Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn

Công thức

§1. Phương pháp(3)

1.1

Cộng/trừ các căn 'cùng loại'

Hai căn cùng loại (cùng biểu thức dưới căn) → cộng/trừ hệ số: $$m \sqrt{a} + n \sqrt{a} = (m + n) \sqrt{a}.$$ Nếu khác loại: phải rút gọn từng căn trước. Vd: $\sqrt{8} + 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

1.2

Rút gọn biểu thức phức hợp

Bước 1. Tìm ĐKXĐ (các căn $\geq 0$, mẫu khác 0). Bước 2. Phân tích nhân tử / quy đồng các phân thức. Bước 3. Rút gọn từng căn, gộp các căn cùng loại. Bước 4. Trục căn ở mẫu (nếu cần). Bước 5. Kiểm tra đối chiếu ĐKXĐ → kết luận.

1.3

Nhân các biểu thức chứa căn

Dùng tính chất $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$: $$(a \sqrt{p}) \cdot (b \sqrt{q}) = ab \sqrt{pq}.$$ Phân phối khi có tổng: $\sqrt{a}(\sqrt{b} + \sqrt{c}) = \sqrt{ab} + \sqrt{ac}$. Dùng hằng đẳng thức: $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$.

§2. Mẹo(1)

2.1

Mẹo: tìm ĐKXĐ trước

Trước khi rút gọn — luôn ghi ĐKXĐ:

$\sqrt{f(x)}$: $f(x) \geq 0$.
$\dfrac{1}{f(x)}$: $f(x) \neq 0$.
$\dfrac{1}{\sqrt{f(x)}}$: $f(x) > 0$.

Quên ĐKXĐ thường bị trừ điểm dù biến đổi đúng.

Bài tập

1. Cộng/trừ các căn thức cùng căn dạng $a\sqrt{n} \pm b\sqrt{n}$Trắc nghiệm`combine_like_radicals`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Tính $2\sqrt{5} + 11\sqrt{5}$.

A.$13\sqrt{5}$

B.$13\sqrt{2 * 5}$

C.$-9\sqrt{5}$

D.$22\sqrt{5}$

Câu 2.Tính $4\sqrt{7} + 12\sqrt{7}$.

A.$48\sqrt{7}$

B.$-8\sqrt{7}$

C.$16\sqrt{2 * 7}$

D.$16\sqrt{7}$

Câu 3.Tính $2\sqrt{2} + 8\sqrt{2}$.

A.$16\sqrt{2}$

B.$-6\sqrt{2}$

C.$10\sqrt{2}$

D.$10\sqrt{2 * 2}$

2. Rút gọn tổng/hiệu hai căn lồng liên hợp $\sqrt{a+2\sqrt b}\pm\sqrt{a-2\sqrt b}$Trắc nghiệm`denest_conjugate_combine`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{14 + 2\sqrt{45}} - \sqrt{14 - 2\sqrt{45}}$.

A.$6$

B.$2 \sqrt{7}$

C.$3 - \sqrt{5}$

D.$2 \sqrt{5}$

Câu 5.Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{12 + 2\sqrt{27}} - \sqrt{12 - 2\sqrt{27}}$.

A.$2 \sqrt{6}$

B.$3 - \sqrt{3}$

C.$6$

D.$2 \sqrt{3}$

Câu 6.Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{13 + 2\sqrt{40}} + \sqrt{13 - 2\sqrt{40}}$.

A.$2 \sqrt{5}$

B.$\sqrt{26}$

C.$\sqrt{4 \sqrt{10} + 13}$

D.$4 \sqrt{2}$

3. Đưa thừa số ra ngoài căn — trường hợp cơ bản, số nhỏ quen thuộcTrắc nghiệm`extract_factor_basic`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 7.Viết $\sqrt{27}$ dưới dạng $a\sqrt{b}$ (với $b$ nhỏ nhất).

A.$\sqrt{9}$

B.$3\sqrt{27}$

C.$9$

D.$3\sqrt{3}$

Câu 8.Viết $\sqrt{20}$ dưới dạng $a\sqrt{b}$ (với $b$ nhỏ nhất).

