Sự đồng biến, nghịch biến

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Định nghĩa hàm số đồng biến / nghịch biến

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $K$.

$f$ đồng biến trên $K$ nếu $\forall x_1, x_2 \in K$, $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$.
$f$ nghịch biến trên $K$ nếu $\forall x_1, x_2 \in K$, $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$.

§2. Định lý(1)

2.1

Định lý đơn điệu qua đạo hàm

Cho hàm số $f$ có đạo hàm trên khoảng $K$:

$f'(x) > 0, \forall x \in K \Rightarrow f$ đồng biến trên $K$.
$f'(x) < 0, \forall x \in K \Rightarrow f$ nghịch biến trên $K$.
$f'(x) = 0, \forall x \in K \Rightarrow f$ là hằng số trên $K$.

Ghi chú. Có thể nới: $f'(x) \geq 0$ và $f'(x) = 0$ tại hữu hạn điểm → vẫn đồng biến.

§3. Tính chất(1)

3.1

Tính đơn điệu của hàm bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Với $a \neq 0$, $y' = 3ax^2 + 2bx + c$, $\Delta' = b^2 - 3ac$:

$\Delta' \leq 0$ và $a > 0 \Rightarrow$ hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
$\Delta' \leq 0$ và $a < 0 \Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
$\Delta' > 0$: hàm số có 2 cực trị → thay đổi tính đơn điệu qua các điểm cực trị.

§4. Phương pháp(1)

4.1

Phương pháp tìm khoảng đơn điệu của hàm số

Bước 1. Tìm tập xác định $D$. Bước 2. Tính $f'(x)$, tìm các điểm $f'(x) = 0$ hoặc $f'(x)$ không xác định. Bước 3. Lập bảng xét dấu $f'(x)$ trên $D$. Bước 4. Kết luận:

Khoảng $f'(x) > 0$: hàm số đồng biến.
Khoảng $f'(x) < 0$: hàm số nghịch biến.

Bài tập

1. Cho $y = ax^4 + bx^2 + c$ với $a, b$ trái dấu, tìm khoảng đồng biếnTrắc nghiệm`biquadratic_monotonicity`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 1.Tìm các khoảng đồng biến của hàm số $y = 2 x^{4} - 16 x^{2} - 4$.

A.$(0; 2)$

B.$(-2; 0) \cup (2; +\infty)$

C.$(-2; 2)$

D.$(-\infty; -2) \cup (0; 2)$

Câu 2.Tìm các khoảng đồng biến của hàm số $y = x^{4} - 18 x^{2} + 5$.

A.$(0; 3)$

B.$(-\infty; -3) \cup (0; 3)$

C.$(-3; 0) \cup (3; +\infty)$

D.$(-3; 3)$

Câu 3.Tìm các khoảng đồng biến của hàm số $y = x^{4} - 18 x^{2} - 6$.

A.$(-\infty; -3) \cup (0; 3)$

B.$(-3; 3)$

C.$(-3; 0) \cup (3; +\infty)$

D.$(0; 3)$

2. Cho hàm đơn điệu, so sánh giá trị tại 2 điểm — kiểm tra hiểu định nghĩaTrắc nghiệm`compare_function_values`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Cho hàm số $y = x^3 + 6x$. So sánh $f(1)$ và $f(4)$.

A.$f(1) < f(4)$

B.Không so sánh được.

C.$f(1) > f(4)$

D.$f(1) = f(4)$

Câu 5.Cho hàm số $y = x^3 + 6x$. So sánh $f(-1)$ và $f(2)$.

A.$f(-1) > f(2)$

B.$f(-1) = f(2)$

C.Không so sánh được.

D.$f(-1) < f(2)$

Câu 6.Cho hàm số $y = x^3 + 3x$. So sánh $f(4)$ và $f(5)$.

A.Không so sánh được.

B.$f(4) < f(5)$

C.$f(4) > f(5)$

D.$f(4) = f(5)$

3. Xét đơn điệu hàm hợp $g(x) = f(x^2 - 2x)$ từ dấu của $f'$ (inner BẬC HAI)Trắc nghiệm`composite_monotonicity_quadratic_inner_vdc`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 7.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ với bảng xét dấu như hình vẽ ($f'(t) > 0$ trên $(-\infty; 0)$ và $(3; +\infty)$; $f'(t) < 0$ trên $(0; 3)$). Hàm số $g(x) = f(x^2 - 2x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Bảng xét dấu f': + trên (-inf;0) và (3;+inf), - trên (0;3)

A.$(0; 1)$

B.$(1; 2)$

C.$(-\infty; -1)$

D.$(2; 3)$

Câu 8.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ với bảng xét dấu như hình vẽ ($f'(t) > 0$ trên $(-\infty; 0)$ và $(8; +\infty)$; $f'(t) < 0$ trên $(0; 8)$). Hàm số $g(x) = f(x^2 - 2x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Bảng xét dấu f': + trên (-inf;0) và (8;+inf), - trên (0;8)

A.$(2; 4)$

B.$(1; 2)$

C.$(0; 1)$

D.$(-\infty; -2)$

Câu 9.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ với bảng xét dấu như hình vẽ ($f'(t) > 0$ trên $(-\infty; 0)$ và $(8; +\infty)$; $f'(t) < 0$ trên $(0; 8)$). Hàm số $g(x) = f(x^2 - 2x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Bảng xét dấu f': + trên (-inf;0) và (8;+inf), - trên (0;8)

A.$(-\infty; -2)$

B.$(1; 2)$

C.$(0; 1)$

D.$(2; 4)$

4. Xét đơn điệu hàm hợp $g(x) = f(c - x)$ từ BBT của $f$ (dấu của $f'$)Trắc nghiệm`composite_monotonicity_reflect_from_bbt_vdc`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 10.Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số $g(x) = f(1 - x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

BBT của f: f' đổi dấu +,-,+ tại x=-1 và x=3

A.$(0; 4)$

B.$(-2; 2)$

C.$(2; +\infty)$

D.$(-1; 3)$

Câu 11.Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số $g(x) = f(2 - x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

BBT của f: f' đổi dấu +,-,+ tại x=-2 và x=2

A.$(0; 4)$

B.$(-2; 2)$

C.$(1; 5)$

D.$(4; +\infty)$

Câu 12.Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số $g(x) = f(2 - x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

BBT của f: f' đổi dấu +,-,+ tại x=-3 và x=1

A.$(-1; 3)$

B.$(2; 6)$

C.$(1; 5)$

D.$(-3; 1)$

5. Đồ thị hàm bậc ba ($a > 0$) có điểm cực đại $(x_M, y_M)$ và điểm cực tiểu $(x_m, y_m)$ với $x_M < x_m$ → hỏi hàm số ĐỒNG BIẾN trên khoảng nàoTrắc nghiệm`cubic_increasing_from_graph_max_min`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Đồ thị hàm bậc 3, cực đại bên trái, cực tiểu bên phải

A.$(0; 2)$

B.$(-2; 2)$

C.$(-\infty; 0)$

D.$(2; +\infty)$

Câu 14.Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Đồ thị hàm bậc 3, cực đại bên trái, cực tiểu bên phải

A.$(-1; 1)$

B.$(-\infty; -1)$

C.$(1; +\infty)$

D.$(-1; 3)$

Câu 15.Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Đồ thị hàm bậc 3, cực đại bên trái, cực tiểu bên phải

A.$(-\infty; -1)$

B.$(1; +\infty)$

C.$(-2; 2)$

D.$(-1; 1)$

6. Đồ thị hàm bậc 3 (a>0) có cực đại $(x_M, y_M)$ và cực tiểu $(x_m, y_m)$ với $x_M < x_m$ → nghịch biến trên $(x_M, x_m)$Trắc nghiệm`cubic_monotonicity_from_graph_max_0_min_2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Đồ thị hàm bậc 3

A.$(-1; 3)$

B.$(-1; 1)$

C.$(-\infty; -1)$

D.$(1; +\infty)$

Câu 17.Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Đồ thị hàm bậc 3

A.$(-\infty; -1)$

B.$(-1; 3)$

C.$(-1; 1)$

D.$(1; +\infty)$

Câu 18.Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Đồ thị hàm bậc 3

A.$(1; 3)$

B.$(3; +\infty)$

C.$(-\infty; 1)$

D.$(0; 4)$

7. Cho hàm bậc 3 có hai nghiệm $y'$ phân biệt, tìm khoảng đồng biến (hoặc nghịch biến)Trắc nghiệm`cubic_monotonicity_intervals`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số $y = x^{3} + 6 x^{2} + 9 x - 3$.

