Căn bậc hai

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Căn bậc hai số học

Cho $a \geq 0$. Căn bậc hai số học của $a$, ký hiệu $\sqrt{a}$, là số không âm $b$ thoả $b^2 = a$: $$\sqrt{a} = b \Leftrightarrow \begin{cases} b \geq 0 \\ b^2 = a \end{cases}.$$ ĐKXĐ: $a \geq 0$. Với $a < 0$, $\sqrt{a}$ KHÔNG tồn tại trên $\mathbb{R}$.

§2. Tính chất(1)

2.1

Tính chất căn

$\sqrt{a^2} = |a|$ với mọi $a \in \mathbb{R}$.
$(\sqrt{a})^2 = a$ với $a \geq 0$.
$\sqrt{0} = 0, \sqrt{1} = 1$.
$a > b \geq 0 \Leftrightarrow \sqrt{a} > \sqrt{b}$ (đồng biến).

§3. Công thức(1)

3.1

Điều kiện xác định $\sqrt{f(x)}$

$\sqrt{f(x)}$ xác định $\Leftrightarrow f(x) \geq 0$. Vd: $\sqrt{2x - 5}$ xác định $\Leftrightarrow 2x - 5 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \dfrac{5}{2}$.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: $\sqrt{a^2} = |a|$

Khi gặp $\sqrt{f(x)^2}$ phải lấy trị tuyệt đối, không chỉ là $f(x)$! Vd: $\sqrt{(x-3)^2} = |x - 3|$.

Nếu $x \geq 3$: $|x-3| = x - 3$.
Nếu $x < 3$: $|x-3| = 3 - x$.

→ Phải chia trường hợp theo điều kiện.

Bài tập

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x - a\sqrt{x} + b$ bằng cách đặt ẩn phụTrắc nghiệm`basic_sqrt_min_value`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 1.Cho biểu thức $P = x - 6\sqrt{x} + 6$ với $x \geq 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P$.

A.$3$

B.$6$

C.$-3$

D.$15$

Câu 2.Cho biểu thức $P = x - 4\sqrt{x} + 10$ với $x \geq 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P$.

A.$-6$

B.$10$

C.$14$

D.$6$

Câu 3.Cho biểu thức $P = x - 10\sqrt{x} + 12$ với $x \geq 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P$.

A.$37$

B.$13$

C.$-13$

D.$12$

2. Rút gọn biểu thức chứa căn nhiều bước (trục căn ở mẫu + đưa thừa số ra ngoài)Trắc nghiệm`basic_sqrt_multi_step`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Rút gọn biểu thức $3\sqrt{7} + \dfrac{7}{\sqrt{7}} - \sqrt{28}$.

A.$6 \sqrt{7}$

B.$4 \sqrt{7}$

C.$2 \sqrt{7}$

D.$\sqrt{7}$

Câu 5.Rút gọn biểu thức $3\sqrt{2} + \dfrac{4}{\sqrt{2}} - \sqrt{8}$.

A.$\sqrt{2}$

B.$3 \sqrt{2}$

C.$5 \sqrt{2}$

D.$7 \sqrt{2}$

Câu 6.Rút gọn biểu thức $5\sqrt{2} + \dfrac{6}{\sqrt{2}} - \sqrt{18}$.

A.$5 \sqrt{2}$

B.$8 \sqrt{2}$

C.$2 \sqrt{2}$

D.$11 \sqrt{2}$

3. Tính căn bậc hai của một số chính phươngTrắc nghiệm`sqrt_perfect_square`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Tính $\sqrt{121}$.

A.$\sqrt{121} = 12$

B.$\sqrt{121} = 11$

C.$\sqrt{121} = 10$

D.$\sqrt{121} = 60$

Câu 8.Tính $\sqrt{49}$.

A.$\sqrt{49} = 24$

B.$\sqrt{49} = 7$

C.$\sqrt{49} = 8$

D.$\sqrt{49} = 6$

Câu 9.Tính $\sqrt{400}$.

A.$\sqrt{400} = 200$

B.$\sqrt{400} = 20$

C.$\sqrt{400} = 21$

D.$\sqrt{400} = 19$

4. Rút gọn $\sqrt{a^2 \cdot b}$ thành $a\sqrt{b}$ với $b$ không có thừa số chính phươngTrắc nghiệm`sqrt_simplify_factor`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Rút gọn $\sqrt{637}$.

A.$\sqrt{637} = \sqrt{7}\sqrt{13}$

B.$\sqrt{637} = 7\sqrt{637}$

C.$\sqrt{637} = 91$

D.$\sqrt{637} = 7\sqrt{13}$

Câu 11.Rút gọn $\sqrt{384}$.

A.$\sqrt{384} = 8\sqrt{384}$

B.$\sqrt{384} = 48$

C.$\sqrt{384} = 8\sqrt{6}$

D.$\sqrt{384} = \sqrt{8}\sqrt{6}$

Câu 12.Rút gọn $\sqrt{12}$.

A.$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

B.$\sqrt{12} = \sqrt{2}\sqrt{3}$

C.$\sqrt{12} = 2\sqrt{12}$

D.$\sqrt{12} = 6$

5. Cho $a$ là số chính phương dương — kiểm tra căn bậc haiĐúng / Sai`basic_sqrt_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho số $a = 81$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\sqrt{81} = 9$.

b)Số $81$ có hai căn bậc hai là $\pm 9$.

c)$(\sqrt{81})^2 = 81$.

d)$\sqrt{-81}$ tồn tại trên $\mathbb{R}$.

