Phân thức đại số

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

1.1

Phân thức đại số là biểu thức có dạng $\dfrac{A}{B}$ với $A, B$ là đa thức và $B \neq 0$.

$A$: tử thức.
$B$: mẫu thức.

ĐKXĐ: $B \neq 0$.

1.2

2 phân thức bằng nhau

$$\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D} \Leftrightarrow A \cdot D = B \cdot C.$$ (Quy tắc nhân chéo, với $B, D \neq 0$.)

§2. Tính chất(1)

2.1

Tính chất cơ bản

Cho phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $M \neq 0$:

Nhân tử + mẫu với cùng số khác 0: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{A \cdot M}{B \cdot M}$.
Chia cả tử + mẫu cho ước chung: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{A : M}{B : M}$ (với $M$ là nhân tử chung).
Đổi dấu tử + mẫu: $\dfrac{-A}{-B} = \dfrac{A}{B}$.
Dấu trừ trước phân thức: $-\dfrac{A}{B} = \dfrac{-A}{B} = \dfrac{A}{-B}$.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: tìm ĐKXĐ phân thức

ĐKXĐ: mẫu thức $\neq 0$. Bước 1. Giải phương trình mẫu = 0. Bước 2. Tập ĐKXĐ = $\mathbb{R}$ trừ các nghiệm tìm được. Vd: $\dfrac{x+1}{x^2 - 4}$ → mẫu = $0 \Leftrightarrow x = \pm 2$. ĐKXĐ: $x \neq \pm 2$.

Bài tập

1. Tìm điều kiện xác định của phân thức có mẫu là nhị thức bậc nhấtTrắc nghiệm`condition_linear_denominator`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 1.Phân thức $\dfrac{3 x - 8}{2 x + 2}$ xác định khi nào?

A.$x \neq -1$

B.$x = -1$

C.$x \neq 0$

D.$x \neq 1$

Câu 2.Phân thức $\dfrac{x + 5}{2 x - 3}$ xác định khi nào?

A.$x \neq - \dfrac{3}{2}$

B.$x \neq \dfrac{3}{2}$

C.$x = \dfrac{3}{2}$

D.$x \neq 0$

Câu 3.Phân thức $\dfrac{3 x + 7}{3 x - 8}$ xác định khi nào?

A.$x \neq 0$

B.$x = \dfrac{8}{3}$

C.$x \neq - \dfrac{8}{3}$

D.$x \neq \dfrac{8}{3}$

2. Tìm điều kiện xác định của phân thức có mẫu là $x^2 - a^2$Trắc nghiệm`condition_quadratic_denominator`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Phân thức $\dfrac{x + 3}{x^{2} - 9}$ xác định khi nào?

A.$x \neq 9$

B.$x \neq 3$

C.$x \neq 0$

D.$x \neq 3$ và $x \neq -3$

Câu 5.Phân thức $\dfrac{x - 9}{x^{2} - 64}$ xác định khi nào?

A.$x \neq 8$ và $x \neq -8$

B.$x \neq 64$

C.$x \neq 0$

D.$x \neq 8$

Câu 6.Phân thức $\dfrac{x + 9}{x^{2} - 49}$ xác định khi nào?

A.$x \neq 49$

B.$x \neq 0$

C.$x \neq 7$

D.$x \neq 7$ và $x \neq -7$

3. Đếm số giá trị nguyên của $x$ để $\dfrac{x+a}{x+b}$ nhận giá trị nguyênTrắc nghiệm`integer_value_count_divisor_l4`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 7.Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để phân thức $\dfrac{x + 8}{x + 3}$ nhận giá trị nguyên?

A.5

B.4

C.2

D.3

Câu 8.Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để phân thức $\dfrac{x + 10}{x + 4}$ nhận giá trị nguyên?

A.4

B.9

C.8

D.7

Câu 9.Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để phân thức $\dfrac{x + 10}{x + 3}$ nhận giá trị nguyên?

A.2

B.3

C.5

D.4

4. Tính giá trị phân thức $P(x) / Q(x)$ tại $x_0$Trắc nghiệm`rational_value_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Tính giá trị phân thức $\dfrac{2x}{x + 1}$ tại $x = 4$.

A.$= - \dfrac{8}{5}$

B.$= \dfrac{8}{5}$

C.$= \dfrac{13}{5}$

D.$= \dfrac{21}{10}$

Câu 11.Tính giá trị phân thức $\dfrac{2x}{x + 1}$ tại $x = 4$.

A.$= \dfrac{21}{10}$

B.$= \dfrac{13}{5}$

C.$= \dfrac{8}{5}$

D.$= - \dfrac{8}{5}$

Câu 12.Tính giá trị phân thức $\dfrac{x + 1}{x - 1}$ tại $x = 3$.