A.$(-3; -1)$

B.$(-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)$

C.$(-\infty; -1)$

D.$(-3; +\infty)$

Câu 20.Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số.

Bảng biến thiên hàm bậc 3 với cực trị tại x = 1, 2

A.$(1; +\infty)$

B.$(1; 2)$

C.$(-\infty; 2)$

D.$(-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$

Câu 21.Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số $y = x^{3} - \dfrac{21 x^{2}}{2} + 36 x - 4$.

A.$(3; 4)$

B.$(3; +\infty)$

C.$(-\infty; 3) \cup (4; +\infty)$

D.$(-\infty; 4)$

8. Cho ĐỒ THỊ đạo hàm $y = f'(x)$ → hỏi hàm số $y = f(x)$ NGHỊCH BIẾN trên khoảng nàoTrắc nghiệm`decreasing_interval_from_fprime_graph`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Đồ thị đạo hàm y = f'(x) cắt trục Ox tại x = -3, -2, -1; hệ số dẫn đầu âm

A.$(-\infty; -3)$

B.$(-2; -1)$

C.$(-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)$

D.$(-1; +\infty)$

Câu 23.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Đồ thị đạo hàm y = f'(x) cắt trục Ox tại x = 0, 1, 3; hệ số dẫn đầu âm

A.$(1; 3)$

B.$(-\infty; 0)$

C.$(-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$

D.$(0; 1)$

Câu 24.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Đồ thị đạo hàm y = f'(x) cắt trục Ox tại x = -3, -2, 2; hệ số dẫn đầu dương

A.$(-\infty; -3)$

B.$(-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$

C.$(-3; -2)$

D.$(2; +\infty)$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 25.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Đồ thị đạo hàm y = f'(x) cắt trục Ox tại x = -2, 1, 2; hệ số dẫn đầu dương

A.$(-\infty; -2)$

B.$(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$

C.$(-2; 1)$

D.$(2; +\infty)$

Câu 26.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Đồ thị đạo hàm y = f'(x) cắt trục Ox tại x = -3, 0, 3; hệ số dẫn đầu âm

A.$(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$

B.$(0; 3)$

C.$(-\infty; -3)$

D.$(-3; 0)$

Câu 27.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Đồ thị đạo hàm y = f'(x) cắt trục Ox tại x = -3, -1, 3; hệ số dẫn đầu dương

A.$(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$

B.$(-3; -1)$

C.$(3; +\infty)$

D.$(-1; 3)$

9. Cho ĐỒ THỊ hàm số trùng phương $y = ax^4 + bx^2 + c$ ($a > 0$, $b < 0$ → đồ thị chữ W: hai cực tiểu tại $x = \pm x_0$, một cực đại tại $x = 0$)Trắc nghiệm`increasing_interval_biquadratic_from_graph`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Đồ thị hàm trùng phương chữ W, cực tiểu tại x=±2, cực đại tại x=0

A.$(0; 2)$

B.$(2; +\infty)$

C.$(-\infty; -2)$

D.$(-2; 2)$

Câu 29.Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Đồ thị hàm trùng phương chữ W, cực tiểu tại x=±2, cực đại tại x=0

A.$(-\infty; -2)$

B.$(-2; 2)$

C.$(0; 2)$

D.$(-2; 0)$

Câu 30.Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Đồ thị hàm trùng phương chữ W, cực tiểu tại x=±1, cực đại tại x=0

A.$(1; +\infty)$

B.$(0; 1)$

C.$(-1; 1)$

D.$(-\infty; -1)$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 31.Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Đồ thị hàm trùng phương chữ W, cực tiểu tại x=±2, cực đại tại x=0

A.$(-\infty; -2)$

B.$(0; 2)$

C.$(-2; 2)$

D.$(2; +\infty)$

Câu 32.Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Đồ thị hàm trùng phương chữ W, cực tiểu tại x=±1, cực đại tại x=0

A.$(-1; 0)$

B.$(-1; 1)$

C.$(0; 1)$

D.$(-\infty; -1)$

Câu 33.Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Đồ thị hàm trùng phương chữ W, cực tiểu tại x=±1, cực đại tại x=0

A.$(-\infty; -1)$

B.$(0; 1)$

C.$(-1; 1)$

D.$(-1; 0)$

10. Cho ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM $y = f'(x)$ là đường bậc ba cắt $Ox$ tại BA nghiệm đơn liên tiếp $r, r+1, r+2$ (hệ số dẫn đầu dương) → hỏi $y = f(x)$ ĐỒNG BIẾN trên khoảng nàoTrắc nghiệm`increasing_interval_fprime_three_roots_graph`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 34.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Đồ thị đạo hàm y=f'(x) cắt Ox tại x=0,1,2, hệ số dẫn đầu dương

A.$(0; 1)$

B.$(1; 2)$

C.$(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$

D.$(-\infty; 0)$

Câu 35.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Đồ thị đạo hàm y=f'(x) cắt Ox tại x=0,1,2, hệ số dẫn đầu dương

A.$(1; 2)$

B.$(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$

C.$(0; 1)$

D.$(-\infty; 0)$

Câu 36.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Đồ thị đạo hàm y=f'(x) cắt Ox tại x=0,1,2, hệ số dẫn đầu dương

A.$(1; 2)$

B.$(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$

C.$(-\infty; 0)$

D.$(0; 1)$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 37.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Đồ thị đạo hàm y=f'(x) cắt Ox tại x=0,1,2, hệ số dẫn đầu dương

A.$(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$

B.$(-\infty; 0)$

C.$(0; 1)$

D.$(1; 2)$

Câu 38.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Đồ thị đạo hàm y=f'(x) cắt Ox tại x=0,1,2, hệ số dẫn đầu dương

A.$(0; 1)$

B.$(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$

C.$(-\infty; 0)$

D.$(1; 2)$

Câu 39.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Đồ thị đạo hàm y=f'(x) cắt Ox tại x=-1,0,1, hệ số dẫn đầu dương

A.$(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$

B.$(-\infty; -1)$

C.$(0; 1)$

D.$(-1; 0)$

11. Cho ĐỒ THỊ đạo hàm $y = f'(x)$ (đa thức cắt Ox tại 3 nghiệm đơn) → hỏi hàm số $y = f(x)$ ĐỒNG BIẾN trên khoảng nàoTrắc nghiệm`increasing_interval_from_fprime_graph`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 40.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Đồ thị đạo hàm y = f'(x) cắt trục Ox tại x = -3, -1, 0; hệ số dẫn đầu âm

A.$(-3; -1)$

B.$(-\infty; -3) \cup (0; +\infty)$

C.$(0; +\infty)$

D.$(-\infty; -3)$

Câu 41.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Đồ thị đạo hàm y = f'(x) cắt trục Ox tại x = -2, 0, 1; hệ số dẫn đầu dương

