Góc nội tiếp

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

1.1

Góc ở tâm

Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm $O$ của đường tròn. Một góc ở tâm chia đường tròn thành 2 cung. Số đo góc ở tâm = số đo cung nhỏ mà nó chắn.

1.2

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và 2 cạnh chứa 2 dây của đường tròn.

§2. Định lý(1)

2.1

Định lý góc nội tiếp

Số đo của 1 góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn. Hệ quả:

Các góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau.
Các góc nội tiếp chắn cung bằng nhau thì bằng nhau.
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (cung lớn nhất) = $90°$ (góc vuông).
Góc nội tiếp + góc ở tâm cùng chắn 1 cung: $\widehat{\text{nội tiếp}} = \dfrac{1}{2} \widehat{\text{ở tâm}}$.

§3. Tính chất(1)

3.1

Định lý Thales (đảo) — góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$ $\Leftrightarrow$ $\widehat{BAC} = 90°$ (tức tam giác vuông tại $A$). → Dùng để chứng minh tam giác vuông khi biết nội tiếp.

§4. Công thức(1)

4.1

Quan hệ góc - cung - dây

Trong cùng đường tròn (hoặc 2 đường tròn bằng nhau):

2 cung bằng nhau $\Leftrightarrow$ 2 dây căng cung bằng nhau.
Cung lớn hơn $\Leftrightarrow$ dây căng cung lớn hơn.
Góc nội tiếp bằng nhau $\Leftrightarrow$ chắn cung bằng nhau.

§5. Phương pháp(1)

5.1

Mẹo: kẻ đường kính phụ để tạo góc vuông

Trong tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, để tính độ dài / góc: Bước 1. Kẻ đường kính $AD$ qua $A$. Bước 2. $\widehat{ABD} = 90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $AD$). Bước 3. Trong tam giác vuông $ABD$: $AD = 2R$, áp dụng tỉ số lượng giác / Pythagore. → Kỹ thuật kẻ đường phụ rất phổ biến khi đề chỉ cho 1 vài yếu tố, muốn dùng định lý sin: $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ trực tiếp.

Bài tập

1. Tính góc nội tiếp khi biết số đo cung bị chắnTrắc nghiệm`inscribed_angle_from_arc`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Trên đường tròn $(O)$, cho cung nhỏ $BC$ có số đo $70^\circ$. Góc nội tiếp $\widehat{BAC}$ chắn cung này có số đo bằng:

A.$\widehat{A} = 70^\circ$

B.$\widehat{A} = 60^\circ$

C.$\widehat{A} = 35^\circ$

D.$\widehat{A} = 140^\circ$

Câu 2.Trên đường tròn $(O)$, cho cung nhỏ $BC$ có số đo $100^\circ$. Góc nội tiếp $\widehat{BAC}$ chắn cung này có số đo bằng:

A.$\widehat{A} = 50^\circ$

B.$\widehat{A} = 200^\circ$

C.$\widehat{A} = 100^\circ$

D.$\widehat{A} = 90^\circ$

Câu 3.Trên đường tròn $(O)$, cho cung nhỏ $BC$ có số đo $100^\circ$. Góc nội tiếp $\widehat{BAC}$ chắn cung này có số đo bằng:

A.$\widehat{A} = 90^\circ$

B.$\widehat{A} = 200^\circ$

C.$\widehat{A} = 50^\circ$

D.$\widehat{A} = 100^\circ$

2. Quan sát góc nội tiếp BAC trong đường tròn (O), biết số đo cung BC từ hìnhTrắc nghiệm`inscribed_angle_from_figure`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Quan sát hình vẽ: trên đường tròn $(O)$ có cung $BC$ với số đo $120^\circ$ và góc nội tiếp $\widehat{BAC}$ chắn cung này. Tính số đo $\widehat{BAC}$.

