Chia đa thức một biến đã sắp xếp

Công thức

§1. Công thức(1)

1.1

Phép chia có dư

Cho đa thức $A(x)$ (bậc $m$) chia đa thức $B(x)$ (bậc $n$) với $m \geq n$: $$A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x),$$ với $Q(x)$ = thương (bậc $m - n$), $R(x)$ = dư (bậc $< n$ hoặc $R = 0$). $R = 0$: phép chia hết; $A(x)$ chia hết cho $B(x)$.

§2. Phương pháp(1)

2.1

Phương pháp chia dọc

Bước 1. Sắp xếp $A(x), B(x)$ theo lũy thừa giảm dần của $x$. Bước 2. Chia hạng tử bậc cao nhất của $A$ cho hạng tử bậc cao nhất của $B$ → hạng tử đầu của thương. Bước 3. Nhân hạng tử thương vừa tìm với $B$, trừ kết quả khỏi $A$. Bước 4. Lặp lại với đa thức mới cho đến khi bậc < bậc $B$. Bước 5. Kết quả: thương $Q$, dư $R$.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: định lý Bézout

Dư của phép chia $A(x)$ cho $(x - a)$ = $A(a)$. → Không cần chia dọc, chỉ cần thay $x = a$. Vd: $A(x) = x^3 - 2x + 5$ chia $(x - 1)$, dư = $A(1) = 1 - 2 + 5 = 4$. Hệ quả: $A(x)$ chia hết cho $(x - a) \Leftrightarrow A(a) = 0 \Leftrightarrow a$ là nghiệm của $A(x) = 0$.

Bài tập

1. Chia đa thức bậc ba cho nhị thức bậc nhất (phép chia hết)Trắc nghiệm`exact_divide_cubic_by_linear`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 1.Thực hiện phép chia $(2 x^{3} + 6 x^{2} + 5 x + 2) : (x + 2)$, ta được thương:

A.$2 x^{2} + 2 x + 1$

B.$2 x^{2} - 2 x + 1$

C.$2 x^{2} + 2 x$

D.$2 x^{2} + 2 x - 1$

Câu 2.Thực hiện phép chia $(x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 2) : (x + 2)$, ta được thương:

A.$x^{2} + 5 x + 1$

B.$x^{2} - 5 x - 1$

C.$x^{2} - 5 x + 1$

D.$x^{2} - 5 x$

Câu 3.Thực hiện phép chia $(2 x^{3} - 10 x^{2} + 10 x - 8) : (x - 4)$, ta được thương:

A.$2 x^{2} - 2 x - 2$

B.$2 x^{2} + 2 x + 2$

C.$2 x^{2} - 2 x + 2$

D.$2 x^{2} - 2 x$

2. Chia tam thức bậc hai cho nhị thức bậc nhất (phép chia hết)Trắc nghiệm`exact_divide_quadratic_by_linear`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Thực hiện phép chia $(2 x^{2} + 5 x + 3) : (x + 1)$, ta được thương:

A.$3 - 2 x$

B.$2 x + 3$

C.$3 x + 2$

D.$2 x - 3$

Câu 5.Thực hiện phép chia $(2 x^{2} - 12 x + 16) : (x - 4)$, ta được thương:

A.$- 2 x - 4$

B.$2 x - 4$

C.$2 x + 4$

D.$2 - 4 x$

Câu 6.Thực hiện phép chia $(3 x^{2} + 9 x - 12) : (x + 4)$, ta được thương:

A.$- 3 x - 3$

B.$3 x - 3$

C.$3 x + 3$

D.$3 - 3 x$

3. VD cao: tìm tham số $m$ để đa thức chia hết cho nhị thức bậc nhất (Bézout)Trắc nghiệm`find_param_for_exact_division_bezout`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 7.Tìm giá trị của tham số $m$ để đa thức $f(x) = x^3 - 2x^2 + 2x + m$ chia hết cho $(x + 1)$.

A.$5$

B.$-1$

C.$-5$

D.$6$

Câu 8.Tìm giá trị của tham số $m$ để đa thức $f(x) = x^3 - 3x^2 - 3x + m$ chia hết cho $(x + 1)$.

A.$5$

B.$1$

C.$-1$

D.$2$

Câu 9.Tìm giá trị của tham số $m$ để đa thức $f(x) = x^3 + 3x^2 - x + m$ chia hết cho $(x - 1)$.

A.$-3$

B.$-4$

C.$-2$

D.$3$

4. Cho đa thức $P(x)$ với giá trị $P(r)$ cụ thể — áp dụng định lí Bezout để xác định dư khi chiaĐúng / Sai`bezout_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Cho đa thức $P(x)$ thoả $P(2) = 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Nếu $P(x)$ chia $(x - 1)$ dư $5$ thì $P(1) = 5$.

b)Nếu $P(x) = (x - 2)Q(x) + 3$ thì $P(2) = 0$.

c)Theo định lí Bezout, dư khi chia $P(x)$ cho $(x - 2)$ là $P(2) = 3$.

d)Vì $P(2) = 3$, đa thức $P(x)$ chia hết cho $(x - 2)$.

Câu 11.Cho đa thức $P(x)$ thoả $P(-2) = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

b)$P(x)$ chia hết cho $(x + 2)$ khi và chỉ khi $P(-2) = 0$.

c)Nếu $P(x) = (x - 2)Q(x) + 3$ thì $P(2) = 0$.

d)Theo định lí Bezout, dư khi chia $P(x)$ cho $(x + 2)$ là $P(-2) = 0$.

