữa 2 cột — đường cong catenary $y(x) = a (e^{x/c} + e^{-x/c}) - b$Trả lời ngắncatenary_power_line_sag(2 câu)

29. Đếm số nguyên $m$ để GTLN/GTNN trên $[0;2]$ của $f(x)=x^3-3x+m$ nằm trong cận cho trướcTrả lời ngắncount_integer_m_for_max_le_bound_sa(3 câu)

30. Bài toán hộp: cạnh ô vuông cắt là $a/6$ (số nguyên)Trả lời ngắncube_box_volume_max(3 câu)

31. cubic_profit_optimization_productionTrả lời ngắn(3 câu)

32. VDC: Nhà máy cung cấp sản phẩm cho đối tác, giá bán $p(x) = a - b x^2$ (giá giảm khi sản lượng tăng — quy luật cầu), chi phí $C(x) = c + d x$, thuế VAT $t\%$ trên doanh thuTrả lời ngắnfactory_supply_profit_after_tax(1 câu)

33. VDC: Tối ưu giá thuê phòng/dịch vụ — mô hình cầu tuyến tínhTrả lời ngắnhotel_room_pricing_threshold(3 câu)

34. VDC++ (SA): Cánh diều hình tứ giác với 4 cạnh viền $a, a, b, b$ (đôi cạnh kề bằng nhau, $a < b$)Trả lời ngắnkite_max_area_diagonal_sum(3 câu)

35. VDC: Cửa hàng bán một mặt hàng với giá $p_0$, bán được $q_0$ sản phẩmTrả lời ngắnlinear_demand_optimal_selling_price(3 câu)

36. VDC: Xí nghiệp có hàm giá $p(x) = a - x$ (cầu tuyến tính) và hàm chi phí $C(x) = x^2 + b x + c$, mỗi sản phẩm bán ra chịu thêm thuế $t$ (cùng đơn vị triệu đồng)Trả lời ngắnlinear_demand_quadratic_cost_max_profit(3 câu)

37. SA (VDC): Hàm cầu là hàm bậc nhất liên hệ GIÁ BÁN $p$ với SỐ LƯỢNG bán được $x$, xác định qua hai điểm $(p_1, q_1)$ và $(p_2, q_2)$Trả lời ngắnlinear_demand_two_points_optimal_price_avg_cost_sa(1 câu)

38. VDC: Mô hình tăng trưởng logistic (S-curve) $f(t) = \dfrac{K}{1 + A \cdot e^{-kt}}$Trả lời ngắnlogistic_growth_peak_rate_time(3 câu)

39. LP 2 biến (sản phẩm A, B) + 2 ràng buộc giờ máy (I, II), max lợi nhuậnTrả lời ngắnlp_2var_2constraint_max_profit_machines(3 câu)

40. SA (VDC): Doanh nghiệp vay vốn, tối ưu lợi nhuận sau thuế còn lại sau khi trả nợTrả lời ngắnmax_after_tax_profit_minus_loan_sa(1 câu)

41. SA (VDC): Nhà máy có vốn đầu tư ban đầu $K$Trả lời ngắnmax_after_tax_profit_recover_capital_years_sa(1 câu)

42. SA: diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp dưới parabol $y = a - x^2$, đáy trên $Ox$, đối xứng qua $Oy$Trả lời ngắnmax_area_rectangle_under_curve_sa(3 câu)

43. SA: cùng cấu hình hình chữ nhật nội tiếp dưới parabol $y = a - x^2$, nhưng hỏi hoành độ đỉnh phía phải khi diện tích lớn nhất (đáp án $x^* = k$)Trả lời ngắnmax_area_rectangle_xcoord_sa(3 câu)

44. GTLN/GTNN của $f(x) = ax^2 + bx + c$ trên $\mathbb{R}$ (số thập phân)Trả lời ngắnmax_min_quadratic(3 câu)

45. SA: chi phí trung bình $AC(x) = a x + b + \dfrac{k}{x}$ (có số hạng nghịch đảo $k/x$)Trả lời ngắnmax_profit_inverse_cost_term_sa(3 câu)

46. SA (VDC): Tối ưu sản lượng khi cho DOANH THU dạng đa thức bậc 3 (có thể kèm số hạng $k\ln x$) và CHI PHÍ BÌNH QUÂN mỗi sản phẩm $G(x) = x + g_1 + \dfrac{g_0}{x}$Trả lời ngắnmax_profit_qty_revenue_cubic_avg_cost_sa(2 câu)

47. SA: cầu dạng căn $S(x) = \sqrt{a-x}$, lợi nhuận $P(x) = x\,S(x) - C_0 - c\,S(x)^2$Trả lời ngắnmax_profit_sqrt_demand_sa(3 câu)