Góc nội tiếp BAC chắn cung BC = 120°

A.$\widehat{BAC} = 110^\circ$

B.$\widehat{BAC} = 120^\circ$

C.$\widehat{BAC} = 240^\circ$

D.$\widehat{BAC} = 60^\circ$

Câu 5.Quan sát hình vẽ: trên đường tròn $(O)$ có cung $BC$ với số đo $120^\circ$ và góc nội tiếp $\widehat{BAC}$ chắn cung này. Tính số đo $\widehat{BAC}$.

Góc nội tiếp BAC chắn cung BC = 120°

A.$\widehat{BAC} = 240^\circ$

B.$\widehat{BAC} = 120^\circ$

C.$\widehat{BAC} = 110^\circ$

D.$\widehat{BAC} = 60^\circ$

Câu 6.Quan sát hình vẽ: trên đường tròn $(O)$ có cung $BC$ với số đo $120^\circ$ và góc nội tiếp $\widehat{BAC}$ chắn cung này. Tính số đo $\widehat{BAC}$.

Góc nội tiếp BAC chắn cung BC = 120°

A.$\widehat{BAC} = 110^\circ$

B.$\widehat{BAC} = 120^\circ$

C.$\widehat{BAC} = 60^\circ$

D.$\widehat{BAC} = 240^\circ$

3. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn = 90°Trắc nghiệm`inscribed_angle_in_semicircle`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 7.Trong một đường tròn, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (đường kính) có số đo bằng:

A.$180^\circ$

B.$60^\circ$

C.$45^\circ$

D.$90^\circ$

Câu 8.Trong một đường tròn, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (đường kính) có số đo bằng:

A.$60^\circ$

B.$90^\circ$

C.$180^\circ$

D.$45^\circ$

Câu 9.Trong một đường tròn, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (đường kính) có số đo bằng:

A.$180^\circ$

B.$90^\circ$

C.$45^\circ$

D.$60^\circ$

4. Tính góc ở tâm $BOC$ của tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ khi biết hai góc $B$, $C$ của tam giácTrắc nghiệm`inscribed_central_angle_in_triangle`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, biết $\widehat{ABC} = 65^\circ$ và $\widehat{ACB} = 55^\circ$. Tính số đo góc ở tâm $\widehat{BOC}$ (góc ở tâm chắn cung nhỏ $BC$).

A.$\widehat{BOC} = 110^\circ$

B.$\widehat{BOC} = 60^\circ$

C.$\widehat{BOC} = 130^\circ$

D.$\widehat{BOC} = 120^\circ$

Câu 11.Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, biết $\widehat{ABC} = 45^\circ$ và $\widehat{ACB} = 60^\circ$. Tính số đo góc ở tâm $\widehat{BOC}$ (góc ở tâm chắn cung nhỏ $BC$).

A.$\widehat{BOC} = 75^\circ$

B.$\widehat{BOC} = 150^\circ$

C.$\widehat{BOC} = 90^\circ$

D.$\widehat{BOC} = 120^\circ$

Câu 12.Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, biết $\widehat{ABC} = 65^\circ$ và $\widehat{ACB} = 45^\circ$. Tính số đo góc ở tâm $\widehat{BOC}$ (góc ở tâm chắn cung nhỏ $BC$).

A.$\widehat{BOC} = 70^\circ$

B.$\widehat{BOC} = 90^\circ$

C.$\widehat{BOC} = 140^\circ$

D.$\widehat{BOC} = 130^\circ$

5. Vận dụng cao: tính đường cao $AH$ trong tam giác nhọn nội tiếp đường tròn $(O; R)$, qua nét phụ kẻ đường kính $AD$Trắc nghiệm`inscribed_triangle_height_via_diameter`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 13.Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;\,R)$ với $R = 6$, $AB = 9$, $AC = 10$. Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ xuống $BC$. Tính độ dài đoạn $AH$.

Tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), AB = 9, AC = 10, đường cao AH vuông góc BC tại H.

A.$AH = \dfrac{15}{2}$

B.$AH = \dfrac{181}{12}$

C.$AH = \dfrac{19}{12}$

D.$AH = 15$

Câu 14.Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;\,R)$ với $R = 10$, $AB = 15$, $AC = 16$. Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ xuống $BC$. Tính độ dài đoạn $AH$.

Tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), AB = 15, AC = 16, đường cao AH vuông góc BC tại H.

A.$AH = 12$

B.$AH = 24$

C.$AH = \dfrac{31}{20}$

D.$AH = \dfrac{481}{20}$

Câu 15.Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;\,R)$ với $R = 6$, $AB = 9$, $AC = 8$. Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ xuống $BC$. Tính độ dài đoạn $AH$.

Tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), AB = 9, AC = 8, đường cao AH vuông góc BC tại H.

A.$AH = 6$

B.$AH = 12$

C.$AH = \dfrac{145}{12}$

D.$AH = \dfrac{17}{12}$

6. Cho cung $AB$ là đường kính — kiểm tra góc nội tiếp $= 90^\circ$Đúng / Sai`insc_angle_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $AB$ căng cung số đo $60^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai góc nội tiếp khác đường tròn cùng chắn cung số đo $60^\circ$ luôn bằng nhau.

b)Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung tại $A$ chắn cung $60^\circ$ cũng bằng $30^\circ$.

c)Hai góc nội tiếp cùng chắn cung $60^\circ$ bằng nhau.

d)Khi cung là $180^\circ$ (nửa đường tròn), góc nội tiếp bằng $90^\circ$.

Câu 17.Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $AB$ căng cung số đo $180^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung tại $A$ chắn cung $180^\circ$ cũng bằng $90^\circ$.

b)Hai góc nội tiếp cùng chắn cung $180^\circ$ bằng nhau.

c)Hai góc nội tiếp khác đường tròn cùng chắn cung số đo $180^\circ$ luôn bằng nhau.

d)Tổng số đo cung lớn và cung nhỏ trên cùng dây bằng $360^\circ$.

Câu 18.Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $AB$ căng cung số đo $120^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Góc nội tiếp chắn cung $120^\circ$ bằng $60^\circ$.

b)Hai góc nội tiếp cùng chắn cung $120^\circ$ bằng nhau.

c)Tổng số đo cung lớn và cung nhỏ trên cùng dây bằng $360^\circ$.

d)Hai góc nội tiếp khác đường tròn cùng chắn cung số đo $120^\circ$ luôn bằng nhau.

7. Cho cung $AB$ có số đo $n^\circ$ — kiểm tra các góc liên quanĐúng / Sai`inscribed_angle_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho đường tròn $(O)$ với cung $AB$ có số đo $140^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số đo góc nội tiếp luôn lớn hơn số đo góc ở tâm cùng chắn cung.

b)Cung $AB$ có số đo $140^\circ$ là cung nhỏ.

c)Góc nội tiếp chắn cung $AB$ có số đo $70^\circ$.

d)Góc nội tiếp gấp đôi góc ở tâm cùng chắn một cung.

Câu 20.Cho đường tròn $(O)$ với cung $AB$ có số đo $100^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Góc ở tâm $\widehat{AOB}$ chắn cung $AB$ có số đo $100^\circ$.

b)Cung $AB$ có số đo $100^\circ$ là cung nhỏ.

c)Góc nội tiếp chắn cung $AB$ có số đo $50^\circ$.

d)Số đo góc nội tiếp luôn lớn hơn số đo góc ở tâm cùng chắn cung.

Câu 21.Cho đường tròn $(O)$ với cung $AB$ có số đo $80^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Góc nội tiếp gấp đôi góc ở tâm cùng chắn một cung.

b)Góc ở tâm $\widehat{AOB}$ chắn cung $AB$ có số đo $80^\circ$.

c)Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (cung $180^\circ$) là góc vuông.

d)Số đo góc nội tiếp luôn lớn hơn số đo góc ở tâm cùng chắn cung.

8. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (đường kính) bằng $90^\circ$Trả lời ngắn`inscribed_angle_in_semi_circle_sa`(1 câu)

Mẫu 1Nhận biết(1 câu)

Câu 22.Góc nội tiếp chắn cung là nửa đường tròn (cung tương ứng đường kính) có số đo bằng bao nhiêu (theo độ)?

