Rút gọn biểu thức chứa căn

Công thức

§1. Công thức(3)

1.1

Trục căn — mẫu là 1 căn

Mẫu dạng $\sqrt{a}$: nhân tử và mẫu với $\sqrt{a}$: $$\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{a}, \quad \dfrac{m}{\sqrt{a}} = \dfrac{m \sqrt{a}}{a}.$$

1.2

Trục căn — mẫu dạng $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$

Mẫu $\sqrt{a} + \sqrt{b}$: nhân với biểu thức liên hợp $\sqrt{a} - \sqrt{b}$: $$\dfrac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}.$$ Tương tự cho mẫu $\sqrt{a} - \sqrt{b}$: nhân với $\sqrt{a} + \sqrt{b}$.

1.3

Trục căn — mẫu $a \pm \sqrt{b}$

Mẫu $a + \sqrt{b}$: nhân với $a - \sqrt{b}$: $$\dfrac{1}{a + \sqrt{b}} = \dfrac{a - \sqrt{b}}{a^2 - b}.$$

§2. Phương pháp(1)

2.1

Rút gọn căn lồng $\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}$

Tìm 2 số $u, v$ thoả $u + v = a$ và $u \cdot v = b$. Khi đó: $$\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} = \sqrt{u} \pm \sqrt{v} \, (u \geq v).$$ Vd: $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$. Cần $u + v = 5, uv = 6 \Rightarrow u = 3, v = 2$. → $\sqrt{3} + \sqrt{2}$.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: phân tích nhân tử nhanh

Trong các biểu thức rút gọn, các phép tách:

$a - b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ (với $a, b \geq 0$).
$a + b = ?$ KHÔNG có phân tích tương tự, cẩn thận.
$a \sqrt{b} \pm b \sqrt{a} = \sqrt{ab}(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})$.

→ Nhận dạng các hằng đẳng thức ẩn dưới căn.

Bài tập

1. Rút gọn $a\sqrt{x} + \sqrt{b^2 x}$ về $a\sqrt{x}$ + $b\sqrt{x}$Trắc nghiệm`combine_two_radicals`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Rút gọn $5\sqrt{11} + \sqrt{44}$.

A.$7\sqrt{22}$

B.$7\sqrt{11}$

C.$10\sqrt{11}$

D.$7\sqrt{44}$

Câu 2.Rút gọn $6\sqrt{7} + \sqrt{112}$.

A.$10\sqrt{112}$

B.$10\sqrt{7}$

C.$24\sqrt{7}$

D.$10\sqrt{14}$

Câu 3.Rút gọn $4\sqrt{5} + \sqrt{245}$.

A.$11\sqrt{245}$

B.$28\sqrt{5}$

C.$11\sqrt{5}$

D.$11\sqrt{10}$

2. Rút gọn hiệu hai phân thức chứa căn bằng quy đồng (mẫu là liên hợp nhau)Trắc nghiệm`complex_fraction_conjugate`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Rút gọn biểu thức $\dfrac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}} - \dfrac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$.

A.$2 \sqrt{6}$

B.$- 2 \sqrt{6}$

C.$\dfrac{2 \sqrt{6}}{13}$

D.$2 \sqrt{7}$

Câu 5.Rút gọn biểu thức $\dfrac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} - \dfrac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$.

A.$2 \sqrt{5}$

B.$\sqrt{7}$

C.$\dfrac{\sqrt{5}}{6}$

D.$\sqrt{5}$

Câu 6.Rút gọn biểu thức $\dfrac{1}{\sqrt{11} - \sqrt{6}} - \dfrac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{6}}$.

A.$\dfrac{2 \sqrt{11}}{5}$

B.$2 \sqrt{6}$

C.$\dfrac{2 \sqrt{6}}{17}$

D.$\dfrac{2 \sqrt{6}}{5}$

3. $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$Trắc nghiệm`conjugate_multiply`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Tính $(\sqrt{11} + \sqrt{13})(\sqrt{11} - \sqrt{13})$.

A.$-2$

B.$24$

C.$143$

D.$\sqrt{-2}$

Câu 8.Tính $(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$.

A.$8$

B.$\sqrt{2}$

C.$15$

D.$2$

Câu 9.Tính $(\sqrt{11} + \sqrt{13})(\sqrt{11} - \sqrt{13})$.

A.$\sqrt{-2}$

B.$143$

C.$-2$

D.$24$

4. VD cao: rút gọn $\sqrt{a + 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}.$Trắc nghiệm`nested_radical_to_sum`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 10.Rút gọn biểu thức $\sqrt{13 + 2\sqrt{42}}.$

A.$\sqrt{13} + \sqrt{42}$

B.$- \sqrt{7} + \sqrt{6}$

C.$\sqrt{6} + \sqrt{7}$

D.$\sqrt{13}$

Câu 11.Rút gọn biểu thức $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}.$

A.$- \sqrt{3} + \sqrt{2}$

B.$\sqrt{2} + \sqrt{3}$

C.$\sqrt{5}$

D.$\sqrt{5} + \sqrt{6}$

Câu 12.Rút gọn biểu thức $\sqrt{12 + 2\sqrt{27}}.$

A.$-3 + \sqrt{3}$

B.$2 \sqrt{3}$

C.$\sqrt{3} + 3$

D.$5 \sqrt{3}$

5. Cho biểu thức $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ — kiểm tra hằng đẳng thứcĐúng / Sai`simplify_complex_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho biểu thức $P = (\sqrt{3} + \sqrt{7})(\sqrt{3} - \sqrt{7})$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$(\sqrt{3} + \sqrt{7})^2 = 10 + 2\sqrt{21}$.

b)$P = a^2 - b^2 = -40$.

c)$\sqrt{3} + \sqrt{7} = \sqrt{10}$.

d)Khi tính, ta áp dụng hằng đẳng thức $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$.