A.$(-2; 0)$

B.$(-\infty; -2)$

C.$(0; 1)$

D.$(-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$

Câu 42.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Đồ thị đạo hàm y = f'(x) cắt trục Ox tại x = 1, 2, 3; hệ số dẫn đầu dương

A.$(1; 2)$

B.$(2; 3)$

C.$(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$

D.$(-\infty; 1)$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 43.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Đồ thị đạo hàm y = f'(x) cắt trục Ox tại x = -1, 0, 1; hệ số dẫn đầu âm

A.$(1; +\infty)$

B.$(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$

C.$(-1; 0)$

D.$(-\infty; -1)$

Câu 44.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Đồ thị đạo hàm y = f'(x) cắt trục Ox tại x = -2, 0, 1; hệ số dẫn đầu âm

A.$(1; +\infty)$

B.$(-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$

C.$(-\infty; -2)$

D.$(-2; 0)$

Câu 45.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Đồ thị đạo hàm y = f'(x) cắt trục Ox tại x = -2, 1, 2; hệ số dẫn đầu âm

A.$(1; 2)$

B.$(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$

C.$(-2; 1)$

D.$(2; +\infty)$

12. VD-VDC THPT. Cho $y = x^3 - 3mx^2 + 3(2m - 1)x + n$Trắc nghiệm`m_for_cubic_increasing_on_R`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 46.Cho hàm số $y = x^3 - 3mx^2 + 3(2m - 1)x + 1$. Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

A.$m = 1$

B.$m \ne 1$

C.$m \geq 1$

D.$m \leq 1$

Câu 47.Cho hàm số $y = x^3 - 3mx^2 + 3(6m - 9)x + 4$. Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

A.$m \leq 3$

B.$m \geq 3$

C.$m \ne 3$

D.$m = 3$

Câu 48.Cho hàm số $y = x^3 - 3mx^2 + 3(6m - 9)x - 2$. Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

A.$m \ne 3$

B.$m = 3$

C.$m \geq 3$

D.$m \leq 3$

13. Tìm $m$ để $y = x^3 + 3mx^2 + 3kx + d$ đồng biến trên $\mathbb{R}$Trắc nghiệm`m_for_monotonic_on_R`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 49.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = x^3 + 3mx^2 + 48x + 5$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

A.$-4 < m < 4$

B.$-4 \leq m \leq 4$

C.$m < -4$ hoặc $m > 4$

D.$m \leq -4$ hoặc $m \geq 4$

Câu 50.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = x^3 + 3mx^2 + 3x - 5$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

A.$-1 < m < 1$

B.$m \leq -1$ hoặc $m \geq 1$

C.$m < -1$ hoặc $m > 1$

D.$-1 \leq m \leq 1$

Câu 51.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = x^3 + 3mx^2 + 75x + 6$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

A.$m \leq -5$ hoặc $m \geq 5$

B.$-5 < m < 5$

C.$-5 \leq m \leq 5$

D.$m < -5$ hoặc $m > 5$

14. Tìm $m$ để $y = \dfrac{mx + b}{x + c}$ đồng/nghịch biến trên TỪNG khoảng xác địnhTrắc nghiệm`m_for_rational_monotonic_on_each_interval`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 52.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{mx + 1}{x + 3}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

A.$m \in \mathbb{R}$

B.$m > \dfrac{1}{3}$

C.$m \leq \dfrac{1}{3}$

D.$m < \dfrac{1}{3}$

Câu 53.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{mx - 3}{x + 4}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

A.$m > -\dfrac{3}{4}$

B.$m < -\dfrac{3}{4}$

C.$m \leq -\dfrac{3}{4}$

D.$m \in \mathbb{R}$

Câu 54.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{mx + 1}{x + 3}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

A.$m \in \mathbb{R}$

B.$m > \dfrac{1}{3}$

C.$m < \dfrac{1}{3}$

D.$m \leq \dfrac{1}{3}$

15. Cho $f'(x) = (x^2 + s)(x - r)$ với $s > 0$ (nên $x^2 + s > 0\ \forall x$), hỏi khoảng đồng biến / nghịch biến của $f$Trắc nghiệm`monotonicity_fprime_quadratic_times_linear_one_root`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 55.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết rằng $f'(x) = (x^2 + 1)(x + 1)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.$\mathbb{R}$

B.$(-\infty; -1)$

C.$(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$

D.$(-1; +\infty)$

Câu 56.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết rằng $f'(x) = (x^2 + 5)(x + 3)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.$\mathbb{R}$

B.$(-\infty; -3)$

C.$(-3; +\infty)$

D.$(-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$

Câu 57.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết rằng $f'(x) = (x^2 + 4)(x - 2)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.$(-\infty; 2)$

B.$(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$

C.$(2; +\infty)$

D.$\mathbb{R}$

16. Cho ĐỒ THỊ đạo hàm $y = f'(x)$ → hỏi MỆNH ĐỀ nào ĐÚNG về tính đơn điệu của $y = f(x)$Trắc nghiệm`monotonicity_statement_from_fprime_graph`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 58.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

Đồ thị đạo hàm y = f'(x) cắt trục Ox tại x = -3, -1, 3; hệ số dẫn đầu dương

A.Hàm số nghịch biến trên $(-3; -1)$.

B.Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; -3)$.

C.Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -3)$.

D.Hàm số nghịch biến trên $(3; +\infty)$.

Câu 59.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

Đồ thị đạo hàm y = f'(x) cắt trục Ox tại x = -3, 0, 2; hệ số dẫn đầu âm

A.Hàm số nghịch biến trên $(0; 2)$.

B.Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; -3)$.

C.Hàm số đồng biến trên $(-3; 0)$.

D.Hàm số đồng biến trên $(0; 2)$.

Câu 60.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

Đồ thị đạo hàm y = f'(x) cắt trục Ox tại x = -2, 0, 2; hệ số dẫn đầu dương

A.Hàm số nghịch biến trên $(-2; 0)$.

B.Hàm số đồng biến trên $(2; +\infty)$.

C.Hàm số nghịch biến trên $(2; +\infty)$.

D.Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -2)$.

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 61.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

Đồ thị đạo hàm y = f'(x) cắt trục Ox tại x = -1, 0, 1; hệ số dẫn đầu âm

A.Hàm số đồng biến trên $(-1; 0)$.

B.Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$.

C.Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; -1)$.

D.Hàm số nghịch biến trên $(0; 1)$.

Câu 62.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

Đồ thị đạo hàm y = f'(x) cắt trục Ox tại x = -2, 0, 3; hệ số dẫn đầu âm

A.Hàm số nghịch biến trên $(0; 3)$.

B.Hàm số đồng biến trên $(-2; 0)$.

C.Hàm số nghịch biến trên $(-2; 0)$.

D.Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; -2)$.

Câu 63.Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

Đồ thị đạo hàm y = f'(x) cắt trục Ox tại x = -2, -1, 1; hệ số dẫn đầu âm

A.Hàm số đồng biến trên $(-2; -1)$.

B.Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; -2)$.

C.Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -2)$.

D.Hàm số nghịch biến trên $(-1; 1)$.