48. SA (VDC): Tối ưu giá trị lợi nhuận lớn nhất với chi phí bậc 3Trả lời ngắnmax_profit_value_cubic_cost_sa(2 câu)

50. SA: chi phí tăng theo hàm mũ $C(x) = k\,e^{x/d}$Trả lời ngắnmin_quantity_exp_cost_threshold_sa(3 câu)

51. SA: GTNN của hàm số $y = x - k\sqrt{x}$ trên đoạn $[0; n]$Trả lời ngắnmin_x_minus_k_sqrt_x_on_interval(3 câu)

52. VDC: Doanh nghiệp ĐỘC QUYỀN sản xuất $x$ (nghìn) sản phẩmTrả lời ngắnmonopoly_cubic_profit_per_unit_tax(1 câu)

53. VDC: Bể hình hộp chữ nhật không nắp , chiều cao $h$ cố định, thể tích $V$ cố địnhTrả lời ngắnopen_box_tank_min_total_cost(3 câu)

54. SA: $x$ nguyên nhỏ nhất để lợi nhuận vượt mức $T$ (nghìn đồng)Trả lời ngắnquadratic_profit_min_production_threshold(3 câu)

55. VDC: Bể chứa / thùng gỗ hình hộp chữ nhật không nắp, thể tích $V$ cố định, chiều dài $= k \cdot$ chiều rộngTrả lời ngắnrectangular_tank_min_material_cost(3 câu)

56. Đảo bài hộp: biết cạnh ô vuông cắt TỐI ƯU $x_0$ → tìm cạnh tấm bìa $a$ (hoặc thể tích lớn nhất $V_{max}$)Trả lời ngắnreverse_box_find_volume_given_optimal_cut_sa(3 câu)

57. SA — Quy hoạch tuyến tính 2 biến (số trụ sạc X, Y), 2 ràng buộc tài nguyên (diện tích bãi + nguồn điện) cộng trần số trụ XTrả lời ngắnsa_lp_charging_station_max_profit(3 câu)

58. SA: Phân bổ $N$ ngày cho 2 kênh để TỔNG lượt tiếp cận lớn nhấtTrả lời ngắnsa_two_channel_reach_optimization(3 câu)

59. Tổng GTLN + GTNN của hàm bậc 3 trên đoạn (số thập phân)Trả lời ngắnsum_max_min_on_interval(3 câu)

60. VDC: Tàu cao tốc chạy quãng đường $d$ km với vận tốc $v$ không đổiTrả lời ngắntransport_speed_min_cost_ticket_price(3 câu)

61. SA (VDC): Tối ưu HAI TẦNG — doanh nghiệp độc quyền với giá bán $P(x) = p_0 - p_1 x$ và chi phí bậc 3 $C(x) = \tfrac13 x^3 + c_2 x^2 + c_1 x + c_0$Trả lời ngắntwo_stage_per_unit_tax_optimal_rate_cubic_cost_sa(1 câu)

62. SA (VDC): tối ưu hai tầng — nhà nước chọn mức thuế $t$ để tổng thuế thu được lớn nhấtTrả lời ngắntwo_stage_tax_max_revenue(3 câu)

63. SA (VDC): tối ưu hai tầng — tại mức thuế tối ưu $t^* = A/2$, hỏi sản lượng $x^*(t^*) = A/(2B)$ hoặc tổng thuế $T(t^*) = A^2/(4B)$Trả lời ngắntwo_stage_tax_optimal_quantity(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. GTLN–GTNN của $|z|$ khi $z$ chạy trên đường tròn quỹ tích (ĐỌC HÌNH Argand)Trắc nghiệm`argand_circle_modulus_max_min_mc`(3 câu)

2. Tìm GTLN/GTNN của hàm bậc 3 trên đoạn $[a; b]$Trắc nghiệm`cubic_max_min_on_interval`(3 câu)

3. Cho $f(x) = x^3 - 3x + m$, tìm $m$ để GTLN trên $[0; 2]$ bằng $k$Trắc nghiệm`m_for_max_equals_value`(3 câu)

4. ĐẢO NGƯỢC. Cho họ $f(x) = x^2 - 2a\,x + (m^2 - b)$ trên $\mathbb{R}$; tìm $m$ để GTNN trên $\mathbb{R}$ bằng giá trị $k$ cho trướcTrắc nghiệm`m_for_min_on_R_equals_value_reverse_mc`(3 câu)

5. Đọc BBT trên đoạn $[a; b]$ → tính $M - m$Trắc nghiệm`max_min_difference_from_graph`(6 câu)

