Vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn

Công thức

§1. Định lý(1)

1.1

Tiếp tuyến vuông góc bán kính

Nếu đường thẳng $a$ tiếp xúc với $(O)$ tại $T$ thì: $$a \perp OT.$$ Đảo lại: đường thẳng qua $T \in (O)$ và vuông góc với bán kính $OT$ là tiếp tuyến.

§2. Tính chất(1)

2.1

Vị trí tương đối đường thẳng - đường tròn

Cho $(O; R)$ và đường thẳng $a$ với $d = d(O, a)$:

$d > R$: $a$ và $(O)$ không có điểm chung (đường thẳng không cắt).
$d = R$: $a$ tiếp xúc với $(O)$ — có 1 điểm chung (tiếp điểm).
$d < R$: $a$ cắt $(O)$ tại 2 điểm phân biệt — gọi là cát tuyến.

Độ dài dây cung khi cắt: $\ell = 2\sqrt{R^2 - d^2}$.

Bài tập

1. Dây cung đường tròn $R$, khoảng cách từ tâm đến dây $d$ → dây $= 2\sqrt{R^2 - d^2}$Trắc nghiệm`chord_length_from_distance`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Đường tròn bán kính $R = 5$. Khoảng cách từ tâm đến một dây cung $d = 3$. Tính độ dài dây cung $\ell$.

A.$\ell = 10$

B.$\ell = 8$

C.$\ell = 6$

D.$\ell = 2$

Câu 2.Đường tròn bán kính $R = 17$. Khoảng cách từ tâm đến một dây cung $d = 8$. Tính độ dài dây cung $\ell$.

A.$\ell = 9$

B.$\ell = 32$

C.$\ell = 25$

D.$\ell = 30$

Câu 3.Đường tròn bán kính $R = 10$. Khoảng cách từ tâm đến một dây cung $d = 6$. Tính độ dài dây cung $\ell$.

A.$\ell = 18$

B.$\ell = 16$

C.$\ell = 4$

D.$\ell = 14$

2. Cho $d, R$, xác định vị trí tương đối của đường thẳng với đường trònTrắc nghiệm`classify_line_circle_position`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 4.Cho đường tròn $(O; 5)$ và đường thẳng $\Delta$ có khoảng cách từ $O$ đến $\Delta$ là $6$. Vị trí tương đối của $\Delta$ và $(O)$?

A.Vuông góc

B.Không cắt (0 điểm chung)

C.Cắt nhau (2 điểm chung)

D.Tiếp xúc (1 điểm chung)

Câu 5.Cho đường tròn $(O; 10)$ và đường thẳng $\Delta$ có khoảng cách từ $O$ đến $\Delta$ là $10$. Vị trí tương đối của $\Delta$ và $(O)$?

A.Vuông góc

B.Không cắt (0 điểm chung)

C.Tiếp xúc (1 điểm chung)

D.Cắt nhau (2 điểm chung)

Câu 6.Cho đường tròn $(O; 3)$ và đường thẳng $\Delta$ có khoảng cách từ $O$ đến $\Delta$ là $1$. Vị trí tương đối của $\Delta$ và $(O)$?

A.Không cắt (0 điểm chung)

B.Cắt nhau (2 điểm chung)

C.Vuông góc

D.Tiếp xúc (1 điểm chung)

3. Hỏi số điểm chung giữa đường thẳng và đường trònTrắc nghiệm`number_of_intersections_line_circle`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 7.Đường tròn $(O; 8)$ và đường thẳng có khoảng cách $d = 8$ từ tâm $O$. Có bao nhiêu điểm chung?

A.3

B.1

C.0

D.2

Câu 8.Đường tròn $(O; 6)$ và đường thẳng có khoảng cách $d = 8$ từ tâm $O$. Có bao nhiêu điểm chung?

A.3

B.1

C.2

D.0

Câu 9.Đường tròn $(O; 4)$ và đường thẳng có khoảng cách $d = 1$ từ tâm $O$. Có bao nhiêu điểm chung?

A.2

B.0

C.1

D.3

4. Đường thẳng tiếp xúc đường tròn ⇔ $d = R$Trắc nghiệm`tangent_distance_equal_radius`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Cho đường tròn $(O; R)$ và đường thẳng $a$ với khoảng cách từ $O$ đến $a$ là $d$. Khi $d = R$, vị trí tương đối của $a$ và $(O)$ là?