17. Cho $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ với $ad - bc \neq 0$, hỏi SỐ điểm cực trịTrắc nghiệm`rational_linear_num_critical_points`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 64.Hàm số $y = \dfrac{3x - 4}{-x + 6}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A.$3$

B.$0$

C.$1$

D.$2$

Câu 65.Hàm số $y = \dfrac{4x - 4}{x + 6}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A.$0$

B.$3$

C.$2$

D.$1$

Câu 66.Hàm số $y = \dfrac{-3x - 1}{3x + 2}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A.$1$

B.$0$

C.$3$

D.$2$

18. Cho $y = \dfrac{ax+b}{cx+d}$ ($ad - bc \neq 0$), hàm đồng biến/nghịch biến trên các khoảng phân tách bởi tiệm cận đứngTrắc nghiệm`rational_monotonicity`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 67.Tính đơn điệu của hàm số $y = \dfrac{-4x - 4}{-2x - 7}$ là:

A.Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

B.Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

C.Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

D.Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Câu 68.Tính đơn điệu của hàm số $y = \dfrac{-x + 2}{2x - 3}$ là:

A.Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

B.Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

C.Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

D.Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

Câu 69.Tính đơn điệu của hàm số $y = \dfrac{4x + 1}{3x + 3}$ là:

A.Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

B.Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

C.Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

D.Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

19. Cho bảng biến thiên có dấu $y' = (-, +, -)$ — hàm NGHỊCH — ĐỒNG — NGHỊCH biến qua hai điểm chia $r_1 < r_2$Trắc nghiệm`read_interval_from_bbt_dec_inc_dec`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 70.Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

BBT dấu y' = -,+,- : cực tiểu tại x=1, cực đại tại x=3

A.$(1; 3)$

B.$(-\infty; 1)$

C.$(3; +\infty)$

D.$(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$

Câu 71.Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

BBT dấu y' = -,+,- : cực tiểu tại x=-1, cực đại tại x=1

A.$(-\infty; -1)$

B.$(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$

C.$(1; +\infty)$

D.$(-1; 1)$

Câu 72.Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

BBT dấu y' = -,+,- : cực tiểu tại x=1, cực đại tại x=4

A.$(-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$

B.$(1; 4)$

C.$(-\infty; 1)$

D.$(4; +\infty)$

20. Cho bảng biến thiên của hàm bậc 3, đọc các khoảng đồng/nghịch biếnTrắc nghiệm`read_intervals_from_variation_table`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 73.Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào?

BBT có cực đại tại x = -4, cực tiểu tại x = -2

A.$(-\infty; -4) \cup (-2; +\infty)$

B.$(-4; -2)$

C.$(-\infty; -4)$

D.$(-2; +\infty)$

Câu 74.Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

BBT có cực đại tại x = -2, cực tiểu tại x = -1

A.$(-2; -1)$

B.$(-\infty; -2)$

C.$(-\infty; -2) \cup (-1; +\infty)$

D.$(-1; +\infty)$

Câu 75.Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

BBT có cực đại tại x = -3, cực tiểu tại x = 2

A.$(-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$

B.$(2; +\infty)$

C.$(-\infty; -3)$

D.$(-3; 2)$

21. BBT của hàm phân thức $y = \dfrac{ax+b}{cx+d}$ với tiệm cận đứng tại $x = x_0$Trắc nghiệm`read_monotonicity_rational_bbt`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 76.Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số nghịch biến trên các khoảng nào?

BBT phân thức, tiệm cận đứng x = 3

A.$(-\infty; 3)$ và $(3; +\infty)$

B.$(-\infty; 3)$ hoặc $(3; +\infty)$ (chỉ một trong hai)

C.$\mathbb{R} \setminus \{3\}$

D.$\mathbb{R}$

Câu 77.Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số nghịch biến trên các khoảng nào?

BBT phân thức, tiệm cận đứng x = 2

A.$\mathbb{R}$

B.$(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$

C.$(-\infty; 2)$ hoặc $(2; +\infty)$ (chỉ một trong hai)

D.$\mathbb{R} \setminus \{2\}$

Câu 78.Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số đồng biến trên các khoảng nào?

BBT phân thức, tiệm cận đứng x = -3

A.$(-\infty; -3)$ và $(-3; +\infty)$

B.$\mathbb{R} \setminus \{-3\}$

C.$(-\infty; -3)$ hoặc $(-3; +\infty)$ (chỉ một trong hai)

D.$\mathbb{R}$

22. BBT của hàm $y = \sqrt{x^2 - a^2}$ — TXĐ là $(-\infty; -a] \cup [a; +\infty)$Trắc nghiệm`read_monotonicity_sqrt_domain_bbt`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 79.Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ (phần gạch chéo là khoảng không thuộc tập xác định). Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

BBT y = sqrt(x^2 - 4^2) với khoảng (-4; 4) gạch chéo

A.$(-4; 4)$

B.$(-\infty; -4)$

C.$(-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$

D.$(-\infty; 4)$

Câu 80.Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ (phần gạch chéo là khoảng không thuộc tập xác định). Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

BBT y = sqrt(x^2 - 3^2) với khoảng (-3; 3) gạch chéo

A.$(-3; 3)$

B.$(-\infty; 3)$

C.$(3; +\infty)$

D.$(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$

Câu 81.Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ (phần gạch chéo là khoảng không thuộc tập xác định). Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

BBT y = sqrt(x^2 - 3^2) với khoảng (-3; 3) gạch chéo

A.$(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$

B.$(-\infty; 3)$

C.$(-3; 3)$

D.$(3; +\infty)$

23. Bài toán thực tế: vận tốc của một vật thể chuyển động theo quy luật $v(t) = at^3 + bt^2 + ct$ (m/s) với $t \geq 0$ (giây)Trắc nghiệm`speed_monotonicity_application`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 82.Một vật chuyển động trên đường thẳng, vận tốc tại thời điểm $t \geq 0$ (giây) cho bởi $v(t) = t^3 - 12t^2 + 36t$ (m/s). Hỏi vận tốc của vật giảm trên khoảng nào?

A.$(2; 6)$

B.$(0; 2)$

C.$(0; 6)$

D.$(6; +\infty)$

Câu 83.Một vật chuyển động trên đường thẳng, vận tốc tại thời điểm $t \geq 0$ (giây) cho bởi $v(t) = t^3 - 12t^2 + 36t$ (m/s). Hỏi vận tốc của vật giảm trên khoảng nào?

A.$(6; +\infty)$

B.$(0; 2)$

C.$(2; 6)$

D.$(0; 6)$

Câu 84.Một vật chuyển động trên đường thẳng, vận tốc tại thời điểm $t \geq 0$ (giây) cho bởi $v(t) = t^3 - 12t^2 + 36t$ (m/s). Hỏi vận tốc của vật giảm trên khoảng nào?

A.$(0; 6)$

B.$(2; 6)$

C.$(6; +\infty)$

D.$(0; 2)$

24. Bẫy khái niệm thuần về tính đơn điệu (không cần hàm cụ thể cho phần lớn ý): điều kiện ĐỦ vs CẦN của dấu $f'$, yêu cầu LIÊN TỤC khi gộp khoảng, định nghĩa đồng biến, và $f'(x_0) = 0$ KHÔNG suy ra cực trịĐúng / Sai`monotonicity_concept_traps_tf`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 85.Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau về tính đơn điệu của hàm số ($f$ có đạo hàm trên các khoảng đang xét):

a)Một hàm số có thể đồng biến trên $\mathbb{R}$ mà đạo hàm bằng $0$ tại một số điểm.

b)Hàm số đồng biến trên $(a; b)$ thì $f'(x) > 0$ với mọi $x \in (a; b)$.

c)Nếu $f$ đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và đồng biến trên $(0; +\infty)$ thì $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

d)Nếu $f'(x_0) = 0$ thì $x_0$ luôn là điểm cực trị của $f$.

