Phân tích đa thức thành nhân tử

Công thức

§1. Phương pháp(5)

1.1

Đặt nhân tử chung

Nhận biết các hạng tử có chung 1 thừa số → đưa ra ngoài: $$A B + A C - A D = A (B + C - D).$$ Vd: $3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$. Vd: $5x^3 y - 10x^2 y^2 = 5x^2 y (x - 2y)$.

1.2

Nhóm hạng tử

Khi không có nhân tử chung toàn bộ → nhóm các hạng tử có nhân tử chung từng nhóm: $AB + AC + DB + DC = A(B + C) + D(B + C) = (B + C)(A + D)$. Vd: $x^2 - xy + 3x - 3y = x(x - y) + 3(x - y) = (x - y)(x + 3)$.

1.3

Dùng hằng đẳng thức

Nhận dạng biểu thức = một hằng đẳng thức:

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$.

Vd: $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$. $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.

1.4

Dùng nghiệm — Bézout

Tìm nghiệm $a$ của đa thức $P(x) = 0$. Khi đó $P(x) = (x - a) \cdot Q(x)$. Vd: $P(x) = x^3 - 7x + 6$. Thử $x = 1$: $1 - 7 + 6 = 0 \Rightarrow (x-1) | P$. Chia: $P(x) = (x - 1)(x^2 + x - 6) = (x - 1)(x - 2)(x + 3)$.

1.5

Tách hạng tử / thêm bớt

Với đa thức bậc 2: $ax^2 + bx + c$, tách $bx = b_1 x + b_2 x$ sao cho $b_1 b_2 = ac, b_1 + b_2 = b$: $x^2 - 7x + 12 = x^2 - 3x - 4x + 12 = x(x-3) - 4(x-3) = (x-3)(x-4)$. Thêm bớt cùng 1 hạng tử: $x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$.

§2. Mẹo(2)

2.1

Mẹo: phân tích triệt để

Sau mỗi bước phân tích, kiểm tra từng nhân tử xem còn phân tích được nữa không:

$x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$ — dừng vì $x^2 + 1$ không tách được.
$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ — kiểm tra $x^2 + 2x + 4$ có $\Delta = 4 - 16 < 0$ → vô nghiệm thực → dừng.

Bài bị mất điểm nếu thấy hết nhân tử mà không nhận ra.

2.2

Mẹo: thứ tự phân tích

1. Đặt nhân tử chung (nếu có) — luôn ưu tiên. 2. Dùng hằng đẳng thức — nhận dạng nhanh. 3. Nhóm hạng tử. 4. Tách / thêm bớt. 5. Nghiệm (Bézout) — cho đa thức bậc 3+. Thử các phương pháp theo thứ tự đến khi phân tích hết.

§3. Lưu ý(1)

3.1!

Lưu ý: $a^2 + b^2$ KHÔNG phân tích trên $\mathbb{Q}$

Sai lầm phổ biến: $a^2 + b^2 = (a + b)^2$ hoặc $(a + b)(a - b)$ — đều SAI.

$a^2 + b^2$ trên $\mathbb{Q}/\mathbb{R}$: không phân tích được thành tích các đa thức bậc 1.
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ (có $2ab$).
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ (dấu trừ).

→ Khi gặp $a^2 + b^2$: dừng, không phân tích thêm. Hoặc tìm cách thêm/bớt trung gian.

Bài tập

1. Đặt nhân tử chung của một đa thức 2 hạng tử (cả hệ số và biến)Trắc nghiệm`common_factor_binomial`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Phân tích đa thức $18 x^{2} + 9 x$ thành nhân tử, ta được:

A.$3 x \left(3 - 6 x\right)$

B.$4 x \left(6 x + 3\right)$

C.$3 x \left(6 x - 3\right)$

D.$9 x \left(2 x + 1\right)$

Câu 2.Phân tích $28 x^{3} - 7 x$ thành nhân tử:

A.$7 x \left(4 x^{2} + 1\right)$

B.$8 x \left(4 x^{2} - 1\right)$

C.$7 x \left(2 x - 1\right) \left(2 x + 1\right)$

D.$7 x \left(- 4 x^{2} - 1\right)$

Câu 3.Phân tích đa thức $18 x^{4} - 30 x$ thành nhân tử, ta được:

A.$6 x \left(- 3 x^{3} - 5\right)$

B.$7 x \left(3 x^{3} - 5\right)$

C.$6 x \left(3 x^{3} + 5\right)$

D.$6 x \left(3 x^{3} - 5\right)$

2. VD cao: tính $a^3+b^3+c^3-3abc$ qua hằng đẳng thức nhân tửTrắc nghiệm`cubic_sum_minus_3abc_factorization`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Tính giá trị biểu thức $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ với $a = 2$, $b = 3$, $c = 5$.

A.$10$

B.$78$

C.$38$

D.$30$

Câu 5.Tính giá trị biểu thức $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ với $a = 3$, $b = 4$, $c = 5$.

A.$54$

B.$60$

C.$12$

D.$50$

Câu 6.Tính giá trị biểu thức $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ với $a = 2$, $b = 3$, $c = 5$.