Câu 14.Cho biểu thức $P = (\sqrt{3} + \sqrt{6})(\sqrt{3} - \sqrt{6})$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\sqrt{3} + \sqrt{6} = \sqrt{9}$.

b)$P = a^2 - b^2 = -27$.

c)$\sqrt{3} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{18}$.

d)$P = -3$.

Câu 15.Cho biểu thức $P = (\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P = -1$.

b)$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$.

c)Khi tính, ta áp dụng hằng đẳng thức $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$.

d)$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{6}$.

6. Cho biểu thức $a\sqrt{n} + b\sqrt{n}$ cụ thể — kiểm tra rút gọnĐúng / Sai`sqrt_complex_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho biểu thức $P = 5\sqrt{3} + 5\sqrt{3}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P = \sqrt{300}$.

b)$P = \sqrt{10} \cdot \sqrt{3}$.

c)$P = (5 + 5)\sqrt{3}$.

d)$P > 0$.

Câu 17.Cho biểu thức $P = 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P = 5\sqrt{3}$.

b)$P = \sqrt{5} \cdot \sqrt{3}$.

c)$P = \sqrt{75}$.

d)$P = \sqrt{13 \cdot 3}$.

Câu 18.Cho biểu thức $P = 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P = (4 + 2)\sqrt{3}$.

b)$P = \sqrt{20 \cdot 3}$.

c)$P = \sqrt{108}$.

d)$P = \sqrt{6} \cdot \sqrt{3}$.

7. Tính $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$ — số thập phânTrả lời ngắn`square_of_sum_radicals`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Tính $(\sqrt{3} + \sqrt{7})^2$ (số thập phân). (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 20.Tính $(\sqrt{11} + \sqrt{5})^2$ (số thập phân). (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 21.Tính $(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2$ (số thập phân). (Làm tròn đến hàng phần mười)

8. $a\sqrt{n} + b\sqrt{n} + c\sqrt{n} = (a+b+c)\sqrt{n}$ — đáp án dạng số thập phânTrả lời ngắn`sum_like_radicals`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Tính $3\sqrt{7} - 7\sqrt{7} - 5\sqrt{7}$ (số thập phân). (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Câu 23.Tính $2\sqrt{3} - 6\sqrt{3} - 7\sqrt{3}$ (số thập phân). (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Câu 24.Tính $-7\sqrt{3} + 6\sqrt{3} + 7\sqrt{3}$ (số thập phân). (Làm tròn đến hàng phần mười)

Công thức

§1. Công thức(3)

§2. Phương pháp(1)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Rút gọn $a\sqrt{x} + \sqrt{b^2 x}$ về $a\sqrt{x}$ + $b\sqrt{x}$Trắc nghiệmcombine_two_radicals(3 câu)

2. Rút gọn hiệu hai phân thức chứa căn bằng quy đồng (mẫu là liên hợp nhau)Trắc nghiệmcomplex_fraction_conjugate(3 câu)

3. $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$Trắc nghiệmconjugate_multiply(3 câu)

4. VD cao: rút gọn $\sqrt{a + 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}.$Trắc nghiệmnested_radical_to_sum(3 câu)

5. Cho biểu thức $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ — kiểm tra hằng đẳng thứcĐúng / Saisimplify_complex_facts2(3 câu)

6. Cho biểu thức $a\sqrt{n} + b\sqrt{n}$ cụ thể — kiểm tra rút gọnĐúng / Saisqrt_complex_facts(3 câu)

7. Tính $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$ — số thập phânTrả lời ngắnsquare_of_sum_radicals(3 câu)

8. $a\sqrt{n} + b\sqrt{n} + c\sqrt{n} = (a+b+c)\sqrt{n}$ — đáp án dạng số thập phânTrả lời ngắnsum_like_radicals(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Rút gọn $a\sqrt{x} + \sqrt{b^2 x}$ về $a\sqrt{x}$ + $b\sqrt{x}$Trắc nghiệm`combine_two_radicals`(3 câu)

2. Rút gọn hiệu hai phân thức chứa căn bằng quy đồng (mẫu là liên hợp nhau)Trắc nghiệm`complex_fraction_conjugate`(3 câu)

3. $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$Trắc nghiệm`conjugate_multiply`(3 câu)

4. VD cao: rút gọn $\sqrt{a + 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}.$Trắc nghiệm`nested_radical_to_sum`(3 câu)

5. Cho biểu thức $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ — kiểm tra hằng đẳng thứcĐúng / Sai`simplify_complex_facts2`(3 câu)

6. Cho biểu thức $a\sqrt{n} + b\sqrt{n}$ cụ thể — kiểm tra rút gọnĐúng / Sai`sqrt_complex_facts`(3 câu)

7. Tính $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$ — số thập phânTrả lời ngắn`square_of_sum_radicals`(3 câu)

8. $a\sqrt{n} + b\sqrt{n} + c\sqrt{n} = (a+b+c)\sqrt{n}$ — đáp án dạng số thập phânTrả lời ngắn`sum_like_radicals`(3 câu)