Câu 86.Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau về tính đơn điệu của hàm số ($f$ có đạo hàm trên các khoảng đang xét):

a)Nếu $f$ đồng biến trên $(a; b)$ thì với mọi $x_1 < x_2$ thuộc $(a; b)$ ta có $f(x_1) < f(x_2)$.

b)Nếu $f'(x) \ge 0$ với mọi $x \in (a; b)$ và $f'(x) = 0$ chỉ tại hữu hạn điểm thì $f$ đồng biến trên $(a; b)$.

c)Nếu $f'(x_0) = 0$ thì $x_0$ luôn là điểm cực trị của $f$.

d)Nếu $f$ đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và đồng biến trên $(0; +\infty)$ thì $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Câu 87.Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau về tính đơn điệu của hàm số ($f$ có đạo hàm trên các khoảng đang xét):

a)Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x_0$ thì $f$ đồng biến ở lân cận bên phải của $x_0$.

b)Nếu $f$ đồng biến trên $(a; b)$ thì với mọi $x_1 < x_2$ thuộc $(a; b)$ ta có $f(x_1) < f(x_2)$.

c)Nếu $f'(x) \ge 0$ với mọi $x \in (a; b)$ và $f'(x) = 0$ chỉ tại hữu hạn điểm thì $f$ đồng biến trên $(a; b)$.

d)Nếu $f$ đồng biến trên $(a; b)$ và đồng biến trên $(b; c)$ thì $f$ đồng biến trên $(a; c)$.

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 88.Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau về tính đơn điệu của hàm số ($f$ có đạo hàm trên các khoảng đang xét):

a)Nếu $f$ đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và đồng biến trên $(0; +\infty)$ thì $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

b)Hàm số đồng biến trên $(a; b)$ thì $f'(x) > 0$ với mọi $x \in (a; b)$.

c)Một hàm số có thể đồng biến trên $\mathbb{R}$ mà đạo hàm bằng $0$ tại một số điểm.

d)Nếu $f$ đồng biến trên $(a; b)$ thì với mọi $x_1 < x_2$ thuộc $(a; b)$ ta có $f(x_1) < f(x_2)$.

Câu 89.Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau về tính đơn điệu của hàm số ($f$ có đạo hàm trên các khoảng đang xét):

a)Nếu $f$ đồng biến trên $(a; b)$ và đồng biến trên $(b; c)$ thì $f$ đồng biến trên $(a; c)$.

b)Nếu $f'(x) \ge 0$ với mọi $x \in (a; b)$ và $f'(x) = 0$ chỉ tại hữu hạn điểm thì $f$ đồng biến trên $(a; b)$.

c)Hàm số đồng biến trên $(a; b)$ thì $f'(x) > 0$ với mọi $x \in (a; b)$.

d)Nếu $f$ đồng biến trên $(a; b)$ thì với mọi $x_1 < x_2$ thuộc $(a; b)$ ta có $f(x_1) < f(x_2)$.

Câu 90.Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau về tính đơn điệu của hàm số ($f$ có đạo hàm trên các khoảng đang xét):

a)Một hàm số có thể đồng biến trên $\mathbb{R}$ mà đạo hàm bằng $0$ tại một số điểm.

b)Nếu $f'(x_0) = 0$ thì $x_0$ luôn là điểm cực trị của $f$.

c)Hàm số đồng biến trên $(a; b)$ thì $f'(x) > 0$ với mọi $x \in (a; b)$.

d)Nếu $f$ đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và đồng biến trên $(0; +\infty)$ thì $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

25. Xét đúng/sai các mệnh đề về tính đơn điệu của hàm bậc 3 cụ thểĐúng / Sai`monotonicity_independent_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 91.Cho hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; 0)$.

b)$x = 2$ là điểm cực tiểu của hàm số.

c)$x = 0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

d)$x = 0$ là điểm cực đại của hàm số.

Câu 92.Cho hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; -1)$.

b)Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; 3)$.

c)$x = 3$ là điểm cực tiểu của hàm số.

d)$x = -1$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Câu 93.Cho hàm số $f(x) = x^3 - 6x^2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$x = 0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

b)Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 4)$.

c)Đồ thị hàm số cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ bằng $0$.

d)$x = 0$ là điểm cực đại của hàm số.

26. VDC (TF): Cho hàm phân thức $f(x) = \dfrac{x^2 - bx + c}{x - a}$Đúng / Sai`rational_function_quadratic_over_linear_facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 94.Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 3}{x - 1}$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(0; -3)$.

b)Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(2; 1)$.

c)Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$.

d)Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng và một tiệm cận xiên.

Câu 95.Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 7}{x - 2}$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$.

b)Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-2; 0]$ bằng $0$.

c)Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(1; -3)$.

d)Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng và một tiệm cận xiên.

Câu 96.Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 5}{x - 2}$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$.

b)Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(3; 2)$.

c)Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(1; -2)$.

d)Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-2; 0]$ bằng $0$.

27. VDC (TF) — TÁI HIỆN câu II-2 đề thi thử TN THPT 2026 lần 2 THPT Lê Hồng Phong (Thanh Hoá): cho hàm $y = \dfrac{ax^2 + bx + c}{x + m}$ có đồ thị như hình vẽ (đồ thị: tiệm cận đứng $x = -1$, tiệm cận xiên $y = x + 1$, cực đại $(-2; -2)$, cực tiểu $(0; 2)$ ⇒ $a = 1, b = 2, c = 2, m = 1$)Đúng / Sai`rational_quad_over_linear_graph_facts_pdf_tf`(1 câu)

Mẫu 1Vận dụng(1 câu)

Câu 97.Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 + 2x + 2}{x + 1}$ có đồ thị như hình vẽ. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Đồ thị hàm phân thức y=(ax^2+bx+c)/(x+m) với tiệm cận đứng x=-1, tiệm cận xiên y=x + 1, cực đại (-2;-2) và cực tiểu (0;2).

a)Gọi $A, B$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho, diện tích của tam giác $OAB$ bằng $4$ đơn vị diện tích (với $O$ là gốc tọa độ).

b)Đồ thị của hàm số đã cho có tiệm cận xiên $y = x - 1$.

c)Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(-2; -1)$.

d)$a + b + c + m = 6$.

28. VDC (TF) — TÁI HIỆN câu II-3 đề thi thử TN THPT 2026 lần 3 Sở GD&ĐT Sơn La: hàm $y = \dfrac{2x^2 - 2x + 2}{-x + 1}$Đúng / Sai`rational_quad_over_neg_linear_facts_pdf_tf`(1 câu)

Mẫu 1Vận dụng(1 câu)

Câu 98.Cho hàm số $y = \dfrac{2x^2 - 2x + 2}{-x + 1}$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$.

b)Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$.

c)Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[\dfrac{3}{2}; \dfrac{7}{2}\right]$ bằng $-7$.

d)Gọi $A, B$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Cho điểm $M(-1; 0)$, gọi $D(a; b)$ là chân đường phân giác trong góc $M$ của tam giác $MAB$. Khi đó $a + b = \dfrac{1}{2}$.

29. VDC (TF) — TÁI HIỆN câu II-4 đề thi thử TN THPT 2026 Sở GD&ĐT Đồng Tháp: hàm $y = \dfrac{x^2 + x - 6}{x + 1}$ có đồ thị $(C)$; $A, B$ thuộc hai nhánh của $(C)$ sao cho $AB \parallel Ox$Đúng / Sai`rational_x2_x_minusc_symmetry_chord_volume_pdf_tf`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 99.Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 + x - 20}{x + 1}$ có đồ thị là đường cong $(C)$. Giả sử $A, B$ là hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị $(C)$ sao cho $AB$ song song với trục hoành. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Đồ thị $(C)$ có tâm đối xứng là điểm $I(-1; -1)$.

b)Có $2$ tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ song song với đường thẳng $d: y = 21x + 60$.

c)Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng $2 \sqrt{19}$.

d)Gọi $(K)$ là hình phẳng giới hạn bởi $y = \dfrac{x^2 + x - 20}{x + 1} - x$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x = m\ (m > 0)$; quay $(K)$ quanh $Ox$ được khối tích $V$. Khi đó $\lim\limits_{m \to +\infty} V = 400 \pi$.