A.$10$

B.$38$

C.$30$

D.$78$

3. Phân tích hiệu hai bình phương dạng $a^2 x^2 - b^2$ thành nhân tửTrắc nghiệm`difference_of_squares`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Phân tích $4 x^{2} - 9$ thành nhân tử:

A.$\left(2 x + 3\right)^{2}$

B.$\left(x + 3\right) \left(2 x - 6\right)$

C.$\left(2 x - 3\right) \left(2 x + 3\right)$

D.$\left(2 x - 3\right)^{2}$

Câu 8.Phân tích đa thức $4 x^{2} - 25$ thành nhân tử, ta được:

A.$\left(x + 5\right) \left(2 x - 10\right)$

B.$\left(2 x + 5\right)^{2}$

C.$\left(2 x - 5\right)^{2}$

D.$\left(2 x - 5\right) \left(2 x + 5\right)$

Câu 9.Đa thức $4 x^{2} - 49$ được phân tích thành:

A.$\left(2 x - 7\right) \left(2 x + 7\right)$

B.$\left(x + 7\right) \left(2 x - 14\right)$

C.$\left(2 x + 7\right)^{2}$

D.$\left(2 x - 7\right)^{2}$

4. Phân tích đa thức 4 hạng tử bằng phương pháp nhómTrắc nghiệm`factor_by_grouping`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Phân tích $- 3 x^{2} - 4 x + 4$ thành nhân tử:

A.$\left(2 - 3 x\right) \left(x + 2\right)$

B.$\left(x + 2\right) \left(2 x - 3\right)$

C.$\left(- 3 x - 2\right) \left(x + 2\right)$

D.$\left(2 - 3 x\right) \left(x - 2\right)$

Câu 11.Đa thức $3 x^{2} - 20 x + 25$ được phân tích thành:

A.$\left(x - 5\right) \left(3 x - 5\right)$

B.$\left(x + 5\right) \left(3 x - 5\right)$

C.$\left(x - 5\right) \left(3 x + 5\right)$

D.$\left(3 - 5 x\right) \left(x - 5\right)$

Câu 12.Đa thức $6 x^{2} - 8 x - 8$ được phân tích thành:

A.$\left(x - 2\right) \left(6 x + 4\right)$

B.$\left(x - 2\right) \left(4 x + 6\right)$

C.$\left(x + 2\right) \left(6 x + 4\right)$

D.$\left(x - 2\right) \left(6 x - 4\right)$

5. Phân tích bình phương đầy đủ $a^2 x^2 \pm 2abx + b^2$ thành $(ax \pm b)^2$Trắc nghiệm`perfect_square_factor`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Phân tích đa thức $16 x^{2} - 24 x + 9$ thành nhân tử, ta được:

A.$4 \left(x - 3\right)^{2}$

B.$\left(4 x - 3\right) \left(4 x + 3\right)$

C.$\left(4 x + 3\right)^{2}$

D.$\left(4 x - 3\right)^{2}$

Câu 14.Đa thức $4 x^{2} + 8 x + 4$ được phân tích thành:

A.$\left(2 x - 2\right)^{2}$

B.$2 \left(x + 2\right)^{2}$

C.$\left(2 x - 2\right) \left(2 x + 2\right)$

D.$\left(2 x + 2\right)^{2}$

Câu 15.Phân tích đa thức $4 x^{2} - 8 x + 4$ thành nhân tử, ta được:

A.$\left(2 x - 2\right) \left(2 x + 2\right)$

B.$\left(2 x + 2\right)^{2}$

C.$\left(2 x - 2\right)^{2}$

D.$2 \left(x - 2\right)^{2}$

6. Đánh giá đúng/sai 4 mệnh đề về phân tích $a^2 x^2 - b^2$Đúng / Sai`check_difference_of_squares`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho đa thức $9 x^{2} - 36$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Tại $x = -2$, giá trị của $9 x^{2} - 36$ bằng $0$.

b)Đa thức $9 x^{2} - 36$ là một bình phương đầy đủ.

c)Đa thức $9 x^{2} - 36$ có thể phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất.

d)$9 x^{2} - 36 = \left(3 x - 6\right)^{2}$

Câu 17.Cho đa thức $16 x^{2} - 49$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$16 x^{2} - 49 = \left(4 x - 7\right)^{2}$

b)$16 x^{2} - 49 = \left(4 x - 7\right) \left(4 x + 7\right)$

c)Đa thức $16 x^{2} - 49$ là một bình phương đầy đủ.

d)Tại $x = 7/4$, giá trị của $16 x^{2} - 49$ bằng $0$.

Câu 18.Cho đa thức $9 x^{2} - 4$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$9 x^{2} - 4 = \left(3 x - 2\right)^{2}$

b)Tại $x = -2/3$, giá trị của $9 x^{2} - 4$ bằng $0$.

c)$9 x^{2} - 4 = \left(3 x + 2\right)^{2}$

d)Đa thức $9 x^{2} - 4$ có thể phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất.