A.$2\sqrt{20}$

B.$2\sqrt{5}$

C.$10$

D.$5\sqrt{2}$

Câu 9.Viết $\sqrt{45}$ dưới dạng $a\sqrt{b}$ (với $b$ nhỏ nhất).

A.$5\sqrt{3}$

B.$3\sqrt{5}$

C.$3\sqrt{45}$

D.$15$

4. Đưa thừa số ra ngoài căn: $\sqrt{n}$ với $n = a^2 b$ → $a\sqrt{b}$Trắc nghiệm`extract_factor_out`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Đưa thừa số ra ngoài căn: $\sqrt{63}$ bằng:

A.$63\sqrt{7}$

B.$21\sqrt{3}$

C.$3\sqrt{63}$

D.$3\sqrt{7}$

Câu 11.Đưa thừa số ra ngoài căn: $\sqrt{18}$ bằng:

A.$6\sqrt{3}$

B.$3\sqrt{2}$

C.$18\sqrt{2}$

D.$3\sqrt{18}$

Câu 12.Đưa thừa số ra ngoài căn: $\sqrt{63}$ bằng:

A.$3\sqrt{63}$

B.$21\sqrt{3}$

C.$3\sqrt{7}$

D.$63\sqrt{7}$

5. Rút gọn tổng/hiệu ba căn đồng dạng (đưa từng căn ra ngoài rồi gộp)Trắc nghiệm`simplify_sqrt_multi_term`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 13.Rút gọn $\sqrt{18} + \sqrt{32} - \sqrt{8}$.

A.$9 \sqrt{2}$

B.$5 \sqrt{2}$

C.$10$

D.$\sqrt{42}$

Câu 14.Rút gọn $\sqrt{12} + \sqrt{75} - \sqrt{27}$.

A.$4 \sqrt{3}$

B.$\sqrt{60}$

C.$4 \sqrt{6}$

D.$10 \sqrt{3}$

Câu 15.Rút gọn $\sqrt{63} + \sqrt{175} - \sqrt{28}$.

A.$\sqrt{210}$

B.$10 \sqrt{7}$

C.$6 \sqrt{14}$

D.$6 \sqrt{7}$

6. Cho $\sqrt{N}$ với $N$ có thể rút gọn đượcĐúng / Sai`simplify_sqrt_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho biểu thức $A = \sqrt{80}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.

b)$\sqrt{80} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5}$.

c)$\sqrt{80} = 4 + \sqrt{5}$.

d)$\sqrt{80} = 4^2 \sqrt{5}$.

Câu 17.Cho biểu thức $A = \sqrt{80}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$4\sqrt{5} = \sqrt{80}$.

b)$\sqrt{80} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{20}$.

c)$\sqrt{80} > 0$.

d)$\sqrt{80} = 4^2 \sqrt{5}$.

Câu 18.Cho biểu thức $A = \sqrt{72}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\sqrt{72} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2}$.

b)$\sqrt{72} = 6^2 \sqrt{2}$.

c)$\sqrt{72} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{12}$.

d)$\sqrt{72} > 0$.

7. Cho biểu thức $a\sqrt{m} + b\sqrt{m}$ sau khi rút gọnĐúng / Sai`simplify_sqrt_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho biểu thức $A = \sqrt{72} + \sqrt{18}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai căn $\sqrt{72}$ và $\sqrt{18}$ là 'đồng dạng' (cùng phần dưới căn sau rút gọn).

b)$\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}$ với $b \geq 0$.

c)$\sqrt{72} + \sqrt{18} = \sqrt{90}$.

d)$\sqrt{72} + \sqrt{18} = 9\sqrt{2}$.

Câu 20.Cho biểu thức $A = \sqrt{75} + \sqrt{27}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\sqrt{75} + \sqrt{27} = \sqrt{102}$.

b)$\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}$ với $b \geq 0$.

c)$\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.

d)$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.

Câu 21.Cho biểu thức $A = \sqrt{72} + \sqrt{18}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai căn $\sqrt{72}$ và $\sqrt{18}$ là 'đồng dạng' (cùng phần dưới căn sau rút gọn).

b)$\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.

c)$\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}$ với $b \geq 0$.

d)$\sqrt{72} + \sqrt{18} = \sqrt{90}$.