A.$= 2$

B.$= \dfrac{5}{2}$

C.$= 3$

D.$= -2$

5. Phân thức $\dfrac{P}{Q} = 0$ ⇔ $P = 0$ và $Q \neq 0$Trắc nghiệm`rational_zero_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Tìm $x$ để phân thức $\dfrac{x - 3}{x + 1} = 0$.

A.$x = 2,\ x = -2$

B.$x = 3$

C.$x = 0$

D.$x = -5$

Câu 14.Tìm $x$ để phân thức $\dfrac{x - 3}{x + 1} = 0$.

A.$x = 3$

B.$x = -5$

C.$x = 2,\ x = -2$

D.$x = 0$

Câu 15.Tìm $x$ để phân thức $\dfrac{x^2 - 4}{x + 1} = 0$.

A.$x = 3$

B.$x = 2,\ x = -2$

C.$x = 0$

D.$x = -5$

6. Rút gọn phân thức: phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử rồi giản ướcTrắc nghiệm`reduce_factor_numer_and_denom_l3`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 16.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^{2} + 5 x + 6}{x^{2} - 4}$:

A.$\dfrac{5 x + 6}{-4}$

B.$\dfrac{x + 3}{x + 2}$

C.$\dfrac{x + 2}{x - 2}$

D.$\dfrac{x + 3}{x - 2}$

Câu 17.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^{2} + 7 x + 12}{x^{2} - 9}$:

A.$\dfrac{7 x + 12}{-9}$

B.$\dfrac{x + 3}{x - 3}$

C.$\dfrac{x + 4}{x - 3}$

D.$\dfrac{x + 4}{x + 3}$

Câu 18.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^{2} + 7 x + 12}{x^{2} - 16}$:

A.$\dfrac{x + 3}{x + 4}$

B.$\dfrac{x + 4}{x - 4}$

C.$\dfrac{7 x + 12}{-16}$

D.$\dfrac{x + 3}{x - 4}$

7. Đánh giá đúng/sai 4 mệnh đề về phân thức $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$Đúng / Sai`check_rational_basics`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho phân thức $\dfrac{5 x + 8}{3 x + 7}$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Tử thức của phân thức $\dfrac{5 x + 8}{3 x + 7}$ là $5 x + 8$.

b)Phân thức $\dfrac{5 x + 8}{3 x + 7}$ xác định khi $x \neq - \dfrac{7}{3}$.

c)Phân thức $\dfrac{5 x + 8}{3 x + 7}$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$.

d)Phân thức $\dfrac{5 x + 8}{3 x + 7}$ xác định khi $x \neq \dfrac{7}{3}$.

Câu 20.Cho phân thức $\dfrac{5 x + 3}{3 x - 4}$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Phân thức $\dfrac{5 x + 3}{3 x - 4}$ xác định khi $x \neq \dfrac{4}{3}$.

b)Phân thức $\dfrac{5 x + 3}{3 x - 4}$ xác định khi $x \neq - \dfrac{4}{3}$.

c)Mẫu thức của phân thức $\dfrac{5 x + 3}{3 x - 4}$ là $3 x - 4$.

d)Tử thức của phân thức $\dfrac{5 x + 3}{3 x - 4}$ là $5 x + 3$.

Câu 21.Cho phân thức $\dfrac{6 x + 7}{3 x + 5}$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Mẫu thức của phân thức $\dfrac{6 x + 7}{3 x + 5}$ là $3 x + 5$.

b)Phân thức $\dfrac{6 x + 7}{3 x + 5}$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$.

c)Biểu thức $\dfrac{6 x + 7}{3 x + 5}$ là một phân thức đại số.

d)Phân thức $\dfrac{6 x + 7}{3 x + 5}$ xác định khi $x \neq - \dfrac{5}{3}$.

8. Cho phân thức $\dfrac{x + a}{x - b}$ và đa thức $P(x) = x + c$ cụ thể — kiểm tra các phát biểu về phân thức đại sốĐúng / Sai`rational_expression_concepts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho phân thức $\dfrac{x - 3}{x + 5}$ và đa thức $P(x) = x - 5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai phân thức bằng nhau thì có giá trị bằng nhau tại mọi điểm xác định.

b)Phân thức $\dfrac{x - 3}{x + 5}$ xác định trên cả tập số thực $\mathbb{R}$.

c)Phân thức $\dfrac{x - 3}{x + 5}$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$.

d)Phân thức không xác định nếu mẫu bằng $0$ tại điểm đang xét.

Câu 23.Cho phân thức $\dfrac{x - 4}{x - 2}$ và đa thức $P(x) = x + 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phân thức không xác định nếu mẫu bằng $0$ tại điểm đang xét.

b)Hai phân thức bằng nhau thì có giá trị bằng nhau tại mọi điểm xác định.

c)Phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$ bằng nhau khi $A + D = B + C$.

d)Đa thức $P(x) = x + 2$ có thể coi như phân thức $\dfrac{P(x)}{1}$.