Câu 14.Cho số $a = 25$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\sqrt{25} = 5$.

b)$\sqrt{25} = \pm 5$.

c)$\sqrt{-25}$ tồn tại trên $\mathbb{R}$.

d)$(\sqrt{25})^2 = 25$.

Câu 15.Cho số $a = 16$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số $16$ có hai căn bậc hai là $\pm 4$.

b)$\sqrt{16^2} = 16$.

c)$\sqrt{-16}$ tồn tại trên $\mathbb{R}$.

d)$\sqrt{16}$ chỉ xác định khi $16 \geq 0$.

6. Cho biểu thức $\sqrt{x - n}$ — kiểm tra điều kiện xác địnhĐúng / Sai`sqrt_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho biểu thức $\sqrt{x - 6}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Mọi số dương đều có 2 căn bậc 2 đối nhau.

b)Biểu thức xác định khi $x = 4$.

c)$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ khi $a, b \geq 0$.

d)Biểu thức xác định với mọi số thực $x$.

Câu 17.Cho biểu thức $\sqrt{x - 4}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Mọi số dương đều có 2 căn bậc 2 đối nhau.

b)Biểu thức $\sqrt{x - 4}$ xác định khi $x \geq 4$.

c)Biểu thức xác định khi $x = 3$.

d)Biểu thức xác định với mọi số thực $x$.

Câu 18.Cho biểu thức $\sqrt{x - 8}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Biểu thức xác định với mọi số thực $x$.

b)Biểu thức $\sqrt{x - 8}$ xác định khi $x \geq 8$.

c)Biểu thức xác định khi $x = 10$.

d)Biểu thức xác định khi $x = 7$.

7. Tính $\sqrt{n}$ với $n$ là số chính phương (đáp số nguyên)Trả lời ngắn`compute_sqrt`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Tính $\sqrt{225}$.

Câu 20.Tính $\sqrt{484}$.

Câu 21.Tính $\sqrt{36}$.

8. Tìm ngưỡng dưới của $x$ để $\sqrt{ax + b}$ xác định — đáp án là số $-b/a$ (làm tròn)Trả lời ngắn`condition_for_sqrt`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 22.Tìm ngưỡng dưới của $x$ để $\sqrt{5x + 3}$ xác định (điều kiện $x \geq c$, ghi $c$). (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 23.Tìm ngưỡng dưới của $x$ để $\sqrt{3x - 2}$ xác định (điều kiện $x \geq c$, ghi $c$). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 24.Tìm ngưỡng dưới của $x$ để $\sqrt{3x + 2}$ xác định (điều kiện $x \geq c$, ghi $c$). (Làm tròn đến hàng phần mười)

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Tính chất(1)

§3. Công thức(1)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x - a\sqrt{x} + b$ bằng cách đặt ẩn phụTrắc nghiệmbasic_sqrt_min_value(3 câu)

2. Rút gọn biểu thức chứa căn nhiều bước (trục căn ở mẫu + đưa thừa số ra ngoài)Trắc nghiệmbasic_sqrt_multi_step(3 câu)

3. Tính căn bậc hai của một số chính phươngTrắc nghiệmsqrt_perfect_square(3 câu)

4. Rút gọn $\sqrt{a^2 \cdot b}$ thành $a\sqrt{b}$ với $b$ không có thừa số chính phươngTrắc nghiệmsqrt_simplify_factor(3 câu)

5. Cho $a$ là số chính phương dương — kiểm tra căn bậc haiĐúng / Saibasic_sqrt_facts(3 câu)

6. Cho biểu thức $\sqrt{x - n}$ — kiểm tra điều kiện xác địnhĐúng / Saisqrt_facts2(3 câu)

7. Tính $\sqrt{n}$ với $n$ là số chính phương (đáp số nguyên)Trả lời ngắncompute_sqrt(3 câu)

8. Tìm ngưỡng dưới của $x$ để $\sqrt{ax + b}$ xác định — đáp án là số $-b/a$ (làm tròn)Trả lời ngắncondition_for_sqrt(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x - a\sqrt{x} + b$ bằng cách đặt ẩn phụTrắc nghiệm`basic_sqrt_min_value`(3 câu)

2. Rút gọn biểu thức chứa căn nhiều bước (trục căn ở mẫu + đưa thừa số ra ngoài)Trắc nghiệm`basic_sqrt_multi_step`(3 câu)

3. Tính căn bậc hai của một số chính phươngTrắc nghiệm`sqrt_perfect_square`(3 câu)

4. Rút gọn $\sqrt{a^2 \cdot b}$ thành $a\sqrt{b}$ với $b$ không có thừa số chính phươngTrắc nghiệm`sqrt_simplify_factor`(3 câu)

5. Cho $a$ là số chính phương dương — kiểm tra căn bậc haiĐúng / Sai`basic_sqrt_facts`(3 câu)

6. Cho biểu thức $\sqrt{x - n}$ — kiểm tra điều kiện xác địnhĐúng / Sai`sqrt_facts2`(3 câu)

7. Tính $\sqrt{n}$ với $n$ là số chính phương (đáp số nguyên)Trả lời ngắn`compute_sqrt`(3 câu)

8. Tìm ngưỡng dưới của $x$ để $\sqrt{ax + b}$ xác định — đáp án là số $-b/a$ (làm tròn)Trả lời ngắn`condition_for_sqrt`(3 câu)