Biến đổi biểu thức hữu tỉ

Công thức

§1. Phương pháp(2)

1.1

Quy trình rút gọn biểu thức hữu tỉ

Bước 1 — ĐKXĐ: tìm điều kiện cho mọi mẫu thức. Bước 2 — Trong ngoặc: quy đồng + cộng/trừ trước. Bước 3 — Phép nhân/chia: thực hiện sau, đảo phân thức nếu cần. Bước 4 — Phân tích nhân tử mọi tử + mẫu để rút gọn. Bước 5 — Kết luận: ghi lại biểu thức rút gọn + ĐKXĐ ban đầu.

1.2

Tính giá trị + tìm $x$ để biểu thức = giá trị cho trước

Sau khi rút gọn $P(x) = \dfrac{\dots}{\dots}$: Tính giá trị tại $x = x_0$:

Kiểm tra $x_0$ thoả ĐKXĐ.
Thay $x_0$ vào biểu thức rút gọn (nhanh hơn biểu thức gốc).

Tìm $x$ sao cho $P(x) = m$:

Giải phương trình $P(x) = m$.
Đối chiếu ĐKXĐ → loại các nghiệm ngoại lai.

§2. Mẹo(1)

2.1

Mẹo: dùng giá trị thử để kiểm tra

Sau khi rút gọn $P(x) = Q(x)$: Thử $x = $ số đơn giản (vd $x = 2$) thoả ĐKXĐ. Tính $P(2)$ và $Q(2)$ → nếu bằng nhau, có lẽ rút gọn đúng. → Phát hiện lỗi đại số nhanh.

Bài tập

1. Rút gọn $\dfrac{P(x)}{Q(x)} + R(x)$ — quy đồng và rút gọnTrắc nghiệm`combine_fraction_and_polynomial`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Rút gọn biểu thức $\dfrac{-4}{3 x - 3} - 6$:

A.$\dfrac{-10}{3 x - 3}$

B.$\dfrac{18 x - 22}{3 x - 3}$

C.$\dfrac{14 - 18 x}{3 x - 3}$

D.$\dfrac{12 - 12 x}{3 x - 3}$

Câu 2.Rút gọn biểu thức $\dfrac{-5}{3 x + 6} + 6$:

A.$\dfrac{1}{3 x + 6}$

B.$\dfrac{- 15 x - 30}{3 x + 6}$

C.$\dfrac{18 x + 31}{3 x + 6}$

D.$\dfrac{- 18 x - 41}{3 x + 6}$

Câu 3.Rút gọn biểu thức $\dfrac{-4}{2 x + 4} + 2$:

A.$\dfrac{- 8 x - 16}{2 x + 4}$

B.$\dfrac{-2}{2 x + 4}$

C.$\dfrac{4 x + 4}{2 x + 4}$

D.$\dfrac{- 4 x - 12}{2 x + 4}$

2. Nhân hai phân thức $\dfrac{a}{Q} \cdot \dfrac{Q}{b}$ với nhân tử chungTrắc nghiệm`multiply_fractions_cancel`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Rút gọn biểu thức $\dfrac{6}{3 - 2 x} \cdot \dfrac{3 - 2 x}{2}$:

A.$\dfrac{1}{3}$

B.$4$

C.$3$

D.$12$

Câu 5.Rút gọn biểu thức $\dfrac{6}{5 - 3 x} \cdot \dfrac{5 - 3 x}{2}$:

A.$4$

B.$3$

C.$12$

D.$\dfrac{1}{3}$

Câu 6.Rút gọn biểu thức $\dfrac{4}{3 - 4 x} \cdot \dfrac{3 - 4 x}{2}$:

A.$\dfrac{1}{2}$

B.$8$

C.$3$

D.$2$

3. Thực hiện dãy phép tính phân thức: trừ hai phân thức rồi chiaTrắc nghiệm`subtract_then_divide_chain_l3`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Thực hiện phép tính $\left(\dfrac{1}{x - 8} - \dfrac{1}{x + 8}\right) : \dfrac{1}{x^{2} - 64}$:

A.$8$

B.$32$

C.$64$

D.$16$

Câu 8.Thực hiện phép tính $\left(\dfrac{1}{x - 6} - \dfrac{1}{x + 6}\right) : \dfrac{1}{x^{2} - 36}$:

A.$36$

B.$24$

C.$12$

D.$6$

Câu 9.Thực hiện phép tính $\left(\dfrac{1}{x - 5} - \dfrac{1}{x + 5}\right) : \dfrac{1}{x^{2} - 25}$:

A.$20$

B.$10$

C.$25$

D.$5$

4. VD cao: cho $x + 1/x = m$; tính $x^2 + 1/x^2 = m^2 - 2$Trắc nghiệm`x_plus_reciprocal_squared`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 10.Cho số thực $x$ thoả mãn $x + \dfrac{1}{x} = 3$. Tính giá trị biểu thức $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$.

A.$8$

B.$11$

C.$9$

D.$7$

Câu 11.Cho số thực $x$ thoả mãn $x + \dfrac{1}{x} = 4$. Tính giá trị biểu thức $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$.

A.$14$

B.$18$

C.$15$

D.$16$

Câu 12.Cho số thực $x$ thoả mãn $x + \dfrac{1}{x} = 5$. Tính giá trị biểu thức $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$.

A.$25$

B.$24$

C.$23$

D.$27$

5. Cho 4 biểu thức cụ thể — phân loại biểu thức hữu tỉ / không phảiĐúng / Sai`rational_examples_check`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho các biểu thức $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$, $\dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$, $\sqrt{x}$ và $x^2 - 3x + 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$ là biểu thức hữu tỉ và xác định khi $x \neq 3$.

b)$x^2 - 3x + 1$ là biểu thức hữu tỉ vì là đa thức.

c)$\dfrac{x + 1}{0}$ là một biểu thức hữu tỉ xác định.

d)$\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}}$ rút gọn được thành $x$ với $x \neq 0$.

Câu 14.Cho các biểu thức $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$, $\dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$, $\sqrt{x}$ và $x^2 - 3x + 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\sqrt{x}$ là một biểu thức hữu tỉ.

b)$\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}}$ rút gọn được thành $x$ với $x \neq 0$.

c)$x^2 - 3x + 1$ là biểu thức hữu tỉ vì là đa thức.

d)$\dfrac{1}{x^2 + 1}$ xác định trên cả $\mathbb{R}$.

Câu 15.Cho các biểu thức $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$, $\dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$, $\sqrt{x}$ và $x^2 - 3x + 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\dfrac{x + 1}{0}$ là một biểu thức hữu tỉ xác định.

b)$\sqrt{x}$ là một biểu thức hữu tỉ.

c)$\dfrac{x^3}{x}$ rút gọn được thành $x^{2}$ với $x \neq 0$.

d)$\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}}$ rút gọn được thành $x$ với $x \neq 0$.

6. Biểu thức hữu tỉ $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + a}$ cụ thể — kiểm tra điều kiện xác định, kết quả thu gọnĐúng / Sai`rational_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho biểu thức hữu tỉ $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 3}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tổng/hiệu/tích/thương của các phân thức luôn là một số nguyên.

b)Khi biến đổi biểu thức hữu tỉ, ta phải đặt điều kiện để các mẫu khác $0$.

c)Mỗi phân thức đại số là một biểu thức hữu tỉ.

d)Hai biểu thức hữu tỉ luôn có thể đơn giản hoá thành cùng một dạng.

Câu 17.Cho biểu thức hữu tỉ $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x - 2}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai biểu thức hữu tỉ luôn có thể đơn giản hoá thành cùng một dạng.

b)Kết quả rút gọn của $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x - 2}$ là $\dfrac{2x - 2}{x^2 - 2x}$.

c)$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x - 2}$ là một biểu thức hữu tỉ.

d)Tổng/hiệu/tích/thương của các phân thức luôn là một số nguyên.