Câu 100.Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 + x - 2}{x + 1}$ có đồ thị là đường cong $(C)$. Giả sử $A, B$ là hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị $(C)$ sao cho $AB$ song song với trục hoành. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Đồ thị $(C)$ có tâm đối xứng là điểm $I(-1; -1)$.

b)Có $2$ tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ song song với đường thẳng $d: y = 3x + 6$.

c)Gọi $(K)$ là hình phẳng giới hạn bởi $y = \dfrac{x^2 + x - 2}{x + 1} - x$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x = m\ (m > 0)$; quay $(K)$ quanh $Ox$ được khối tích $V$. Khi đó $\lim\limits_{m \to +\infty} V = 4 \pi$.

d)Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng $2$.

Câu 101.Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 + x - 20}{x + 1}$ có đồ thị là đường cong $(C)$. Giả sử $A, B$ là hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị $(C)$ sao cho $AB$ song song với trục hoành. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng $2 \sqrt{19}$.

b)Gọi $(K)$ là hình phẳng giới hạn bởi $y = \dfrac{x^2 + x - 20}{x + 1} - x$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x = m\ (m > 0)$; quay $(K)$ quanh $Ox$ được khối tích $V$. Khi đó $\lim\limits_{m \to +\infty} V = 400 \pi$.

c)Có $2$ tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ song song với đường thẳng $d: y = 21x + 60$.

d)Đồ thị $(C)$ có tâm đối xứng là điểm $I(-1; -1)$.

30. Đảo ngược + đếm tham số: đếm số nguyên $m$ để khoảng nghịch biến của hàm bậc 3 có độ dài KHÔNG VƯỢT QUÁ ngưỡng $L$ cho trướcTrả lời ngắn`count_integer_m_decrease_length_at_least`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 102.Cho họ hàm số $y = x^3 - 6x^2 + 3mx + 5$ (với $m$ là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số có khoảng nghịch biến với độ dài không vượt quá $2$?

Câu 103.Cho họ hàm số $y = x^3 - 9x^2 + 3mx + 3$ (với $m$ là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số có khoảng nghịch biến với độ dài không vượt quá $2$?

Câu 104.Cho họ hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 3mx + 5$ (với $m$ là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số có khoảng nghịch biến với độ dài không vượt quá $2$?

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 105.Cho họ hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 3mx - 1$ (với $m$ là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số có khoảng nghịch biến với độ dài không vượt quá $4$?

Câu 106.Cho họ hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 3mx - 5$ (với $m$ là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số có khoảng nghịch biến với độ dài không vượt quá $6$?

Câu 107.Cho họ hàm số $y = x^3 - 6x^2 + 3mx + 2$ (với $m$ là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số có khoảng nghịch biến với độ dài không vượt quá $6$?

31. Ứng dụng liên môn: ngưỡng tham số m để mô hình $f(t)=e^{t}-m\,t$ đồng biến trên $[c;+\infty)$Trả lời ngắn`exp_log_growth_model_monotonic_threshold_sa`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 108.Trong một mô hình ứng dụng, nhiệt lượng tỏa ra của một phản ứng biến thiên theo thời gian $t$ (phút) bởi công thức $f(t) = e^{t} - m\,t$, trong đó $m$ là tham số. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của $m$ để hàm số $f$ đồng biến trên khoảng $[1; +\infty)$.

Câu 109.Trong một mô hình ứng dụng, mức tín hiệu thu được biến thiên theo thời gian $t$ (giây) bởi công thức $f(t) = e^{t} - m\,t$, trong đó $m$ là tham số. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của $m$ để hàm số $f$ đồng biến trên khoảng $[1; +\infty)$.

Câu 110.Trong một mô hình ứng dụng, một đại lượng vật lí biến thiên theo thời gian $t$ (giờ) bởi công thức $f(t) = e^{t} - m\,t$, trong đó $m$ là tham số. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của $m$ để hàm số $f$ đồng biến trên khoảng $[1; +\infty)$.

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 111.Trong một mô hình ứng dụng, mức tín hiệu thu được biến thiên theo thời gian $t$ (giây) bởi công thức $f(t) = e^{t} - m\,t$, trong đó $m$ là tham số. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của $m$ để hàm số $f$ đồng biến trên khoảng $[2; +\infty)$.

Câu 112.Trong một mô hình ứng dụng, nhiệt lượng tỏa ra của một phản ứng biến thiên theo thời gian $t$ (phút) bởi công thức $f(t) = e^{t} - m\,t$, trong đó $m$ là tham số. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của $m$ để hàm số $f$ đồng biến trên khoảng $[3; +\infty)$.

Câu 113.Trong một mô hình ứng dụng, nhiệt lượng tỏa ra của một phản ứng biến thiên theo thời gian $t$ (phút) bởi công thức $f(t) = e^{t} - m\,t$, trong đó $m$ là tham số. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của $m$ để hàm số $f$ đồng biến trên khoảng $[2; +\infty)$.

32. Cho hàm bậc 3 có 2 cực trị, tính độ dài khoảng nghịch biến $|x_2 - x_1|$Trả lời ngắn`length_of_decrease_interval`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 114.Cho hàm số $y = x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 2$. Tính độ dài khoảng nghịch biến của hàm số.

Câu 115.Cho hàm số $y = x^{3} - \dfrac{9 x^{2}}{2} + 6 x - 1$. Tính độ dài khoảng nghịch biến của hàm số.

Câu 116.Cho hàm số $y = x^{3} - 6 x^{2} - 15 x + 1$. Tính độ dài khoảng nghịch biến của hàm số.

33. Tìm số nguyên $m$ lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) sao cho hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$Trả lời ngắn`m_for_inc_on_R_strict`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 117.Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số $m$ để hàm số $y = x^3 + 3mx^2 + 27x + 1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Câu 118.Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số $m$ để hàm số $y = x^3 + 3mx^2 + 3x + 1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Câu 119.Tìm giá trị nguyên lớn nhất của tham số $m$ để hàm số $y = x^3 + 3mx^2 + 27x + 1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

34. Đếm số khoảng đơn điệu của hàm bậc 3 hoặc bậc 4 trùng phươngTrả lời ngắn`number_of_monotonic_intervals`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 120.Hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} - 4$ có bao nhiêu khoảng đơn điệu?

Câu 121.Hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} + 6 x - 3$ có bao nhiêu khoảng đơn điệu?

Câu 122.Hàm số $y = x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 5$ có bao nhiêu khoảng đơn điệu?