Câu 24.Cho phân thức $\dfrac{x - 3}{x - 4}$ và đa thức $P(x) = x - 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đa thức $P(x) = x - 3$ có thể coi như phân thức $\dfrac{P(x)}{1}$.

b)Phân thức $\dfrac{x - 3}{x - 4}$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$.

c)$\dfrac{x - 3}{x - 4}$ là một phân thức đại số (vì tử và mẫu là đa thức).

d)Phân thức $\dfrac{x - 3}{x - 4}$ xác định trên cả tập số thực $\mathbb{R}$.

9. Tính giá trị phân thức tại $x_0$ (số thập phân)Trả lời ngắn`evaluate_rational_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Tính giá trị $\dfrac{x - 1}{3x - 5}$ tại $x = 4$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 26.Tính giá trị $\dfrac{4x - 3}{-x - 4}$ tại $x = -1$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 27.Tính giá trị $\dfrac{-2x + 4}{3x - 1}$ tại $x = -2$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

10. Tìm giá trị $x$ làm mẫu = 0 (đáp án $-b/a$)Trả lời ngắn`forbidden_x_value`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 28.Phân thức $\dfrac{1}{-x + 3}$ không xác định khi $x = c$. Ghi giá trị $c$.

Câu 29.Phân thức $\dfrac{1}{-x - 8}$ không xác định khi $x = c$. Ghi giá trị $c$.

Câu 30.Phân thức $\dfrac{1}{-5x + 2}$ không xác định khi $x = c$. Ghi giá trị $c$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Phân thức đại số

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

§2. Tính chất(1)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Tìm điều kiện xác định của phân thức có mẫu là nhị thức bậc nhấtTrắc nghiệmcondition_linear_denominator(3 câu)

2. Tìm điều kiện xác định của phân thức có mẫu là $x^2 - a^2$Trắc nghiệmcondition_quadratic_denominator(3 câu)

3. Đếm số giá trị nguyên của $x$ để $\dfrac{x+a}{x+b}$ nhận giá trị nguyênTrắc nghiệminteger_value_count_divisor_l4(3 câu)

4. Tính giá trị phân thức $P(x) / Q(x)$ tại $x_0$Trắc nghiệmrational_value_at_point(3 câu)

5. Phân thức $\dfrac{P}{Q} = 0$ ⇔ $P = 0$ và $Q \neq 0$Trắc nghiệmrational_zero_at_point(3 câu)

6. Rút gọn phân thức: phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử rồi giản ướcTrắc nghiệmreduce_factor_numer_and_denom_l3(3 câu)

7. Đánh giá đúng/sai 4 mệnh đề về phân thức $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$Đúng / Saicheck_rational_basics(3 câu)

8. Cho phân thức $\dfrac{x + a}{x - b}$ và đa thức $P(x) = x + c$ cụ thể — kiểm tra các phát biểu về phân thức đại sốĐúng / Sairational_expression_concepts(3 câu)

9. Tính giá trị phân thức tại $x_0$ (số thập phân)Trả lời ngắnevaluate_rational_at_point(3 câu)

10. Tìm giá trị $x$ làm mẫu = 0 (đáp án $-b/a$)Trả lời ngắnforbidden_x_value(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tìm điều kiện xác định của phân thức có mẫu là nhị thức bậc nhấtTrắc nghiệm`condition_linear_denominator`(3 câu)

2. Tìm điều kiện xác định của phân thức có mẫu là $x^2 - a^2$Trắc nghiệm`condition_quadratic_denominator`(3 câu)

3. Đếm số giá trị nguyên của $x$ để $\dfrac{x+a}{x+b}$ nhận giá trị nguyênTrắc nghiệm`integer_value_count_divisor_l4`(3 câu)

4. Tính giá trị phân thức $P(x) / Q(x)$ tại $x_0$Trắc nghiệm`rational_value_at_point`(3 câu)

5. Phân thức $\dfrac{P}{Q} = 0$ ⇔ $P = 0$ và $Q \neq 0$Trắc nghiệm`rational_zero_at_point`(3 câu)

6. Rút gọn phân thức: phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử rồi giản ướcTrắc nghiệm`reduce_factor_numer_and_denom_l3`(3 câu)

7. Đánh giá đúng/sai 4 mệnh đề về phân thức $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$Đúng / Sai`check_rational_basics`(3 câu)

8. Cho phân thức $\dfrac{x + a}{x - b}$ và đa thức $P(x) = x + c$ cụ thể — kiểm tra các phát biểu về phân thức đại sốĐúng / Sai`rational_expression_concepts`(3 câu)

9. Tính giá trị phân thức tại $x_0$ (số thập phân)Trả lời ngắn`evaluate_rational_at_point`(3 câu)

10. Tìm giá trị $x$ làm mẫu = 0 (đáp án $-b/a$)Trả lời ngắn`forbidden_x_value`(3 câu)