Rút gọn phân thức

Công thức

§1. Phương pháp(1)

1.1

Bước 1. Tìm ĐKXĐ (mẫu $\neq 0$). Bước 2. Phân tích tử + mẫu thành nhân tử. Bước 3. Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung. Bước 4. Phân thức rút gọn — viết lại + ghi ĐKXĐ ban đầu. Vd: $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 2x} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)} = \dfrac{x+2}{x}$, ĐKXĐ: $x \neq 0, 2$.

§2. Mẹo(2)

2.1

Lưu ý: chỉ chia nhân tử chung, KHÔNG chia hạng tử

SAI: $\dfrac{x + 2}{x + 3} = \dfrac{2}{3}$ (KHÔNG được chia hạng tử). ĐÚNG: chỉ chia khi có nhân tử chung (kết quả phân tích thành tích). Vd ĐÚNG: $\dfrac{x(x+2)}{x(x+3)} = \dfrac{x+2}{x+3}$ (chia cho $x$, là nhân tử chung).

2.2

Mẹo: dùng hằng đẳng thức để phân tích

Trong các bài rút gọn phân thức, nhiều khi tử / mẫu có dạng:

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$.
$a^3 \pm b^3$.

→ Dùng hằng đẳng thức để phân tích nhanh, tìm nhân tử chung.

Bài tập

1. Rút gọn phân thức bằng cách đặt nhân tử chung dạng $kx^n$Trắc nghiệm`simplify_common_factor`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Rút gọn phân thức $\dfrac{10 x^{2} + 5 x}{25 x^{2} + 5 x}$, ta được:

A.$\dfrac{2 x + 1}{5 x + 1}$

B.$\dfrac{10 x + 5}{25 x + 5}$

C.$\dfrac{2 x + 1}{- 5 x - 1}$

D.$\dfrac{x \left(2 x + 1\right)}{x \left(5 x + 1\right)}$

Câu 2.Rút gọn phân thức $\dfrac{14 x^{2} + 4 x}{6 x^{2} - 14 x}$, ta được:

A.$\dfrac{x \left(7 x + 2\right)}{x \left(3 x - 7\right)}$

B.$\dfrac{14 x + 4}{6 x - 14}$

C.$\dfrac{7 x + 2}{3 x - 7}$

D.$\dfrac{7 x + 2}{7 - 3 x}$

Câu 3.Rút gọn phân thức $\dfrac{12 x^{2} - 15 x}{18 x^{2} + 18 x}$, ta được:

A.$\dfrac{x \left(4 x - 5\right)}{x \left(6 x + 6\right)}$

B.$\dfrac{12 x - 15}{18 x + 18}$

C.$\dfrac{4 x - 5}{6 x + 6}$

D.$\dfrac{4 x - 5}{- 6 x - 6}$

2. Rút gọn $\dfrac{ax^m}{bx^n}$ — chia hệ số và trừ số mũTrắc nghiệm`simplify_monomial_fraction`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 4.Rút gọn phân thức $\dfrac{8x^{6}}{2x^{3}}$.

A.$6x^{3}$

B.$10x^{3}$

C.$4x^3$

D.$4x^{9}$

Câu 5.Rút gọn phân thức $\dfrac{12x^{4}}{4x^{1}}$.

A.$3x^{5}$

B.$8x^{3}$

C.$16x^{3}$

D.$3x^3$

Câu 6.Rút gọn phân thức $\dfrac{15x^{4}}{3x^{2}}$.

A.$5x^2$

B.$18x^{2}$

C.$12x^{2}$

D.$5x^{6}$

3. Rút gọn phân thức bằng hằng đẳng thức: bình phương một tổng / hiệu hai bình phươngTrắc nghiệm`simplify_perfect_square_over_diff_squares_l3`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^{2} + 4 x + 4}{x^{2} - 4}$ (với $x \neq \pm 2$):

A.$1$

B.$x + 2$

C.$\dfrac{x - 2}{x + 2}$

D.$\dfrac{x + 2}{x - 2}$

Câu 8.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^{2} + 10 x + 25}{x^{2} - 25}$ (với $x \neq \pm 5$):

A.$x + 5$

B.$\dfrac{x + 5}{x - 5}$

C.$1$

D.$\dfrac{x - 5}{x + 5}$

Câu 9.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^{2} + 14 x + 49}{x^{2} - 49}$ (với $x \neq \pm 7$):

A.$\dfrac{x + 7}{x - 7}$

B.$x + 7$

C.$1$

D.$\dfrac{x - 7}{x + 7}$

4. Rút gọn $\dfrac{x^2 - a^2}{x + a}$ → $x - a$ (hằng đẳng thức)Trắc nghiệm`simplify_quadratic_fraction`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^2 - 1}{x + 1}$ (với $x \neq -1$).

A.$x^2 - 1$

B.$x - 2$

C.$x - 1$

D.$x + 1$

Câu 11.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^2 - 9}{x + 3}$ (với $x \neq -3$).

A.$x - 3$

B.$x^2 - 3$

C.$x - 6$

D.$x + 3$

Câu 12.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^2 - 1}{x + 1}$ (với $x \neq -1$).

