Tứ giác nội tiếp

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Tứ giác $ABCD$ gọi là nội tiếp đường tròn nếu cả 4 đỉnh cùng thuộc 1 đường tròn. Đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

§2. Định lý(2)

2.1

Góc ngoài = góc đối trong

Tứ giác $ABCD$ nội tiếp $\Leftrightarrow$ góc ngoài tại 1 đỉnh = góc trong tại đỉnh đối diện. Vd: góc ngoài tại $A$ = $\widehat{C}$.

2.2

Định lý: tổng 2 góc đối = $180°$

Tứ giác $ABCD$ nội tiếp $\Leftrightarrow$ tổng số đo 2 góc đối bằng $180°$: $$\widehat{A} + \widehat{C} = 180°, \quad \widehat{B} + \widehat{D} = 180°.$$

§3. Phương pháp(1)

3.1

Chứng minh tứ giác nội tiếp

Cách 1. Tổng 2 góc đối $= 180°$. Cách 2. Góc ngoài = góc đối trong. Cách 3. 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh dưới 2 góc bằng nhau (chứng tỏ 4 đỉnh nằm trên cùng cung). Cách 4. Khoảng cách từ 1 điểm đến 4 đỉnh bằng nhau (tâm = điểm đó). Cách 5. Tứ giác có 1 cặp đỉnh đối nhìn cạnh chung dưới góc vuông → 4 đỉnh nội tiếp đường tròn đường kính chung.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: các tứ giác đặc biệt luôn nội tiếp

Hình chữ nhật: 4 đỉnh nội tiếp đường tròn đường kính = đường chéo.
Hình vuông: tương tự (đặc biệt hơn).
Hình thang cân: luôn nội tiếp.
Hình bình hành nói chung: KHÔNG nội tiếp (trừ khi vuông góc → chữ nhật).
Tứ giác có 2 góc vuông đối nhau: nội tiếp.

Bài tập

1. Quan sát tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn trong hình với góc $A$ được ghi, tính góc $C$Trắc nghiệm`cyclic_opposite_angle_from_figure`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Quan sát hình vẽ tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $\widehat{A} = 110^\circ$. Tính $\widehat{C}$.

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O)

A.$\widehat{C} = 110^\circ$

B.$\widehat{C} = 70^\circ$

C.$\widehat{C} = 250^\circ$

D.$\widehat{C} = 60^\circ$

Câu 2.Quan sát hình vẽ tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $\widehat{A} = 60^\circ$. Tính $\widehat{C}$.

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O)

A.$\widehat{C} = 300^\circ$

B.$\widehat{C} = 110^\circ$

C.$\widehat{C} = 120^\circ$

D.$\widehat{C} = 60^\circ$

Câu 3.Quan sát hình vẽ tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $\widehat{A} = 80^\circ$. Tính $\widehat{C}$.

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O)

A.$\widehat{C} = 90^\circ$

B.$\widehat{C} = 280^\circ$

C.$\widehat{C} = 80^\circ$

D.$\widehat{C} = 100^\circ$

2. Tứ giác $ABCD$ nội tiếp, đường chéo $BD$ chia $\widehat{B}$ thành hai phần — tính góc đối $\widehat{ADC}$Trắc nghiệm`cyclic_opposite_angle_split_diagonal`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường chéo $BD$ chia góc $\widehat{ABC}$ thành hai phần: $\widehat{ABD} = 20^\circ$ và $\widehat{DBC} = 20^\circ$. Tính số đo góc $\widehat{ADC}$.

A.$\widehat{ADC} = 130^\circ$

B.$\widehat{ADC} = 40^\circ$

C.$\widehat{ADC} = 140^\circ$

D.$\widehat{ADC} = 160^\circ$

Câu 5.Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường chéo $BD$ chia góc $\widehat{ABC}$ thành hai phần: $\widehat{ABD} = 30^\circ$ và $\widehat{DBC} = 40^\circ$. Tính số đo góc $\widehat{ADC}$.

A.$\widehat{ADC} = 110^\circ$

B.$\widehat{ADC} = 70^\circ$

C.$\widehat{ADC} = 140^\circ$

D.$\widehat{ADC} = 150^\circ$

Câu 6.Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường chéo $BD$ chia góc $\widehat{ABC}$ thành hai phần: $\widehat{ABD} = 25^\circ$ và $\widehat{DBC} = 50^\circ$. Tính số đo góc $\widehat{ADC}$.