6. VD-VDC THPT. Tìm GTLN, GTNN của hàm $y = \dfrac{\sin x + a}{b + \cos x}$ trên $\mathbb{R}$ (với $b > 1$)Trắc nghiệm`max_min_trig_rational_constraint`(3 câu)

7. Tìm GTNN của $y = ax^2 + bx + c$ trên $\mathbb{R}$ ($a > 0$): $y_{min} = c - b^2/(4a)$Trắc nghiệm`min_of_quadratic_on_R`(3 câu)

8. Tìm GTNN của $f(x) = x + k/x$ với $x > 0$, dùng AM-GM: $\geq 2\sqrt{k}$Trắc nghiệm`min_sum_with_constraint`(3 câu)

9. Tìm GTLN/GTNN của tam thức $-ax^2 + bx + c$ (đỉnh nằm trong đoạn)Trắc nghiệm`quadratic_max_on_interval`(3 câu)

10. Cho ĐỒ THỊ hàm bậc ba $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ trên đoạn $[\text{lo}; \text{hi}]$Trắc nghiệm`read_max_on_interval_from_cubic_graph`(6 câu)

11. Đọc BBT trên đoạn $[a; b]$ → hỏi RIÊNG GTLN hoặc GTNNTrắc nghiệm`read_max_or_min_on_interval_from_figure`(6 câu)

12. Bài toán tối ưu: hình chữ nhật chu vi $P$ → diện tích max khi nào?Trắc nghiệm`rectangle_max_area`(3 câu)

13. Đọc BBT trên đoạn $[a; b]$ → tính $M + m$Trắc nghiệm`sum_max_min_from_graph_on_interval`(6 câu)

15. TF bậc ba trên đoạn — TÁI HIỆN câu II-1 đề thi thử TN THPT 2026 cụm trường THPT số 7 Ninh Bình: $f(x) = x^3 - 27x + 10$ trên $[-4; 4]$Đúng / Sai`cubic_27x_interval_endpoint_maxtrap_pdf_tf`(3 câu)

16. Bậc ba trên đoạn: 4 ý — đạo hàm, tập nghiệm $f'=0$ trên đoạn (bẫy), giá trị $f$ tại ĐẦU MÚT, GTNN trên đoạnĐúng / Sai`cubic_critical_points_interval_minmax_tf`(3 câu)

17. Bậc ba trên đoạn: 4 ý — đạo hàm, tập nghiệm $f'=0$ trên đoạn (bẫy thiếu nghiệm), giá trị $f$ tại điểm tới hạn, GTLN trên đoạnĐúng / Sai`cubic_derivative_maxmin_on_interval_tf`(3 câu)

18. TF (PDF Cụm 10 Đắk Lắk 2026 — TF1): hàm bậc ba CHO QUA BẢNG BIẾN THIÊN với cực tiểu $A(x_1;y_1)$, cực đại $B(x_2;y_2)$ và $a<0$Đúng / Sai`cubic_from_bbt_two_extrema_interval_min_tf`(3 câu)

19. Bậc ba trên đoạn: 4 ý — đạo hàm, tập nghiệm $f'=0$ trên đoạn (bẫy), giá trị $f$ tại điểm tới hạn, và HIỆU GTLN - GTNN trên đoạnĐúng / Sai`cubic_interval_extremum_difference_tf`(3 câu)

20. TF (PDF Chuyên Lê Hồng Phong Ninh Bình 2026 lần 3 — TF3): $y = e^{x}(\sin x - \cos x)$ trên $[0;\pi]$Đúng / Sai`exp_times_sin_minus_cos_increasing_max_tf`(3 câu)

21. Hàm siêu việt trên đoạn: 4 ý — giá trị đầu mút, công thức $f'$, nghiệm $f'=0$, và GTLN trên đoạn (đạt tại đầu mút)Đúng / Sai`log_or_exp_minmax_facts_tf`(3 câu)

22. Cho hàm $f(x) = x + \dfrac{k}{x}$ trên đoạn $[a; b]$ cụ thể với điểm tới hạn $\sqrt{k}$ thuộc đoạn — xét đúng/sai GTLN/GTNNĐúng / Sai`max_min_facts`(3 câu)

23. TF: tối ưu số máy sản xuấtĐúng / Sai`max_min_machine_cost_production_lp`(3 câu)

24. Cho hàm bậc 2 $f(x) = ax^2 + bx + c$ cụ thể trên đoạn $[m; n]$ — xét đúng/sai GTLN/GTNN, đỉnh parabolĐúng / Sai`maxmin_facts2`(3 câu)