9. Cho góc ở tâm hoặc góc nội tiếp, tính góc còn lại (cùng chắn 1 cung)Trả lời ngắn`inscribed_to_central`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 23.Trong đường tròn $(O)$, góc ở tâm chắn một cung có số đo $80^\circ$. Tính số đo góc nội tiếp cùng chắn cung đó (theo độ).

Câu 24.Trong đường tròn $(O)$, góc ở tâm chắn một cung có số đo $60^\circ$. Tính số đo góc nội tiếp cùng chắn cung đó (theo độ).

Câu 25.Trong đường tròn $(O)$, góc nội tiếp bằng $75^\circ$. Tính số đo góc ở tâm cùng chắn cung đó (theo độ).

Góc nội tiếp

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

§2. Định lý(1)

§3. Tính chất(1)

§4. Công thức(1)

§5. Phương pháp(1)

Bài tập

1. Tính góc nội tiếp khi biết số đo cung bị chắnTrắc nghiệminscribed_angle_from_arc(3 câu)

2. Quan sát góc nội tiếp BAC trong đường tròn (O), biết số đo cung BC từ hìnhTrắc nghiệminscribed_angle_from_figure(3 câu)

3. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn = 90°Trắc nghiệminscribed_angle_in_semicircle(3 câu)

4. Tính góc ở tâm $BOC$ của tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ khi biết hai góc $B$, $C$ của tam giácTrắc nghiệminscribed_central_angle_in_triangle(3 câu)

5. Vận dụng cao: tính đường cao $AH$ trong tam giác nhọn nội tiếp đường tròn $(O; R)$, qua nét phụ kẻ đường kính $AD$Trắc nghiệminscribed_triangle_height_via_diameter(3 câu)

6. Cho cung $AB$ là đường kính — kiểm tra góc nội tiếp $= 90^\circ$Đúng / Saiinsc_angle_facts2(3 câu)

7. Cho cung $AB$ có số đo $n^\circ$ — kiểm tra các góc liên quanĐúng / Saiinscribed_angle_facts(3 câu)

8. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (đường kính) bằng $90^\circ$Trả lời ngắninscribed_angle_in_semi_circle_sa(1 câu)

9. Cho góc ở tâm hoặc góc nội tiếp, tính góc còn lại (cùng chắn 1 cung)Trả lời ngắninscribed_to_central(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tính góc nội tiếp khi biết số đo cung bị chắnTrắc nghiệm`inscribed_angle_from_arc`(3 câu)

2. Quan sát góc nội tiếp BAC trong đường tròn (O), biết số đo cung BC từ hìnhTrắc nghiệm`inscribed_angle_from_figure`(3 câu)

3. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn = 90°Trắc nghiệm`inscribed_angle_in_semicircle`(3 câu)

4. Tính góc ở tâm $BOC$ của tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ khi biết hai góc $B$, $C$ của tam giácTrắc nghiệm`inscribed_central_angle_in_triangle`(3 câu)

5. Vận dụng cao: tính đường cao $AH$ trong tam giác nhọn nội tiếp đường tròn $(O; R)$, qua nét phụ kẻ đường kính $AD$Trắc nghiệm`inscribed_triangle_height_via_diameter`(3 câu)

6. Cho cung $AB$ là đường kính — kiểm tra góc nội tiếp $= 90^\circ$Đúng / Sai`insc_angle_facts2`(3 câu)

7. Cho cung $AB$ có số đo $n^\circ$ — kiểm tra các góc liên quanĐúng / Sai`inscribed_angle_facts`(3 câu)

8. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (đường kính) bằng $90^\circ$Trả lời ngắn`inscribed_angle_in_semi_circle_sa`(1 câu)

9. Cho góc ở tâm hoặc góc nội tiếp, tính góc còn lại (cùng chắn 1 cung)Trả lời ngắn`inscribed_to_central`(3 câu)