Tính chất cơ bản của phân thức

Công thức

§1. Tính chất(1)

1.1

Mẫu thức chung

Mẫu thức chung (MTC) = bội chung nhỏ nhất của các mẫu thức. Cách tìm MTC: 1. Phân tích các mẫu thành nhân tử. 2. Lấy mọi nhân tử (chữ + số) với số mũ lớn nhất. 3. Nhân lại.

§2. Phương pháp(1)

2.1

Quy đồng mẫu thức

Bước 1. Phân tích các mẫu thành nhân tử + tìm MTC. Bước 2. Với mỗi phân thức: tính nhân tử phụ = MTC ÷ mẫu. Bước 3. Nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ. Bước 4. Tất cả phân thức có cùng mẫu = MTC. Vd: $\dfrac{1}{x - 1}, \dfrac{1}{x + 1}$. MTC = $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$. Nhân tử phụ: $(x+1)$ và $(x-1)$. → $\dfrac{x+1}{x^2-1}, \dfrac{x-1}{x^2-1}$.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: luôn phân tích nhân tử trước

Trước khi quy đồng / rút gọn:

Phân tích mọi đa thức thành nhân tử.
Nhận ra các nhân tử chung → MTC nhỏ nhất.

→ Giúp tính nhanh hơn, kết quả gọn hơn. Vd: mẫu $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$ → MTC dùng $(x+1)^2$, không cần $(x^2 + 2x + 1)$.

Bài tập

1. Cho 2 phân thức, hỏi chúng có bằng nhau không (dùng tích chéo)Trắc nghiệm`check_equal_fractions`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Hai phân thức $\dfrac{-1}{-3}$ và $\dfrac{-2}{-5}$ có bằng nhau không?

A.Không xác định.

B.Bằng nhau.

C.Phụ thuộc dấu.

D.Không bằng nhau.

Câu 2.Hai phân thức $\dfrac{2}{-3}$ và $\dfrac{6}{-8}$ có bằng nhau không?

A.Không xác định.

B.Bằng nhau.

C.Không bằng nhau.

D.Phụ thuộc dấu.

Câu 3.Hai phân thức $\dfrac{-4}{5}$ và $\dfrac{8}{-10}$ có bằng nhau không?

A.Không bằng nhau.

B.Không xác định.

C.Bằng nhau.

D.Phụ thuộc dấu.

2. Đếm số giá trị nguyên của $x$ để phân thức nhận giá trị nguyênTrắc nghiệm`count_integer_x_fraction_value_l4`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để phân thức $\dfrac{2 x + 9}{x + 1}$ (với $x \neq -1$) nhận giá trị nguyên?

A.$6$ giá trị

B.$5$ giá trị

C.$2$ giá trị

D.$4$ giá trị

Câu 5.Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để phân thức $\dfrac{2 x - 2}{x + 1}$ (với $x \neq -1$) nhận giá trị nguyên?

A.$8$ giá trị

B.$6$ giá trị

C.$3$ giá trị

D.$4$ giá trị

Câu 6.Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để phân thức $\dfrac{3 x - 5}{x + 1}$ (với $x \neq -1$) nhận giá trị nguyên?

A.$10$ giá trị

B.$4$ giá trị

C.$8$ giá trị

D.$6$ giá trị

3. Tìm phân thức tương đương với $\dfrac{A}{B}$ bằng cách nhân cả tử và mẫuTrắc nghiệm`equivalent_by_multiplication`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Phân thức nào sau đây bằng với $\dfrac{4}{4 x + 1}$?

A.$\dfrac{6}{4 x + 3}$

B.$\dfrac{8}{4 x + 1}$

C.$\dfrac{4}{8 x + 2}$

D.$\dfrac{8}{8 x + 2}$

Câu 8.Phân thức nào sau đây bằng với $\dfrac{9}{3 x - 4}$?

A.$\dfrac{9}{8 - 6 x}$

B.$\dfrac{-18}{3 x - 4}$

C.$\dfrac{7}{3 x - 6}$

D.$\dfrac{-18}{8 - 6 x}$

Câu 9.Phân thức nào sau đây bằng với $\dfrac{5}{4 x + 1}$?

A.$\dfrac{5}{- 8 x - 2}$

B.$\dfrac{-10}{- 8 x - 2}$

C.$\dfrac{-10}{4 x + 1}$

D.$\dfrac{3}{4 x - 1}$

4. Phát biểu đúng/sai về tính chất phân thứcTrắc nghiệm`fraction_property_facts`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Tính chất cơ bản của phân thức là?

A.Bằng phân thức mới (khác)

B.Bằng phân thức cũ

C.$A \cdot D = B \cdot C$

D.$\dfrac{A}{B} = \dfrac{A \cdot M}{B \cdot M}$ với $M \neq 0$

Câu 11.Hai phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$ bằng nhau khi nào?