25. Hàm siêu việt ($e^x-kx$ hoặc $x\ln x$) trên đoạn: 4 ý — giá trị đầu mút, công thức $f'$, nghiệm $f'=0$ thuộc đoạn, và GTNN trên đoạnĐúng / Sai`transcendental_extremum_on_interval_tf`(3 câu)

26. Hàm siêu việt trên đoạn: 4 ý — như trên nhưng ý (d) hỏi TỔNG GTLN + GTNN trên đoạnĐúng / Sai`transcendental_sum_max_min_tf`(3 câu)

27. TF (PDF Cần Thơ 2026 lần 1 — TF2): $f(x)=A\sin(x+\varphi)-x$ trên đoạn $[0;\,b]$ với $\cos\varphi=1/A$ nên điểm dừng rơi vào $x=0$ và $f$ nghịch biến trên đoạn ⇒ GTLN $=f(0)=A\sin\varphi$Đúng / Sai`trig_sine_minus_linear_decreasing_max_tf`(3 câu)

28. VDC: Dây điện vắt cong giữa 2 cột — đường cong catenary $y(x) = a (e^{x/c} + e^{-x/c}) - b$Trả lời ngắn`catenary_power_line_sag`(2 câu)

29. Đếm số nguyên $m$ để GTLN/GTNN trên $[0;2]$ của $f(x)=x^3-3x+m$ nằm trong cận cho trướcTrả lời ngắn`count_integer_m_for_max_le_bound_sa`(3 câu)

30. Bài toán hộp: cạnh ô vuông cắt là $a/6$ (số nguyên)Trả lời ngắn`cube_box_volume_max`(3 câu)

32. VDC: Nhà máy cung cấp sản phẩm cho đối tác, giá bán $p(x) = a - b x^2$ (giá giảm khi sản lượng tăng — quy luật cầu), chi phí $C(x) = c + d x$, thuế VAT $t\%$ trên doanh thuTrả lời ngắn`factory_supply_profit_after_tax`(1 câu)

33. VDC: Tối ưu giá thuê phòng/dịch vụ — mô hình cầu tuyến tínhTrả lời ngắn`hotel_room_pricing_threshold`(3 câu)

34. VDC++ (SA): Cánh diều hình tứ giác với 4 cạnh viền $a, a, b, b$ (đôi cạnh kề bằng nhau, $a < b$)Trả lời ngắn`kite_max_area_diagonal_sum`(3 câu)

35. VDC: Cửa hàng bán một mặt hàng với giá $p_0$, bán được $q_0$ sản phẩmTrả lời ngắn`linear_demand_optimal_selling_price`(3 câu)

36. VDC: Xí nghiệp có hàm giá $p(x) = a - x$ (cầu tuyến tính) và hàm chi phí $C(x) = x^2 + b x + c$, mỗi sản phẩm bán ra chịu thêm thuế $t$ (cùng đơn vị triệu đồng)Trả lời ngắn`linear_demand_quadratic_cost_max_profit`(3 câu)

37. SA (VDC): Hàm cầu là hàm bậc nhất liên hệ GIÁ BÁN $p$ với SỐ LƯỢNG bán được $x$, xác định qua hai điểm $(p_1, q_1)$ và $(p_2, q_2)$Trả lời ngắn`linear_demand_two_points_optimal_price_avg_cost_sa`(1 câu)

38. VDC: Mô hình tăng trưởng logistic (S-curve) $f(t) = \dfrac{K}{1 + A \cdot e^{-kt}}$Trả lời ngắn`logistic_growth_peak_rate_time`(3 câu)

39. LP 2 biến (sản phẩm A, B) + 2 ràng buộc giờ máy (I, II), max lợi nhuậnTrả lời ngắn`lp_2var_2constraint_max_profit_machines`(3 câu)

40. SA (VDC): Doanh nghiệp vay vốn, tối ưu lợi nhuận sau thuế còn lại sau khi trả nợTrả lời ngắn`max_after_tax_profit_minus_loan_sa`(1 câu)

41. SA (VDC): Nhà máy có vốn đầu tư ban đầu $K$Trả lời ngắn`max_after_tax_profit_recover_capital_years_sa`(1 câu)

42. SA: diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp dưới parabol $y = a - x^2$, đáy trên $Ox$, đối xứng qua $Oy$Trả lời ngắn`max_area_rectangle_under_curve_sa`(3 câu)

43. SA: cùng cấu hình hình chữ nhật nội tiếp dưới parabol $y = a - x^2$, nhưng hỏi hoành độ đỉnh phía phải khi diện tích lớn nhất (đáp án $x^* = k$)Trả lời ngắn`max_area_rectangle_xcoord_sa`(3 câu)