Câu 12.Cho đa thức $P(x)$ thoả $P(-1) = 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Bậc của thương khi chia đa thức bậc $n$ cho đa thức bậc $m$ là $n - m$ (nếu $n \geq m$).

b)Dư khi chia $P(x)$ cho $(x + 1)$ bằng $4$.

c)Theo định lí Bezout, dư khi chia $P(x)$ cho $(x + 1)$ là $P(-1) = 3$.

d)Vì $P(-1) = 3$, đa thức $P(x)$ chia hết cho $(x + 1)$.

5. Phép chia $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ cho $(x - r)$ cụ thể — kiểm tra bậc thương, dưĐúng / Sai`divide_poly_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho phép chia $f(x) = x^3 + x^2 - 5x - 2$ cho đa thức $g(x) = x - 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Mọi đa thức đều chia hết cho đa thức bậc $1$ bất kỳ.

b)Khi chia đa thức bậc $3$ cho đa thức bậc $1$, thương có bậc $2$.

c)Số dư khi chia $f(x) = x^3 + x^2 - 5x - 2$ cho $(x - 2)$ là $f(2) = 0$.

d)Phép chia hết khi đa thức dư bằng $0$.

Câu 14.Cho phép chia $f(x) = x^3 + 4x^2 + 5x + 3$ cho đa thức $g(x) = x + 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số dư khi chia $f(x)$ cho $(x - a)$ là $f(a)$ (định lí Bezout).

b)Số dư khi chia $f(x) = x^3 + 4x^2 + 5x + 3$ cho $(x + 2)$ là $f(-2) = 1$.

c)Phép chia $f(x) : (x + 2)$ là phép chia hết.

d)Phép chia đa thức một biến tương tự phép chia số học (chia dư).

Câu 15.Cho phép chia $f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 3$ cho đa thức $g(x) = x + 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phép chia đa thức một biến tương tự phép chia số học (chia dư).

b)Số dư khi chia $f(x)$ cho $(x - a)$ là $f(a)$ (định lí Bezout).

c)Phép chia $f(x) : (x + 1)$ là phép chia hết.

d)Khi chia đa thức bậc $m$ cho đa thức bậc $n$ ($m \geq n$), thương có bậc $m - n$.

6. Tính giá trị thương $(x - b)$ tại $x_0$Trả lời ngắn`divide_poly_quadratic_linear_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 16.Cho $(x^2 - 2x - 3) : (x - 3)$. Tính giá trị thương tại $x = 2$.

Câu 17.Cho $(x^2 - 6x + 5) : (x - 1)$. Tính giá trị thương tại $x = -2$.

Câu 18.Cho $(x^2 - 5x + 4) : (x - 1)$. Tính giá trị thương tại $x = 3$.

7. Số dư khi chia $P(x)$ cho $(x - a)$ = $P(a)$Trả lời ngắn`remainder_when_divide_by_linear`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Đa thức $P(x) = 2x^2 - 3x + 5$. Số dư khi chia $P(x)$ cho $(x - 1)$ bằng?

Câu 20.Đa thức $P(x) = 3x^2 - x + 2$. Số dư khi chia $P(x)$ cho $(x - 4)$ bằng?

Câu 21.Đa thức $P(x) = -2x^2 + x - 1$. Số dư khi chia $P(x)$ cho $(x - 3)$ bằng?

Công thức

§1. Công thức(1)

§2. Phương pháp(1)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Chia đa thức bậc ba cho nhị thức bậc nhất (phép chia hết)Trắc nghiệmexact_divide_cubic_by_linear(3 câu)

2. Chia tam thức bậc hai cho nhị thức bậc nhất (phép chia hết)Trắc nghiệmexact_divide_quadratic_by_linear(3 câu)

3. VD cao: tìm tham số $m$ để đa thức chia hết cho nhị thức bậc nhất (Bézout)Trắc nghiệmfind_param_for_exact_division_bezout(3 câu)

4. Cho đa thức $P(x)$ với giá trị $P(r)$ cụ thể — áp dụng định lí Bezout để xác định dư khi chiaĐúng / Saibezout_facts(3 câu)

5. Phép chia $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ cho $(x - r)$ cụ thể — kiểm tra bậc thương, dưĐúng / Saidivide_poly_facts(3 câu)

6. Tính giá trị thương $(x - b)$ tại $x_0$Trả lời ngắndivide_poly_quadratic_linear_at_point(3 câu)

7. Số dư khi chia $P(x)$ cho $(x - a)$ = $P(a)$Trả lời ngắnremainder_when_divide_by_linear(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Chia đa thức bậc ba cho nhị thức bậc nhất (phép chia hết)Trắc nghiệm`exact_divide_cubic_by_linear`(3 câu)

2. Chia tam thức bậc hai cho nhị thức bậc nhất (phép chia hết)Trắc nghiệm`exact_divide_quadratic_by_linear`(3 câu)

3. VD cao: tìm tham số $m$ để đa thức chia hết cho nhị thức bậc nhất (Bézout)Trắc nghiệm`find_param_for_exact_division_bezout`(3 câu)

4. Cho đa thức $P(x)$ với giá trị $P(r)$ cụ thể — áp dụng định lí Bezout để xác định dư khi chiaĐúng / Sai`bezout_facts`(3 câu)

5. Phép chia $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ cho $(x - r)$ cụ thể — kiểm tra bậc thương, dưĐúng / Sai`divide_poly_facts`(3 câu)

6. Tính giá trị thương $(x - b)$ tại $x_0$Trả lời ngắn`divide_poly_quadratic_linear_at_point`(3 câu)

7. Số dư khi chia $P(x)$ cho $(x - a)$ = $P(a)$Trả lời ngắn`remainder_when_divide_by_linear`(3 câu)