A.$\widehat{ADC} = 155^\circ$

B.$\widehat{ADC} = 75^\circ$

C.$\widehat{ADC} = 105^\circ$

D.$\widehat{ADC} = 130^\circ$

3. Trong tứ giác nội tiếp, hai góc đối bù nhauTrắc nghiệm`cyclic_quadrilateral_opposite_angle`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn, biết $\widehat{A} = 125^\circ$. Tính $\widehat{C}$.

A.$\widehat{C} = -35^\circ$

B.$\widehat{C} = 235^\circ$

C.$\widehat{C} = 125^\circ$

D.$\widehat{C} = 55^\circ$

Câu 8.Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn, biết $\widehat{A} = 135^\circ$. Tính $\widehat{C}$.

A.$\widehat{C} = 45^\circ$

B.$\widehat{C} = -45^\circ$

C.$\widehat{C} = 225^\circ$

D.$\widehat{C} = 135^\circ$

Câu 9.Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn, biết $\widehat{A} = 115^\circ$. Tính $\widehat{C}$.

A.$\widehat{C} = 65^\circ$

B.$\widehat{C} = 115^\circ$

C.$\widehat{C} = -25^\circ$

D.$\widehat{C} = 245^\circ$

4. Vận dụng cao: định lý Ptoleme cho hình thang cân nội tiếpTrắc nghiệm`ptolemy_isoceles_trapezoid`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 10.Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$, $AD = BC$) nội tiếp một đường tròn. Biết $AB = 4$, $CD = 8$ và $AD = BC = 4$. Tính độ dài đường chéo $AC$.

Hình thang cân ABCD nội tiếp một đường tròn, AB = 4, CD = 8, AD = BC = 4, vẽ đường chéo AC.

A.$AC = 4 \sqrt{2}$

B.$AC = 4 \sqrt{3}$

C.$AC = 4$

D.$AC = 4 \sqrt{5}$

Câu 11.Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$, $AD = BC$) nội tiếp một đường tròn. Biết $AB = 5$, $CD = 10$ và $AD = BC = 5$. Tính độ dài đường chéo $AC$.

Hình thang cân ABCD nội tiếp một đường tròn, AB = 5, CD = 10, AD = BC = 5, vẽ đường chéo AC.

A.$AC = 5$

B.$AC = 5 \sqrt{2}$

C.$AC = 5 \sqrt{3}$

D.$AC = 5 \sqrt{5}$

Câu 12.Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$, $AD = BC$) nội tiếp một đường tròn. Biết $AB = 2$, $CD = 8$ và $AD = BC = 4$. Tính độ dài đường chéo $AC$.

Hình thang cân ABCD nội tiếp một đường tròn, AB = 2, CD = 8, AD = BC = 4, vẽ đường chéo AC.

A.$AC = 2 \sqrt{5}$

B.$AC = 2 \sqrt{10}$

C.$AC = 4 \sqrt{5}$

D.$AC = 4 \sqrt{2}$

5. Loại tứ giác nào CHẮC CHẮN nội tiếp được đường tròn?Trắc nghiệm`recognize_cyclic_quadrilateral`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 13.Trong các tứ giác sau, tứ giác nào CHẮC CHẮN nội tiếp được trong một đường tròn?

A.Hình vuông

B.Hình bình hành (nói chung)

C.Hình thoi (không phải hình vuông)

D.Hình thang (nói chung)

Câu 14.Trong các tứ giác sau, tứ giác nào CHẮC CHẮN nội tiếp được trong một đường tròn?

A.Hình thoi (không phải hình vuông)

B.Hình thang (nói chung)

C.Hình bình hành (nói chung)

D.Hình chữ nhật

Câu 15.Trong các tứ giác sau, tứ giác nào CHẮC CHẮN nội tiếp được trong một đường tròn?

A.Hình thang cân

B.Hình thang (nói chung)

C.Hình bình hành (nói chung)

D.Hình thoi (không phải hình vuông)

6. Tứ giác nội tiếp $ABCD$ — kiểm tra góc đối, tổng gócĐúng / Sai`cyclic_independent_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $\widehat{A} = 105^\circ$, $\widehat{B} = 82^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số đo $\widehat{C} = 85^\circ$.

b)Tổng số đo hai góc đối $\widehat{B} + \widehat{D} = 180^\circ$.

c)Tổng số đo bốn góc của tứ giác nội tiếp bằng $180^\circ$.

d)Tổng số đo hai góc đối $\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ$.