7. Cho đa thức cụ thể $x^2 - a^2$ và $x^3 - a^3$ — kiểm tra hằng đẳng thức phân tích nhân tửĐúng / Sai`factor_polynomial_general_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho hai đa thức $x^2 - 1$ và $x^3 - 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$ax + ay + b = a(x + y) + b$ đã là dạng phân tích thành nhân tử.

b)Khi phân tích $x^2 - 1$ thành nhân tử ta được hai nhân tử bậc nhất.

c)$x^3 + 1 = (x + 1)^3$.

d)$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$.

Câu 20.Cho hai đa thức $x^2 - 16$ và $x^3 - 64$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương pháp đặt nhân tử chung là cách phân tích cơ bản nhất.

b)$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.

c)Khi phân tích $x^2 - 16$ thành nhân tử ta được hai nhân tử bậc nhất.

d)$x^3 + 64 = (x + 4)^3$.

Câu 21.Cho hai đa thức $x^2 - 4$ và $x^3 - 8$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$ax + ay + b = a(x + y) + b$ đã là dạng phân tích thành nhân tử.

b)$x^3 + 8 = (x + 2)^3$.

c)$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

d)Khi phân tích $x^2 - 4$ thành nhân tử ta được hai nhân tử bậc nhất.

8. Sau khi đặt nhân tử chung, tính giá trị tại $x_0$Trả lời ngắn`factor_common_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Tính giá trị $(2x^3 - 4x^2)$ tại $x = 1$.

Câu 23.Tính giá trị $(-4x^2 - 4x)$ tại $x = -2$.

Câu 24.Tính giá trị $(-12x^3 - 18x^2)$ tại $x = -1$.

9. Tính $(ax)^2 - b^2$ tại $x_0$Trả lời ngắn`factor_diff_squares_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Tính giá trị $(x)^2 - 3^2$ tại $x = 2$.

Câu 26.Tính giá trị $(4x)^2 - 2^2$ tại $x = 2$.

Câu 27.Tính giá trị $(2x)^2 - 4^2$ tại $x = 2$.

Công thức

§1. Phương pháp(5)

§2. Mẹo(2)

§3. Lưu ý(1)

Bài tập

1. Đặt nhân tử chung của một đa thức 2 hạng tử (cả hệ số và biến)Trắc nghiệmcommon_factor_binomial(3 câu)

2. VD cao: tính $a^3+b^3+c^3-3abc$ qua hằng đẳng thức nhân tửTrắc nghiệmcubic_sum_minus_3abc_factorization(3 câu)

3. Phân tích hiệu hai bình phương dạng $a^2 x^2 - b^2$ thành nhân tửTrắc nghiệmdifference_of_squares(3 câu)

4. Phân tích đa thức 4 hạng tử bằng phương pháp nhómTrắc nghiệmfactor_by_grouping(3 câu)

5. Phân tích bình phương đầy đủ $a^2 x^2 \pm 2abx + b^2$ thành $(ax \pm b)^2$Trắc nghiệmperfect_square_factor(3 câu)

6. Đánh giá đúng/sai 4 mệnh đề về phân tích $a^2 x^2 - b^2$Đúng / Saicheck_difference_of_squares(3 câu)

7. Cho đa thức cụ thể $x^2 - a^2$ và $x^3 - a^3$ — kiểm tra hằng đẳng thức phân tích nhân tửĐúng / Saifactor_polynomial_general_facts(3 câu)

8. Sau khi đặt nhân tử chung, tính giá trị tại $x_0$Trả lời ngắnfactor_common_at_point(3 câu)

9. Tính $(ax)^2 - b^2$ tại $x_0$Trả lời ngắnfactor_diff_squares_at_point(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Đặt nhân tử chung của một đa thức 2 hạng tử (cả hệ số và biến)Trắc nghiệm`common_factor_binomial`(3 câu)

2. VD cao: tính $a^3+b^3+c^3-3abc$ qua hằng đẳng thức nhân tửTrắc nghiệm`cubic_sum_minus_3abc_factorization`(3 câu)

3. Phân tích hiệu hai bình phương dạng $a^2 x^2 - b^2$ thành nhân tửTrắc nghiệm`difference_of_squares`(3 câu)

4. Phân tích đa thức 4 hạng tử bằng phương pháp nhómTrắc nghiệm`factor_by_grouping`(3 câu)

5. Phân tích bình phương đầy đủ $a^2 x^2 \pm 2abx + b^2$ thành $(ax \pm b)^2$Trắc nghiệm`perfect_square_factor`(3 câu)

6. Đánh giá đúng/sai 4 mệnh đề về phân tích $a^2 x^2 - b^2$Đúng / Sai`check_difference_of_squares`(3 câu)

7. Cho đa thức cụ thể $x^2 - a^2$ và $x^3 - a^3$ — kiểm tra hằng đẳng thức phân tích nhân tửĐúng / Sai`factor_polynomial_general_facts`(3 câu)

8. Sau khi đặt nhân tử chung, tính giá trị tại $x_0$Trả lời ngắn`factor_common_at_point`(3 câu)

9. Tính $(ax)^2 - b^2$ tại $x_0$Trả lời ngắn`factor_diff_squares_at_point`(3 câu)