A.$x - 1$

B.$x + 1$

C.$x^2 - 1$

D.$x - 2$

5. Rút gọn phân thức: tử là tổng hai lập phương, mẫu phân tích bằng nhóm hạng tửTrắc nghiệm`simplify_sum_cubes_over_grouped_quadratic_l4`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 13.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^{3} + 64}{x^{2} + 10 x + 24}$ (với $x \neq -4$ và $x \neq -6$):

A.$\dfrac{x^{2} + 4 x + 16}{x + 6}$

B.$\dfrac{x + 4}{x + 6}$

C.$\dfrac{x^{2} - 4 x + 16}{x + 4}$

D.$\dfrac{x^{2} - 4 x + 16}{x + 6}$

Câu 14.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^{3} + 64}{x^{2} + 6 x + 8}$ (với $x \neq -4$ và $x \neq -2$):

A.$\dfrac{x^{2} - 4 x + 16}{x + 4}$

B.$\dfrac{x + 4}{x + 2}$

C.$\dfrac{x^{2} + 4 x + 16}{x + 2}$

D.$\dfrac{x^{2} - 4 x + 16}{x + 2}$

Câu 15.Rút gọn phân thức $\dfrac{x^{3} + 64}{x^{2} + 10 x + 24}$ (với $x \neq -4$ và $x \neq -6$):

A.$\dfrac{x^{2} - 4 x + 16}{x + 4}$

B.$\dfrac{x^{2} - 4 x + 16}{x + 6}$

C.$\dfrac{x^{2} + 4 x + 16}{x + 6}$

D.$\dfrac{x + 4}{x + 6}$

6. Rút gọn phân thức dùng hằng đẳng thức $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$Trắc nghiệm`simplify_using_difference_of_squares`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Rút gọn phân thức $\dfrac{4 x^{2} - 9}{2 x - 3}$, ta được:

A.$x + 3$

B.$\left(2 x - 3\right) \left(2 x + 3\right)$

C.$2 x - 3$

D.$2 x + 3$

Câu 17.Rút gọn phân thức $\dfrac{25 x^{2} - 64}{5 x + 8}$, ta được:

A.$5 x + 8$

B.$5 x - 8$

C.$x - 8$

D.$\left(5 x - 8\right) \left(5 x + 8\right)$

Câu 18.Rút gọn phân thức $\dfrac{9 x^{2} - 49}{3 x + 7}$, ta được:

A.$\left(3 x - 7\right) \left(3 x + 7\right)$

B.$3 x + 7$

C.$3 x - 7$

D.$x - 7$

7. Cho phân thức $\dfrac{kp}{kq}$ cụ thể — kiểm tra cách rút gọnĐúng / Sai`simplify_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho phân thức $\dfrac{10}{12}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Có thể rút gọn phân thức bằng cách TRỪ cùng một số ở tử và mẫu.

b)Phân thức $\dfrac{10}{12}$ có thể rút gọn được vì tử và mẫu có nhân tử chung là $2$.

c)$\dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}$.

d)Mọi phân thức đều có thể rút gọn được.

Câu 20.Cho phân thức $\dfrac{9}{12}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Mọi phân thức đều có thể rút gọn được.

b)Để rút gọn phân thức, ta phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung khác $0$.

c)Phân thức $\dfrac{9}{12}$ có thể rút gọn được vì tử và mẫu có nhân tử chung là $3$.

d)Sau khi rút gọn, giá trị của phân thức không đổi tại các điểm thuộc miền xác định.

Câu 21.Cho phân thức $\dfrac{4}{6}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Có thể rút gọn phân thức bằng cách TRỪ cùng một số ở tử và mẫu.

b)Mọi phân thức đều có thể rút gọn được.

c)Sau khi rút gọn, giá trị của phân thức không đổi tại các điểm thuộc miền xác định.

d)$\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.

8. Cho phân thức đại số $\dfrac{x^2 - a^2}{x - a}$ cụ thể — kiểm tra phép rút gọnĐúng / Sai`simplify_results_check`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho phân thức $\dfrac{x^2 - 16}{x - 4}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\dfrac{x^2}{x^2 + 1}$ rút gọn được thành $\dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}$.

b)$\dfrac{x + y}{x} = 1 + y$.

c)Điều kiện xác định của phân thức $\dfrac{x^2 - 16}{x - 4}$ là $x \neq 4$.

d)$\dfrac{x^2 - 16}{x - 4} = x + 4$ với $x \neq 4$.

Câu 23.Cho phân thức $\dfrac{x^2 - 25}{x - 5}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tử thức $x^2 - 25$ phân tích được thành $(x - 5)(x + 5)$.

b)$\dfrac{x^2}{x^2 + 1}$ rút gọn được thành $\dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}$.

c)$\dfrac{x^2 - 25}{x - 5}$ rút gọn được thành $\dfrac{x^2}{x} - \dfrac{25}{5} = x - 5$.

d)$\dfrac{x + y}{x} = 1 + y$.