Câu 17.Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $\widehat{A} = 85^\circ$, $\widehat{B} = 110^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai góc kề một cạnh của tứ giác nội tiếp bù nhau.

b)Tổng số đo hai góc đối $\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ$.

c)Số đo $\widehat{C} = 95^\circ$.

d)Tổng số đo bốn góc của tứ giác nội tiếp bằng $180^\circ$.

Câu 18.Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $\widehat{A} = 95^\circ$, $\widehat{B} = 78^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tổng số đo hai góc đối $\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ$.

b)Tổng số đo hai góc đối $\widehat{B} + \widehat{D} = 180^\circ$.

c)Tổng số đo bốn góc của tứ giác nội tiếp bằng $180^\circ$.

d)Số đo $\widehat{C} = 75^\circ$.

7. Tứ giác $ABCD$ nội tiếp, biết $\widehat B$, tính $\widehat D$Trả lời ngắn`cyclic_other_pair_angle`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn. Biết $\widehat B = 124^\circ$. Tính $\widehat D$ (theo độ).

Câu 20.Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn. Biết $\widehat B = 129^\circ$. Tính $\widehat D$ (theo độ).

Câu 21.Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn. Biết $\widehat B = 121^\circ$. Tính $\widehat D$ (theo độ).

8. Tứ giác $ABCD$ nội tiếp, biết $\widehat A$, tính $\widehat C$Trả lời ngắn`opposite_angle_in_cyclic`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn. Biết $\widehat A = 116^\circ$. Tính $\widehat C$ (theo độ).

Câu 23.Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn. Biết $\widehat A = 43^\circ$. Tính $\widehat C$ (theo độ).

Câu 24.Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn. Biết $\widehat A = 56^\circ$. Tính $\widehat C$ (theo độ).

Tứ giác nội tiếp

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Định lý(2)

§3. Phương pháp(1)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Quan sát tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn trong hình với góc $A$ được ghi, tính góc $C$Trắc nghiệmcyclic_opposite_angle_from_figure(3 câu)

2. Tứ giác $ABCD$ nội tiếp, đường chéo $BD$ chia $\widehat{B}$ thành hai phần — tính góc đối $\widehat{ADC}$Trắc nghiệmcyclic_opposite_angle_split_diagonal(3 câu)

3. Trong tứ giác nội tiếp, hai góc đối bù nhauTrắc nghiệmcyclic_quadrilateral_opposite_angle(3 câu)

4. Vận dụng cao: định lý Ptoleme cho hình thang cân nội tiếpTrắc nghiệmptolemy_isoceles_trapezoid(3 câu)

5. Loại tứ giác nào CHẮC CHẮN nội tiếp được đường tròn?Trắc nghiệmrecognize_cyclic_quadrilateral(3 câu)

6. Tứ giác nội tiếp $ABCD$ — kiểm tra góc đối, tổng gócĐúng / Saicyclic_independent_facts(3 câu)

7. Tứ giác $ABCD$ nội tiếp, biết $\widehat B$, tính $\widehat D$Trả lời ngắncyclic_other_pair_angle(3 câu)

8. Tứ giác $ABCD$ nội tiếp, biết $\widehat A$, tính $\widehat C$Trả lời ngắnopposite_angle_in_cyclic(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Quan sát tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn trong hình với góc $A$ được ghi, tính góc $C$Trắc nghiệm`cyclic_opposite_angle_from_figure`(3 câu)

2. Tứ giác $ABCD$ nội tiếp, đường chéo $BD$ chia $\widehat{B}$ thành hai phần — tính góc đối $\widehat{ADC}$Trắc nghiệm`cyclic_opposite_angle_split_diagonal`(3 câu)

3. Trong tứ giác nội tiếp, hai góc đối bù nhauTrắc nghiệm`cyclic_quadrilateral_opposite_angle`(3 câu)

4. Vận dụng cao: định lý Ptoleme cho hình thang cân nội tiếpTrắc nghiệm`ptolemy_isoceles_trapezoid`(3 câu)

5. Loại tứ giác nào CHẮC CHẮN nội tiếp được đường tròn?Trắc nghiệm`recognize_cyclic_quadrilateral`(3 câu)

6. Tứ giác nội tiếp $ABCD$ — kiểm tra góc đối, tổng gócĐúng / Sai`cyclic_independent_facts`(3 câu)

7. Tứ giác $ABCD$ nội tiếp, biết $\widehat B$, tính $\widehat D$Trả lời ngắn`cyclic_other_pair_angle`(3 câu)

8. Tứ giác $ABCD$ nội tiếp, biết $\widehat A$, tính $\widehat C$Trả lời ngắn`opposite_angle_in_cyclic`(3 câu)