44. GTLN/GTNN của $f(x) = ax^2 + bx + c$ trên $\mathbb{R}$ (số thập phân)Trả lời ngắn`max_min_quadratic`(3 câu)

45. SA: chi phí trung bình $AC(x) = a x + b + \dfrac{k}{x}$ (có số hạng nghịch đảo $k/x$)Trả lời ngắn`max_profit_inverse_cost_term_sa`(3 câu)

46. SA (VDC): Tối ưu sản lượng khi cho DOANH THU dạng đa thức bậc 3 (có thể kèm số hạng $k\ln x$) và CHI PHÍ BÌNH QUÂN mỗi sản phẩm $G(x) = x + g_1 + \dfrac{g_0}{x}$Trả lời ngắn`max_profit_qty_revenue_cubic_avg_cost_sa`(2 câu)

47. SA: cầu dạng căn $S(x) = \sqrt{a-x}$, lợi nhuận $P(x) = x\,S(x) - C_0 - c\,S(x)^2$Trả lời ngắn`max_profit_sqrt_demand_sa`(3 câu)

48. SA (VDC): Tối ưu giá trị lợi nhuận lớn nhất với chi phí bậc 3Trả lời ngắn`max_profit_value_cubic_cost_sa`(2 câu)

50. SA: chi phí tăng theo hàm mũ $C(x) = k\,e^{x/d}$Trả lời ngắn`min_quantity_exp_cost_threshold_sa`(3 câu)

51. SA: GTNN của hàm số $y = x - k\sqrt{x}$ trên đoạn $[0; n]$Trả lời ngắn`min_x_minus_k_sqrt_x_on_interval`(3 câu)

52. VDC: Doanh nghiệp ĐỘC QUYỀN sản xuất $x$ (nghìn) sản phẩmTrả lời ngắn`monopoly_cubic_profit_per_unit_tax`(1 câu)

53. VDC: Bể hình hộp chữ nhật không nắp , chiều cao $h$ cố định, thể tích $V$ cố địnhTrả lời ngắn`open_box_tank_min_total_cost`(3 câu)

54. SA: $x$ nguyên nhỏ nhất để lợi nhuận vượt mức $T$ (nghìn đồng)Trả lời ngắn`quadratic_profit_min_production_threshold`(3 câu)

55. VDC: Bể chứa / thùng gỗ hình hộp chữ nhật không nắp, thể tích $V$ cố định, chiều dài $= k \cdot$ chiều rộngTrả lời ngắn`rectangular_tank_min_material_cost`(3 câu)

56. Đảo bài hộp: biết cạnh ô vuông cắt TỐI ƯU $x_0$ → tìm cạnh tấm bìa $a$ (hoặc thể tích lớn nhất $V_{max}$)Trả lời ngắn`reverse_box_find_volume_given_optimal_cut_sa`(3 câu)

57. SA — Quy hoạch tuyến tính 2 biến (số trụ sạc X, Y), 2 ràng buộc tài nguyên (diện tích bãi + nguồn điện) cộng trần số trụ XTrả lời ngắn`sa_lp_charging_station_max_profit`(3 câu)

58. SA: Phân bổ $N$ ngày cho 2 kênh để TỔNG lượt tiếp cận lớn nhấtTrả lời ngắn`sa_two_channel_reach_optimization`(3 câu)

59. Tổng GTLN + GTNN của hàm bậc 3 trên đoạn (số thập phân)Trả lời ngắn`sum_max_min_on_interval`(3 câu)

60. VDC: Tàu cao tốc chạy quãng đường $d$ km với vận tốc $v$ không đổiTrả lời ngắn`transport_speed_min_cost_ticket_price`(3 câu)

61. SA (VDC): Tối ưu HAI TẦNG — doanh nghiệp độc quyền với giá bán $P(x) = p_0 - p_1 x$ và chi phí bậc 3 $C(x) = \tfrac13 x^3 + c_2 x^2 + c_1 x + c_0$Trả lời ngắn`two_stage_per_unit_tax_optimal_rate_cubic_cost_sa`(1 câu)

62. SA (VDC): tối ưu hai tầng — nhà nước chọn mức thuế $t$ để tổng thuế thu được lớn nhấtTrả lời ngắn`two_stage_tax_max_revenue`(3 câu)

63. SA (VDC): tối ưu hai tầng — tại mức thuế tối ưu $t^* = A/2$, hỏi sản lượng $x^(t^) = A/(2B)$ hoặc tổng thuế $T(t^*) = A^2/(4B)$Trả lời ngắn`two_stage_tax_optimal_quantity`(3 câu)