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Định lý(1)

§3. Tính chất(1)

§4. Phương pháp(1)

Bài tập

1. Cho $y = ax^4 + bx^2 + c$ với $a, b$ trái dấu, tìm khoảng đồng biếnTrắc nghiệmbiquadratic_monotonicity(3 câu)

2. Cho hàm đơn điệu, so sánh giá trị tại 2 điểm — kiểm tra hiểu định nghĩaTrắc nghiệmcompare_function_values(3 câu)

3. Xét đơn điệu hàm hợp $g(x) = f(x^2 - 2x)$ từ dấu của $f'$ (inner BẬC HAI)Trắc nghiệmcomposite_monotonicity_quadratic_inner_vdc(3 câu)

4. Xét đơn điệu hàm hợp $g(x) = f(c - x)$ từ BBT của $f$ (dấu của $f'$)Trắc nghiệmcomposite_monotonicity_reflect_from_bbt_vdc(3 câu)

5. Đồ thị hàm bậc ba ($a > 0$) có điểm cực đại $(x_M, y_M)$ và điểm cực tiểu $(x_m, y_m)$ với $x_M < x_m$ → hỏi hàm số ĐỒNG BIẾN trên khoảng nàoTrắc nghiệmcubic_increasing_from_graph_max_min(3 câu)

6. Đồ thị hàm bậc 3 (a>0) có cực đại $(x_M, y_M)$ và cực tiểu $(x_m, y_m)$ với $x_M < x_m$ → nghịch biến trên $(x_M, x_m)$Trắc nghiệmcubic_monotonicity_from_graph_max_0_min_2(3 câu)

7. Cho hàm bậc 3 có hai nghiệm $y'$ phân biệt, tìm khoảng đồng biến (hoặc nghịch biến)Trắc nghiệmcubic_monotonicity_intervals(3 câu)

8. Cho ĐỒ THỊ đạo hàm $y = f'(x)$ → hỏi hàm số $y = f(x)$ NGHỊCH BIẾN trên khoảng nàoTrắc nghiệmdecreasing_interval_from_fprime_graph(6 câu)

9. Cho ĐỒ THỊ hàm số trùng phương $y = ax^4 + bx^2 + c$ ($a > 0$, $b < 0$ → đồ thị chữ W: hai cực tiểu tại $x = \pm x_0$, một cực đại tại $x = 0$)Trắc nghiệmincreasing_interval_biquadratic_from_graph(6 câu)

10. Cho ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM $y = f'(x)$ là đường bậc ba cắt $Ox$ tại BA nghiệm đơn liên tiếp $r, r+1, r+2$ (hệ số dẫn đầu dương) → hỏi $y = f(x)$ ĐỒNG BIẾN trên khoảng nàoTrắc nghiệmincreasing_interval_fprime_three_roots_graph(6 câu)

11. Cho ĐỒ THỊ đạo hàm $y = f'(x)$ (đa thức cắt Ox tại 3 nghiệm đơn) → hỏi hàm số $y = f(x)$ ĐỒNG BIẾN trên khoảng nàoTrắc nghiệmincreasing_interval_from_fprime_graph(6 câu)

12. VD-VDC THPT. Cho $y = x^3 - 3mx^2 + 3(2m - 1)x + n$Trắc nghiệmm_for_cubic_increasing_on_R(3 câu)

13. Tìm $m$ để $y = x^3 + 3mx^2 + 3kx + d$ đồng biến trên $\mathbb{R}$Trắc nghiệmm_for_monotonic_on_R(3 câu)

14. Tìm $m$ để $y = \dfrac{mx + b}{x + c}$ đồng/nghịch biến trên TỪNG khoảng xác địnhTrắc nghiệmm_for_rational_monotonic_on_each_interval(3 câu)

15. Cho $f'(x) = (x^2 + s)(x - r)$ với $s > 0$ (nên $x^2 + s > 0\ \forall x$), hỏi khoảng đồng biến / nghịch biến của $f$Trắc nghiệmmonotonicity_fprime_quadratic_times_linear_one_root(3 câu)

16. Cho ĐỒ THỊ đạo hàm $y = f'(x)$ → hỏi MỆNH ĐỀ nào ĐÚNG về tính đơn điệu của $y = f(x)$Trắc nghiệmmonotonicity_statement_from_fprime_graph(6 câu)

17. Cho $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ với $ad - bc \neq 0$, hỏi SỐ điểm cực trịTrắc nghiệmrational_linear_num_critical_points(3 câu)

18. Cho $y = \dfrac{ax+b}{cx+d}$ ($ad - bc \neq 0$), hàm đồng biến/nghịch biến trên các khoảng phân tách bởi tiệm cận đứngTrắc nghiệmrational_monotonicity(3 câu)

19. Cho bảng biến thiên có dấu $y' = (-, +, -)$ — hàm NGHỊCH — ĐỒNG — NGHỊCH biến qua hai điểm chia $r_1 < r_2$Trắc nghiệmread_interval_from_bbt_dec_inc_dec(3 câu)

20. Cho bảng biến thiên của hàm bậc 3, đọc các khoảng đồng/nghịch biếnTrắc nghiệmread_intervals_from_variation_table(3 câu)

21. BBT của hàm phân thức $y = \dfrac{ax+b}{cx+d}$ với tiệm cận đứng tại $x = x_0$Trắc nghiệmread_monotonicity_rational_bbt(3 câu)

22. BBT của hàm $y = \sqrt{x^2 - a^2}$ — TXĐ là $(-\infty; -a] \cup [a; +\infty)$Trắc nghiệmread_monotonicity_sqrt_domain_bbt(3 câu)

23. Bài toán thực tế: vận tốc của một vật thể chuyển động theo quy luật $v(t) = at^3 + bt^2 + ct$ (m/s) với $t \geq 0$ (giây)Trắc nghiệmspeed_monotonicity_application(3 câu)

25. Xét đúng/sai các mệnh đề về tính đơn điệu của hàm bậc 3 cụ thểĐúng / Saimonotonicity_independent_facts(3 câu)

26. VDC (TF): Cho hàm phân thức $f(x) = \dfrac{x^2 - bx + c}{x - a}$Đúng / Sairational_function_quadratic_over_linear_facts(3 câu)

28. VDC (TF) — TÁI HIỆN câu II-3 đề thi thử TN THPT 2026 lần 3 Sở GD&ĐT Sơn La: hàm $y = \dfrac{2x^2 - 2x + 2}{-x + 1}$Đúng / Sairational_quad_over_neg_linear_facts_pdf_tf(1 câu)

29. VDC (TF) — TÁI HIỆN câu II-4 đề thi thử TN THPT 2026 Sở GD&ĐT Đồng Tháp: hàm $y = \dfrac{x^2 + x - 6}{x + 1}$ có đồ thị $(C)$; $A, B$ thuộc hai nhánh của $(C)$ sao cho $AB \parallel Ox$Đúng / Sairational_x2_x_minusc_symmetry_chord_volume_pdf_tf(3 câu)

30. Đảo ngược + đếm tham số: đếm số nguyên $m$ để khoảng nghịch biến của hàm bậc 3 có độ dài KHÔNG VƯỢT QUÁ ngưỡng $L$ cho trướcTrả lời ngắncount_integer_m_decrease_length_at_least(6 câu)

31. Ứng dụng liên môn: ngưỡng tham số m để mô hình $f(t)=e^{t}-m\,t$ đồng biến trên $[c;+\infty)$Trả lời ngắnexp_log_growth_model_monotonic_threshold_sa(6 câu)

32. Cho hàm bậc 3 có 2 cực trị, tính độ dài khoảng nghịch biến $|x_2 - x_1|$Trả lời ngắnlength_of_decrease_interval(3 câu)

33. Tìm số nguyên $m$ lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) sao cho hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$Trả lời ngắnm_for_inc_on_R_strict(3 câu)

34. Đếm số khoảng đơn điệu của hàm bậc 3 hoặc bậc 4 trùng phươngTrả lời ngắnnumber_of_monotonic_intervals(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Cho $y = ax^4 + bx^2 + c$ với $a, b$ trái dấu, tìm khoảng đồng biếnTrắc nghiệm`biquadratic_monotonicity`(3 câu)

2. Cho hàm đơn điệu, so sánh giá trị tại 2 điểm — kiểm tra hiểu định nghĩaTrắc nghiệm`compare_function_values`(3 câu)

3. Xét đơn điệu hàm hợp $g(x) = f(x^2 - 2x)$ từ dấu của $f'$ (inner BẬC HAI)Trắc nghiệm`composite_monotonicity_quadratic_inner_vdc`(3 câu)