8. Tính $a\sqrt{n} + b\sqrt{n}$ — đáp án dạng số thập phânTrả lời ngắn`combine_sqrt_terms`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Tính $5\sqrt{5} + 4\sqrt{5}$ (giá trị thập phân). (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 23.Tính $-6\sqrt{6} + 2\sqrt{6}$ (giá trị thập phân). (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 24.Tính $3\sqrt{7} + 1\sqrt{7}$ (giá trị thập phân). (Làm tròn đến hàng phần mười)

9. Tính $\sqrt{n}$ (số thập phân) với $n = a^2 b$ ($b$ không chính phương)Trả lời ngắn`simplify_sqrt_compute`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Tính $\sqrt{147}$ (giá trị thập phân). (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 26.Tính $\sqrt{44}$ (giá trị thập phân). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 27.Tính $\sqrt{27}$ (giá trị thập phân). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Công thức

§1. Phương pháp(3)

§2. Mẹo(1)

Bài tập

1. Cộng/trừ các căn thức cùng căn dạng $a\sqrt{n} \pm b\sqrt{n}$Trắc nghiệmcombine_like_radicals(3 câu)

2. Rút gọn tổng/hiệu hai căn lồng liên hợp $\sqrt{a+2\sqrt b}\pm\sqrt{a-2\sqrt b}$Trắc nghiệmdenest_conjugate_combine(3 câu)

3. Đưa thừa số ra ngoài căn — trường hợp cơ bản, số nhỏ quen thuộcTrắc nghiệmextract_factor_basic(3 câu)

4. Đưa thừa số ra ngoài căn: $\sqrt{n}$ với $n = a^2 b$ → $a\sqrt{b}$Trắc nghiệmextract_factor_out(3 câu)

5. Rút gọn tổng/hiệu ba căn đồng dạng (đưa từng căn ra ngoài rồi gộp)Trắc nghiệmsimplify_sqrt_multi_term(3 câu)

6. Cho $\sqrt{N}$ với $N$ có thể rút gọn đượcĐúng / Saisimplify_sqrt_facts(3 câu)

7. Cho biểu thức $a\sqrt{m} + b\sqrt{m}$ sau khi rút gọnĐúng / Saisimplify_sqrt_facts2(3 câu)

8. Tính $a\sqrt{n} + b\sqrt{n}$ — đáp án dạng số thập phânTrả lời ngắncombine_sqrt_terms(3 câu)

9. Tính $\sqrt{n}$ (số thập phân) với $n = a^2 b$ ($b$ không chính phương)Trả lời ngắnsimplify_sqrt_compute(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Cộng/trừ các căn thức cùng căn dạng $a\sqrt{n} \pm b\sqrt{n}$Trắc nghiệm`combine_like_radicals`(3 câu)

2. Rút gọn tổng/hiệu hai căn lồng liên hợp $\sqrt{a+2\sqrt b}\pm\sqrt{a-2\sqrt b}$Trắc nghiệm`denest_conjugate_combine`(3 câu)

3. Đưa thừa số ra ngoài căn — trường hợp cơ bản, số nhỏ quen thuộcTrắc nghiệm`extract_factor_basic`(3 câu)

4. Đưa thừa số ra ngoài căn: $\sqrt{n}$ với $n = a^2 b$ → $a\sqrt{b}$Trắc nghiệm`extract_factor_out`(3 câu)

5. Rút gọn tổng/hiệu ba căn đồng dạng (đưa từng căn ra ngoài rồi gộp)Trắc nghiệm`simplify_sqrt_multi_term`(3 câu)

6. Cho $\sqrt{N}$ với $N$ có thể rút gọn đượcĐúng / Sai`simplify_sqrt_facts`(3 câu)

7. Cho biểu thức $a\sqrt{m} + b\sqrt{m}$ sau khi rút gọnĐúng / Sai`simplify_sqrt_facts2`(3 câu)

8. Tính $a\sqrt{n} + b\sqrt{n}$ — đáp án dạng số thập phânTrả lời ngắn`combine_sqrt_terms`(3 câu)

9. Tính $\sqrt{n}$ (số thập phân) với $n = a^2 b$ ($b$ không chính phương)Trả lời ngắn`simplify_sqrt_compute`(3 câu)