A.$A \cdot D = B \cdot C$

B.$\dfrac{A}{B} = \dfrac{A \cdot M}{B \cdot M}$ với $M \neq 0$

C.Bằng phân thức mới (khác)

D.Bằng phân thức cũ

Câu 12.Khi nhân cả tử và mẫu của phân thức với cùng một đa thức khác $0$ thì phân thức đó?

A.$\dfrac{A}{B} = \dfrac{A \cdot M}{B \cdot M}$ với $M \neq 0$

B.$A \cdot D = B \cdot C$

C.Bằng phân thức mới (khác)

D.Bằng phân thức cũ

5. $\dfrac{A \cdot M}{B \cdot M} = \dfrac{A}{B}$ (rút gọn nhân tử chung)Trắc nghiệm`reduce_by_common_factor`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Rút gọn phân thức $\dfrac{4(x + 1)}{8}$.

A.$\dfrac{x + 1}{2}$

B.$\dfrac{x}{2y}$

C.$3y$

D.$\dfrac{x}{2}$

Câu 14.Rút gọn phân thức $\dfrac{4(x + 1)}{8}$.

A.$3y$

B.$\dfrac{x + 1}{2}$

C.$\dfrac{x}{2}$

D.$\dfrac{x}{2y}$

Câu 15.Rút gọn phân thức $\dfrac{3x^2 y}{6x y^2}$.

A.$\dfrac{x + 1}{2}$

B.$\dfrac{x}{2}$

C.$\dfrac{x}{2y}$

D.$3y$

6. Đổi dấu mẫu rồi rút gọn bằng tính chất cơ bản của phân thứcTrắc nghiệm`sign_change_then_reduce_l3`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 16.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^{2} - 16}{4 - x}$ (với $x \neq 4$):

A.$4 - x$

B.$x - 4$

C.$- x - 4$

D.$x + 4$

Câu 17.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^{2} - 16}{4 - x}$ (với $x \neq 4$):

A.$- x - 4$

B.$x - 4$

C.$4 - x$

D.$x + 4$

Câu 18.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^{2} - 9}{3 - x}$ (với $x \neq 3$):

A.$x - 3$

B.$- x - 3$

C.$x + 3$

D.$3 - x$

7. Cho 4 cặp đẳng thức phân thức cụ thể — kiểm tra cái nào đúngĐúng / Sai`fraction_equality_check`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho $5$ là một số dương. Xét các đẳng thức phân thức sau và xác định tính đúng/sai:

a)$\dfrac{x + 5}{5} = x$.

b)$\dfrac{5x + 5}{5} = x + 1$.

c)$\dfrac{x}{x} = 1$ với mọi $x$.

d)$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2x}{3x}$ với $x \neq 0$.

Câu 20.Cho $5$ là một số dương. Xét các đẳng thức phân thức sau và xác định tính đúng/sai:

a)$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2x}{3x}$ với $x \neq 0$.

b)$\dfrac{a + b}{a} = 1 + \dfrac{b}{a}$ với $a \neq 0$.

c)$\dfrac{x + 5}{5} = x$.

d)$\dfrac{x^2 - 25}{x - 5} = x + 5$ (với $x \neq 5$).

Câu 21.Cho $4$ là một số dương. Xét các đẳng thức phân thức sau và xác định tính đúng/sai:

a)$\dfrac{a + b}{a} = 1 + \dfrac{b}{a}$ với $a \neq 0$.

b)$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2x}{3x}$ với $x \neq 0$.

c)$\dfrac{x + 1}{x + 2} = \dfrac{1}{2}$.

d)$\dfrac{8x}{16} = \dfrac{x}{2}$.

8. Cho $\dfrac{p}{q}$ và một hệ số $k$ — kiểm tra phân thức tương đương sau khi nhân/chia/đổi dấu/cộngĐúng / Sai`fraction_property_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho phân thức $\dfrac{4}{11}$ và số $k = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\dfrac{4}{11} = \dfrac{-4}{-11}$ (đổi dấu cả tử và mẫu).

b)$\dfrac{8}{22}$ rút gọn được thành $\dfrac{4}{11}$ (chia cả tử và mẫu cho $2$).

c)Phân thức $\dfrac{4}{0}$ bằng $0$.

d)Phân thức $\dfrac{0}{11}$ luôn bằng $0$.

Câu 23.Cho phân thức $\dfrac{3}{11}$ và số $k = 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phân thức $\dfrac{0}{11}$ luôn bằng $0$.

b)Có thể nhân cả tử và mẫu của một phân thức với $0$ để được phân thức tương đương.

c)$\dfrac{3}{11} = \dfrac{-3}{-11}$ (đổi dấu cả tử và mẫu).

d)Hai phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$ bằng nhau khi và chỉ khi $A \cdot D = B \cdot C$.