A.Tiếp xúc

B.Cắt nhau (hai điểm chung)

C.Không cắt nhau

D.Trùng nhau

Câu 11.Cho đường tròn $(O; R)$ và đường thẳng $a$ với khoảng cách từ $O$ đến $a$ là $d$. Khi $d < R$, vị trí tương đối của $a$ và $(O)$ là?

A.Không cắt nhau

B.Cắt nhau (hai điểm chung)

C.Trùng nhau

D.Tiếp xúc

Câu 12.Cho đường tròn $(O; R)$ và đường thẳng $a$ với khoảng cách từ $O$ đến $a$ là $d$. Khi $d < R$, vị trí tương đối của $a$ và $(O)$ là?

A.Tiếp xúc

B.Cắt nhau (hai điểm chung)

C.Trùng nhau

D.Không cắt nhau

5. Độ dài tiếp tuyến kẻ từ một điểm ngoài đường trònTrắc nghiệm`tangent_length_from_external_point`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 13.Cho đường tròn $(O; R)$ với $R = 12$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn sao cho $OM = 13$. Từ $M$ kẻ tiếp tuyến $MA$ tới đường tròn ($A$ là tiếp điểm). Tính độ dài đoạn tiếp tuyến $MA$.

A.$MA = 5$

B.$MA = 1$

C.$MA = 13$

D.$MA = 25$

Câu 14.Cho đường tròn $(O; R)$ với $R = 10$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn sao cho $OM = 26$. Từ $M$ kẻ tiếp tuyến $MA$ tới đường tròn ($A$ là tiếp điểm). Tính độ dài đoạn tiếp tuyến $MA$.

A.$MA = 24$

B.$MA = 26$

C.$MA = 16$

D.$MA = 36$

Câu 15.Cho đường tròn $(O; R)$ với $R = 16$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn sao cho $OM = 20$. Từ $M$ kẻ tiếp tuyến $MA$ tới đường tròn ($A$ là tiếp điểm). Tính độ dài đoạn tiếp tuyến $MA$.

A.$MA = 20$

B.$MA = 4$

C.$MA = 36$

D.$MA = 12$

6. Khoảng cách giữa hai dây song song khi chưa biết vị trí so với tâmTrắc nghiệm`two_parallel_chords_distance_cases`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 16.Cho đường tròn $(O; R)$ với $R = 20$. Hai dây cung $AB$ và $CD$ song song với nhau, có độ dài lần lượt $AB = 32$ và $CD = 24$. Tính khoảng cách giữa hai dây $AB$ và $CD$.

A.Chỉ $28$

B.$28$ hoặc $4$

C.$8$ hoặc $56$

D.Chỉ $4$

Câu 17.Cho đường tròn $(O; R)$ với $R = 10$. Hai dây cung $AB$ và $CD$ song song với nhau, có độ dài lần lượt $AB = 16$ và $CD = 12$. Tính khoảng cách giữa hai dây $AB$ và $CD$.

A.Chỉ $2$

B.Chỉ $14$

C.$14$ hoặc $2$

D.$4$ hoặc $28$

Câu 18.Cho đường tròn $(O; R)$ với $R = 13$. Hai dây cung $AB$ và $CD$ song song với nhau, có độ dài lần lượt $AB = 24$ và $CD = 10$. Tính khoảng cách giữa hai dây $AB$ và $CD$.

A.$14$ hoặc $34$

B.Chỉ $7$

C.Chỉ $17$

D.$17$ hoặc $7$

7. Cho đường tròn và đường thẳng đi qua tâm — kiểm tra dây / đường kínhĐúng / Sai`line_circle_pos_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho đường tròn $(O; R = 6)$. Một đường thẳng $\Delta$ cách tâm khoảng $1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đường thẳng đi qua tâm $O$ luôn cắt đường tròn tại 2 điểm.

b)Hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn có độ dài bằng nhau.

c)Độ dài đường kính là $2R = 12$.

d)Khi $d > R$, đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm.

Câu 20.Cho đường tròn $(O; R = 3)$. Một đường thẳng $\Delta$ cách tâm khoảng $2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khi $d > R$, đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm.

b)Khi $d = R$, đường thẳng tiếp xúc đường tròn.

c)Đường thẳng đi qua tâm $O$ luôn cắt đường tròn tại 2 điểm.

d)Đường thẳng cách tâm khoảng $2$ cắt đường tròn tại 2 điểm.

Câu 21.Cho đường tròn $(O; R = 6)$. Một đường thẳng $\Delta$ cách tâm khoảng $5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khi $d > R$, đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm.

b)Đường kính là dây cung dài nhất, đi qua tâm.

c)Đường thẳng cách tâm khoảng $5$ cắt đường tròn tại 2 điểm.

d)Khi $d = R$, đường thẳng tiếp xúc đường tròn.