Câu 24.Cho phân thức $\dfrac{x^2 - 16}{x - 4}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\dfrac{x^2}{x^2 + 1}$ rút gọn được thành $\dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}$.

b)$\dfrac{x^2 - 16}{x - 4}$ rút gọn được thành $\dfrac{x^2}{x} - \dfrac{16}{4} = x - 4$.

c)$\dfrac{x + y}{x} = 1 + y$.

d)Tử thức $x^2 - 16$ phân tích được thành $(x - 4)(x + 4)$.

9. Tính giá trị phân thức (sau rút gọn nhân tử chung) tại $x_0$Trả lời ngắn`simplify_common_factor_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Tính giá trị $\dfrac{6 x^1(x - 2)}{4 x^1(x - 2)}$ tại $x = -3$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 26.Tính giá trị $\dfrac{15 x^1(x - 5)}{20 x^1(x - 5)}$ tại $x = -2$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 27.Tính giá trị $\dfrac{4 x^1(x + 4)}{6 x^1(x + 4)}$ tại $x = 1$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

10. Tính $(x^2 - a^2)/(x - a) = x + a$ tại $x_0$Trả lời ngắn`simplify_difference_squares_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Tính giá trị $\dfrac{x^2 - 16}{x - 4}$ tại $x = 3$.

Câu 29.Tính giá trị $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ tại $x = -4$.

Câu 30.Tính giá trị $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ tại $x = -5$.

Rút gọn phân thức

Công thức

§1. Phương pháp(1)

§2. Mẹo(2)

Bài tập

1. Rút gọn phân thức bằng cách đặt nhân tử chung dạng $kx^n$Trắc nghiệmsimplify_common_factor(3 câu)

2. Rút gọn $\dfrac{ax^m}{bx^n}$ — chia hệ số và trừ số mũTrắc nghiệmsimplify_monomial_fraction(3 câu)

3. Rút gọn phân thức bằng hằng đẳng thức: bình phương một tổng / hiệu hai bình phươngTrắc nghiệmsimplify_perfect_square_over_diff_squares_l3(3 câu)

4. Rút gọn $\dfrac{x^2 - a^2}{x + a}$ → $x - a$ (hằng đẳng thức)Trắc nghiệmsimplify_quadratic_fraction(3 câu)

5. Rút gọn phân thức: tử là tổng hai lập phương, mẫu phân tích bằng nhóm hạng tửTrắc nghiệmsimplify_sum_cubes_over_grouped_quadratic_l4(3 câu)

6. Rút gọn phân thức dùng hằng đẳng thức $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$Trắc nghiệmsimplify_using_difference_of_squares(3 câu)

7. Cho phân thức $\dfrac{kp}{kq}$ cụ thể — kiểm tra cách rút gọnĐúng / Saisimplify_facts(3 câu)

8. Cho phân thức đại số $\dfrac{x^2 - a^2}{x - a}$ cụ thể — kiểm tra phép rút gọnĐúng / Saisimplify_results_check(3 câu)

9. Tính giá trị phân thức (sau rút gọn nhân tử chung) tại $x_0$Trả lời ngắnsimplify_common_factor_at_point(3 câu)

10. Tính $(x^2 - a^2)/(x - a) = x + a$ tại $x_0$Trả lời ngắnsimplify_difference_squares_at_point(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Rút gọn phân thức bằng cách đặt nhân tử chung dạng $kx^n$Trắc nghiệm`simplify_common_factor`(3 câu)

2. Rút gọn $\dfrac{ax^m}{bx^n}$ — chia hệ số và trừ số mũTrắc nghiệm`simplify_monomial_fraction`(3 câu)

3. Rút gọn phân thức bằng hằng đẳng thức: bình phương một tổng / hiệu hai bình phươngTrắc nghiệm`simplify_perfect_square_over_diff_squares_l3`(3 câu)

4. Rút gọn $\dfrac{x^2 - a^2}{x + a}$ → $x - a$ (hằng đẳng thức)Trắc nghiệm`simplify_quadratic_fraction`(3 câu)

5. Rút gọn phân thức: tử là tổng hai lập phương, mẫu phân tích bằng nhóm hạng tửTrắc nghiệm`simplify_sum_cubes_over_grouped_quadratic_l4`(3 câu)

6. Rút gọn phân thức dùng hằng đẳng thức $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$Trắc nghiệm`simplify_using_difference_of_squares`(3 câu)

7. Cho phân thức $\dfrac{kp}{kq}$ cụ thể — kiểm tra cách rút gọnĐúng / Sai`simplify_facts`(3 câu)

8. Cho phân thức đại số $\dfrac{x^2 - a^2}{x - a}$ cụ thể — kiểm tra phép rút gọnĐúng / Sai`simplify_results_check`(3 câu)

9. Tính giá trị phân thức (sau rút gọn nhân tử chung) tại $x_0$Trả lời ngắn`simplify_common_factor_at_point`(3 câu)

10. Tính $(x^2 - a^2)/(x - a) = x + a$ tại $x_0$Trả lời ngắn`simplify_difference_squares_at_point`(3 câu)