Câu 18.Cho biểu thức hữu tỉ $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x - 3}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai biểu thức hữu tỉ luôn có thể đơn giản hoá thành cùng một dạng.

b)Tổng/hiệu/tích/thương của các phân thức luôn là một số nguyên.

c)$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x - 3}$ là một biểu thức hữu tỉ.

d)Khi biến đổi biểu thức hữu tỉ, ta phải đặt điều kiện để các mẫu khác $0$.

7. Tính $1/(x + a) + 1/(x + b)$ tại $x_0$ (số thập phân)Trả lời ngắn`combine_two_simple_fractions_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Tính giá trị $\dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{1}{x + 4}$ tại $x = -2$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 20.Tính giá trị $\dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{x - 3}$ tại $x = -2$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 21.Tính giá trị $\dfrac{1}{x + 4} + \dfrac{1}{x + 3}$ tại $x = 2$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

8. Tính $(ax+b)/(cx+d)$ tại $x = k$ (số thập phân)Trả lời ngắn`evaluate_rational`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Tính giá trị $\dfrac{x + 1}{5x + 5}$ tại $x = 3$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 23.Tính giá trị $\dfrac{x - 1}{-x - 6}$ tại $x = 6$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 24.Tính giá trị $\dfrac{4x - 4}{-2x - 2}$ tại $x = 2$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Công thức

§1. Phương pháp(2)

§2. Mẹo(1)

Bài tập

1. Rút gọn $\dfrac{P(x)}{Q(x)} + R(x)$ — quy đồng và rút gọnTrắc nghiệmcombine_fraction_and_polynomial(3 câu)

2. Nhân hai phân thức $\dfrac{a}{Q} \cdot \dfrac{Q}{b}$ với nhân tử chungTrắc nghiệmmultiply_fractions_cancel(3 câu)

3. Thực hiện dãy phép tính phân thức: trừ hai phân thức rồi chiaTrắc nghiệmsubtract_then_divide_chain_l3(3 câu)

4. VD cao: cho $x + 1/x = m$; tính $x^2 + 1/x^2 = m^2 - 2$Trắc nghiệmx_plus_reciprocal_squared(3 câu)

5. Cho 4 biểu thức cụ thể — phân loại biểu thức hữu tỉ / không phảiĐúng / Sairational_examples_check(3 câu)

6. Biểu thức hữu tỉ $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + a}$ cụ thể — kiểm tra điều kiện xác định, kết quả thu gọnĐúng / Sairational_facts(3 câu)

7. Tính $1/(x + a) + 1/(x + b)$ tại $x_0$ (số thập phân)Trả lời ngắncombine_two_simple_fractions_at_point(3 câu)

8. Tính $(ax+b)/(cx+d)$ tại $x = k$ (số thập phân)Trả lời ngắnevaluate_rational(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Rút gọn $\dfrac{P(x)}{Q(x)} + R(x)$ — quy đồng và rút gọnTrắc nghiệm`combine_fraction_and_polynomial`(3 câu)

2. Nhân hai phân thức $\dfrac{a}{Q} \cdot \dfrac{Q}{b}$ với nhân tử chungTrắc nghiệm`multiply_fractions_cancel`(3 câu)

3. Thực hiện dãy phép tính phân thức: trừ hai phân thức rồi chiaTrắc nghiệm`subtract_then_divide_chain_l3`(3 câu)

4. VD cao: cho $x + 1/x = m$; tính $x^2 + 1/x^2 = m^2 - 2$Trắc nghiệm`x_plus_reciprocal_squared`(3 câu)

5. Cho 4 biểu thức cụ thể — phân loại biểu thức hữu tỉ / không phảiĐúng / Sai`rational_examples_check`(3 câu)

6. Biểu thức hữu tỉ $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + a}$ cụ thể — kiểm tra điều kiện xác định, kết quả thu gọnĐúng / Sai`rational_facts`(3 câu)

7. Tính $1/(x + a) + 1/(x + b)$ tại $x_0$ (số thập phân)Trả lời ngắn`combine_two_simple_fractions_at_point`(3 câu)

8. Tính $(ax+b)/(cx+d)$ tại $x = k$ (số thập phân)Trả lời ngắn`evaluate_rational`(3 câu)