4. Xét đơn điệu hàm hợp $g(x) = f(c - x)$ từ BBT của $f$ (dấu của $f'$)Trắc nghiệm`composite_monotonicity_reflect_from_bbt_vdc`(3 câu)

5. Đồ thị hàm bậc ba ($a > 0$) có điểm cực đại $(x_M, y_M)$ và điểm cực tiểu $(x_m, y_m)$ với $x_M < x_m$ → hỏi hàm số ĐỒNG BIẾN trên khoảng nàoTrắc nghiệm`cubic_increasing_from_graph_max_min`(3 câu)

6. Đồ thị hàm bậc 3 (a>0) có cực đại $(x_M, y_M)$ và cực tiểu $(x_m, y_m)$ với $x_M < x_m$ → nghịch biến trên $(x_M, x_m)$Trắc nghiệm`cubic_monotonicity_from_graph_max_0_min_2`(3 câu)

7. Cho hàm bậc 3 có hai nghiệm $y'$ phân biệt, tìm khoảng đồng biến (hoặc nghịch biến)Trắc nghiệm`cubic_monotonicity_intervals`(3 câu)

8. Cho ĐỒ THỊ đạo hàm $y = f'(x)$ → hỏi hàm số $y = f(x)$ NGHỊCH BIẾN trên khoảng nàoTrắc nghiệm`decreasing_interval_from_fprime_graph`(6 câu)

9. Cho ĐỒ THỊ hàm số trùng phương $y = ax^4 + bx^2 + c$ ($a > 0$, $b < 0$ → đồ thị chữ W: hai cực tiểu tại $x = \pm x_0$, một cực đại tại $x = 0$)Trắc nghiệm`increasing_interval_biquadratic_from_graph`(6 câu)

10. Cho ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM $y = f'(x)$ là đường bậc ba cắt $Ox$ tại BA nghiệm đơn liên tiếp $r, r+1, r+2$ (hệ số dẫn đầu dương) → hỏi $y = f(x)$ ĐỒNG BIẾN trên khoảng nàoTrắc nghiệm`increasing_interval_fprime_three_roots_graph`(6 câu)

11. Cho ĐỒ THỊ đạo hàm $y = f'(x)$ (đa thức cắt Ox tại 3 nghiệm đơn) → hỏi hàm số $y = f(x)$ ĐỒNG BIẾN trên khoảng nàoTrắc nghiệm`increasing_interval_from_fprime_graph`(6 câu)

12. VD-VDC THPT. Cho $y = x^3 - 3mx^2 + 3(2m - 1)x + n$Trắc nghiệm`m_for_cubic_increasing_on_R`(3 câu)

13. Tìm $m$ để $y = x^3 + 3mx^2 + 3kx + d$ đồng biến trên $\mathbb{R}$Trắc nghiệm`m_for_monotonic_on_R`(3 câu)

14. Tìm $m$ để $y = \dfrac{mx + b}{x + c}$ đồng/nghịch biến trên TỪNG khoảng xác địnhTrắc nghiệm`m_for_rational_monotonic_on_each_interval`(3 câu)

15. Cho $f'(x) = (x^2 + s)(x - r)$ với $s > 0$ (nên $x^2 + s > 0\ \forall x$), hỏi khoảng đồng biến / nghịch biến của $f$Trắc nghiệm`monotonicity_fprime_quadratic_times_linear_one_root`(3 câu)

16. Cho ĐỒ THỊ đạo hàm $y = f'(x)$ → hỏi MỆNH ĐỀ nào ĐÚNG về tính đơn điệu của $y = f(x)$Trắc nghiệm`monotonicity_statement_from_fprime_graph`(6 câu)

17. Cho $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ với $ad - bc \neq 0$, hỏi SỐ điểm cực trịTrắc nghiệm`rational_linear_num_critical_points`(3 câu)

18. Cho $y = \dfrac{ax+b}{cx+d}$ ($ad - bc \neq 0$), hàm đồng biến/nghịch biến trên các khoảng phân tách bởi tiệm cận đứngTrắc nghiệm`rational_monotonicity`(3 câu)

19. Cho bảng biến thiên có dấu $y' = (-, +, -)$ — hàm NGHỊCH — ĐỒNG — NGHỊCH biến qua hai điểm chia $r_1 < r_2$Trắc nghiệm`read_interval_from_bbt_dec_inc_dec`(3 câu)

20. Cho bảng biến thiên của hàm bậc 3, đọc các khoảng đồng/nghịch biếnTrắc nghiệm`read_intervals_from_variation_table`(3 câu)

21. BBT của hàm phân thức $y = \dfrac{ax+b}{cx+d}$ với tiệm cận đứng tại $x = x_0$Trắc nghiệm`read_monotonicity_rational_bbt`(3 câu)

22. BBT của hàm $y = \sqrt{x^2 - a^2}$ — TXĐ là $(-\infty; -a] \cup [a; +\infty)$Trắc nghiệm`read_monotonicity_sqrt_domain_bbt`(3 câu)

23. Bài toán thực tế: vận tốc của một vật thể chuyển động theo quy luật $v(t) = at^3 + bt^2 + ct$ (m/s) với $t \geq 0$ (giây)Trắc nghiệm`speed_monotonicity_application`(3 câu)

25. Xét đúng/sai các mệnh đề về tính đơn điệu của hàm bậc 3 cụ thểĐúng / Sai`monotonicity_independent_facts`(3 câu)

26. VDC (TF): Cho hàm phân thức $f(x) = \dfrac{x^2 - bx + c}{x - a}$Đúng / Sai`rational_function_quadratic_over_linear_facts`(3 câu)

28. VDC (TF) — TÁI HIỆN câu II-3 đề thi thử TN THPT 2026 lần 3 Sở GD&ĐT Sơn La: hàm $y = \dfrac{2x^2 - 2x + 2}{-x + 1}$Đúng / Sai`rational_quad_over_neg_linear_facts_pdf_tf`(1 câu)

29. VDC (TF) — TÁI HIỆN câu II-4 đề thi thử TN THPT 2026 Sở GD&ĐT Đồng Tháp: hàm $y = \dfrac{x^2 + x - 6}{x + 1}$ có đồ thị $(C)$; $A, B$ thuộc hai nhánh của $(C)$ sao cho $AB \parallel Ox$Đúng / Sai`rational_x2_x_minusc_symmetry_chord_volume_pdf_tf`(3 câu)

30. Đảo ngược + đếm tham số: đếm số nguyên $m$ để khoảng nghịch biến của hàm bậc 3 có độ dài KHÔNG VƯỢT QUÁ ngưỡng $L$ cho trướcTrả lời ngắn`count_integer_m_decrease_length_at_least`(6 câu)

31. Ứng dụng liên môn: ngưỡng tham số m để mô hình $f(t)=e^{t}-m\,t$ đồng biến trên $[c;+\infty)$Trả lời ngắn`exp_log_growth_model_monotonic_threshold_sa`(6 câu)

32. Cho hàm bậc 3 có 2 cực trị, tính độ dài khoảng nghịch biến $|x_2 - x_1|$Trả lời ngắn`length_of_decrease_interval`(3 câu)

33. Tìm số nguyên $m$ lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) sao cho hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$Trả lời ngắn`m_for_inc_on_R_strict`(3 câu)

34. Đếm số khoảng đơn điệu của hàm bậc 3 hoặc bậc 4 trùng phươngTrả lời ngắn`number_of_monotonic_intervals`(3 câu)