Câu 24.Cho phân thức $\dfrac{5}{11}$ và số $k = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phân thức $\dfrac{5}{0}$ bằng $0$.

b)$\dfrac{5}{11} = \dfrac{10}{22}$ (nhân cả tử và mẫu với $2$).

c)$\dfrac{10}{22}$ rút gọn được thành $\dfrac{5}{11}$ (chia cả tử và mẫu cho $2$).

d)$\dfrac{5}{11} = \dfrac{6}{12}$ (cộng $1$ vào cả tử và mẫu).

9. Tìm hệ số $m$ để biến đổi phân thức (số nguyên)Trả lời ngắn`find_missing_factor`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Để biến đổi $\dfrac{4}{4x - 1}$ thành $\dfrac{8}{8x - 2}$, ta nhân tử và mẫu với hệ số nào?

Câu 26.Để biến đổi $\dfrac{-2}{3x - 3}$ thành $\dfrac{6}{-9x + 9}$, ta nhân tử và mẫu với hệ số nào?

Câu 27.Để biến đổi $\dfrac{-4}{2x + 2}$ thành $\dfrac{8}{-4x - 4}$, ta nhân tử và mẫu với hệ số nào?

10. Rút gọn rồi tính tại $x_0$ (số thập phân)Trả lời ngắn`reduce_using_property_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Cho $\dfrac{-4x + 2}{-2x + 10}$. Tính giá trị tại $x = -1$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 29.Cho $\dfrac{2x - 2}{4x - 2}$. Tính giá trị tại $x = 1$.

Câu 30.Cho $\dfrac{6x + 10}{-6x - 6}$. Tính giá trị tại $x = 1$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Công thức

§1. Tính chất(1)

§2. Phương pháp(1)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Cho 2 phân thức, hỏi chúng có bằng nhau không (dùng tích chéo)Trắc nghiệmcheck_equal_fractions(3 câu)

2. Đếm số giá trị nguyên của $x$ để phân thức nhận giá trị nguyênTrắc nghiệmcount_integer_x_fraction_value_l4(3 câu)

3. Tìm phân thức tương đương với $\dfrac{A}{B}$ bằng cách nhân cả tử và mẫuTrắc nghiệmequivalent_by_multiplication(3 câu)

4. Phát biểu đúng/sai về tính chất phân thứcTrắc nghiệmfraction_property_facts(3 câu)

5. $\dfrac{A \cdot M}{B \cdot M} = \dfrac{A}{B}$ (rút gọn nhân tử chung)Trắc nghiệmreduce_by_common_factor(3 câu)

6. Đổi dấu mẫu rồi rút gọn bằng tính chất cơ bản của phân thứcTrắc nghiệmsign_change_then_reduce_l3(3 câu)

7. Cho 4 cặp đẳng thức phân thức cụ thể — kiểm tra cái nào đúngĐúng / Saifraction_equality_check(3 câu)

8. Cho $\dfrac{p}{q}$ và một hệ số $k$ — kiểm tra phân thức tương đương sau khi nhân/chia/đổi dấu/cộngĐúng / Saifraction_property_facts(3 câu)

9. Tìm hệ số $m$ để biến đổi phân thức (số nguyên)Trả lời ngắnfind_missing_factor(3 câu)

10. Rút gọn rồi tính tại $x_0$ (số thập phân)Trả lời ngắnreduce_using_property_at_point(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Cho 2 phân thức, hỏi chúng có bằng nhau không (dùng tích chéo)Trắc nghiệm`check_equal_fractions`(3 câu)

2. Đếm số giá trị nguyên của $x$ để phân thức nhận giá trị nguyênTrắc nghiệm`count_integer_x_fraction_value_l4`(3 câu)

3. Tìm phân thức tương đương với $\dfrac{A}{B}$ bằng cách nhân cả tử và mẫuTrắc nghiệm`equivalent_by_multiplication`(3 câu)

4. Phát biểu đúng/sai về tính chất phân thứcTrắc nghiệm`fraction_property_facts`(3 câu)

5. $\dfrac{A \cdot M}{B \cdot M} = \dfrac{A}{B}$ (rút gọn nhân tử chung)Trắc nghiệm`reduce_by_common_factor`(3 câu)

6. Đổi dấu mẫu rồi rút gọn bằng tính chất cơ bản của phân thứcTrắc nghiệm`sign_change_then_reduce_l3`(3 câu)

7. Cho 4 cặp đẳng thức phân thức cụ thể — kiểm tra cái nào đúngĐúng / Sai`fraction_equality_check`(3 câu)

8. Cho $\dfrac{p}{q}$ và một hệ số $k$ — kiểm tra phân thức tương đương sau khi nhân/chia/đổi dấu/cộngĐúng / Sai`fraction_property_facts`(3 câu)

9. Tìm hệ số $m$ để biến đổi phân thức (số nguyên)Trả lời ngắn`find_missing_factor`(3 câu)

10. Rút gọn rồi tính tại $x_0$ (số thập phân)Trả lời ngắn`reduce_using_property_at_point`(3 câu)