8. Cho $(O; R)$ với $R$ và $d$ cụ thể — phân loại vị tríĐúng / Sai`line_circle_pos_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho đường tròn $(O; R = 5)$ và đường thẳng $\Delta$ cách tâm $O$ một khoảng $d = 5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khi $d = R$, đường thẳng vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.

b)Đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm.

c)Khi $d < R$, độ dài dây cung là $2\sqrt{R^2 - d^2} = 2\sqrt{0}$.

d)Đường thẳng có thể có 3 điểm chung với đường tròn.

Câu 23.Cho đường tròn $(O; R = 5)$ và đường thẳng $\Delta$ cách tâm $O$ một khoảng $d = 5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm.

b)Khi $d = R$, đường thẳng vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.

c)Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.

d)Đường thẳng không cắt đường tròn.

Câu 24.Cho đường tròn $(O; R = 5)$ và đường thẳng $\Delta$ cách tâm $O$ một khoảng $d = 5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đường thẳng có thể có 3 điểm chung với đường tròn.

b)Đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm.

c)Khi $d = R$, đường thẳng vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.

d)Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.

9. Đếm số điểm chung (0/1/2)Trả lời ngắn`count_common_points`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 25.Đường tròn $(O; 9)$ và đường thẳng có $d = 10$. Số điểm chung?

Câu 26.Đường tròn $(O; 8)$ và đường thẳng có $d = 10$. Số điểm chung?

Câu 27.Đường tròn $(O; 9)$ và đường thẳng có $d = 9$. Số điểm chung?

Vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn

Công thức

§1. Định lý(1)

§2. Tính chất(1)

Bài tập

1. Dây cung đường tròn $R$, khoảng cách từ tâm đến dây $d$ → dây $= 2\sqrt{R^2 - d^2}$Trắc nghiệmchord_length_from_distance(3 câu)

2. Cho $d, R$, xác định vị trí tương đối của đường thẳng với đường trònTrắc nghiệmclassify_line_circle_position(3 câu)

3. Hỏi số điểm chung giữa đường thẳng và đường trònTrắc nghiệmnumber_of_intersections_line_circle(3 câu)

4. Đường thẳng tiếp xúc đường tròn ⇔ $d = R$Trắc nghiệmtangent_distance_equal_radius(3 câu)

5. Độ dài tiếp tuyến kẻ từ một điểm ngoài đường trònTrắc nghiệmtangent_length_from_external_point(3 câu)

6. Khoảng cách giữa hai dây song song khi chưa biết vị trí so với tâmTrắc nghiệmtwo_parallel_chords_distance_cases(3 câu)

7. Cho đường tròn và đường thẳng đi qua tâm — kiểm tra dây / đường kínhĐúng / Sailine_circle_pos_examples(3 câu)

8. Cho $(O; R)$ với $R$ và $d$ cụ thể — phân loại vị tríĐúng / Sailine_circle_pos_facts(3 câu)

9. Đếm số điểm chung (0/1/2)Trả lời ngắncount_common_points(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Dây cung đường tròn $R$, khoảng cách từ tâm đến dây $d$ → dây $= 2\sqrt{R^2 - d^2}$Trắc nghiệm`chord_length_from_distance`(3 câu)

2. Cho $d, R$, xác định vị trí tương đối của đường thẳng với đường trònTrắc nghiệm`classify_line_circle_position`(3 câu)

3. Hỏi số điểm chung giữa đường thẳng và đường trònTrắc nghiệm`number_of_intersections_line_circle`(3 câu)

4. Đường thẳng tiếp xúc đường tròn ⇔ $d = R$Trắc nghiệm`tangent_distance_equal_radius`(3 câu)

5. Độ dài tiếp tuyến kẻ từ một điểm ngoài đường trònTrắc nghiệm`tangent_length_from_external_point`(3 câu)

6. Khoảng cách giữa hai dây song song khi chưa biết vị trí so với tâmTrắc nghiệm`two_parallel_chords_distance_cases`(3 câu)

7. Cho đường tròn và đường thẳng đi qua tâm — kiểm tra dây / đường kínhĐúng / Sai`line_circle_pos_examples`(3 câu)

8. Cho $(O; R)$ với $R$ và $d$ cụ thể — phân loại vị tríĐúng / Sai`line_circle_pos_facts`(3 câu)

9. Đếm số điểm chung (0/1/2)Trả lời ngắn`count_common_points`(3 câu)